Section 2.8  Digital Logic Gates    63
of a three‐input exclusive‐OR function is shown in  Fig.   2.8   . This function is normally 
implemented by cascading two‐input gates, as shown in (a). Graphically, it can be 
represented with a single three‐input gate, as shown in (b). The truth table in (c) clearly 
indicates that the output F is equal to 1 if only one input is equal to 1 or if all three inputs 
are equal to 1 (i.e., when the total number of 1’s in the input variables is odd).  (Exclusive‐
OR gates are discussed further in Section 3.9.) 
Positive and Negative Logic 
The binary signal at the inputs and outputs of any gate has one of two values, except 
during transition. One signal value represents logic 1 and the other logic 0. Since two 
signal values are assigned to two logic values, there exist two different assignments of 
(
x
y
)
z
=
(
x
+
y
)
z
x
y
y
x
(
y
z
)
=
x
(
y
+
z
)
x
y
z
FIGURE 2.6
Demonstrating the nonassociativity of the NOR operator: (T y) T x T (T z)
(a) 3-input NOR gate
y
(x+ y + z)′
x
z
(b) 3-input NAND gate
(xyz)′
y
x
z
(c) Cascaded NAND gates
D
B
F=[(ABC)′ ̇ (DE)′]′ = ABCDE 
A
C
E
FIGURE 2.7
Multiple‐input and cascaded NOR and NAND gates
Convert pdf file to powerpoint presentation - C# Create PDF from PowerPoint Library to convert pptx, ppt to PDF in C#.net, ASP.NET MVC, WinForms, WPF
Online C# Tutorial for Creating PDF from Microsoft PowerPoint Presentation
convert pdf pages into powerpoint slides; add pdf to powerpoint
Convert pdf file to powerpoint presentation - VB.NET Create PDF from PowerPoint Library to convert pptx, ppt to PDF in vb.net, ASP.NET MVC, WinForms, WPF
VB.NET Tutorial for Export PDF file from Microsoft Office PowerPoint
pdf to ppt; convert pdf document to powerpoint
64    Chapter 2  Boolean Algebra and Logic Gates
signal level to logic value, as shown in  Fig.   2.9   . The higher signal level is designated by 
H and the lower signal level by L Choosing the high‐level H to represent logic 1 defines 
a positive logic system. Choosing the low‐level L to represent logic 1 defines a negative 
logic system.  The terms positive and negative are somewhat misleading, since both sig-
nals may be positive or both may be negative. It is not the actual values of the signals 
that determine the type of logic, but rather the assignment of logic values to the relative 
amplitudes of the two signal levels. 
Hardware digital gates are defined in terms of signal values such as H and L. It is up 
to the user to decide on a positive or negative logic polarity. Consider, for example, the 
electronic gate shown in  Fig.   2.10   (b). The truth table for this gate is listed in  Fig.   2.10   (a). 
It specifies the physical behavior of the gate when H is 3 V and L is 0 V. The truth table 
of  Fig.   2.10   (c) assumes a positive logic assignment, with    =1    and    L= 0.    This truth 
table is the same as the one for the AND operation. The graphic symbol for a positive 
logic AND gate is shown in  Fig.   2.10   (d). 
Now consider the negative logic assignment for the same physical gate with    L= 1    
and    = 0.    The result is the truth table of  Fig.   2.10   (e). This table represents the OR 
operation, even though the entries are reversed. The graphic symbol for the negative‐
logic OR gate is shown in  Fig.   2.10   (f). The small triangles in the inputs and output 
(a)Using 2-input gates
(b) 3-input gate
(c) Truth table
x
F= x  y  z
y
z
y
z
F= x  y  z
x
x
y
z
F
0
0
0
0
1
1
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
0
1
FIGURE 2.8
Three‐input exclusive‐OR gate
(a) Positive logic
Logic
value
1
0
Signal
value
H
L
(b) Negative logic
Logic
value
0
1
Signal
value
H
L
FIGURE 2.9
Signal assignment and logic polarity
VB.NET PowerPoint: Use PowerPoint SDK to Create, Load and Save PPT
NET method and sample code in this part will teach you how to create a fully customized blank PowerPoint file by using the smart PowerPoint presentation control
change pdf to ppt; convert pdf to ppt online
C# PDF Text Extract Library: extract text content from PDF file in
But sometimes, we need to extract or fetch text content from source PDF document file for word processing, presentation and desktop publishing applications.
pdf to powerpoint slide; converting pdf to ppt online
Section 2.8  Digital Logic Gates    65
designate a polarity indicator, the presence of which along a terminal signifies that 
negative logic is assumed for the signal. Thus, the same physical gate can operate either 
as a positive‐logic AND gate or as a negative‐logic OR gate. 
The conversion from positive logic to negative logic and vice versa is essentially 
an operation that changes 1’s to 0’s and 0’s to 1’s in both the inputs and the output 
of a gate. Since this operation produces the dual of a function, the change of all ter-
minals from one polarity to the other results in taking the dual of the function. The 
upshot is that all AND operations are converted to OR operations (or graphic sym-
bols) and vice versa. In addition, one must not forget to include the polarity‐indicator 
triangle in the graphic symbols when negative logic is assumed. In this book, we will 
not use negative logic gates and will assume that all gates operate with a positive logic 
assignment.   
(c) Truth table for
positive logic
(e) Truth table for
negative logic
(d) Positive logic AND gate
(f) Negative logic OR gate
(b) Gate block diagram
x
z
Digital
gate
y
z
x
y
z
x
y
(a) Truth table
with H and L
x
y
z
L
L
L
L
L
L
L
H
H
H
H
H
x
y
z
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
x
y
z
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
FIGURE 2.10
Demonstration of positive and negative logic
C# Create PDF from OpenOffice to convert odt, odp files to PDF in
Note: When you get the error "Could not load file or assembly 'RasterEdge.Imaging. Basic' or any How to Use C#.NET Demo Code to Convert ODT to PDF in C#.NET
convert pdf into powerpoint; image from pdf to powerpoint
VB.NET PowerPoint: Sort and Reorder PowerPoint Slides by Using VB.
you can choose to show your PPT presentation in inverted clip art or screenshot to PowerPoint document slide & profession imaging controls, PDF document, image
converting pdf to ppt; convert pdf to powerpoint presentation
66    Chapter 2  Boolean Algebra and Logic Gates
2.9    INTEGRATED CIRCUITS 
An integrated circuit (IC) is fabricated on a die of a silicon semiconductor crystal, called 
chip, containing the electronic components for constructing digital gates. The complex 
chemical and physical processes used to form a semiconductor circuit are not a subject 
of this book. The various gates are interconnected inside the chip to form the required 
circuit. The chip is mounted in a ceramic or plastic container, and connections are welded 
to external pins to form the integrated circuit. The number of pins may range from 14 
on a small IC package to several thousand on a larger package. Each IC has a numeric 
designation printed on the surface of the package for identification. Vendors provide 
data books, catalogs, and Internet websites that contain descriptions and information 
about the ICs that they manufacture. 
Levels of Integration 
Digital ICs are often categorized according to the complexity of their circuits, as mea-
sured by the number of logic gates in a single package. The differentiation between those 
chips which have a few internal gates and those having hundreds of thousands of gates 
is made by customary reference to a package as being either a small‐, medium‐, large‐, 
or very large‐scale integration device. 
Small‐scale integration (SSI) devices contain several independent gates in a single 
package. The inputs and outputs of the gates are connected directly to the pins in the 
package. The number of gates is usually fewer than 10 and is limited by the number of 
pins available in the IC. 
Medium‐scale integration (MSI) devices have a complexity of approximately 10 to 
1,000 gates in a single package. They usually perform specific elementary digital opera-
tions. MSI digital functions are introduced in  Chapter   4    as decoders, adders, and multi-
plexers and in  Chapter   6    as registers and counters. 
Large‐scale integration (LSI) devices contain thousands of gates in a single package. 
They include digital systems such as processors, memory chips, and programmable logic 
devices. Some LSI components are presented in  Chapter   7   . 
Very large‐scale integration (VLSI) devices now contain millions of gates within a 
single package. Examples are large memory arrays and complex microcomputer chips. 
Because of their small size and low cost, VLSI devices have revolutionized the computer 
system design technology, giving the designer the capability to create structures that 
were previously uneconomical to build.  
Digital Logic Families 
Digital integrated circuits are classified not only by their complexity or logical operation, 
but also by the specific circuit technology to which they belong. The circuit technology 
is referred to as a digital logic family. Each logic family has its own basic electronic 
circuit upon which more complex digital circuits and components are developed. The 
basic circuit in each technology is a NAND, NOR, or inverter gate. The electronic 
VB.NET PowerPoint: Merge and Split PowerPoint Document(s) with PPT
documents and save the created new file in the sample code in VB.NET to finish PowerPoint document splitting If you want to see more PDF processing functions
how to convert pdf to powerpoint in; how to add pdf to powerpoint slide
VB.NET Create PDF from OpenOffice to convert odt, odp files to PDF
1odt.pdf"). How to VB.NET: Convert ODP to PDF. This code sample is able to convert ODP file to PDF document. ' odp convert
picture from pdf to powerpoint; pdf to powerpoint
Section 2.9  Integrated Circuits    67
components employed in the construction of the basic circuit are usually used to name 
the technology. Many different logic families of digital integrated circuits have been 
introduced commercially. The following are the most popular: 
TTL 
transistor–transistor logic; 
ECL 
emitter‐coupled logic; 
MOS 
metal‐oxide semiconductor; 
CMOS  complementary metal‐oxide semiconductor. 
TTL is a logic family that has been in use for 50 years and is considered to be stan-
dard. ECL has an advantage in systems requiring high‐speed operation. MOS is suitable 
for circuits that need high component density, and CMOS is preferable in systems 
requiring low power consumption, such as digital cameras, personal media players, and 
other handheld portable devices. Low power consumption is essential for VLSI design; 
therefore, CMOS has become the dominant logic family, while TTL and ECL continue 
to decline in use. The most important parameters distinguishing logic families are listed 
below; CMOS integrated circuits are discussed briefly in the appendix. 
Fan‐out specifies the number of standard loads that the output of a typical gate can 
drive without impairing its normal operation. A standard load is usually defined as the 
amount of current needed by an input of another similar gate in the same family. 
Fan‐in is the number of inputs available in a gate. 
Power dissipation is the power consumed by the gate that must be available from the 
power supply. 
Propagation delay is the average transition delay time for a signal to propagate from 
input to output. For example, if the input of an inverter switches from 0 to 1, the output 
will switch from 1 to 0, but after a time determined by the propagation delay of the 
device. The operating speed is inversely proportional to the propagation delay. 
Noise margin is the maximum external noise voltage added to an input signal that 
does not cause an undesirable change in the circuit output.  
Computer‐Aided Design of VLSI Circuits 
Integrated circuits having submicron geometric features are manufactured by optically 
projecting patterns of light onto silicon wafers. Prior to exposure, the wafers are coated 
with a photoresistive material that either hardens or softens when exposed to light. 
Removing extraneous photoresist leaves patterns of exposed silicon. The exposed 
regions are then implanted with dopant atoms to create a semiconductor material hav-
ing the electrical properties of transistors and the logical properties of gates. The design 
process translates a functional specification or description of the circuit (i.e., what it must 
do) into a physical specification or description (how it must be implemented in silicon). 
The design of digital systems with VLSI circuits containing millions of transistors and 
gates is an enormous and formidable task. Systems of this complexity are usually impos-
sible to develop and verify without the assistance of computer‐aided design (CAD) 
VB.NET PowerPoint: VB Codes to Create Linear and 2D Barcodes on
PowerPoint PDF 417 barcode library is a mature and Install and integrate our PowerPoint PLANET barcode creating to achieve PLANET barcode drawing on PPT file.
how to add pdf to powerpoint; convert pdf to powerpoint slide
How to C#: Overview of Using XDoc.Windows Viewer
Generally speaking, you can use this .NET document imaging SDK to load, markup, convert, print, scan image and document. Support File Types. PDF.
conversion of pdf into ppt; and paste pdf to powerpoint
68    Chapter 2  Boolean Algebra and Logic Gates
tools, which consist of software programs that support computer‐based representations 
of circuits and aid in the development of digital hardware by automating the design 
process. Electronic design automation (EDA) covers all phases of the design of inte-
grated circuits. A typical design flow for creating VLSI circuits consists of a sequence of 
steps beginning with design entry (e.g., entering a schematic) and culminating with the 
generation of the database that contains the photomask used to fabricate the IC. There 
are a variety of options available for creating the physical realization of a digital circuit 
in silicon. The designer can choose between an application‐specific integrated circuit 
(ASIC), a field‐programmable gate array (FPGA), a programmable logic device (PLD), 
and a full‐custom IC. With each of these devices comes a set of CAD tools that provide 
the necessary software to facilitate the hardware fabrication of the unit. Each of these 
technologies has a market niche determined by the size of the market and the unit cost 
of the devices that are required to implement a design. 
Some CAD systems include an editing program for creating and modifying schematic 
diagrams on a computer screen. This process is called schematic capture or schematic 
entry. With the aid of menus, keyboard commands, and a mouse, a schematic editor can 
draw circuit diagrams of digital circuits on the computer screen. Components can be 
placed on the screen from a list in an internal library and can then be connected with 
lines that represent wires. The schematic entry software creates and manages a database 
containing the information produced with the schematic. Primitive gates and functional 
blocks have associated models that allow the functionality (i.e., logical behavior) and 
timing of the circuit to be verified. Verification is performed by applying inputs to the 
circuit and using a logic simulator to determine and display the outputs in text or wave-
form format. 
An important development in the design of digital systems is the use of a hardware 
description language (HDL). Such a language resembles a computer programming 
language, but is specifically oriented to describing digital hardware. It represents logic 
diagrams and other digital information in textual form to describe the functionality 
and structure of a circuit. Moreover, the HDL description of a circuit’s functionality 
can be abstract, without reference to specific hardware, thereby freeing a designer to 
devote attention to higher level functional detail (e.g., under certain conditions the 
circuit must detect a particular pattern of 1’s and 0’s in a serial bit stream of data) rather 
than transistor‐level detail. HDL‐based models of a circuit or system are simulated to 
check and verify its functionality before it is submitted to fabrication, thereby reducing 
the risk and waste of manufacturing a circuit that fails to operate correctly. In tandem 
with the emergence of HDL‐based design languages, tools have been developed to 
automatically and optimally synthesize the logic described by an HDL model of a 
circuit. These two advances in technology have led to an  almost total reliance by indus-
try on HDL‐based synthesis tools and methodologies for the design of the circuits of 
complex digital systems.  Two HDLs—Verilog and VHDL—have been approved as 
standards by the Institute of Electronics and Electrical Engineers (IEEE) and are in 
use by design teams worldwide. The Verilog HDL is introduced in Section 3.10, and 
because of its importance, we include several exercises and design problems based on 
Verilog throughout the book.    
Problems    69
PROBLEMS 
(Answers to problems marked with * appear at the end of the text.)  
 
2.1   Demonstrate the validity of the following identities by means of truth tables: 
(a)   DeMorgan’s theorem for three variables:    (x + y + z)′ =xyz    and    (xyz)′ ′ =
x′+ y′ +z′     
(b)   The distributive law:  x  +  yz  = ( x  +  y )( x  +  z )  
(c)   The distributive law:  x(+ z) = xy + xz   
(d)   The associative law:  + (+ z) = (+ y) + z   
(e)   The associative law and  x(yz) = (xy)z      
 
2.2   Simplify the following Boolean expressions to a minimum number of literals: 
(a)  *  xy + xy ′   
(b)  *    (+y) (xy′)     
(c)  *  xyz + x ′ + xyz ′   
(d)  *    (B)′(A′+ B′)′     
(e)     (+ b + c′)(a b + c)    
(f)    abc + abc + abc + abc′      
 
2.3   Simplify the following Boolean expressions to a minimum number of literals: 
(a)  *    ABC A+ABC      
(b)*    x ′ yz + xz   
(c)  *    (xy)′(x′+ y′)      
(d)  *  xy + x(wz + wz)   
(e)  *    (BC′ ′ +AD) (AB′ +CD′)      
(f)      (a + c′) (+ b + c′)      
 
2.4   Reduce the following Boolean expressions to the indicated number of literals: 
(a)  *    AC′ ′ +ABC +AC    
to three literals  
(b)  *    (xy′ ′ +z)′+ z+xy+wz    
to three literals  
(c)  *    AB(D′ +CD) +B(AACD)    
to one literal  
(d)  *    (A′+ C)(A′+C′) (++CD)    
to four literals  
(e)     ABC'D + A'BD + ABCD  
to two literals     
 
2.5   Draw logic diagrams of the circuits that implement the original and simplified expressions 
in Problem 2.2.   
 
2.6   Draw logic diagrams of the circuits that implement the original and simplified expressions 
in Problem 2.3.   
 
2.7   Draw logic diagrams of the circuits that implement the original and simplified expressions 
in Problem 2.4.   
 
2.8   Find the complement of  = wx + yz;  then show that    FF′ =0    and    F+F′=1.      
 
2.9   Find the complement of the following expressions: 
(a)  *  xy + xy    
(b)    (+ c) (+ b′) (a + b + c′)   
(c)     + z′(v+ xy)      
 
2.10   Given the Boolean functions    F
1
and  
2
,  show that 
(a)   The Boolean function    F
1
F
2
contains the sum of the minterms of    F
1
and    F
2
.     
(b)   The Boolean function    G=F
1
F
2
contains only the minterms that are common to    F
1
and    F
2
.        
 
2.11   List the truth table of the function: 
(a)  *  = xy + xy + yz    
(b)      bc + ac′      
 
2.12   We can perform logical operations on strings of bits by considering each pair of correspond-
ing bits separately (called bitwise operation). Given two eight‐bit strings   A  = 10110001 
and  B  = 10101100, evaluate the eight‐bit result after the following logical operations: 
(a)* AND  (b) OR  (c)* XOR  (d)* NOT  A   (e) NOT  B    
70    Chapter 2  Boolean Algebra and Logic Gates
 
2.13   Draw logic diagrams to implement the following Boolean expressions: 
(a)    = [(+ x′) (y + z)]   
(b)    = ( y)′ + x   
(c)    = (u + x′) (+ z′)   
(d)    = u( z) + y′   
(e)    = u + yz + uxy   
(f)    = u + x + x′(+ y′)      
 
2.14   Implement the Boolean function 
=xy + xy′ + yz   
(a)    With AND, OR, and inverter gates  
(b)  * With OR and inverter gates  
(c)    With AND and inverter gates  
(d)    With NAND and inverter gates  
(e)    With NOR and inverter gates     
 
2.15*   Simplify the following Boolean functions    T
1
and    T
2
to a minimum number of literals: 
 
 
 
 
1
 
 
2
 
2.16   The logical sum of all minterms of a Boolean function of  n  variables is 1. 
(a)   Prove the previous statement for  n  = 3.  
(b)   Suggest a procedure for a general proof.     
 
2.17   Obtain the truth table of the following functions, and express each function in sum‐of‐min-
terms and product‐of‐maxterms form: 
(a)  *  (+ cd)(+ bd)    
(b)    (cd + b+ bd′)(+ d)   
(c)     (c + d)(+ c′)    
(d)    bd + acd + ab+ ac′      
 
2.18   For the Boolean function 
=xyz +  xyz +  wxy + wxy + wxy   
(a)    Obtain the truth table of  F.   
(b)    Draw the logic diagram, using the original Boolean expression.  
(c)  * Use Boolean algebra to simplify the function to a minimum number of literals.  
(d)     Obtain the truth table of the function from the simplified expression and show that 
it is the same as the one in part (a).  
(e)     Draw the logic diagram from the simplified expression, and compare the total number 
of gates with the diagram of part (b).     
Problems    71
 
2.19*   Express the following function as a sum of minterms and as a product of maxterms: 
F(ABCD) = BDA+BD     
 
2.20   Express the complement of the following functions in sum‐of‐minterms form: 
(a)    F(A,B ,C, D) = g(2, 4, 7, 10, 12, 14)   
(b)    F ( x, y, z ) =  w(3, 5, 7)      
 
2.21   Convert each of the following to the other canonical form: 
(a)    F(x, y, z) = g(1, 3, 5)   
(b)    F(A, B, C, D  = w(3, 5, 8, 11)      
 
2.22*   Convert each of the following expressions into sum of products and product of sums: 
(a)   ( + xw )( + uv )  
(b)      x + x(x + y′)(y +  z′)        
 
2.23   Draw the logic diagram corresponding to the following Boolean expressions without sim-
plifying them: 
(a)      BC + AB + ACD     
(b)      (A + B)(C + D)(A + B +  D)     
(c)      (AB + AB′)(CD + CD)     
(d)    + CD + (+ D')(C' + D)      
 
2.24   Show that the dual of the exclusive‐OR is equal to its complement.   
 
2.25   By substituting the Boolean expression equivalent of the binary operations as defined in 
Table   2.8   , show the following: 
(a)   The inhibition operation is neither commutative nor associative.  
(b)   The exclusive‐OR operation is commutative and associative.     
 
2.26   Show that a positive logic NAND gate is a negative logic NOR gate and vice versa.   
 
2.27   Write the Boolean equations and draw the logic diagram of the circuit whose outputs are 
defined by the following truth table: 
Table P2.27
f  
1
f  
2
a 
b 
 
2.28   Write Boolean expressions and construct the truth tables describing the outputs of the 
circuits described by the logic diagrams in Fig. P2.28. 
 
2.29   Determine whether the following Boolean equation is true or false. 
xy′+x+xz′ =xz′ +yz′+ xz     
72    Chapter 2  Boolean Algebra and Logic Gates
2.30   Write the following Boolean expressions in sum of products form: 
(+d)(a′+ b′ +c)     
 
2.31   Write the following Boolean expression in product of sums form: 
aac′+abc      
REFERENCES 
1.  
B oole,  G. 1854. An Investigation of the Laws of Thought. New York: Dover.  
2.  
D ietmeyer,  D. L. 1988. Logic Design of Digital Systems, 3rd ed. Boston: Allyn and Bacon.  
3.  
H untington,  E. V. Sets of independent postulates for the algebra of logic. Trans. Am. Math. 
Soc., 5 (1904): 288–309.  
4.  
IEEE Standard Hardware Description Language Based on the Verilog Hardware Descrip-
tion Language, Language Reference Manual (LRM), IEEE Std.1364‐1995, 1996, 2001, 
2005, The Institute of Electrical and Electronics Engineers, Piscataway, NJ.  
5.  
IEEE Standard VHDL Language Reference Manual (LRM), IEEE Std. 1076‐1987, 1988, 
The Institute of Electrical and Electronics Engineers, Piscataway, NJ.  
6.  
M ano,  M. M. and C. R. K ime . 2000. Logic and Computer Design Fundamentals, 2nd ed. 
Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall.  
7.  
S hannon,  C. E. A symbolic analysis of relay and switching circuits. Trans. AIEE, 57 (1938): 
713–723.    
WEB SEARCH TOPICS
Algebraic field
Boolean logic
Boolean gates
Bipolar transistor
Field-effect transistor
Emitter-coupled logic
TTL logic
CMOS logic
CMOS process
a
b
c
d
e
y
a
b
c
d
e
f
y
2
y
1
(b)
(a)
FIGURE P2.28 
Documents you may be interested
Documents you may be interested