asp.net core pdf editor : Conversion of pdf into ppt SDK Library project wpf .net html UWP calculus19-part123

9
ApplicationsofIntegration
Wehaveseenhowintegrationcanbeusedtofindanareabetweenacurveandthex-axis.
Withverylittlechangewecanfindsomeareasbetweencurves;indeed,theareabetween
a curve and the x-axismaybe interpreted asthe areabetweenthe curve anda second
“curve”withequationy=0.Inthesimplestofcases,theideaisquiteeasytounderstand.
EXAMPLE 9.1
Findthe areabelowf(x)=−x
2
+4x+3andaboveg(x)=−x
3
+
7x2−10x+5overtheinterval1≤x≤2. Infigure9.1weshowthetwocurvestogether,
withthedesiredareashaded,thenf alonewiththeareaunderfshaded,andthengalone
withtheareaundergshaded.
Itisclear fromthefigurethat theareawewantistheareaunder f minusthearea
underg,whichistosay
Z
2
1
f(x)dx−
Z
2
1
g(x)dx=
Z
2
1
f(x)−g(x)dx.
177
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Online C# Tutorial for Creating PDF from Microsoft PowerPoint Presentation
converter pdf to powerpoint; conversion of pdf to ppt online
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VB.NET Tutorial for Export PDF file from Microsoft Office PowerPoint
converting pdf to ppt; converting pdf to powerpoint online
178
Chapter9 Applications s ofIntegration
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Figure9.1
Areabetweencurvesasadifferenceofareas.
Itdoesn’tmatterwhetherwecomputethetwointegralsontheleftandthensubtractor
computethesingleintegralontheright.Inthiscase,thelatterisperhapsabiteasier:
Z
2
1
f(x)−g(x)dx=
Z
2
1
−x
2
+4x+3−(−x
3
+7x
2
−10x+5)dx
=
Z
2
1
x
3
−8x
2
+14x−2dx
=
x4
4
8x3
3
+7x
2
−2x
2
1
=
16
4
64
3
+28−4−(
1
4
8
3
+7−2)
=23−
56
3
1
4
=
49
12
.
Itisworthexaminingthisproblemabit more. . Wehaveseenonewaytolookatit,
byviewingthedesiredareaasabigareaminusasmallarea,whichleadsnaturallytothe
differencebetweentwointegrals. Butitisinstructivetoconsiderhowwemight t findthe
desiredareadirectly.Wecanapproximatetheareabydividingtheareaintothinsections
andapproximatingtheareaofeachsectionbyarectangle,asindicatedinfigure9.2.The
areaofatypicalrectangleis∆x(f(x
i
)−g(x
i
)),sothetotalareaisapproximately
n−1
i=0
(f(x
i
)−g(x
i
))∆x.
Online Convert PowerPoint to PDF file. Best free online export
clicking on the blue button or drag-and-drop your pptx or ppt file into the drop area. Then just wait until the conversion from Powerpoint to PDF is complete
picture from pdf to powerpoint; how to convert pdf to ppt online
VB.NET PowerPoint: Convert & Render PPT into PDF Document
use for fast PPT (.pptx) to PDF conversion in .NET to render selected PowerPoint slide(s) into image source create a featured PPTX to PDF converting application
convert pdf to editable powerpoint online; how to convert pdf to ppt for
9.1 Area a betweencurves
179
Thisisexactlythesortofsumthatturnsintoanintegralinthelimit,namelytheintegral
Z
2
1
f(x)−g(x)dx.
Ofcourse,thisistheintegralweactuallycomputedabove,butwehavenowarrivedatit
directlyratherthanasamodificationofthedifferencebetweentwootherintegrals.Inthat
exampleitreallydoesn’tmatterwhichapproachwetake,but insomecasesthissecond
approachisbetter.
0
5
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Figure9.2
Areabetweencurves.
EXAMPLE 9.2
Findthe areabelowf(x)=−x2+4x+1andaboveg(x)=−x3+
7x
2
−10x+3overtheinterval1≤x≤2;thesearethesamecurvesasbeforebutlowered
by2. Infigure9.3weshowthetwocurvestogether. Notethatthelowercurvenowdips
belowthe x-axis. . Thismakesitsomewhat t trickytoviewthe desiredareaasabigarea
minusasmallerarea,butit isjust aseasyasbeforetothinkofapproximatingthearea
byrectangles. Theheightofatypicalrectanglewillstillbef(x
i
)−g(x
i
),evenifg(x
i
)is
negative.Thustheareais
Z
2
1
−x
2
+4x+1−(−x
3
+7x
2
−10x+3)dx=
Z
2
1
x
3
−8x
2
+14x−2dx.
Thisisof course the same integralasbefore,because the regionbetween the curvesis
identicaltotheformerregion—ithasjustbeenmoveddownby2.
EXAMPLE9.3
Findtheareabetweenf(x)=−x
2
+4xandg(x)=x
2
−6x+5over
theinterval0≤x≤1;thecurvesareshowninfigure9.4. Generallyweshouldinterpret
How to C#: Convert Word, Excel and PPT to PDF
PPT to PDF. Online C# Tutorial for Converting MS Office Word, Excel and PowerPoint to PDF. MS Office to PDF Conversion Overview. By integrating XDoc.PDF SDK into
how to convert pdf into powerpoint on; convert pdf slides to powerpoint
How to C#: Convert PDF, Excel, PPT to Word
XDoc.Word SDK into your C#.NET project, PDF, MS-Excel and MS-PPT can be converted to Word document. Generally speaking, following conversion types are supported
chart from pdf to powerpoint; convert pdf to ppt online without email
180
Chapter9 Applications s ofIntegration
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