The first step in Terrell's explanation is to draw lines
downward (back into the page) from each of the two points on
the sphere to a screen direttlv below the sphere Figure B is
a side view showing the two points, the lines that we have
drawn downward, and the screen (If vou hold this book directly
in front of you, your eyes are in the same position relative to
the dotted lines as the eyes drawn in Figure A)
To understand Terrell's explanation, suppose that the sphere
is moving very fast relative to the speed of light from right to
left If the sphere moves fast enough, some very interesting
things happen For example, before the light from the point
on the far left edge of the sphere can reach us, the ball moves
in front of it, blocking it from our vision' The reverse happens
on the far right The ball moves out from between us and the
light signals originating from points that used to be on the
"back" side of the ball These signals now are visible to us,
while the signals coming from the point that used to be on the
leading edge of the ball now are blocked by the ball itself as it
moves to the left The effect of this is an illusion of sorts
What we see is the same thing that we would see if someone
had rotated the ball around its axis'
Look what happened to the distance between the two points
as projected on the screen It is considerably less than when
we started The equations in the special theory of
(the Lorentz transformations) which show a contraction due to
motion describe these projections (Is this beginning to sound
like Plato's
The fact that the ball, by moving fast enough, gets in the
way of some of its own light signals and out of the way of
others causes the ball to appear to rotate This causes the
projected distance between any two points on it which are
aligned with the direction of motion to decrease, just as if
someone really had rotated the ball The faster the ball moves,
the more it appears to "rotate," and the closer together come
the points projected on the screen It is the projection that
contracts Instead of "screen" substitute "view of the ball from
our frame of reference" and we have the Terrell explanation
of relativistic contraction
As yet, no analogous explanations have been found for the
time dilation that accompanies moving clocks or the increase
of mass that accompanies moving objects, but the effort, rela-
tively speaking, is young
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The special theory of relativity shows thai the mass of a
moving object increases as the velocity of the object increases
Newton would not have hesitated to call this nonsense, but
then Newton s experience was limited to velocities that are
quite slow compared to the speed of light
Classical physics tells us that a specific amount of force is
required to increase the velocitv of a moving object by a given
amount for example, one foot per second Once we know
what that amount of force is, whenever we want to increase
the velocity of that particular object by one foot per second, all
we need do is
that amount of force to it If the object
has a velocity of 100 feet per second, that specific amount of
force will increase its velocity to 101 feet per second Accord-
ing to Newton s physics, the same amount of force that in-
creases the velocity of an object from 100 feet per second to
101 feet per second also will increase the velocity of the same
object from 8,000 feet per second to 8,001 feet per second
The problem is that Newtonian phvsics is wrong It takes
much more force to increase by one foot per second the velocity
of an object moving at 8,000 feet per second than it takes to
increase by one foot per second the velocity of the same
object moving at 100 feet per second
That is because a faster-moving object has more kinetic
energy (energy of motion) This additional energy makes it
behave exactly as if it had more mass A given amount of force
applied for a given amount of time will accelerate a single
freight car to a greater velocity than the same amount of force
applied for the same amount of time to an entire train Of
course, this is because an entire tram has more mass than a
single car
When particles travel at velocities that are fast relative to
the speed of light their high kinetic energy makes them be-
have as though they have more mass than they have at lower
velocities In fact, the special theory of relativity shows that
the effective mass of a moving object does increase with velocity
Since most subatomic particles travel at different velocities,
each one of them can have many different relative masses
Therefore, physicists have calculated the "rest mass' of each
particle The rest mass of a subatomic particle is its mass
when it is not moving Subatomic particles are never really at
but these calculations provide a uniform method of com-
paring their masses This is necessary since, as the velocity of
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a particle approaches the speed of light, its relative mass
depends upon how fast it is moving
Einstein's discovery that moving clocks change their rhythm
led to some spectacular revisions in the way that we see the
world It showed that there is no "universal" time that per-
meates the universe There are only proper times associated
with various observers The proper time of each obsen er is
different, unless two of them happen to be at rest relative to
each other If the universe has a heart beat, its rate depends
upon the hearer
The special theory of relativity shows that two events which
happen at the same time in one frame of reference may occur
at different times when seen from another frame of reference
To illustrate this point, Einstein used one of his famous thought
A thought experiment is a mental exercise It has the ad-
vantage of requiring no apparatus other than tht mind, which
frees it from the practical limitations of laboratory experiments
Most physicists accept the use of thought experiments as a
valid theoretical tool, provided they are satisfied that if the
experiment could be performed, the results of the actual
experiment would be the same as those of the thought
Suppose that we are in a moving room The room is moving
with a uniform
in the center of the room is a
light bulb which flashes penodicall) The room is made of
glass so that an outside observer can see what happens inside
At the precise moment that we pass an outside observer,
the light flashes The question is, is there any difference be-
tween what we see inside the moving room and what the
outside observer sees According to the special theory of
relativity, the answer is an extraordinary, concept-shattering
Yes There is a big difference
Inside the room, we see the bulb flash and we see the light
spread out in all directions at the same speed Since the walls
of the room are equidistant from the bulb we see the light
strike the forward wall and rearward wall of the room simulta-
The outside observer also sees the flash, and he also sees
the light propagate in all directions at the same speed How-
ever, in addition, he sees that the room is moving From his
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point of view the forward wall tries to escape the approaching
light while the rearward wall rushes to meet it
the outside observer, the light reaches the rearward wall before
it reaches the forward wall If the speed of the room is small
compared to the speed of light, the light reaches the rearward
wall only slightly ahead of the forward wall Nonetheless the
light reaches the rearward and forward walls in a one-two
order, and not at the same time
Although both of us observed the same two events, the
light striking the forward wall and the light striking the rearward
wall, we each have different stories to tell To us inside the
room, the two events were simultaneous To the outside ob-
server, one event came first and the other event came later
Einstein's revolutionary insight was that events which are
simultaneous for one observer may occur at different times for
another observer depending upon their relative motion Put
another way, two events, one of which occurs before the other
as seen from the frame of reference of one observer, may
occur at the same time when seen from the frame of reference
of another observer One observer uses the words sooner"
and "later The other observer uses the word ' simultaneous,"
even though both of them are describing the same two events
In other words, ' sooner ' ' later, and simultaneous' are
local terms They have no meaning in the universe at large
unless they are tied down to a specific frame of reference
What is sooner in one frame of reference may be 'later" in
another frame of reference and simultaneous" in a third *
The mathematics which translate what an observer in one
frame of reference sees into what an observer in another frame
of reference sees are the
transformations Einstein
adopted the Lorentz transformations — which are a set of
equations — virtually intact
No one before Einstein got these startling results from this
simple type of thought experiment because no one before
Einstein had the audacity to postulate something as outra-
geous as the principle of the constancy of the velocity of light
No one had the audacity to postulate something as outra-
geous as the principle of the constancy of the velocity of
light because the principle of the constancy of the velocity
* This is only true for events that are space like separated For time like
events the relation earlier later is preserved foi all observers Time like separated
events can never appear simultaneous in any frame of reference moving with a
velocity less than c (Space like separation is explained later)
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of light completely and unequivocally contradicts common
sense, specifically, common sense as represented by the class-
ical transformation laws The classical transformation laws are
so embedded in our everyday experience that it simply never
occurred to anybodv to question them
Even when the Michelson-Morley experiment produced
results that were incompatible with the classical transformation
laws, no beginner s mind but Einstein's conceived that the
classical transformation laws might be wrong Only Einstein
suspected that at very high velocities, velocities far faster than
those that we encounter through our senses, the classical
transformation laws do not apply This is not to say that they
are incorrect At low velocities (compared to 186,000 miles
per second) contraction and time dilation are not detectable
sensonly In this limited situation, the classical transformations
are a good guide for practical experience After all, we do
reach the top of an escalator faster if we walk
If we do the moving-room experiment with sound instead
of light we do not get the special theory of relativity We get
a confirmation of the classical transformation laws There is no
principle of the constancy of the velocity of sound because the
velocity of sound is not constant It varies depending upon
the motion of the observer (hearer) as dictated by common
sense The important word here is "dictated
We live out our lives in a limited situation of low velocities
where the speed of sound (about 700 miles per hour) seems
"fast Therefore our common sense is based upon our
experiences in this limited environment If we want to expand
our understanding beyond the limitations of this environment,
it is necessary to drastically rearrange our conceptual constructs
This is what Einstein did He was the first person to see that
this is what had to be done in order to make sense of such
impossible experimental findings as the constancy of the velocity
of light for each and every person who measures it, regardless
of their states of motion
This led him to turn the
of the constancy of the
of light into the principle of the constancy of the
velocity of light In turn, that led him to the conclusion that,
if the velocity of light really is constant for all observers, then
the measuring instruments used by different observers in dif-
ferent states of motion somehow must vary so that all of them
give the same result By a stroke of luck Einstein discovered
that these same variances were expressed in the equations of
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the Dutch physicist, Hendnk Lorentz, and so he borrowed
them Lastly, the fact that moving clocks change their rhythm
led Einstein to the inescapable conclusion that "now, ' 'sooner,'
"later, ' and "simultaneous" are relative terms They all depend
upon the state of motion of the observer
This conclusion is precisely the opposite of the assumption
upon which Newtonian physics is based Newton assumed, as
did we all, that there is one clock ticking off the seconds by
which the entire universe grows older For every second of
time that passes in this corner of the universe, one second of
time passes also in every other corner of the universe
According to Einstein, this is incorrect How can anyone
say when it is "now" throughout the
If we try to
designate "now" by the occurrence of two simultaneous events
(like mv arrival at the doctor's office and my watch indicating
3 o'clock), we find that an observer in another frame of reference
sees one of our events happening before the other Absolute
time, wrote Newton, 'flows equably 
,'but he was wrong
There is no single time which flows equallv for all observers
There is no absolute time
The existence of one ultimate flow of time throughout the
physical universe, which we all tacitly acknowledged, turned
out to be another piece of clothing that the Emperor wasn t
Newton made one more mistake in this regard He said
that time and space were separate According to Einstein,
time and space are not separate Something cannot exist at
some place without existing at some time, and neither can it
exist at some time without existing at some place
Most of us think of space and time as separate because that
is the way that we think that we experience them For example,
we seem to have some control over our position in space, but
none at all over our position in time There is nothing that we
can do about the flow of time We can choose to stand perfectly
still, in which case our position in space does not change, but
there is no way that we can stand still in time
This notwithstanding, there is something very elusive about
'space" and especially about 'time ', something that prevents
us from ' resting our accounts with them prematurely
Subjectively, time has a fluid quality which much resembles a
running brook, sometimes bubbling past in a furious rush,
sometimes slipping by quietly unnoticed and sometimes lying
languid almost stationary, in deep pools, Space, too, has an
about it which belies the common notion
that it sei\es only to
William Blake s famous pot in i caches out toward these in-
tangible qualities
To see a Wot Id m a (.1 mi of Sand
And a Hta\en in a V\ ild 1
Hold Infinity in the palm of your hand
And Eternity in an houi
(Its title bv no coincidence, is ' Augunes of Innocence")
The special theory of relativitv is a physical theory Its
concern is with the mathematically calculable nature of reality
It is not a theory of subjectmty Although it shows that the
appearances of physical reality may vary from one frame of
reference to another, it is a theory about the unchanging
(physicists say mvanent") aspect of physical reality Nonethe-
less the special theory of relativity was the first mathematically
rigorous physical theory to explore areas whose expression
previously had been the domain of poets Like any concise
and poignant re-presentation of reality the theories of relativity
are poetry to mathematicians and ph>sicists However, Albert
Einstein s enormous public renown perhaps was due in part
to a shared intuition that he had something profoundly relevant
to say about space and time
What Einstein had to say about space and time is that there
is no such thing as space and time, there is only space-tune
Space-time is a continuum A continuum is something whose
parts are so close together, so "arbitrarily small that the
continuum really cannot be broken down into them There
are no breaks in a continuum It is called a continuum be-
cause it flows continuously
For example, a one-dimensional continuum is a line drawn
on a wall Theoretically we might sav that the line is com-
prised of a series of points, but the points are each infinitely
close to one another The result is that the line flows continu-
ously from one end of it to the other
An example of a two-dimensional continuum is the wall It
has two dimensions, length and width Similarly, all of the
points on the wall are in contact with other points on the wall,
and the wall itself is a continuous surface
A three-dimensional continuum is what we commonly call
"space ' A pilot is flying his airplane navigates in a three-
dimensional continuum To give his location he must state, for
example, not only how far north and how far east of a given
point he is, but he also must report his altitude The airplane
itself, like all things physical, is three-dimensional It has a
width, a height and a depth This is whv mathematicians call
our reality (their reality, too) three-dimensional
According to Newtonian physics, our three-dimensional
reality is separate from, and mo\es forward in, a one-
dimensional time Not so, savs the special theory of relativity
Our reahtv is four-dimensional, and the fourth dimension is
time We live, breathe, and exist in a four-dimensional space-
time continuum
The Newtonian view of space and time is a
ture Events
with the passage of tune Time is one-
dimensional and
(forward) The past, present, and future
happen in that ouler The special theorv of relativity howev-
er, savs that it is preferable, and more useful, to think in
terms of a
non-moving picture of space and tune This
is the space-time continuum In this static picture, the space-
time continuum, events do not develop, they just are If we
could view our reality in a four-dimensional vvav, we would
see that everything that now seems to unfold before us with
the passing of time, already exists in toto painted, as it were,
on the fabric of space-time We would see all the past, the
present, and the future with one glance Of course, this is
only a mathematical proposition (isn t
Don't worry about visuali/mg a four-dimensional woild
Physicists can t do it eithei For the moment, just assume
that Einstein might be right since the evidence so far suggests
that he is His message is that space and time aie related in
an intimate manner For lack of a better way of saying it, he
expressed this lelationship bv calling time a fourth dimension
"Fourth dimension' is a translation from one language to
another The original language is mathematics and the second
language is English The problem is that there is simply no
way of precisely expressing what the first language savs in
terms of the second language Therefore, time as a fourth
dimension ' is merely a label that we give to a
The relationship in question is the relationship between space
and time as it is expressed mathematically in the theories of
The relationship between space and time that Einstein
discovered is similar to the relationship between the sides of a
right triangle which Pythagoras the Greek (a
Confucius) discovered about 550 B (
A right triangle is a triangle that contains a right angle A
nght angle is formed whenever two perpendicular lines inter-
sect Below is a right triangle The side of a right triangle that is
opposite the right angle is called the hypotenuse (hi pot'n oos")
The hypotenuse is always the longest side of a right triangle
Pythagoras discovered that as long as we know the length of
the two shorter sides of a right triangle, we can calculate the
length of the longest side This relationship, expressed
mathematically, is the
theorem The first leg
squared plus the second leg squared equals the hypotenuse
A hypotenuse of a given length can be calculated from manv
different combinations of shorter legs In other words, there
are many combinations of
legs that all calculate
to have the same hypotenuse
For example, the first leg might be very short and the second
leg very long
or the other way round,
or anything in between.
If we substitute "space" for one of the legs of a right triangle,
"time" for the other leg, and "space-time interval" for the
hypotenuse, we have a relationship which is conceptually anal-
ogous to the relationship between space, time, and the space-
time interval described in the special theory of relativity.* The
* The Pythagorean theorem is c
= a
+ I)
. The equation for the space-time
interval in the special theory of relativity is s
= t
The Pythagorean theorem
deseribes properties in Euclidean space The equation for the space-time interval
describes properties in Minkowski's flat space-time (Euclidean and non-Euclidean
space are discussed in the next chapter) There are other differences as well,
but the fundamental relationship between space, time, and the space-time
interval is very similar to the relationship expressed in the Pythagorean theorem
between the three sides of a right triangle.
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