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one with a very large radius. Both of them revolve around a
common center as shown.
Imagine also that we, the observers, are watching these
revolving circles from an inertial co-ordinate system. Being in
an inertial co-ordinate system simply means that our frame of
reference is at rest relative to everything, including the
revolving circles. Drawn over the revolving circles are two
identical concentric circles which are in our co-ordinate system.
They are not revolving. They are the same size as the revolving
circles and have the same common center, but they remain
motionless. While we and our non-revolving circles are mo-
tionless, we are in communication with an observer who is on
the revolving circles. He actually is going around with them.
According to Euclidean geometry, the ratio of the radius to
the circumference of all circles is the same. If we measure the
radius and the circumference of the small circle, for example,
the ratio of these two measurements will be the same as the
ratio of the radius to the circumference of the large circle.
The object of this thought experiment is to determine whether
this is true or not for both the observers on the stationary
circles (us) and the observer on the revolving circles. If the
geometry of Euclid is valid throughout the physical universe,
as it should be, we should discover that the ratio between the
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radius and the circumference of all the circles involved is
Both we and the observer on the revolving circles will use
the same ruler to do our measuring. "The same ruler" means
that either we actually hand him the same ruler that we have
used, or that we use rulers that have the same length when at
rest in the same co-ordinate system.
We go first. Using our ruler, we measure the radius of our
small circle, and then we measure the circumference of our
small circle. Then we note the ratio between them. The next
step is to measure the radius of our large circle and then the
circumference of our large circle. Then we note the ratio
between them. Yes, it is the same ratio that we found be-
tween the radius and the circumference of our small circle.
We have proved that Euclidean geometry is valid in our co-
ordinate system, which is an inertial co-ordinate system.
Now we hand the ruler to the observer on the revolving
circles as he passes by us. Using this ruler he first measures
the radius of his small circle and finds that it is the same as
ours, since our circles are drawn directly over his circles.
Next he measures the circumference of his small circle. Re-
member that motion causes rulers to contract in the direction
that they are moving. However, since the radius of the small
circle is so short, the velocity of the ruler when it is placed on
the circumference of the small circle is not fast
make the effect of relativistic contraction noticeable. Therefore,
the observer on the revolving circles measures the circumfer-
ence of his small circle and finds it to be the same as the
circumference of our small circle. Naturally, the ratio between
them also is the same. So far so good. The ratios between the
radius and the circumference of three circles have been de-
termined (our small circle, our large circle, and his small
circle) and they all are identical. This is exactly what should
happen according to high-school geometry books across the
country. Only one more circle to go.
The observer on the revolving circles measures the radius
of his large circle and finds it to be the same length as the
radius of our large circle. Now he comes to the last measure-
ment, the circumference of his large circle. However, as soon
as he puts his ruler into position to make a measurement on
the circumference of the large revolving circle, his ruler con-
tracts! Because the radius of his large circle is much larger than
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the radius of his small circle, the velocity of the circumference
of the large revolving circle is considerably faster than the
velocity of the circumference of the small revolving circle.
Since the ruler must be aligned in the direction that the
circumference is moving, it becomes shorter. When the
revolving observer uses this ruler to measure the circumfer-
ence of the large revolving circle, he finds that it is larger
than the circumference of our large circle. This is because his
ruler is shorter (Contraction also affected his ruler when he
measured the radius of his large circle, but since it then was
placed perpendicular to the direction of motion, it became
skinnier, not shorter).
This means that the ratio of the radius to the circumference
of the small revolving circle is not the same as the ratio of the
radius to the circumference of the large revolving circle. Ac-
cording to Euclidean geometry, this is not possible, but there
it is.
If we want to be old-fashioned about it (before-Einstein) we
can say that this situation is nothing unusual. By definition,
the laws of mechanics and the geometry of Euclid are valid
only in inertial systems (that is what makes them inertial
systems). We simply don't consider co-ordinate systems which
are not inertial. (This was really the position of physicists before
Albert Einstein). This is exactly what seemed wrong to Einstein.
His idea was to create a physics valid for all co-ordinate systems,
since the universe abounds with the non-inertial as well as the
inertia] kind.
If we are to create such a universally valid physics, a gen-
eral physics, then we must treat both the observers in the
stationary (inertial) system and the observer on the revolving
circles (a non-inertial system) with equal seriousness. The per-
son on the revolving circles has as much right to relate the
physical world to his frame of reference as we have to relate it
to ours. True, the laws of mechanics as well as the geometry
of Euclid are not valid in his frame of reference, but every
deviation from them can be explained in terms of a gravitational
field which affects his frame of reference.
This is what Einstein's theory allows us to do. It allows us
to express the laws of physics in such a way that they are
independent of specific space-time co-ordinates. Space and
time co-ordinates (measurements) vary from one frame of
reference to another, depending upon the state of motion of
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the frame of reference. The general theory of relativity allows
us to universalize the laws of physics and to apply them to all
frames of reference.
"Wait a minute," we say, "how can anyone measure distance
or navigate in a co-ordinate system like the one on the revolving
circles. The length of a ruler varies from place to place in such
a system. The farther we go from the center, the faster the
velocity of the ruler, and the more it contracts. This doesn't
happen in an inertial co-ordinate system, which, in effect, is a
system that is at rest. Because there is no change of velocity
throughout an inerHal co-ordinate system, rulers do not change
"This allows us to organize inertial systems like a city, block
by block. Since rulers do not change length in inertial systems,
all the blocks that are laid out with the same ruler will be the
same length. No matter where we travel, we know that ten
blocks is twice the distance of five blocks.
"In a non-inertial system the velocity of the system varies
from place to place. This means that the length of a ruler
varies from place to place. If we used the same ruler to lay
out all the city blocks in a non-inertial co-ordinate system,
some of them would be larger than others depending upon
where they were located."
"What is wrong with that," asks Jim de Wit, "as long as we
still can determine our position in the co-ordinate system.
Imagine a sheet of india rubber on which we have drawn a
grid so that it looks like a piece of graph paper (first drawing,
opposite page). This is a co-ordinate system. Assuming that
we are at the lower left corner (we can start anywhere) let us
say that a party Saturday night is being held at the intersec-
tion marked 'Party.' To get there we have to go two squares to
the right and two squares up.
"Now suppose that we stretch the sheet of rubber so that it
looks like the second drawing."
The same directions (two squares right and two squares up)
still bring us to the party. The only difference is that unless
we are familiar with this part of the co-ordinate system, we
cannot calculate the distance that we have to travel as easily
as we could if all of the squares were the same size."
According to the general theory of relativity, gravity, which
is the equivalent of acceleration, is what distorts the space-
time continuum in a manner analogous to our stretching the
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sheet of rubber. Where the effects of gravity can be neglected,
the space-time continuum is like the sheet of rubber before
we stretched it. All of the lines are straight lines and all of the
clocks are synchronized. In other words, the undistorted sheet
of rubber is analogous to the space-time continuum of an
inertial co-ordinate system and the special theory of relativity
However, in the universe at large gravity eannot be ne-
glected. Wherever there is a piece of matter, it warps the
space-time continuum. The larger the piece of matter, the
more pronounced the warp.
In the example of the revolving circles, the variation of
velocity in different parts of the co-ordinate system caused the
ruler to change size. With that in mind, remember that accel-
eration (change in velocity) is the equivalent of gravity.
Therefore, changes in the strength of a gravitational field will
produce the same contractions of the ruler as changes in
velocity. "Acceleration" and "gravity" are two ways of saying
the same thing. That means that if a ruler is subjected to
gravitational fields of different strength, it changes length.
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Of course, it is impossible to travel through our solar system,
much less our galaxy, without encountering gravitational fields
of varying intensity, which would cause any maps that we
somehow could produce to look distorted like the stretched
piece of india rubber The terrain of the space-time contin-
uum in which our earth moves is like a hillv countryside with
a mountain (the sun) dominating the geography
According to Newton, the earth wants to continue forever
in a straight line, but forever is deflected from its inclination
by the gravitational force of the sun A balance of the two
keeps the earth in orbit around the sun According to Einstein,
the earth's orbit is simpl> the easiest path for the earth to take
as it moves through the space-time continuum, warped as it is
in this neighborhood by the sun
Imagine how complex is the geography of the space-time
continuum which is our universe with its solar systems, star
systems, galaxies, and galax> clusters, each of them causing
major and minor bumps, curves hills, valleys, and mountains
in the four-dimensional space-time continuum
Would it be possible to navigate under such
Yes Although it is a crude example, sailors navigate under
somewhat analogous circumstances We cover the earth with
squares which are formed by lines of latitude and longitude
The size of these squares varies depending upon where they
are located The closer thev are to the equator, the larger
they are (If this is unclear, look at a globe) Nonetheless, we
still can locate physical points on the surface of the earth by
designating the intersection of a line of latitude and a line of
longitude Knowing the number of squares between us and
where we want to sail does not give us the distance to our
destination because the squares may vary in size However, if
we know the nature of our terrain (a globe) we can calculate
distances on it (using spherical trigonometry)
Similarly, once we know the properties of an area of the
space-time continuum (by exploring it) we can determine not
only the position of, but also the distance (interval) between
two events in the space-time continuum * The mathematical
structure of the general theory of relativity, which Einstein
created over a period of ten vears, permits us to do just that
* This distance of course is invariant i e the same for all co ordmate
stems (page 152) The mvanance is the absolute objective aspect of Einstein s
theory that complements the subjective arbitrary choice of co ordmate system
The equations of the general theoiy of relativity are structural
formulas They describe the structure of changing gravitational
fields (Newton's formula describes a situation between two
objects at a given time Einstein's formulas relate a situation
here and now to a situation in the immediate vicimtv a little
later) By feeding the results of actual observations into these
equations, they give us a picture of the space-time continuum
in the neighborhood of our
In other words, they
reveal the geometry of space-time in that area Once we know
that, our situation is roughly analogous to that of a sailor who
knows that the earth is round and also knows
trigonometry t
We have said, up to now, that matter distorts, or causes a
curvature of, the space-time continuum in its vicinity Accord-
ing to Einstein s ultimate vision, which he never "proved"
(demonstrated mathematically), a piece of matter is a curva-
ture of the space-time continuum
In other words, according
to Einstein s ultimate vision, there aie no such things as
"gravitational fields ' and "masses ' They are only mental cre-
ations No such things exist in the real world There is no
such thing as "gravity —gravity is the equivalent of accelera-
tion, which is motion There is no such thing as matter"—
is a curvature of the space-time continuum There is not
even such a thing as 'energy'—energy equals mass and mass
is space-time curvature
What we considered to be a planet with its own gravi-
tational field moving around the sun in an orbit created
by the gravitational attraction (force) of the sun is actually
a pronounced curvature of the space-time continuum finding
its easiest path through the space-time continuum in the
vicinity of a verv pronounced curvature of the space-time
is nothing but space-time and motion and they, in
effect, are the same thing Here is an exquisite presentation,
in completely western terms, of the most fundamental aspect
of Taoist and Buddhist
Physics is the study of physical reality If a theory does
not relate to the
world, it may be puie mathematics,
t 1 ht space time continuum is not only curved it also ha.s
i e it can be connected in crazy ways e g like a
It also can
twist (i e torsion)
poetry, or blank verse, but it is not physics The question is,
does Einstein's fantastic theory really work
The answer is a slightly tentative, but generally accepted
"Yes ' Most physicists agree that the general theory of relativity
is a valid way of viewing large-scale phenomena, and at the
same time, most physicists still are eager to see more evidence
to confirm (or challenge) this position
Since the general theory of relativity deals with vast expanses
of the universe, its proof (of usefulness, not of "truth"—the
watch is still unopenable) cannot come from observations of
phenomena limited to the earth For this reason, its verifications
come from astronomy
Thus far, the general theory of relativity has been verified
in four ways The first three ways are straightforward and
convincing The last
if early observations are correct,
may be more fantastic than the theory itself
The first verification of the general theory of relativity came
as an unexpected benefit to astronomers
law of
gravity purported to describe the orbits of the planets around
the sun, and it did—all of them except Mercury Mercury
orbits the sun in such a way that some parts of its orbit bring
it closer to the sun than others The part of Mercury's orbit
closest to the sun is called its perihelion The first verification
of Einstein s general theory of relativity turned out to be the
long-sought explanation of the problem of Mercury s perihelion
The problem with Mercury s perihelion—in fact, with Mer-
cury's entire orbit—is that it moves Instead of continuously
retracing its path around the sun relative to a co-ordinate
system attached to the sun, Mercury's orbit itself revolves
around the sun The rate of revolution is extremely slow (it
completes one revolution around the sun every three million
years) This still was enough to
astronomers Prior to
Einstein, this precession in Mercury's orbit had been attributed
to an undiscovered planet in our solar system By the time
Einstein published his general theory of relatmty, the search
for this mysterious planet was well underway
Einstein created his general theory of relativity without
special attention to the perihelion of Mercurv However, when
the general theory of relativity was applied to this problem, it
showed that Mercury moves precisely as Mercury has to move
through the space-time continuum in that vicinity of the sun'
The other planets do not move significantly in this way be
cause they are farther away from the sun s gravity Store one
for the general theory
The second verification of the genera) theory of relativity
was the fulfillment of a prediction specifically made bv Einstein
Einstein predicted that light beams are bent by gravitational
fields He also predicted exactly how much the) are bent, and
he suggested an experiment to test this prediction Einstein
suggested that astronomers measure the deflection of starlight
by the gravitational field of the sun
According to Einstein, the presence of the sun between a
group of visible stars and the earth will cause an apparent
change in the position of the stars because light coming from
them will be bent by the gravitational field of the sun In
order to perform this experiment, it is necessary to photo-
graph a group of
at night, noting their positions relative
to each other and other stars on their periphery, and then to
photograph the same group during the day when the sun is
between them and us Of course, stars onlv can be photo-
graphed in the daytime during a total eclipse of the sun by
the moon.
Astronomers consulted their star charts and discovered that
May 29 is the ideal day for such an undertaking. This is
because the sun, in its apparent journey across a varied stellar
background, is in front of an exceptionally rich grouping of
bright stars on that date. By incredible coincidence, a total
eclipse of the sun occurred on May 29, 1919, only four years
after the general theory was published. Preparations were
made to use this event to test Einstein's new theory.
Light signals from a star are bent in the neighborhood of
the sun. Because we assume that starlight travels in a straight
line, we assume that the star is in a position other than it
actually is.
Although light was supposed to travel in a straight line in a
vacuum, a certain amount of bending already was theorized
before Einstein's general theory of relativity. Newton's law of
gravity was used to calculate this bending, even though it
could not explain it. Einstein's theory predicted roughly twice
the deflection that Newton's law predicted, and, in addition,
it supplied an explanation for it. Physicists and astronomers
alike eagerly awaited the outcome of this confrontation be-
tween the new theory and the old.
The 1919 eclipse was photographed by two different expedi-
tions sent to two
parts of the world. These expeditions
also took photographs of the same stellar background at times
when the sun was not in the area. The results of both
expeditions vindicated Einstein's calculations, not Newton's.
Since 1919, the same verdict has been reached again and
again during other eclipses. All of them confirm Einstein's
predictions. Score two for the general theory.
The third verification of the general theory of relativity is
called gravitational redshift. Bemember that gravity (because
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