﻿

convert byte array to pdf mvc : Convert pdf to html5 open source application SDK utility azure wpf web page visual studio doc-3-pdf-67a5de9fa89738da0c6835ef457b5878-original11-part204

problems
75
that lies in a north–
south vertical plane. Find
(a) the magnitude of the
total displacement of the
object and (b)the angle
the total displacement
makes with the vertical.
48. A fly lands on one wall
of a room. The lower-
left corner of the wall is
selected as the origin of a two-dimensional Cartesian
coordinate system. If the fly is located at the point hav-
ing coordinates (2.00, 1.00) m, (a) how far is it from the
origin? (b) What is its location in polar coordinates?
49. As she picks up her riders, a bus driver traverses four
successive displacements represented by the expression
1
26.30 b
2
i
^
2
1
4.00 b cos 408
2
i
^
2
1
4.00 b sin 408
2
j
^
1
1
3.00 b cos 508
2
i
^
2
1
3.00 b sin 508
2
j
^
2
1
5.00 b
2
j
^
Here b represents one city block, a convenient unit of
distance of uniform size;
i
^
is east; and
j
^
is north. The
displacements at 40° and 50° represent travel on road-
ways in the city that are at these angles to the main
east–west and north–south streets. (a) Draw a map of
the successive displacements. (b) What total distance
did she travel? (c)Compute the magnitude and direc-
tion of her total displacement. The logical structure of
this problem and of several problems in later chapters
was suggested by Alan Van Heuvelen and David Malo-
ney, American Journal of Physics 67(3) 252–256, March
1999.
50. A jet airliner, moving initially at 300 mi/h to the east,
suddenly enters a region where the wind is blowing
at 100mi/h toward the direction 30.0° north of east.
What are the new speed and direction of the aircraft
relative to the ground?
51. A person going for a walk follows the path shown in
Figure P3.51. The total trip consists of four straight-
line paths. At the end of the walk, what is the person’s
resultant displacement measured from the starting
point?
End
x
y
200 m
60.0
30.0
150 m
300 m
100 m
Start
Figure P3.51
52. Find the horizontal and vertical components of the
100-m displacement of a superhero who flies from the
W
M
E
a
s
t
N
o
r
t
h
Figure P3.47
It maintains this velocity for 3.00 h, at which time the
course of the hurricane suddenly shifts due north,
and its speed slows to a constant 25.0 km/h. This new
velocity is maintained for 1.50 h. (b) What is the unit-
vector expression for the new velocity of the hurricane?
(c) What is the unit-vector expression for the dis-
placement of the hurricane during the first 3.00 h?
(d) What is the unit-vector expression for the dis-
placement of the hurricane during the latter 1.50 h?
(e) How far from Grand Bahama is the eye 4.50 h after
it passes over the island?
44. Why is the following situation impossible? A shopper push-
ing a cart through a market follows directions to the
canned goods and moves through a displacement
8.00 i
^
m down one aisle. He then makes a 90.0° turn
and moves 3.00 m along the y axis. He then makes
another 90.0° turn and moves 4.00 m along the x axis.
Every shopper who follows these directions correctly
ends up 5.00 m from the starting point.
45. Review. You are standing on the ground at the origin
of a coordinate system. An airplane flies over you with
constant velocity parallel to the x axis and at a fixed
height of 7.603 103 m. At time t 5 0, the airplane is
directly above you so that the vector leading from you
to it is P
S
0
57.603103
j
^
m. At t 5 30.0 s, the position
vector leading from you to the airplane is
P
S
30
5
1
8.043103
i
^
17.603103
j
^
2
m as suggested in
Figure P3.45. Determine the magnitude and orienta-
tion of the airplane’s position vector at t5 45.0 s.
P
0
S
P
30
S
Figure P3.45
46. In Figure P3.46, the line seg-
ment represents a path from
the point with position vector
1
5
i
^
13
j
^
2
m to the point with
location (16
i
^
112
j
^
) m. Point
A is along this path, a fraction f
of the way to the destination.
(a) Find the position vector of
point A in terms of f. (b)Evalu-
ate the expression from part
(a) for f 5 0. (c) Explain whether
the result in part (b) is reason-
able. (d) Evaluate the expres-
sion for f 5 1. (e)Explain whether the result in part (d)
is reasonable.
47. In an assembly operation illustrated in Figure P3.47, a
robot moves an object first straight upward and then
also to the east, around an arc forming one-quarter
of a circle of radius 4.80 cm that lies in an east–west
vertical plane. The robot then moves the object
upward and to the north, through one-quarter of a
AMT
(5, 3)
(16, 12)
O
x
y
A
Figure P3.46
Point
A is a fraction f of the
distance from the ini-
tial point (5, 3) to the
final point (16, 12).
Q/C
Convert pdf to html5 open source - Convert PDF to html files in C#.net, ASP.NET MVC, WinForms, WPF application
How to Convert PDF to HTML Webpage with C# PDF Conversion SDK
convert pdf to html with images; how to convert pdf into html
Convert pdf to html5 open source - VB.NET PDF Convert to HTML SDK: Convert PDF to html files in vb.net, ASP.NET MVC, WinForms, WPF application
PDF to HTML Webpage Converter SDK for VB.NET PDF to HTML Conversion
how to change pdf to html; convert fillable pdf to html
76
Chapter 3 Vectors
57. A vector is given by R
S
52
i
^
1
j
^
13
k
^
. Find (a) the
magnitudes of the x, y, and z components; (b) the mag-
nitude of R
S
; and (c) the angles between R
S
and
the x, y, and z axes.
58. A ferry transports tourists between three islands. It
sails from the first island to the second island, 4.76 km
away, in a direction 37.0° north of east. It then sails
from the second island to the third island in a direc-
tion 69.0° west of north. Finally it returns to the first
island, sailing in a direction 28.0° east of south. Cal-
culate the distance between (a)the second and third
islands and (b) the first and third islands.
59. Two vectors A
S
and B
S
have precisely equal mag-
nitudes. For the magnitude of A
S
B
S
to be 100 times
larger than the magnitude of A
S
B
S
, what must be
the angle between them?
60. Two vectors A
S
and B
S
have precisely equal magni-
tudes. For the magnitude of A
S
B
S
to be larger than
the magnitude of A
S
B
S
by the factor n, what must
be the angle between them?
61. Let A
S
5 60.0 cm at 270° measured from the hori-
zontal. Let B
S
5 80.0 cm at some angle u. (a) Find the
magnitude of A
S
B
S
as a function of u. (b) From the
answer to part (a), for what value of u does 0A
S
B
S
take on its maximum value? What is this maximum
value? (c) From the answer to part (a), for what value
of u does 0A
S
B
S
0 take on its minimum value? What
is this minimum value? (d)Without reference to the
parts (b) and (c) do or do not make sense.
62. After a ball rolls off the edge of a horizontal table at time
t 5 0, its velocity as a function of time is given by
v
S
51.2
i
^
29.8t
j
^
where v
S
is in meters per second and t is in seconds.
The ball’s displacement away from the edge of the
table, during the time interval of 0.380 s for which the
ball is in flight, is given by
Dr
S
5
3
0.380 s
0
v
S
dt
To perform the integral, you can use the calculus
theorem
3
3
A1Bf
1
x
24
dx5
3
A dx1B
3
f
1
x
2
dx
You can think of the units and unit vectors as con-
stants, represented by A and B. Perform the integra-
tion to calculate the displacement of the ball from the
edge of the table at 0.380 s.
63. Review. The instantaneous position of an object is
specified by its position vector leading from a fixed
origin to the location of the object, modeled as a par-
ticle. Suppose for a certain object the position vector is
a function of time given by r
S
54
i
^
13
j
^
22t
k
^
, where
r
S
is in meters and t is in seconds. (a) Evaluate d
r
S
/dt
(b) What physical quantity does d
r
S
the object?
S
Q/C
Q/C
W
top of a tall building fol-
lowing the path shown in
Figure P3.52.
53. Review. The biggest
stuffed animal in the
world is a snake 420 m
long, constructed by Nor-
wegian children. Sup-
pose the snake is laid
out in a park as shown
in Figure P3.53, form-
ing two straight sides of a
105° angle, with one side
240 m long. Olaf and Inge
run a race they invent.
Inge runs directly from
the tail of the snake to
from the same place at
the same moment but
runs along the snake.
(a) If both children run
snake how much earlier than Olaf? (b) If Inge runs the
race again at a constant speed of 12.0 km/h, at what
constant speed must Olaf run to reach the end of the
snake at the same time as Inge?
54. An air-traffic controller observes two aircraft on his
radar screen. The first is at altitude 800 m, horizontal
distance 19.2 km, and 25.0° south of west. The second
aircraft is at altitude 1 100 m, horizontal distance
17.6 km, and 20.0° south of west. What is the distance
between the two aircraft? (Place the x axis west, the
y axis south, and the z axis vertical.)
55. In Figure P3.55, a spider is
resting after starting to spin
its web. The gravitational
force on the spider makes it
exert a downward force of
0.150 N on the junction of
the three strands of silk. The
junction is supported by dif-
ferent tension forces in the
two strands above it so that
the resultant force on the junction is zero. The two
sloping strands are perpendicular, and we have chosen
the x and y directions to be along them. The tension
T
x
is 0.127 N. Find (a) the tension T
y
, (b) the angle the
x axis makes with the horizontal, and (c) the angle the
y axis makes with the horizontal.
56. The rectangle shown in Figure
P3.56 has sides parallel to the x
and y axes. The position vectors
of two corners are A
S
5 10.0 m
at 50.0° and B
S
5 12.0m at 30.0°.
(a) Find the perimeter of the rect-
angle. (b) Find the magnitude
and direction of the vector from
the origin to the upper-right cor-
ner of the rectangle.
Figure P3.55
x
y
A
S
B
S
Figure P3.56
Figure P3.52
x
y
30.0°
100 m
C# PDF Text Extract Library: extract text content from PDF file in
it is feasible for users to extract text content from source PDF document file the following C# example code for text extraction from PDF page Open a document
convert pdf into html email; convert pdf to html code c#
VB.NET PDF Annotate Library: Draw, edit PDF annotation, markups in
Decode source PDF document file into an in-memory object, namely 2.pdf" Dim outputFilePath As String = Program.RootPath + "\\" Annot_8.pdf" ' open a PDF file
best website to convert pdf to word online; embed pdf to website
problems
77
Challenge Problem
67. A pirate has buried his treasure on an island with five
trees located at the points (30.0 m, 220.0 m), (60.0m,
80.0m), (210.0 m, 210.0 m), (40.0 m, 230.0 m), and
(270.0m, 60.0 m), all measured relative to some ori-
gin, as shown in Figure P3.67. His ship’s log instructs
you to start at tree A and move toward tree B, but to
cover only one-half the distance between A and B.
Then move toward tree C, covering one-third the
distance between your current location and C. Next
move toward tree D, covering one-fourth the distance
between where you are and D. Finally move toward
tree E, covering one-fifth the distance between you
and E, stop, and dig. (a) Assume you have correctly
determined the order in which the pirate labeled the
trees as A, BC, D, and E as shown in the figure. What
are the coordinates of the point where his treasure is
buried? (b) What If? What if you do not really know
the way the pirate labeled the trees? What would hap-
pen to the answer if you rearranged the order of the
trees, for instance, to B (30 m, 220 m), A (60 m, 80 m),
E (210 m, 210 m), C (40m, 230m), and D (270 m,
60 m)? State reasoning to show that the answer does
not depend on the order in which the trees are labeled.
Q/C
64. Ecotourists use their global positioning system indica-
tor to determine their location inside a botanical gar-
den as latitude 0.002 43 degree south of the equator,
longitude 75.642 38 degrees west. They wish to visit
a tree at latitude 0.001 62 degree north, longitude
75.644 26 degrees west. (a) Determine the straight-
line distance and the direction in which they can walk
to reach the tree as follows. First model the Earth
as a sphere of radius 6.37 3 106 m to determine the
westward and northward displacement components
required, in meters. Then model the Earth as a flat
surface to complete the calculation. (b) Explain why
it is possible to use these two geometrical models
together to solve the problem.
65. A rectangular parallelepiped has dimensions ab, and
c as shown in Figure P3.65. (a) Obtain a vector expres-
sion for the face diagonal vector R
S
1
. (b) What is the
magnitude of this vector? (c) Notice that R
S
1
c
k
^
, and
R
S
2
make a right triangle. Obtain a vector expression
for the body diagonal vector R
S
2
.
y
c
b
z
a
x
O
R
1
S
R
2
S
Figure P3.65
66. Vectors A
S
and B
S
have equal magnitudes of 5.00.
The sum of A
S
and B
S
is the vector 6.00
j
^
. Determine
the angle between A
S
and B
S
.
Q/C
S
E
y
x
A
B
C
D
Figure P3.67
C# PDF File Merge Library: Merge, append PDF files in C#.net, ASP.
Description: Combine the source PDF streams into one PDF file and save it to a new PDF file on the disk. Parameters: Name, Description, Valid Value.
batch convert pdf to html; convert pdf to html online for
C# PDF Page Extract Library: copy, paste, cut PDF pages in C#.net
Online C# source code for extracting, copying and pasting PDF The portable document format, known as PDF document, is of file that allows users to open & read
converting pdfs to html; convert pdf into html online
78
Fireworks erupt from the Sydney
Harbour Bridge in New South Wales,
Australia. Notice the parabolic
paths of embers projected into
the air. All projectiles follow a
parabolic path in the absence
of air resistance.
(Graham Monro/
Photolibrary/Jupiter Images)
4.1 The Position, Velocity, and
Acceleration Vectors
4.2 Two-Dimensional Motion
with Constant Acceleration
4.3 Projectile Motion
4.4 Analysis Model: Particle in
Uniform Circular Motion
Acceleration
4.6 Relative Velocity and
Relative Acceleration
c h a p p t t e r
4
Motion in two
Dimensions
In this chapter, we explore the kinematics of a particle moving in two dimensions.
Knowing the basics of two-dimensional motion will allow us—in future chapters—to exam-
ine a variety of situations, ranging from the motion of satellites in orbit to the motion of
electrons in a uniform electric field. We begin by studying in greater detail the vector nature
of position, velocity, and acceleration. We then treat projectile motion and uniform circular
motion as special cases of motion in two dimensions. We also discuss the concept of relative
motion, which shows why observers in different frames of reference may measure different
positions and velocities for a given particle.
4.1 The Position, Velocity, and Acceleration Vectors
In Chapter 2, we found that the motion of a particle along a straight line such as
the x axis is completely known if its position is known as a function of time. Let
us now extend this idea to two-dimensional motion of a particle in the xy plane.
We begin by describing the position of the particle. In one dimension, a single
numerical value describes a particle’s position, but in two dimensions, we indicate
its position by its position vector r
S
, drawn from the origin of some coordinate sys-
tem to the location of the particle in the xy plane as in Figure 4.1. At time t
i
, the
particle is at point A, described by position vector r
S
i
. At some later time t
f
, it is at
point B, described by position vector r
S
f
. The path followed by the particle from
C# Word - MailMerge Processing in C#.NET
da.Fill(data); //Open the document DOCXDocument document0 = DOCXDocument.Open( docFilePath ); int counter = 1; // Loop though all records in the data source.
convert pdf table to html; convert pdf form to html form
C# Create PDF from OpenOffice to convert odt, odp files to PDF in
Convert OpenOffice Text Document to PDF with embedded fonts. to change ODT, ODS, ODP forms to fillable PDF formats in Visual Online source code for C#.NET class.
convert pdf to website html; convert pdf into html
4.1 the position, Velocity, and acceleration Vectors
79
A to B is not necessarily a straight line. As the particle moves from A to B in the
time interval Dt 5 t
f
t
i
, its position vector changes from r
S
i
to r
S
f
. As we learned
in Chapter 2, displacement is a vector, and the displacement of the particle is the
difference between its final position and its initial position. We now define the dis-
placement vector Dr
S
for a particle such as the one in Figure 4.1 as being the differ-
ence between its final position vector and its initial position vector:
Dr
S
r
S
f
r
S
i
(4.1)
The direction of Dr
S
is indicated in Figure 4.1. As we see from the figure, the mag-
nitude of Dr
S
is less than the distance traveled along the curved path followed by the
particle.
As we saw in Chapter 2, it is often useful to quantify motion by looking at the
displacement divided by the time interval during which that displacement occurs,
which gives the rate of change of position. Two-dimensional (or three-dimensional)
kinematics is similar to one-dimensional kinematics, but we must now use full vector
notation rather than positive and negative signs to indicate the direction of motion.
We define the average velocity v
S
avg
of a particle during the time interval Dt as
the displacement of the particle divided by the time interval:
v
S
avg
;
Dr
S
Dt
(4.2)
Multiplying or dividing a vector quantity by a positive scalar quantity such as Dt
changes only the magnitude of the vector, not its direction. Because displacement
is a vector quantity and the time interval is a positive scalar quantity, we conclude
that the average velocity is a vector quantity directed along Dr
S
. Compare Equa-
tion4.2 with its one-dimensional counterpart, Equation 2.2.
The average velocity between points is independent of the path taken. That is
because average velocity is proportional to displacement, which depends only
on the initial and final position vectors and not on the path taken. As with one-
dimensional motion, we conclude that if a particle starts its motion at some point and
returns to this point via any path, its average velocity is zero for this trip because its
displacement is zero. Consider again our basketball players on the court in Figure 2.2
(page 23). We previously considered only their one-dimensional motion back and
forth between the baskets. In reality, however, they move over a two-dimensional sur-
face, running back and forth between the baskets as well as left and right across the
width of the court. Starting from one basket, a given player may follow a very compli-
cated two-dimensional path. Upon returning to the original basket, however, a play-
er’s average velocity is zero because the player’s displacement for the whole trip is zero.
Consider again the motion of a particle between two points in the xy plane as
shown in Figure 4.2 (page 80). The dashed curve shows the path of the particle. As
the time interval over which we observe the motion becomes smaller and smaller—
that is, as B is moved to B9 and then to B0 and so on—the direction of the displace-
ment approaches that of the line tangent to the path at A. The instantaneous velocity
v
S
is defined as the limit of the average velocity Dr
S
/Dt as Dt approaches zero:
v
S
;lim
DtS0
Dr
S
Dt
5
dr
S
dt
(4.3)
That is, the instantaneous velocity equals the derivative of the position vector with
respect to time. The direction of the instantaneous velocity vector at any point in
a particle’s path is along a line tangent to the path at that point and in the direc-
tion of motion. Compare Equation 4.3 with the corresponding one-dimensional
version, Equation 2.5.
The magnitude of the instantaneous velocity vector v5
0
v
S
0
of a particle is called
the speed of the particle, which is a scalar quantity.
WW Displacement vector
WWAverage velocity
WWInstantaneous velocity
Path of
particle
x
y
t
i
i
t
f
f
O
r
S
r
S
r
S
r.
S
The displacement of the
particle is the vector
A
B
Figure 4.1
A particle moving
in the xy plane is located with
the position vector r
S
drawn from
the origin to the particle. The
displacement of the particle as it
moves from A to B in the time
interval Dt 5 t
f
t
i
is equal to the
vector Dr
S
r
S
f
r
S
i
.
VB.NET PDF Convert to Word SDK: Convert PDF to Word library in vb.
addition, texts, pictures and font formatting of source PDF file are accurately retained in converted Word document file. Why do we need to convert PDF to Word
convert pdf to web pages; convert pdf link to html
VB.NET PDF File Split Library: Split, seperate PDF into multiple
Separate source PDF document file by defined page range in VB.NET class application. Divide PDF file into multiple files by outputting PDF file size.
attach pdf to html; pdf to html converters
80
chapter 4 Motion in two Dimensions
As a particle moves from one point to another along some path, its instanta-
neous velocity vector changes from v
S
i
at time t
i
to v
S
f
at time t
f
. Knowing the velocity
at these points allows us to determine the average acceleration of the particle. The
average acceleration a
S
avg
of a particle is defined as the change in its instantaneous
velocity vector Dv
S
divided by the time interval Dt during which that change occurs:
a
S
avg
;
Dv
S
Dt
5
v
S
f
v
S
i
t
f
2t
i
(4.4)
Because a
S
avg
is the ratio of a vector quantity Dv
S
and a positive scalar quantity Dt,
we conclude that average acceleration is a vector quantity directed along Dv
S
. As
indicated in Figure 4.3, the direction of Dv
S
is found by adding the vector 2v
S
i
(the
negative of v
S
i
) to the vector v
S
f
because, by definition, Dv
S
v
S
f
v
S
i
. Compare
Equation 4.4 with Equation 2.9.
When the average acceleration of a particle changes during different time inter-
vals, it is useful to define its instantaneous acceleration. The instantaneous accel-
eration a
S
is defined as the limiting value of the ratio Dv
S
/Dt as Dt approaches zero:
a
S
;lim
Dt
S
0
Dv
S
Dt
5
dv
S
dt
(4.5)
In other words, the instantaneous acceleration equals the derivative of the velocity
vector with respect to time. Compare Equation 4.5 with Equation 2.10.
Various changes can occur when a particle accelerates. First, the magnitude
of the velocity vector (the speed) may change with time as in straight-line (one-
Average acceleration
Instantaneous acceleration
O
y
x
∆ ∆
r
1
S
r
2
S
r
3
S
Direction of v at
S
As the end point approaches     , ∆t
approaches zero and the direction
of      approaches that of the green
line tangent to the curve at     .
r
S
As the end point of the path is
moved from      to      to      , the
respective displacements and
corresponding time intervals
become smaller and smaller.
A
A
A
A
B
B
B
B
B
B
x
y
O
v
f
or
v
i
S
v
i
S
v
f
S
v
f
S
v
i
S
v
S
v
S
r
i
S
r
f
S
A
B
Figure 4.3
A particle moves from position A to
position B. Its velocity vector changes from v
S
i
to v
S
f
The vector diagrams at the upper right show two
ways of determining the vector Dv
S
from the initial
and final velocities.
Figure 4.2
As a particle moves
between two points, its average
velocity is in the direction of the
displacement vector Dr
S
. By defini-
tion, the instantaneous velocity at
A is directed along the line tan-
gent to the curve at A.
Pitfall Prevention 4.1
3 involves displacement vectors, vec-
tor addition can be applied to any
type of vector quantity. Figure 4.3,
for example, shows the addition of
velocity vectors using the graphical
approach.
C# PDF: PDF Document Viewer & Reader SDK for Windows Forms
page, view PDF file in different display formats, and save source PDF file using C# UpPage: Scroll to previous visible page in the currently open PDF document.
embed pdf into website; how to convert pdf into html code
4.2 two-Dimensional Motion with constant acceleration
81
dimensional) motion. Second, the direction of the velocity vector may change with
time even if its magnitude (speed) remains constant as in two-dimensional motion
along a curved path. Finally, both the magnitude and the direction of the velocity
vector may change simultaneously.
uick Quiz 4.1  Consider the following controls in an automobile in motion: gas
pedal, brake, steering wheel. What are the controls in this list that cause an
acceleration of the car? (a) all three controls (b) the gas pedal and the brake
(c)only the brake (d) only the gas pedal (e) only the steering wheel
4.2  Two-Dimensional Motion
with Constant Acceleration
In Section 2.5, we investigated one-dimensional motion of a particle under con-
stant acceleration and developed the particle under constant acceleration model.
Let us now consider two-dimensional motion during which the acceleration of a
particle remains constant in both magnitude and direction. As we shall see, this
approach is useful for analyzing some common types of motion.
Before embarking on this investigation, we need to emphasize an important
point regarding two-dimensional motion. Imagine an air hockey puck moving in
a straight line along a perfectly level, friction-free surface of an air hockey table.
Figure 4.4a shows a motion diagram from an overhead point of view of this puck.
Recall that in Section 2.4 we related the acceleration of an object to a force on the
object. Because there are no forces on the puck in the horizontal plane, it moves
with constant velocity in the x direction. Now suppose you blow a puff of air on
the puck as it passes your position, with the force from your puff of air exactly in
the y direction. Because the force from this puff of air has no component in the x
direction, it causes no acceleration in the x direction. It only causes a momentary
acceleration in the y direction, causing the puck to have a constant y component
of velocity once the force from the puff of air is removed. After your puff of air on
the puck, its velocity component in the x direction is unchanged as shown in Figure
4.4b. The generalization of this simple experiment is that motion in two dimen-
sions can be modeled as two independent motions in each of the two perpendicular
directions associated with the x and y axes. That is, any influence in the y direc-
tion does not affect the motion in the x direction and vice versa.
The position vector for a particle moving in the xy plane can be written
r
S
5x i
^
1y j
^
(4.6)
where x, y, and r
S
change with time as the particle moves while the unit vectors i
^
and j
^
remain constant. If the position vector is known, the velocity of the particle
can be obtained from Equations 4.3 and 4.6, which give
v
S
5
dr
S
dt
5
dx
dt
i
^
1
dy
dt
j
^
5v
x
i
^
1v
y
j
^
(4.7)
The horizontal red vectors,
representing the x
component of the velocity,
are the same length in
both parts of the figure,
which demonstrates that
motion in two dimensions
can be modeled as two
independent motions in
perpendicular directions.
x
y
x
y
a
b
Figure 4.4
(a) A puck moves
across a horizontal air hockey
table at constant velocity in the x
direction. (b)After a puff of air
in the y direction is applied to the
puck, the puck has gained a y com-
ponent of velocity, but the x com-
ponent is unaffected by the force
in the perpendicular direction.
82
chapter 4 Motion in two Dimensions
Because the acceleration a
S
of the particle is assumed constant in this discussion,
its components a
x
and a
y
also are constants. Therefore, we can model the particle as
a particle under constant acceleration independently in each of the two directions
and apply the equations of kinematics separately to the x and y components of the
velocity vector. Substituting, from Equation 2.13, v
xf
v
xi
a
x
t and v
yf
v
yi
a
y
t
into Equation 4.7 to determine the final velocity at any time t, we obtain
v
S
f
5
1
v
xi
1a
x
t
2
i
^
1
1
v
yi
1a
y
t
2
j
^
5
1
v
xi
i
^
1v
yi
j
^
2
1
1
a
x
i
^
1a
y
j
^
2
t
v
S
f
v
S
i
a
S
t
(4.8)
This result states that the velocity of a particle at some time t equals the vector
sum of its initial velocity v
S
i
at time t 5 0 and the additional velocity a
S
t acquired
at time t as a result of constant acceleration. Equation 4.8 is the vector version of
Equation2.13.
Similarly, from Equation 2.16 we know that the x and y coordinates of a particle
under constant acceleration are
x
f
5x
i
1v
xi
t1
1
2
a
x
t2
y
f
5y
i
1v
yi
t1
1
2
a
y
t2
Substituting these expressions into Equation 4.6 (and labeling the final position
vector r
S
f
) gives
r
S
f
5
1
x
i
1v
xi
t1
1
2
a
x
t
22
i
^
1
1
y
i
1v
yi
t1
1
2
a
y
t
22
j
^
5
1
x
i
i
^
1y
i
j
^
2
1
1
v
xi
i
^
1v
yi
j
^
2
t1
1
2
1
a
x
i
^
1a
y
j
^
2
t2
r
S
f
r
S
i
v
S
i
t1
1
2
a
S
t
2
(4.9)
which is the vector version of Equation 2.16. Equation 4.9 tells us that the position
vector r
S
f
of a particle is the vector sum of the original position r
S
i
, a displacement
v
S
i
t arising from the initial velocity of the particle, and a displacement
1
2
a
S
t2 result-
ing from the constant acceleration of the particle.
We can consider Equations 4.8 and 4.9 to be the mathematical representation
of a two-dimensional version of the particle under constant acceleration model.
Graphical representations of Equations 4.8 and 4.9 are shown in Figure4.5. The
components of the position and velocity vectors are also illustrated in the figure.
Notice from Figure 4.5a that v
S
f
is generally not along the direction of either v
S
i
or
a
S
because the relationship between these quantities is a vector expression. For the
same reason, from Figure 4.5b we see that r
S
f
is generally not along the direction of
r
S
i
v
S
i
, or a
S
. Finally, notice that v
S
f
and r
S
f
are generally not in the same direction.
Velocity vector as W
a function of time for a
particle under constant
acceleration in two
dimensions
Position vector as
a function of time for a
particle under constant
acceleration in two
dimensions
Figure 4.5
Vector representa-
tions and components of (a) the
velocity and (b) the position of a
particle under constant accelera-
tion in two dimensions.
y
x
a
y
t
v
yf
v
yi
t
v
xi
a
x
t
v
xf
y
x
y
f
y
i
i
t
v
xi
t
x
f
a
y
t
2
1
2
v
yi
t
t
2
1
2
a
x
t
2
1
2
x
i
v
i
S
v
i
S
v
f
S
r
i
S
r
f
S
a
S
a
S
a
b
4.2 two-Dimensional Motion with constant acceleration
83
Example 4.1   Motion in a Plane
A particle moves in the xy plane, starting from the origin at t 5 0 with an initial velocity having an x component of
20 m/s and a y component of 215 m/s. The particle experiences an acceleration in the x direction, given by a
x

4.0 m/s2.
(A) Determine the total velocity vector at any time.
Conceptualize The components of the initial velocity tell
us that the particle starts by moving toward the right and
downward. The x component of velocity starts at 20 m/s and
increases by 4.0 m/s every second. The y component of veloc-
ity never changes from its initial value of 215 m/s. We sketch
a motion diagram of the situation in Figure 4.6. Because the
particle is accelerating in the 1x direction, its velocity compo-
nent in this direction increases and the path curves as shown
in the diagram. Notice that the spacing between successive
images increases as time goes on because the speed is increas-
ing. The placement of the acceleration and velocity vectors in
Figure 4.6 helps us further conceptualize the situation.
Categorize Because the initial velocity has components in both the x and y directions, we categorize this problem
as one involving a particle moving in two dimensions. Because the particle only has an x component of accelera-
tion, we model it as a particle under constant acceleration in the x direction and a particle under constant velocity in the
y direction.
Analyze To begin the mathematical analysis, we set v
xi
5 20 m/s, v
yi
5 215 m/s, a
x
5 4.0 m/s2, and a
y
5 0.
AM
SolutIon
x
y
Figure 4.6
(Example 4.1) Motion diagram for the particle.
Use Equation 4.8 for the velocity vector:
v
S
f
v
S
i
a
S
t5
1
v
xi
1a
x
t
2
i
^
1
1
v
yi
1a
y
t
2
j
^
Substitute numerical values with the velocity in meters
per second and the time in seconds:
v
S
f
5
3
20 1
1
4.0
2
t
4
i
^
1
3
2151
1
0
2
t
4
j
^
(1)   v
S
f
5
31
2014.0t
2
i
^
215j
^
4
Finalize Notice that the x component of velocity increases in time while the y component remains constant; this result
is consistent with our prediction.
(B) Calculate the velocity and speed of the particle at t 5 5.0 s and the angle the velocity vector makes with the x axis.
Analyze
SolutIon
Evaluate the result from Equation (1) at t 5 5.0 s:
v
S
f
5312014.015.022i
^
215j
^
45 140i
^
215j
^
2 m/s
Determine the angle u that v
S
f
makes with the x axis
at t 5 5.0 s:
u5tan21a
v
yf
v
xf
b5tan21a
215 m/s
40 m/s
b5 2218
Evaluate the speed of the particle as the magnitude
of v
S
f
:
v
f
5
0
v
S
f
0
5"v
xf
21
v
yf
2
5"
1
40
22
1
1
215
22
m/s5 43 m/s
Finalize The negative sign for the angle u indicates that the velocity vector is directed at an angle of 21° below the posi-
tive x axis. Notice that if we calculate v
i
from the x and y components of v
S
i
, we find that v
f
v
i
. Is that consistent with
our prediction?
(C) Determine the x and y coordinates of the particle at any time t and its position vector at this time.
continued
84
chapter 4 Motion in two Dimensions
4.3  Projectile Motion
Anyone who has observed a baseball in motion has observed projectile motion.
The ball moves in a curved path and returns to the ground. Projectile motion of
an object is simple to analyze if we make two assumptions: (1) the free-fall accelera-
tion is constant over the range of motion and is directed downward,1 and (2) the
effect of air resistance is negligible.2 With these assumptions, we find that the path
of a projectile, which we call its trajectory, is always a parabola as shown in Figure4.7.
We use these assumptions throughout this chapter.
The expression for the position vector of the projectile as a function of time
follows directly from Equation 4.9, with its acceleration being that due to gravity,
a
S
g
S
:
r
S
f
5r
S
i
1v
S
i
t1
1
2
g
S
t2
(4.10)
where the initial x and y components of the velocity of the projectile are
v
xi
5v
i
cos u
i
v
yi
5v
i
sin u
i
(4.11)
The expression in Equation 4.10 is plotted in Figure 4.8 for a projectile launched
from the origin, so that r
S
i
50. The final position of a particle can be considered to
be the superposition of its initial position r
S
i
; the term v
S
i
t, which is its displacement
if no acceleration were present; and the term
1
2
g
S
t2 that arises from its acceleration
due to gravity. In other words, if there were no gravitational acceleration, the par-
ticle would continue to move along a straight path in the direction of v
S
i
. Therefore,
the vertical distance
1
2
g
S
t2 through which the particle “falls” off the straight-line
path is the same distance that an object dropped from rest would fall during the
same time interval.
Finalize Let us now consider a limiting case for very large values of t.
What if we wait a very long time and then observe the motion of the particle? How would we describe the
motion of the particle for large values of the time?
Answer Looking at Figure 4.6, we see the path of the particle curving toward the x axis. There is no reason to assume
this tendency will change, which suggests that the path will become more and more parallel to the x axis as time grows
large. Mathematically, Equation (1) shows that the y component of the velocity remains constant while the x compo-
nent grows linearly with t. Therefore, when t is very large, the x component of the velocity will be much larger than
the y component, suggesting that the velocity vector becomes more and more parallel to the x axis. The magnitudes of
both x
f
and y
f
continue to grow with time, although x
f
grows much faster.
WhAt IF?
1This assumption is reasonable as long as the range of motion is small compared with the radius of the Earth
(6.4 3 106 m). In effect, this assumption is equivalent to assuming the Earth is flat over the range of motion considered.
2This assumption is often not justified, especially at high velocities. In addition, any spin imparted to a projectile,
such as that applied when a pitcher throws a curve ball, can give rise to some very interesting effects associated with
aerodynamic forces, which will be discussed in Chapter 14.
Use the components of Equation 4.9 with x
i
y
i
5 0 at
t 5 0 and with x and y in meters and in seconds:
x
f
5v
xi
t1
1
2
a
x
t5 20t12.0t2
y
f
5v
yi
t5 215t
Express the position vector of the particle at any time t:
r
S
f
5x
f
i
^
1y
f
j
^
1
20t12.0t2
2
i
^
215tj
^
Analyze
SolutIon
▸ 4.1
continued
A welder cuts holes through a heavy
metal construction beam with a hot
torch. The sparks generated in the
process follow parabolic paths.
L
e
s
t
e
r
L
e
f
k
o
w
i
t
z
/
T
a
x
i
/
G
e
t
t
y
I
m
a
g
e
s
Pitfall Prevention 4.2
Acceleration at the highest Point
As discussed in Pitfall Prevention
2.8, many people claim that the
acceleration of a projectile at the
topmost point of its trajectory is
zero. This mistake arises from
confusion between zero vertical
velocity and zero acceleration. If
the projectile were to experience
zero acceleration at the highest
point, its velocity at that point
would not change; rather, the
projectile would move horizontally
at constant speed from then on!
That does not happen, however,
because the acceleration is not zero
anywhere along the trajectory.