Free
www.tekoclasses.com
Director 
: SUHAG R. KARIYA (SRK Sir), Bhopal Ph.:(0755) 32 00 000  
Page 21
( 7 7 1)( ( 7 7 1)
( 7 7 1) ) ( ( 7 7 1)
2
2
+
+
=
2
2
( 7) ) (1)
(7 1 1 2 2 7) ) (7 7 1 2 2 7)
+ +
+ −
=
7
3
2
8
4 7
7 1
8 2 2 7 7 8 8 2 2 7
=−
=
− −
=
∴ 
7 a a b b 7
3
2
= +
Hence, a = 0 and b = -
3
2
10. 
Let P(x) = x51 + 51 be the given polynomial 
If (x + 1) is a factor of P(x) ⇒ 
P(-1) = 0 
but P(-1) = (-1)51 + 51 = -1 + 51 = 50. 
So, the remainder is 50. 
SECTION # B 
11.  
On joining OA, AB, BC and CO, we get a square of each side 2 units. 
12. 
By factor theorem, (a - b) will be the factor of the given expression if it vanishes by 
substituting a = b is it Substituting a = b in the given expression, we have 
a(b
2
- c
2
) + (c
2
- a
2
) + c(a
2
- b
2
) = b(b
2
- c
2
) + b(c
2
- b
2
) + c(b
2
- b
2
= b
2
- bc
2
+ bc
2
- b
3
+ c(b
2
- b
2
) = 0 
∴ (a - b) is a factor of a (b
2
- c
2
) + b(c
2
- a
2
) + c(a
2
- b.
2
Hence, (a - b) is a factor of the given expression. 
13. 
The dimension of the cuboids so formed are length = 18 cm 
breath = 6 cm and height = 6 cm. 
Surface area of cuboids = 2 (
!
× b + b × h + 
!
× h) 
= 2 × [18 × 6 + 6 × + 18 × 6]  
= 504 cm
2
14. 
Let the 7th observation be p. Now, 
Sum of 13 observation 
= 13 × 14 = 182. 
Sum of first 7 observation = 12 × 7 = 84.  
Sum of last 7 observation = 16 × 7 = 112. 
Sum of last 6 observation = 112 - p. 
∴ Sum of 13 observation = Sum of first 7 observation + Sum of last 6 observation 
= 84 + 112 - p = 196 - p 
So, 196 - p = 182 
⇒ p = 196 - 182 = 14. 
Thus, the 7th observation is 14. 
15. 
2
5 1
2( 5 5 1)
5 1
2 5 5 2
5 1
5 2 2 2 2 ( 5 5 ) ) 2
5 2
x
2
2
2
=
+
+
=
+
+
=
+
− +
+ +
=
Convert pdf file to powerpoint presentation - C# Create PDF from PowerPoint Library to convert pptx, ppt to PDF in C#.net, ASP.NET MVC, WinForms, WPF
Online C# Tutorial for Creating PDF from Microsoft PowerPoint Presentation
embed pdf into powerpoint; how to convert pdf to ppt online
Convert pdf file to powerpoint presentation - VB.NET Create PDF from PowerPoint Library to convert pptx, ppt to PDF in vb.net, ASP.NET MVC, WinForms, WPF
VB.NET Tutorial for Export PDF file from Microsoft Office PowerPoint
convert pdf file to powerpoint; convert pdf pages into powerpoint slides
Free
www.tekoclasses.com
Director 
: SUHAG R. KARIYA (SRK Sir), Bhopal Ph.:(0755) 32 00 000  
Page 22
SECTION # C 
16. 
1 2p q
4
q
pq
p
2
2
+
+ +
+
+
q 2p
pq
1
q 4
p
2
2
+ +
+ +
+
=
(1) 2(1)(p)
2
q
2
2
q
2(p)
(1)
2
q
(p)
2
2
2
+
+
+
+
+
=
2
1
2
q
p
+ +
=
2(a b c) ) ]
2ca
2bc
2ab
b c
[ a
2
2
2
+ +
=
+
+
+
+ +
+
+
+ +
=
1
2
q
p
1
2
q
p
17. 
Let p(y) = y
3
+ 2y
2
- 5ay - 7 and q(y) = y
3
+ ay
2
- 12y + 6 be the given polynomials. 
Now, A = Remainder when p(y) is divided by (y + 1) 
⇒ A = p (-1) ⇒ 
A = (-1)
3
+ 2(-1)
2
- 5a(-1) - 7 
[∴ p(y) = y
3
+ 2y
2
- 5y - 7] 
⇒ A = -1 + 2 + 5a - 7 
⇒ 
A =  5a - 6 
And B = Remainder when q(y) is divided (y - 2) 
⇒ B = q(2) ⇒ 
B = (2)
3
+ a(2)
2
- 12 × 2 + 6  
[∴ q(y) = y
3
+ ay
2
- 12y + 6] 
⇒ B = 8 + 4a - 24 + 6 
⇒ 
B = 4a - 10 
Substituting the values of A and B is 2A + B = 6, we get 
2(5a - 6) + (4a - 10) = 6 
⇒                             10a - 12 + 4a - 10 =6 
⇒                                                  14a - 22 = 6 
⇒                                                          14a = 28 
⇒      
a = 2. 
18. 
y = 5a, where x = distance traveled, y = work done (i) 10 units (ii) 0 unit 
19. 
Given : A 
ABC
with AD, Be and CF as medians. 
To prove : AB + BC + CA > AD + BE + CF 
Proof : Since, AD is median with D as point of BC 
∴ AB + AC > 2AD  
....(i) 
BE is median with E on AC 
∴ AB + BC > 2BE  
....(ii) 
CF is median on side AB 
∴ AC + BC > 2CF  
....(iii) 
Adding (i), (ii) and (iii), 
2(AB + BC + CA) > 2(AD + BE + CF) 
or   
AB + BC + CA > AD + BE + CF 
⇒ Sum of the three sides of triangle is greater than its three median. 
VB.NET PowerPoint: Use PowerPoint SDK to Create, Load and Save PPT
NET method and sample code in this part will teach you how to create a fully customized blank PowerPoint file by using the smart PowerPoint presentation control
how to change pdf to powerpoint slides; pdf to powerpoint
C# PDF Text Extract Library: extract text content from PDF file in
But sometimes, we need to extract or fetch text content from source PDF document file for word processing, presentation and desktop publishing applications.
converting pdf to powerpoint online; image from pdf to powerpoint
Free
www.tekoclasses.com
Director 
: SUHAG R. KARIYA (SRK Sir), Bhopal Ph.:(0755) 32 00 000  
Page 23
20. 
We are given BC = 4.5 cm, 
B
= 45
0
and AB - AC = 2.5 cm 
Steps of Construction : 
(i) Draw a ray BX and cut off a line segment BC = 4.5 cm from it. 
(ii) Construct 
XBY
= 45
0
(iii) Cut off a line segment BC = 2.5 m from BY. 
(iv) Join AC. 
(v) Draw perpendicular bisector of CD cutting BY at a point A.  
(vi) Join AC. 
So, 
ABC
is the required triangle. 
21. 
Let sides are a, b and c, a = 3x, b = 4x, c = 5x 
Perimeter = a + b + c 
⇒ 36 = 3x + 4x + 5x 
⇒ x = 3 
∴ a = 9 cm, b = 12 cm and c = 15 cm 
⇒ ∴ 
Area 
s(s a)(s b)(s c)
2
54cm
9 6 6 3
18
15)
12)(18
9)(18
18(18
× × × × × =
=
=
22. 
A.T.Q. 
∠C
= 90
0
So, that 
BCD
is right angled triangle 
By using Pythagoras theorem. 
∴ BD
2
= BC
2
+ CD
2
⇒ BD
2
= 2a
2
+ 10
2
⇒ BD = 676 
⇒ BD = 26 m 
Now, ar
)
BCD
(∆
2
1
× 24 × 10 = 120 m
2
and ar
s(s a)(s b)(s s c)
)
BCD
(
=
where a = 18, b = 26, c = 16 
and 
30
2
60
2
16
26
18
s
=
=
+
+
=
So, ar
4
12
14
30
)
ABD
(
×
×
×
=
35
=24
So, ar
)
ABD
(∆
= 120 + 
35
sq m 
23. 
Let r be the radius of the base and h be the height of the cylinder. 
Total surface area 
2 r(r r h)
+
π
= 462 cm
2
...(i) 
and curbed surface area 
2
cm
154
462
3
1
(2 rh)
=
= ×
π
....(ii) 
⇒ 
462
2 r
2 rh
2
+ π π =
π
[From (i)] 
⇒ 154 + 
2
2πr
= 462  
[From (ii)] 
⇒ 
2
2πr
= 462 - 154 = 308 
⇒ 
49
22
2
7
308
r
2
=
×
×
=
r = 7 cm 
From (ii) we have, the curved surface area, 
154
7 h
7
22
2
2 rh
× × × =
= ×
π
cm.
2
7
h=
∴ Volume of the cylinder = 
.
cm
539
2
7
7 7
7
22
r h
3
2
=
× × × ×
=
π
C# Create PDF from OpenOffice to convert odt, odp files to PDF in
Note: When you get the error "Could not load file or assembly 'RasterEdge.Imaging. Basic' or any How to Use C#.NET Demo Code to Convert ODT to PDF in C#.NET
adding pdf to powerpoint slide; picture from pdf to powerpoint
VB.NET PowerPoint: Sort and Reorder PowerPoint Slides by Using VB.
you can choose to show your PPT presentation in inverted clip art or screenshot to PowerPoint document slide & profession imaging controls, PDF document, image
change pdf to ppt; pdf to ppt converter online for large
Free
www.tekoclasses.com
Director 
: SUHAG R. KARIYA (SRK Sir), Bhopal Ph.:(0755) 32 00 000  
Page 24
24. 
The total number of days for which the record is available = 250 
(i) P(the forecast was correct on a given day) 
0.7
250
175
available
is
record
the
which
for
days
of
number
Total
correct
was
forecast
the
when
days
of
Number
=
=
=
(ii) The number of days when the forecast was not correct = 250 - 175 = 75 
So, P(the forecast was not correct on a given day) 
0.3
250
75
=
=
25. 
The figure obtained by joining the given three points A, B, & C is right angled triangle. 
SECTION # D 
26. 
Let a + b = x; b + c = y; 
c + a = z 
L.H.S. (a + b)
3
+ (b + c)
3
+ (c + a)
3
- 3(a + b)(b + c) (c + a) 
= x
3
+ y
3
+ z
3
- 3xyz 
= (x + y + z) (x
2
+ y
2
+ z
2
- xy - yz - xz) 
2
1
(x + y + z) (2x
2
- 23y
2
+ 2z
2
- 2xy - 2yz - 2xz) 
2
1
(x + y + z) [(x
2
- 2xy + y
2
) + (y
2
+ 23yz + z
2
) + (z
2
- 2xz - x
2
)] 
2
1
(x + y + z) [(x - y)
2
+ (y - z)
2
+ (z - x)
2
Now,  x + y + z 
= (a + b) + (b + c) + (c + a) 
= 2a + 2b + 2c 
= 2(a + b + c) 
x - y = a - c , y - z = b - a, z - x = c - b 
∴ L.H.S.  
2
1
.2(a + b + c) [(a - b)
2
+ (b - a)
2
+ (c - b)
2
= (a + b + c) (a
2
- 2ac + c
2
+ b
2
- 2ab + a
2
+ c
2
- 2bc + b
2
= 2(a + b + c) (a
2
+ b
2
+ c
2
- ab - bc - ac) 
= 2(a
2
+ b
3
3
- 3abc) 
Hence Proved 
27. 
Construction : Join CD. 
Since, D is the mid-point of AB. So, in ∆ABC, CD is the median. 
⇒   
ar(∆BCD) 
2
1
ar(∆ABC) 
...(i) 
Since, ∆PDQ and ∆PDC are on same base PD and between same parallels PD and CQ. 
∴   
ar(∆PDQ)  
= ar(∆PDC) 
Now, from (i), 
ar(∆BCD) 
2
1
ar(∆ABC) 
⇒  ar(∆BDP) + ar(∆PDC) 
2
1
ar(∆ABC)  
⇒  ar(∆BDP) + ar(∆PDQ)  
2
1
ar(∆ABC) 
⇒   
ar (∆BPQ)  
2
1
ar(∆ABC) 
Hence proved. 
VB.NET PowerPoint: Merge and Split PowerPoint Document(s) with PPT
documents and save the created new file in the sample code in VB.NET to finish PowerPoint document splitting If you want to see more PDF processing functions
how to convert pdf to powerpoint in; convert pdf to powerpoint slides
VB.NET Create PDF from OpenOffice to convert odt, odp files to PDF
1odt.pdf"). How to VB.NET: Convert ODP to PDF. This code sample is able to convert ODP file to PDF document. ' odp convert
how to convert pdf to powerpoint; convert pdf document to powerpoint
Free
www.tekoclasses.com
Director 
: SUHAG R. KARIYA (SRK Sir), Bhopal Ph.:(0755) 32 00 000  
Page 25
28. 
Let, radius of each circle = r cm 
AB = 12 cm 
∴ O
1
O
2
= 12 - 2r 
In quadrilateral O
1
DO
2
C, O
1
D = O
2
O
1
C = O
2
 
[Radii of congruent circles] 
∴ O
1
DO
2
is a rhombus 
∴ CD 
O
1
O
2
and CD bisect O
1
O
2
∴ CP  = 
2
1
× CD = 3 cm. 
and O
1
P = 
2
1
(O
1
O
2
) = 
2
1
(12 - 2r) = (6 - r) cm 
Now in right ∆CPO
1
, (O
1
C)
2
= (O
1
P0
2
+ (PC)
2
⇒ r
2
= (6 - r)
2
+ (3)
2
⇒ r
2
= 36 + r
2
- 12r + 9 
⇒ 12r = 45 ⇒ 
r =
12
45
⇒ 
r = 3.75 cm 
29. 
Since AB = 9 m and BC = 40 m, 
∠B
= 90
0
, we have : 
AC  = 
40 m
9
2
2
+
m
1600
81+
=
41m
1681=
=
Therefore, the first group has to clean the area of triangle ABC, which is right angled. 
Area of ∆ABC 
2
1
× base × height 
2
1
× 40 × 9 m
2
180 m
2
The second group has to cleem the area of triangle ACD, which is scalene has having 
sides 41 m, 15m and 28m. 
Here  
42m
m
2
28
15
41
s
=
+
+
=
Therefore, area of ∆ACD  = 
s(s a)(s b)(s c)
2
28)m
15)(42
41)(42
42(42
2
2
m
126
14m
27
1
42
=
×
× ×
=
So, first group cleaned 180 m
2
which is (180 - 126) m
2
, i.e., 54m
2
more than the area 
cleaned by the second group. Total area cleaned by all the students  = (180 + 126) m
2
306 m
2
30. 
C.I. 
Frequency C.I. (adjusted ) 
21-24 
30 
20-25 
26-29 
24 
25-30 
31-34 
52 
30-35 
36-39 
28 
35-40 
41-44 
46 
40-45 
46-49 
10 
45-50 
VB.NET PowerPoint: VB Codes to Create Linear and 2D Barcodes on
PowerPoint PDF 417 barcode library is a mature and Install and integrate our PowerPoint PLANET barcode creating to achieve PLANET barcode drawing on PPT file.
copying image from pdf to powerpoint; change pdf to powerpoint
How to C#: Overview of Using XDoc.Windows Viewer
Generally speaking, you can use this .NET document imaging SDK to load, markup, convert, print, scan image and document. Support File Types. PDF.
add pdf to powerpoint; how to change pdf to ppt on
Free
www.tekoclasses.com
Director 
: SUHAG R. KARIYA (SRK Sir), Bhopal Ph.:(0755) 32 00 000  
Page 26
HINTS & SOLUTIONS (MATHEMATICS) 
TEST PAPER # 2 
SECTION # A
Directions : Answer the questions (1 to 10) 
1. 
Let  x = 
0.418
Then, x = 0.4181818.... 
(i) 
multiplying eq. (i) by 10 
10x = 4.181818 
....(ii) 
again multiplying eg. (ii) by 100 
1000x = 418.181818 ....(iii) 
subtracting (ii) from (iii), we get : 
⇒ 990x = 414 
⇒ 
55
23
990
414
x
=
=
Hence, 
55
23
0.418
=
2. 
-d/c 
3. 
(i) 3x + ay = 6 
If x = 1, y = 1 is a solution, then it must satisfy the equation. 
∴ 3(1) + a(1) = 6 
⇒ a = 6 - 3 =3 
4. 
60
0
120
0
5. 
60
0
+ 40
0
+ 4x = 180 
4x = 20
0
x = 20
0
20
0
6. 
Parallelogram whose diagonals are equal is a square hence 
ABC
= 90
0
7. 
L.S.A. of a square = 4 × side
2
= 4 × 20
2
= 4 × 400 = 1600 cm
2
8. 
17
6
26
p
20
16
12
10
x
=
+ +
+
+
+
=
⇒  
17
6
p
84
=
+
⇒ 
17
6
p
14
=
+
⇒ 
3
14
17
6
p
=
=
i.e., p = 3 × 6 = 18. 
9. 
Points of the form (a, 0), i.e., the points in which ordinate is 0, those points lie on the x-
axis. The points in which abscissa is 0, lie on the y-axis. (ii) (1, 0) and (iv) (0, 0). 
10. 
A.T.Q. 
4.5
4
18
4
10
1 2 2 5
=
=
+ + +
Free
www.tekoclasses.com
Director 
: SUHAG R. KARIYA (SRK Sir), Bhopal Ph.:(0755) 32 00 000  
Page 27
SECTION # B 
11. 
3 2
15
3 2
5
6
2 5
3
10
7 3
+
+
+
…..(i) 
Let, I = A - B - C 
Where 
3
10
7 3
A
+
=
and 
5
6
2 5
B
+
=
3
10
3
10
3
10
7 3
A
×
+
=
and 
5
6
5
6
5
6
2 5
B
×
+
=
3
10
3)
7 3( 10
A
=
and 
6 5
2 5
30
2
B
− ×
=
3)
3( 10
A
=
and 
10
B 2 2 30
=
…..(iii) 
3
30
A
=
….(ii) 
and 
6
30
3
18
3 30
18
15
18
3 30
3 2
15
3 2
15
3 2
15
3 2
C
+
=−
=
=
×
+
=
So, I = A - B - C 
6)
10) ( ( 30
3) (2 2 30
( 30
+
=
6
30
10
3 2 2 30
30
+
+
− −
=
6
10
3
2 30
2 30
− +
=
= 1  
Hence proved 
12. 
Let exterior and interior angles be x
0
and 5x
0
also (x + 5x
0
) = 180
0
, (x
0
= 30
0
) and x. n = 
360
0
where n is number of sides of polygon. 
So, 30 × x = 360
0
x = 12 
13. 
Joining OA, OB and BA, we get a triangle. 
Free
www.tekoclasses.com
Director 
: SUHAG R. KARIYA (SRK Sir), Bhopal Ph.:(0755) 32 00 000  
Page 28
14. 
The given equation is 5x - y + 3 =0 
15. 
Here a = 16 cm, b = 22, let  c = x cm 
Now perimeter = a + b + c 
⇒ 64 = 16 + 22 + c 
c = 26 cm 
32
2
64
2
a b c
s
=
=
+ +
=
Area 
s(s a)(s b)(s c)
=
26)
22)(32
16)(32
32(32
=
6
10
16
16
×
×
×
=
2
cm
15
=32
SECTION # C 
16. 
Let the number of sides be n and 2n. Then their interior angles are 
×
90
n
2n 4
and  
×
90
2n
2(2n) 4
4
3
90
2n
2(2n 4)
90
n
2n 4
=
×
×
4
3
2n 2
2n 4
=
4
3
n 1
n 2
=
4n – 8 = 3n – 3 
N = 5 
So that the number of sides are 5 and 10. 
17. 
We are given that perimeter of triangle = 12 cm, 
∠B
= 60
0
and 
∠C
= 45
0
Steps of Construction 
(i) Draw a ray PX and cut off a line segment PQ = 12 cm from it. 
(ii) At P, construct 
YPQ
= 30
0
(1/2 × 60
0
). 
(iii) AT Q, construct 
ZOP
= 22.5
0
(1/2 × 45
0
(iv) Let the rays PY and QZ intersect at A. 
(v) Draw the perpendicular bisector of AP intersecting PQ at a point B. 
(vi) Draw the perpendicular bisector of AQ intersecting PQ at a point C. 
(vii) Join AB and AC. 
So, ∆ ABC is the required triangle. 
Free
www.tekoclasses.com
Director 
: SUHAG R. KARIYA (SRK Sir), Bhopal Ph.:(0755) 32 00 000  
Page 29
18. 
Dimensions of the rectangular solid are 66 cm, 42 cm 21 cm. 
Volume of the solid = 66 × 42 × 21 cm
3
Diameter of a spherical lead shot = 4.2 cm 
⇒ radius = 2.1 cm 
Volume of a spherical lead shot 
3
(2.1)
7
22
3
4
×
= ×
∴ Number of lead shots = 
shot
spherical
one
of
Volume
solid
recangular
the
of
Volume
3
(2.1)
88
21
21
42
66
×
×
×
×
19. 
20. 
Total number of drivers = 2000. 
(i) The number of drivers who are 18 - 29 years old and have exactly 3 accidents in one 
year is 61. So, P(driver is 18 - 29 years old with exactly 3 accidents) 
2000
61
=
= 0.0305 = 0.031 
(ii) The number of drivers 30 - 50 years of age and having one or more accidents in one 
year = 125 + 60 + 22 + 18 = 225 
So, P (driver is 30 - 50) years of age and having one or more accidents) 
2000
225
=
0.1125
0.113 
(iii)  The number of drivers having no accidents in one year = 440 + 505 + 360 = 1305 
So, P(no accidents) = 
2000
1305
= 0.6525 
21. 
Let p(y) = y
3
- 7y + 6 
Constant term f p(y) is 6. 
Factors of 6 are 
1, 2, , 6,
± ± ± ±
p(1) = 1 - 7 + 6 = 0 
⇒ (y - 1) is a factor of p(x). 
Dividing p(y) by (y - 1), we find the other factor. 
p(y) = (y - 1) (y
2
+ y - 6) 
= (y - 1 (y
2
+ 3y - 2y - 6) 
= (y - 1) [y(y + 3) - 2(y + 3)] 
= (y - 1) (y + 3) (y - 2) 
22. 
(i) A (ii) G  
(iii) 0  
(iv) 4  
(v) (0, -5) 
(vi) (-4 , 0) 
xi 
fi 
fixi 
10 
15 
20 
25 
30 
35 
40 
18 
40 
90 
160 
450 
180 
175 
120 
Total 
50 
1215 
24.30
50
1215
f
fx
So,x
i
i i
=
=
=
Free
www.tekoclasses.com
Director 
: SUHAG R. KARIYA (SRK Sir), Bhopal Ph.:(0755) 32 00 000  
Page 30
23. 
Let PQRS be the given quadrilateral. 
PQ = 9 m, OR = 40m, SR = 28 m, PS = 15m, 
PQR
= 90.0 
⇒ PR
2
= 9
0
+ 4
2
⇒ PR = 41 cm. 
∴ Area of ∆PQR = 
2
1
× PQ × QR = 
2
1
× 9 × 40 = 180 cm
2
In ∆PRS, PR = 41, SR = 28, PS = 15 
42
2
15
28
41
s
=
+
+
=
area of ∆PRS 
s(s a)(s s b)(s s c)
=
15)
28)(42
41)(42
42(42
=
2
126m
27
14
1
42
=
×
× ×
=
∴ Area of ∆PQRS = area ∆PQR + area ∆PRS 
= 180 + 126 = 306 m
2
24. 
.
2
28
2
42
.
3
4
2
3
π
x, where x would be length of wire. 
x = 63 cm 
25. 
Let ABCD be the field. 
perimeter = 400 m 
So, each side = 400 m ÷ 4 = 100 m.
i.e. AB = D  = 100 
Let diagonal BD 
= 160 m 
Then semi-perimeter of ∆ABD is given by 
2
160
100
100
s
+
+
=
m = 180 m 
Therefore, area of ∆ABD 
160)
)(180
100
)(180
100
180(180
=
2
2
m
4800
20m
80
80
180
=
×
×
×
=
Therefore, each of them will get an area of 4800 m
2
, and the total area  
= 2 × 4800 m
2
= 9600 m
2
SECTION # D 
26. 
Given : ∆ABC is isosceles with AB = AC, E and F are the mid-point of BC, CA and AB. 
To prove : AD
EF and is bisected by it 
Construction : Join D, E and F 
Proof: DE║AC and DE = 
2
1
AB 
and  DF║AE and DF = 
2
1
AC 
[Line segment joining mid-points of two sides of a triangle is parallel to the third side and is half 
of it.] 
DE = DF 
[∴ AB = AC] 
Also AF = AE 
[∴ AF = 
2
1
AB, AE =
2
1
AC] 
∴  DE = AE = AF = DF 
and also DF║ AE and DE║AF 
⇒ DEAF is a rhombus. 
Since diagonals of a rhombus bisect each other at right angles. 
∴ AD
EF and is bisected by it. 
Documents you may be interested
Documents you may be interested