32.6 the RLC circuit 
985
-
+
L
R
a
b
S
C
e
The switch is set first to position
a, and the capacitor is charged. 
The switch is then thrown to 
position b.
Figure 32.15 
A series RLC 
circuit.
the resistance of the resistor represents all the resistance in the circuit. Suppose the 
switch is at position a so that the capacitor has an initial charge Q
max
. The switch 
is now thrown to position b. At this instant, the total energy stored in the capacitor 
and inductor is Q
max
2
/2C. This total energy, however, is no longer constant as it 
was in the LC circuit because the resistor causes transformation to internal energy.  
(We continue to ignore electromagnetic radiation from the circuit in this discus-
sion.) Because the rate of energy transformation to internal energy within a resis-
tor is i2R,
dU
dt
52i2R
where the negative sign signifies that the energy U of the circuit is decreasing in 
time. Substituting 5 U
E
1 U
B
gives
q
C
dq
dt
Li 
di
dt
52i2R 
(32.28)
To convert this equation into a form that allows us to compare the electrical oscilla-
tions with their mechanical analog, we first use i 5 dq/dt and move all terms to the 
left-hand side to obtain
Li 
d2q
dt2
1i2R1
q
C
50
Now divide through by i:
L 
d2q
dt
2
1iR1
q
C
50
L 
d
2
q
dt2
1R 
dq
dt
1
q
C
50 
(32.29)
The RLC circuit is analogous to the damped harmonic oscillator discussed in 
Section 15.6 and illustrated in Figure 15.20. The equation of motion for a damped 
block–spring system is, from Equation 15.31,
m 
d
2
x
dt
2
1b 
dx
dt
1kx50 
(32.30)
Comparing Equations 32.29 and 32.30, we see that q corresponds to the position 
x of the block at any instant, L to the mass m of the block, R to the damping coef-
ficient b, and C to 1/k, where k is the force constant of the spring. These and other 
relationships are listed in Table 32.1 on page 986.
Because the analytical solution of Equation 32.29 is cumbersome, we give only 
a qualitative description of the circuit behavior. In the simplest case, when R 5 0, 
Equation 32.29 reduces to that of a simple LC circuit as expected, and the charge 
and the current oscillate sinusoidally in time. This situation is equivalent to remov-
ing all damping in the mechanical oscillator.
When R is small, a situation that is analogous to light damping in the mechani-
cal oscillator, the solution of Equation 32.29 is
q Q
max
e2Rt/2L cos v
d
t 
(32.31)
where v
d
, the angular frequency at which the circuit oscillates, is given by
v
d
5
c
1
LC
2
a
R
2L
b
2
d
1/2
(32.32)
That is, the value of the charge on the capacitor undergoes a damped harmonic 
oscillation in analogy with a block–spring system moving in a viscous medium. 
Equation 32.32 shows that when R ,, !
4L/C
(so that the second term in the 
How to change pdf to html format - Convert PDF to html files in C#.net, ASP.NET MVC, WinForms, WPF application
How to Convert PDF to HTML Webpage with C# PDF Conversion SDK
convert pdf to html code for email; best website to convert pdf to word online
How to change pdf to html format - VB.NET PDF Convert to HTML SDK: Convert PDF to html files in vb.net, ASP.NET MVC, WinForms, WPF application
PDF to HTML Webpage Converter SDK for VB.NET PDF to HTML Conversion
export pdf to html; pdf to html converters
986
chapter 32 Inductance
Table 32.1
Analogies Between the RLC Circuit and the Particle in Simple Harmonic Motion
One-Dimensional
RLC Circuit 
Particle in Simple Harmonic Motion
Charge 
q 4 x 
Position
Current 
i 4 v
x
Velocity
Potential difference 
DV 4 F
x
Force
Resistance 
R 4 b 
Viscous damping coefficient
Capacitance 
C 4 1/k 
(k 5 spring constant)
Inductance 
L 4 m 
Mass
Current 5 time derivative 
i5
dq
dt
v
x
5
dx
dt
Velocity 5 time derivative 
of charge  
of position 
Rate of change of current 5 
di
dt
5
d2q
dt2
4
a
x
5
dv
x
dt
5
d2x
dt2
Acceleration 5 second time 
second time derivative  
derivative of position 
of charge
Energy in inductor 
U
B
51
2
Li2 
4
K51
2
mv2
Kinetic energy of moving object
Energy in capacitor 
U
E
51
2
q2
C
4
U51
2
kx2
Potential energy stored in a spring
Rate of energy loss due 
i2bv2
Rate of energy loss due 
to resistance  
to friction
RLC circuit 
L 
d2q
dt2
1R 
dq
dt
1
q
C
50
4
m 
d2x
dt2
1b 
dx
dt
1kx50  
Damped object on a spring
brackets is much smaller than the first), the frequency v
d
of the damped oscillator 
is close to that of the undamped oscillator, 1/!LC
. Because i 5 dq/dt, it follows that 
the current also undergoes damped harmonic oscillation. A plot of the charge ver-
sus time for the damped oscillator is shown in Figure 32.16a, and an oscilloscope 
trace for a real RLC circuit is shown in Figure 32.16b. The maximum value of q 
decreases after each oscillation, just as the amplitude of a damped block–spring 
system decreases in time.
For larger values of R, the oscillations damp out more rapidly; in fact, there 
exists a critical resistance value R
c
5 !4L/C
above which no oscillations occur. A 
system with R 5 R
c
is said to be critically damped. When R exceeds R
c
, the system is 
said to be overdamped.
a
The q-versus-t curve represents 
a plot of Equation 32.31.
Q
max
q
0
t
b
i
S
t
o
c
k
p
h
o
t
o
.
c
o
m
/
A
_
C
a
r
i
n
a
Figure 32.16 
(a) Charge versus 
time for a damped RLC circuit. 
The charge decays in this way 
when R , !4L/C
. (b)Oscillo-
scope pattern showing the decay in 
the oscillations of an RLC circuit.
C# PDF Convert to Images SDK: Convert PDF to png, gif images in C#
An attempt to load a program with an incorrect format", please check your configure as follows: You can also directly change PDF to Gif image file in C# program
convert pdf to html link; convert pdf to html online for
VB.NET PDF Convert to Tiff SDK: Convert PDF to tiff images in vb.
NET control to batch convert PDF documents to Tiff format in Visual Basic. Qualified Tiff files are exported with high resolution in VB.NET.
how to add pdf to website; adding pdf to html
Summary 
987
Concepts and Principles
When the current in a loop of wire 
changes with time, an emf is induced in 
the loop according to Faraday’s law. The 
self-induced emf is
e
L
52L 
di
dt
(32.1)
where L is the inductance of the loop. 
Inductance is a measure of how much 
opposition a loop offers to a change in the 
current in the loop. Inductance has the SI 
unit of henry (H), where 1 H 5 1 V ? s/A.
The energy stored in the magnetic 
field of an inductor carrying a current i is
U
B
5
1
2
Li2 
(32.12)
This energy is the magnetic counterpart 
to the energy stored in the electric field of 
a charged capacitor.
The energy density at a point where 
the magnetic field is B is
u
B
5
B2
2m
0
(32.14)
In an LC circuit that has zero resistance and does not 
radiate electromagnetically (an idealization), the values 
of the charge on the capacitor and the current in the 
circuit vary sinusoidally in time at an angular frequency 
given by
v5
1
"LC
(32.22)
The energy in an LC circuit continuously transfers 
between energy stored in the capacitor and energy 
stored in the inductor.
The inductance of any coil is
L5
NF
B
i
(32.2)
where N is the total number of turns and F
B
is the magnetic flux 
through the coil. The inductance of a device depends on its geom-
etry. For example, the inductance of an air-core solenoid is
L5m
0
N2
,
A 
(32.4)
where , is the length of the solenoid and A is the cross-sectional area.
If a resistor and inductor are connected in series to a battery of 
emf 
e
at time t 5 0, the current in the circuit varies in time accord-
ing to the expression
i5
e
R
1
12e2t/t
2
(32.7)
where t 5 L/R is the time constant of the RL circuit. If we replace 
the battery in the circuit by a resistanceless wire, the current decays 
exponentially with time according to the expression
i5
e
R
e2t/t 
(32.10)
where 
e
/R is the initial current in the circuit.
The mutual inductance of a system of two coils is
M
12
5
N
2
F
12
i
1
5M
21
5
N
1
F
21
i
2
5M 
(32.15)
This mutual inductance allows us to relate the induced 
emf in a coil to the changing source current in a nearby 
coil using the relationships
e
2
52M
12
di
1
dt
and
e
1
52M
21
di
2
dt
(32.16, 32.17)
In an RLC circuit with small resistance, the charge 
on the capacitor varies with time according to
q Q
max
e2Rt/2L cos v
d
t 
(32.31)
where
v
d
5
c
1
LC
2
a
R
2L
b
2
d
1/2
(32.32)
Summary
How to C#: File Format Support
PDF Document; Remove Password from PDF; Change PDF Permission Settings. HTML Document Viewer for Azure, C# HTML Document Viewer VB.NET How-to, VB.NET PDF, VB.NET
converter pdf to html; convert pdf to html email
How to C#: File Format Support
Convert Jpeg to PDF; Merge PDF Files; Split PDF Document; Remove Password from PDF; Change PDF Permission Settings. PDF in C#, C# convert PDF to HTML, C# convert
convert pdf into html file; how to convert pdf into html code
988
chapter 32 Inductance
1. The centers of two circular loops are separated by a 
fixed distance. (i) For what relative orientation of the 
loops is their mutual inductance a maximum? (a) coax-
ial and lying in parallel planes (b) lying in the same 
plane (c) lying in perpendicular planes, with the cen-
ter of one on the axis of the other (d) The orientation 
makes no difference. (ii) For what relative orientation is 
their mutual inductance a minimum? Choose from the 
same possibilities as in part (i).
2. A long, fine wire is wound into a coil with inductance 
5mH. The coil is connected across the terminals of 
a battery, and the current is measured a few seconds 
after the connection is made. The wire is unwound 
and wound again into a different coil with L 5 10 mH. 
This second coil is connected across the same battery, 
and the current is measured in the same way. Com-
pared with the current in the first coil, is the current 
in the second coil (a) four times as large, (b)twice 
as large, (c) unchanged, (d) half as large, or (e) one-
fourth as large?
3. A solenoidal inductor for a printed circuit board is 
being redesigned. To save weight, the number of turns 
is reduced by one-half, with the geometric dimensions 
kept the same. By how much must the current change 
if the energy stored in the inductor is to remain the 
same? (a) It must be four times larger. (b) It must be 
two times larger. (c) It should be left the same. (d) It 
should be one-half as large. (e) No change in the cur-
rent can compensate for the reduction in the number 
of turns.
4. In Figure OQ32.4, the switch is left in position a for a 
long time interval and is then quickly thrown to posi-
Objective Questions
1. 
denotes answer available in Student Solutions Manual/Study Guide
tion b. Rank the magnitudes of the voltages across the 
four circuit elements a short time thereafter from the 
largest to the smallest.
12.0 V
1200 
12.0 
2.00 H
S
a
b
-
+
-
+
Figure oQ32.4
5. Two solenoids, A and B, are wound using equal lengths 
of the same kind of wire. The length of the axis of each 
solenoid is large compared with its diameter. The axial 
length of A is twice as large as that of B, and A has 
twice as many turns as B. What is the ratio of the induc-
tance of solenoid A to that of solenoid B? (a) 4 (b) 2  
(c) 1 (d) 1
2
(e) 1
4
6. If the current in an inductor is doubled, by what factor 
is the stored energy multiplied? (a) 4 (b) 2 (c) 1 (d) 1
2
(e) 1
4
7. Initially, an inductor with no resistance carries a con-
stant current. Then the current is brought to a new 
constant value twice as large. After this change, when 
the current is constant at its higher value, what has 
happened to the emf in the inductor? (a) It is larger 
than before the change by a factor of 4. (b) It is larger 
by a factor of 2. (c) It has the same nonzero value. (d) It 
continues to be zero. (e) It has decreased.
Conceptual Questions
1. 
denotes answer available in Student Solutions Manual/Study Guide
1. Consider this thesis: “Joseph Henry, America’s first pro-
fessional physicist, caused a basic change in the human 
view of the Universe when he discovered self-induction  
during a school vacation at the Albany Academy 
about 1830. Before that time, one could think of the 
Universe as composed of only one thing: matter. The 
energy that temporarily maintains the current after a 
battery is removed from a coil, on the other hand, is 
not energy that belongs to any chunk of matter. It is 
energy in the massless magnetic field surrounding the 
coil. With Henry’s discovery, Nature forced us to admit 
that the Universe consists of fields as well as matter.”  
(a) Argue for or against the statement. (b) In your 
view, what makes up the Universe?
2. (a) What parameters affect the inductance of a coil? 
(b)Does the inductance of a coil depend on the cur-
rent in the coil?
3. A switch controls the current in a circuit that has a 
large inductance. The electric arc at the switch (Fig. 
CQ32.3) can melt and oxidize the contact surfaces, 
resulting in high resistivity of the contacts and even-
tual destruction of the switch. Is a spark more likely 
to be produced at the switch when the switch is being 
closed, when it is being opened, or does it not matter?
Figure CQ32.3
A
l
e
x
a
n
d
r
a
H
é
d
e
r
4. Consider the four circuits shown in Figure CQ32.4, 
each consisting of a battery, a switch, a lightbulb, a 
C#: How to Determine the Display Format for Web Doucment Viewing
and _pptViewer are corresponding to setting PDF, Word, Excel the default setting of our XDoc.HTML Viewer, which on C#.NET web viewer, please change value to 0
convert pdf into html email; how to change pdf to html format
C# PDF Convert to SVG SDK: Convert PDF to SVG files in C#.net, ASP
pdf = new PDFDocument(@"C:\input.pdf"); pdf.ConvertToVectorImages(ContextType.SVG Description: Convert to html/svg files and targetType, The target image format.
how to convert pdf into html; convert pdf to html5
problems 
989
which current must change through it to produce an 
emf of 75.0mV.
5. An emf of 24.0 mV is induced in a 500-turn coil when 
the current is changing at the rate of 10.0 A/s. What is 
the magnetic flux through each turn of the coil at an 
instant when the current is 4.00 A?
6. A 40.0-mA current is carried by a uniformly wound air-
core solenoid with 450 turns, a 15.0-mm diameter, and 
12.0-cm length. Compute (a) the magnetic field inside 
the solenoid, (b) the magnetic flux through each turn, 
and (c)the inductance of the solenoid. (d) What If? 
If the current were different, which of these quantities 
would change?
7. The current in a coil changes from 3.50 A to 2.00 A in 
the same direction in 0.500 s. If the average emf induced 
in the coil is 12.0 mV, what is the inductance of the coil?
Q/C
resistor, and either a capacitor or an inductor. Assume 
the capacitor has a large capacitance and the inductor 
has a large inductance but no resistance. The lightbulb 
has high efficiency, glowing whenever it carries electric 
current. (i) Describe what the lightbulb does in each 
of circuits (a) through (d) after the switch is thrown 
closed. (ii) Describe what the lightbulb does in each of 
circuits (a) through (d) when, having been closed for a 
long time interval, the switch is opened.
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
a
b
c
d
Figure CQ32.4
5. The current in a circuit containing a coil, a resistor, 
and a battery has reached a constant value. (a) Does 
the coil have an inductance? (b) Does the coil affect 
the value of the current?
Section 32.1  Self-Induction and Inductance
1. A coil has an inductance of 3.00 mH, and the current 
in it changes from 0.200 A to 1.50 A in a time interval 
of 0.200 s. Find the magnitude of the average induced 
emf in the coil during this time interval.
2. A coiled telephone cord forms a spiral with 70.0 turns, 
a diameter of 1.30 cm, and an unstretched length of 
60.0 cm. Determine the inductance of one conductor 
in the unstretched cord.
3. A 2.00-H inductor carries a steady current of 0.500 A. 
When the switch in the circuit is opened, the current 
is effectively zero after 10.0 ms. What is the average 
induced emf in the inductor during this time interval?
4. A solenoid of radius 2.50 cm has 400 turns and a length 
of 20.0 cm. Find (a) its inductance and (b) the rate at 
M
6. (a) Can an object exert a force on itself? (b) When a 
coil induces an emf in itself, does it exert a force on 
itself?
7. The open switch in Figure 
CQ32.7 is thrown closed at t 5 
0. Before the switch is closed, 
the capacitor is uncharged and 
all currents are zero. Determine 
the currents in LC, and R, the 
emf across L, and the potential 
differences across C and 
R (a) at the instant after 
the switch is closed and 
(b)long after it is closed.
8. After the switch is closed 
in the LC circuit shown in 
Figure CQ32.8, the charge 
on the capacitor is some-
times zero, but at such 
instants the current in the 
circuit is not zero. How is 
this behavior possible?
9. How can you tell whether an RLC circuit is overdamped 
or underdamped?
10. Discuss the similarities between the energy stored in 
the electric field of a charged capacitor and the energy 
stored in the magnetic field of a current-carrying coil.
Problems
The problems found in this  
chapter may be assigned 
online in Enhanced WebAssign
1.
 straightforward; 
2. 
intermediate;  
3. 
challenging
1.
full solution available in the Student 
Solutions Manual/Study Guide
AMT
Analysis Model tutorial available in 
Enhanced WebAssign
GP
Guided Problem
M
Master It tutorial available in Enhanced 
WebAssign
W
Watch It video solution available in 
Enhanced WebAssign
BIO
Q/C
S
Figure CQ32.8 
Conceptual 
Question 8 and Problems 52, 
54, and 55.
S
L
C
Q
max
-
+
L
R
C
S
e
+ -
Figure CQ32.7
VB.NET Image: Tutorial for Converting Image and Document in VB.NET
you integrate these functions into your VB.NET project, you are able to convert image to byte array or stream and convert Word or PDF document to image format.
convert pdf to web; converting pdf to html email
C# PDF Thumbnail Create SDK: Draw thumbnail images for PDF in C#.
Description: Convert the PDF page to bitmap with specified format and save it on the disk. Parameters: Name, Description, Valid Value.
convert pdf to html file; convert pdf into webpage
990
chapter 32 Inductance
Section 32.2 
R
l
Circuits
15. A 510-turn solenoid has a radius of 8.00 mm and an 
overall length of 14.0 cm. (a) What is its inductance? 
(b) If the solenoid is connected in series with a 2.50-V 
resistor and a battery, what is the time constant of the 
circuit?
16. A 12.0-V battery is connected into a series circuit con-
taining a 10.0-V resistor and a 2.00-H inductor. In 
what time interval will the current reach (a) 50.0% and 
(b)90.0% of its final value?
17. A series RL circuit with L 5 3.00 H and a series RC cir-
cuit with C 5 3.00 mF have equal time constants. If the 
two circuits contain the same resistance R, (a) what is 
the value of R? (b) What is the time constant?
18. In the circuit diagrammed in Figure P32.18, take 
e
12.0 V and R 5 24.0 V. Assume the switch is open for  
t , 0 and is closed at t 5 0. On a single set of axes, 
sketch graphs of the current in the circuit as a func-
tion of time for t $ 0, assuming (a) the inductance in 
the circuit is essentially zero, (b) the inductance has 
an intermediate value, and (c)the inductance has a 
very large value. Label the initial and final values of 
the current.
L
R
S
e
-
+
-
+
Figure P32.18 
Problems 18, 20, 23, 24, and 27.
19. Consider the circuit shown in Figure P32.19. (a) When 
the switch is in position a, for what value of R will the 
circuit have a time constant of 15.0 ms? (b) What is 
the current in the inductor at the instant the switch is 
thrown to positionb?
24.0 V
5.00 mH
S
R
a
b
-
+
-
+
450 
Figure P32.19
20. When the switch in Figure P32.18 is closed, the current 
takes 3.00 ms to reach 98.0% of its final value. If R 5 
10.0 V, what is the inductance?
21. A circuit consists of a coil, a switch, and a battery, all 
in series. The internal resistance of the battery is neg-
ligible compared with that of the coil. The switch is 
originally open. It is thrown closed, and after a time 
interval Dt, the current in the circuit reaches 80.0% 
M
Q/C
8. A technician wraps wire around a tube of length  
36.0 cm having a diameter of 8.00 cm. When the wind-
ings are evenly spread over the full length of the tube, 
the result is a solenoid containing 580 turns of wire.  
(a) Find the inductance of this solenoid. (b) If the cur-
rent in this solenoid increases at the rate of 4.00 A/s, 
find the self-induced emf in the solenoid.
9. The current in a 90.0-mH inductor changes with time 
as i5 1.00t2 2 6.00t, where i is in amperes and t is in 
seconds. Find the magnitude of the induced emf at  
(a) t 5 1.00 s and (b) t 5 4.00 s. (c) At what time is the 
emf zero?
10. An inductor in the form of a solenoid contains 420 
turns and is 16.0 cm in length. A uniform rate of 
decrease of current through the inductor of 0.421 A/s 
induces an emf of 175 mV. What is the radius of the 
solenoid?
11. A self-induced emf in a solenoid of inductance L 
changes in time as 
e
e
0
e2kt. Assuming the charge is 
finite, find the total charge that passes a point in the 
wire of the solenoid.
12. A toroid has a major radius R and a minor radius r 
and is tightly wound with N turns of wire on a hol-
low cardboard torus. Figure P32.12 shows half of this 
toroid, allowing us to see its cross section. If R .. r, 
the magnetic field in the region enclosed by the wire 
is essentially the same as the magnetic field of a sole-
noid that has been bent into a large circle of radius 
R. Modeling the field as the uniform field of a long 
solenoid, show that the inductance of such a toroid is 
approximately
L<1
2
m
0
N2 
r2
R
R
Area
A
r
Figure P32.12
13. A 10.0-mH inductor carries a current i 5 I
max
sin vt, 
with I
max
5 5.00 A and f 5 v/2p 5 60.0 Hz. What is the 
self-induced emf as a function of time?
14. The current in a 4.00 mH-inductor varies in time as 
shown in Figure P32.14. Construct a graph of the self-
induced emf across the inductor over the time interval 
5 0 to t 5 12.0ms.
W
M
S
S
M
1
2
-1
0
-2
3
(mA)
(ms)
2 4
6
8 10 0 12
Figure P32.14
problems 
991
circuit shown in Figure P32.28b. Determine the cur-
rent in the inductor as a function of time.
10.0 mH
100 
5
0
10
(A)
(t)
(ms)
100
200
a
b
Figure P32.28
29. An inductor that has an inductance of 15.0 H and a 
resistance of 30.0 V is connected across a 100-V bat-
tery. What is the rate of increase of the current (a) at  
t 5 0 and (b) at t 5 1.50 s?
30. Two ideal inductors, L
1
and L
2
, have zero internal resis-
tance and are far apart, so their magnetic fields do not 
influence each other. (a) Assuming these inductors are 
connected in series, show that they are equivalent to a 
single ideal inductor having L
eq
L
1
L
2
. (b) Assum-
ing these same two inductors are connected in parallel, 
show that they are equivalent to a single ideal inductor 
having 1/L
eq
5 1/L
1
1 1/L
2
. (c) What If? Now consider  
two inductors L
1
and L
2
that have nonzero internal 
resistances R
1
and R
2
, respectively. Assume they are 
still far apart, so their mutual inductance is zero, 
and assume they are connected in series. Show that 
they are equivalent to a single inductor having L
eq
 
L
1
L
2
and R
eq
R
1
R
2
. (d) If these same inductors 
are now connected in parallel, is it necessarily true that 
they are equivalent to a single ideal inductor having  
1/L
eq
5 1/L
1
1 1/L
2
and 1/R
eq
5 1/R
1
1 1/R
2
Explain your answer.
31. A 140-mH inductor and a 4.90-V resistor are con-
nected with a switch to a 6.00-V battery as shown in 
Figure P32.31. (a) After the switch is first thrown to 
a (connecting the battery), what time interval elapses 
before the current reaches 220 mA? (b) What is the 
current in the inductor 10.0 s after the switch is closed? 
(c) Now the switch is quickly thrown from a to b. What 
time interval elapses before the current in the inductor 
falls to 160 mA?
a
b
L
R
S
e
-
+
Figure P32.31
Section 32.3  Energy in a Magnetic Field
32. Calculate the energy associated with the magnetic 
field of a 200-turn solenoid in which a current of 1.75 A 
produces a magnetic flux of 3.70 3 1024 T ? m2 in each 
turn.
S
Q/C
M
of its final value. The switch then remains closed for 
a time interval much longer than Dt. The wires con-
nected to the terminals of the battery are then short-
circuited with another wire and removed from the 
battery, so that the current is uninterrupted. (a) At an 
instant that is a time interval Dt after the short circuit, 
the current is what percentage of its maximum value? 
(b) At the moment 2Dt after the coil is short-circuited, 
the current in the coil is what percentage of its maxi-
mum value?
22. Show that i 5 I
i
e2t/t is a solution of the differential 
equation
iR1L
di
dt
50
where I
i
is the current at t 5 0 and t 5 L/R.
23. In the circuit shown in Figure P32.18, let L 5 7.00 H,  
R 5 9.00 V, and 
e
5 120 V. What is the self-induced 
emf 0.200s after the switch is closed?
24. Consider the circuit in Figure P32.18, taking 
e
5 6.00 V,  
L5 8.00 mH, and R 5 4.00 V. (a) What is the induc-
tive time constant of the circuit? (b) Calculate the 
current in the circuit 250 ms after the switch is closed.  
(c) What is the value of the final steady-state current? 
(d) After what time interval does the current reach 
80.0% of its maximum value?
25. The switch in Figure P32.25 is open for t , 0 and is 
then thrown closed at time t 5 0. Assume R 5 4.00 V, 
L 5 1.00H, and 
e
5 10.0 V. Find (a) the current in the 
inductor and (b) the current in the switch as functions 
of time thereafter.
L
2R 
R 
R 
S
e
-
+
-
+
Figure P32.25 
Problems 25, 26, and 64.
26. The switch in Figure P32.25 is open for t , 0 and is 
then thrown closed at time t 5 0. Find (a) the current 
in the inductor and (b) the current in the switch as 
functions of time thereafter.
27. For the RL circuit shown in Figure P32.18, let the 
inductance be 3.00 H, the resistance 8.00 V, and  
the battery emf 36.0 V. (a) Calculate DV
R
/
e
L
, that is, the 
ratio of the potential difference across the resistor to 
the emf across the inductor when the current is 2.00 A.  
(b) Calculate the emf across the inductor when the 
current is 4.50 A.
28. Consider the current pulse i(t) shown in Figure 
P32.28a. The current begins at zero, becomes 10.0 A 
between t 5 0 and t 5 200 ms, and then is zero once 
again. This pulse is applied to the input of the partial 
W
S
992
chapter 32 Inductance
33. An air-core solenoid with 68 turns is 8.00 cm long and 
has a diameter of 1.20 cm. When the solenoid carries 
a current of 0.770 A, how much energy is stored in its 
magnetic field?
34. A 10.0-V battery, a 5.00-V resistor, and a 10.0-H inductor 
are connected in series. After the current in the circuit 
has reached its maximum value, calculate (a) the power 
being supplied by the battery, (b) the power being deliv-
ered to the resistor, (c) the power being delivered to 
the inductor, and (d) the energy stored in the magnetic 
field of the inductor.
35. On a clear day at a certain location, a 100-V/m verti-
cal electric field exists near the Earth’s surface. At the 
same place, the Earth’s magnetic field has a magnitude 
of 0.5003 1024T. Compute the energy densities of  
(a) the electric field and (b) the magnetic field.
36. Complete the calculation in Example 32.3 by proving 
that 
3
`
0
e22Rt/L dt5
L
2R
37. A 24.0-V battery is connected in series with a resistor 
and an inductor, with R 5 8.00 V and L 5 4.00 H,  
respectively. Find the energy stored in the inductor  
(a) when the current reaches its maximum value and 
(b) at an instant that is a time interval of one time con-
stant after the switch is closed.
38. A flat coil of wire has an inductance of 40.0 mH and 
a resistance of 5.00 V. It is connected to a 22.0-V bat-
tery at the instant t 5 0. Consider the moment when 
the current is 3.00 A. (a) At what rate is energy being 
delivered by the battery? (b) What is the power being 
delivered to the resistance of the coil? (c) At what rate 
is energy being stored in the magnetic field of the coil? 
(d) What is the relationship among these three power 
values? (e) Is the relationship described in part (d) 
true at other instants as well? (f)Explain the relation-
ship at the moment immediately after t 5 0 and at a 
moment several seconds later.
39. The magnetic field inside a superconducting sole-
noid is 4.50 T. The solenoid has an inner diameter of  
6.20 cm and a length of 26.0 cm. Determine (a) the 
magnetic energy density in the field and (b) the energy 
stored in the magnetic field within the solenoid.
Section 32.4  Mutual Inductance
40. An emf of 96.0 mV is induced in the windings of a coil 
when the current in a nearby coil is increasing at the 
rate of 1.20A/s. What is the mutual inductance of the 
two coils?
41. Two coils, held in fixed positions, have a mutual induc-
tance of 100 mH. What is the peak emf in one coil when 
the current in the other coil is i(t) 5 10.0sin (1.00 3 
103t), where i is in amperes and t is in seconds?
42. Two coils are close to each other. The first coil carries 
a current given by i(t) 5 5.00 e20.025 0t sin 120pt, where i 
M
W
S
M
Q/C
is in amperes and t is in seconds. At t 5 0.800 s, the emf 
measured across the second coil is 23.20 V. What is the 
mutual inductance of the coils?
43. Two solenoids A and B, spaced close to each other and 
sharing the same cylindrical axis, have 400 and 700 
turns, respectively. A current of 3.50 A in solenoid A 
produces an average flux of 300 mWb through each 
turn of A and a flux of 90.0 mWb through each turn of 
B. (a) Calculate the mutual inductance of the two sole-
noids. (b) What is the inductance of A? (c) What emf is 
induced in B when the current in A changes at the rate 
of 0.500 A/s?
44. Solenoid S
1
has N
1
turns, radius R
1
, and length ,. It is 
so long that its magnetic field is uniform nearly every-
where inside it and is nearly zero outside. Solenoid S
2
has N
2
turns, radius R
2
R
1
, and the same length as 
S
1
. It lies inside S
1
, with their axes parallel. (a) Assume 
S
1
carries variable current i. Compute the mutual 
inductance characterizing the emf induced in S
2
 
(b) Now assume S
2
carries current i. Compute the 
mutual inductance to which the emf in S
1
is propor-
tional. (c) State how the results of parts (a) and (b) 
compare with each other.
45. On a printed circuit board, a relatively long, straight 
conductor and a conducting rectangular loop lie in 
the same plane as shown in Figure P32.45. Taking h 5 
0.400 mm, w 5 1.30 mm, and , 5 2.70 mm, find their 
mutual inductance.
I
w
,
h
Figure P32.45
46. Two single-turn circular loops of wire have radii R and 
r, with R .. r. The loops lie in the same plane and are 
concentric. (a) Show that the mutual inductance of the 
pair is approximately M 5 m
0
pr2/2R. (b) Evaluate M 
for r 5 2.00cm and R 5 20.0 cm.
Section 32.5  oscillations in an 
l
C
Circuit
47. In the circuit of Figure P32.47, the battery emf is  
50.0 V, the resistance is 250 V, and the capacitance 
is 0.500 mF. The switch S is closed for a long time 
M
S
Q/C
R
L
C
S
e
-
+
-
+
Figure P32.47
problems 
993
interval, and zero potential difference is measured 
across the capacitor. After the switch is opened, the 
potential difference across the capacitor reaches a 
maximum value of 150 V. What is the value of the 
inductance?
48. A 1.05-mH inductor is connected in series with a vari-
able capacitor in the tuning section of a shortwave 
radio set. What capacitance tunes the circuit to the sig-
nal from a transmitter broadcasting at 6.30 MHz?
49. A 1.00-mF capacitor is charged by a 40.0-V power sup-
ply. The fully charged capacitor is then discharged 
through a 10.0-mH inductor. Find the maximum cur-
rent in the resulting oscillations.
50. Calculate the inductance of an LC circuit that oscil-
lates at 120 Hz when the capacitance is 8.00 mF.
51. An LC circuit consists of a 20.0-mH inductor and a 
0.500-mF capacitor. If the maximum instantaneous 
current is 0.100 A, what is the greatest potential differ-
ence across the capacitor?
52. Why is the following situation impossible? The LC circuit 
shown in Figure CQ32.8 has L 5 30.0 mH and C 5 
50.0 mF. The capacitor has an initial charge of 200 mC.  
The switch is closed, and the circuit undergoes 
undamped LC oscillations. At periodic instants, the 
energies stored by the capacitor and the inductor 
are equal, with each of the two components storing  
250 mJ.
53. The switch in Figure P32.53 is connected to position a 
for a long time interval. At t 5 0, the switch is thrown to 
position b. After this time, what are (a) the frequency of 
oscillation of the LC circuit, (b) the maximum charge 
that appears on the capacitor, (c) the maximum cur-
rent in the inductor, and (d) the total energy the cir-
cuit possesses at t 5 3.00 s?
1.00mF
10.0 
S
b
a
0.100 H
12.0 V
-
+
-
+
Figure P32.53
54. An LC circuit like that in Figure CQ32.8 consists of a 
3.30-H inductor and an 840-pF capacitor that initially 
carries a 105-mC charge. The switch is open for t , 0 
and is then thrown closed at t 5 0. Compute the fol-
lowing quantities at t 5 2.00 ms: (a) the energy stored 
in the capacitor, (b) the energy stored in the inductor, 
and (c) the total energy in the circuit.
55. An LC circuit like the one in Figure CQ32.8 contains 
an 82.0-mH inductor and a 17.0-mF capacitor that ini-
tially carries a 180-mC charge. The switch is open for 
t , 0 and is then thrown closed at t 5 0. (a) Find the 
frequency (in hertz) of the resulting oscillations. At  
t 5 1.00 ms, find (b) the charge on the capacitor and  
(c) the current in the circuit.
AMT
M
AMT
Section 32.6  the 
R
l
C
Circuit
56. Show that Equation 32.28 in the text is Kirchhoff’s 
loop rule as applied to the circuit in Figure P32.56 
with the switch thrown to positionb.
-
+
L
R
a
b
S
C
e
Figure P32.56 
Problems 56 and 57.
57. In Figure P32.56, let R 5 7.60 V, L 5 2.20 mH, and C 5  
1.80 mF. (a) Calculate the frequency of the damped 
oscillation of the circuit when the switch is thrown 
to position b. (b) What is the critical resistance for 
damped oscillations?
58. Consider an LC circuit in which L 5 500 mH and  
C 5 0.100mF. (a) What is the resonance frequency v
0
(b)If a resistance of 1.00 kV is introduced into this 
circuit, what is the frequency of the damped oscilla-
tions? (c) By what percentage does the frequency of 
the damped oscillations differ from the resonance 
frequency?
59. Electrical oscillations are initiated in a series circuit 
containing a capacitance C, inductance L, and resis-
tance R. (a) If R ,, !4L/C
(weak damping), what 
time interval elapses before the amplitude of the 
current oscillation falls to 50.0% of its initial value?  
(b) Over what time interval does the energy decrease 
to 50.0% of its initial value?
additional Problems
60. Review. This problem extends the reasoning of Sec-
tion 26.4, Problem 38 in Chapter 26, Problem 34 in 
Chapter 30, and Section 32.3. (a) Consider a capacitor 
with vacuum between its large, closely spaced, oppo-
sitely charged parallel plates. Show that the force on 
one plate can be accounted for by thinking of the elec-
tric field between the plates as exerting a “negative 
pressure” equal to the energy density of the electric 
field. (b) Consider two infinite plane sheets carrying 
electric currents in opposite directions with equal lin-
ear current densities J
s
. Calculate the force per area 
acting on one sheet due to the magnetic field, of mag-
nitude m
0
J
s
/2, created by the other sheet. (c) Calcu-
late the net magnetic field between the sheets and the 
field outside of the volume between them. (d) Calcu-
late the energy density in the magnetic field between 
the sheets. (e) Show that the force on one sheet can 
be accounted for by thinking of the magnetic field 
between the sheets as exerting a positive pressure 
equal to its energy density. This result for magnetic 
pressure applies to all current configurations, not only 
to sheets of current.
S
M
S
994
chapter 32 Inductance
61. A 1.00-mH inductor and a 1.00-mF capacitor are con-
nected in series. The current in the circuit increases 
linearly in time as i 5 20.0t, where i is in amperes and t 
is in seconds. The capacitor initially has no charge. 
Determine (a) the voltage across the inductor as a 
function of time, (b) the voltage across the capacitor as 
a function of time, and (c)the time when the energy 
stored in the capacitor first exceeds that in the 
inductor.
62. An inductor having inductance L and a capacitor hav-
ing capacitance C are connected in series. The current 
in the circuit increases linearly in time as described 
by i 5 Kt, where K is a constant. The capacitor is ini-
tially uncharged. Determine (a) the voltage across the 
inductor as a function of time, (b) the voltage across 
the capacitor as a function of time, and (c) the time 
when the energy stored in the capacitor first exceeds 
that in the inductor.
63. A capacitor in a series LC circuit has an initial charge 
Q and is being discharged. When the charge on the 
capacitor is Q/2, find the flux through each of the N 
turns in the coil of the inductor in terms of QNL, 
and C.
64. In the circuit diagrammed in Figure P32.25, assume 
the switch has been closed for a long time interval and 
is opened at t 5 0. Also assume R 5 4.00 V, L 5 1.00 H, 
and 
e
5 10.0 V. (a) Before the switch is opened, does 
the inductor behave as an open circuit, a short circuit, a 
resistor of some particular resistance, or none of those 
choices? (b) What current does the inductor carry?  
(c) How much energy is stored in the inductor for t , 
0? (d) After the switch is opened, what happens to the 
energy previously stored in the inductor? (e) Sketch a 
graph of the current in the inductor for t $ 0. Label the 
initial and final values and the time constant.
65. When the current in the portion of the circuit shown 
in Figure P32.65 is 2.00 A and increases at a rate of 
0.500 A/s, the measured voltage is DV
ab
5 9.00 V. 
When the current is 2.00 A and decreases at the rate of  
0.500 A/s, the measured voltage is DV
ab
5 5.00 V. Cal-
culate the values of (a) L and (b) R.
a
L
R
b
Figure P32.65
66. At the moment t 5 0, a 24.0-V battery is connected 
to a 5.00-mH coil and a 6.00-V resistor. (a) Immedi-
ately thereafter, how does the potential difference 
across the resistor compare to the emf across the coil?  
(b) Answer the same question about the circuit several 
seconds later. (c)Is there an instant at which these two 
voltages are equal in magnitude? If so, when? Is there 
more than one such instant? (d) After a 4.00-A current 
is established in the resistor and coil, the battery is sud-
S
S
AMT
Q/C
Q/C
denly replaced by a short circuit. Answer parts (a), (b), 
and (c) again with reference to this new circuit.
67. (a) A flat, circular coil does not actually produce a uni-
form magnetic field in the area it encloses. Neverthe-
less, estimate the inductance of a flat, compact, circu-
lar coil with radius R and N turns by assuming the field 
at its center is uniform over its area. (b) A circuit on a 
laboratory table consists of a 1.50-volt battery, a 270-V 
resistor, a switch, and three 30.0-cm-long patch cords 
connecting them. Suppose the circuit is arranged to 
be circular. Think of it as a flat coil with one turn. 
Compute the order of magnitude of its inductance and  
(c) of the time constant describing how fast the current 
increases when you close the switch.
68. Why is the following situation impossible? You are working 
on an experiment involving a series circuit consisting 
of a charged 500-mF capacitor, a 32.0-mH inductor, 
and a resistor R. You discharge the capacitor through 
the inductor and resistor and observe the decaying 
oscillations of the current in the circuit. When the 
resistance R is 8.00 V, the decay in the oscillations is 
too slow for your experimental design. To make the 
decay faster, you double the resistance. As a result, you 
generate decaying oscillations of the current that are 
perfect for your needs.
69. A time-varying current i is sent through a 50.0-mH 
inductor from a source as shown in Figure P32.69a. 
The current is constant at i 5 21.00 mA until t 5 0 
and then varies with time afterward as shown in Figure 
P32.69b. Make a graph of the emf across the inductor 
as a function of time.
a
b
Current
source
50.0 mH
i
i (mA)
0
1
-1
2
2
4
t (ms)
a
b
Figure P32.69
70. At t 5 0, the open switch in Figure P32.70 is thrown 
closed. We wish to find a symbolic expression for the 
current in the inductor for time t . 0. Let this cur-
rent be called i and choose it to be downward in the 
inductor in Figure P32.70. Identify i
1
as the current to 
the right through R
1
and i
2
as the current downward 
through R
2
. (a)Use Kirchhoff’s junction rule to find 
GP
S
R
1
S
R
2
L
e
-
+
-
+
Figure P32.70
Documents you may be interested
Documents you may be interested