﻿

# mvc display pdf in browser : Converting pdf to html email software Library dll windows .net asp.net web forms doc-3-pdf-67a5de9fa89738da0c6835ef457b5878-original39-part287

problems
355
Section 11.1 The Vector Product and Torque
1. Given M
S
52
i
^
23
j
^
1k
^
and N
S
54
i
^
15
j
^
22k
^
, calcu-
late the vector product M
S
3N
S
.
2. The displacement vectors 42.0 cm at 15.08 and 23.0 cm
at 65.08 both start from the origin and form two sides
of a parallelogram. Both angles are measured coun-
terclockwise from the x axis. (a) Find the area of
the parallelogram. (b)Find the length of its longer
diagonal.
3. Two vectors are given by A
S
5
i
^
12
j
^
and B
S
522
i
^
13
j
^
.
Find (a) A
S
B
S
and (b) the angle between A
S
and B
S
.
4. Use the definition of the vector product and the defini-
tions of the unit vectors
i
^
,
j
^
, and k
^
to prove Equations
11.7. You may assume the x axis points to the right, the
y axis up, and the z axis horizontally toward you (not
away from you). This choice is said to make the coordi-
nate system a right-handed system.
5. Calculate the net torque (magnitude and direction) on
the beam in Figure P11.5 about (a) an axis through O
perpendicular to the page and (b) an axis through C
perpendicular to the page.
C
4.0 m
2.0 m
45°
30 N
10 N
20°
30°
25 N
O
Figure P11.5
6. Two vectors are given by these expressions: A
S
23
i
^
1
7
j
^
24k
^
and B
S
56
i
^
210
j
^
19k
^
. Evaluate the quanti-
ties (a) cos21[A
S
?
B
S
/AB] and (b) sin21[0A
S
3B
S
0/AB].
(c) Which give(s) the angle between the vectors?
7. If 0A
S
B
S
0
A
S
?
B
S
, what is the angle between A
S
and B
S
?
8. A particle is located at the vector position r
S
5
1
4.00
i
^
16.00
j
^
2
m, and a force exerted on it is given by
F
S
5
1
3.00
i
^
12.00
j
^
2
N. (a) What is the torque acting on
the particle about the origin? (b) Can there be another
point about which the torque caused by this force on
this particle will be in the opposite direction and half
as large in magnitude? (c) Can there be more than
one such point? (d) Can such a point lie on the y axis?
(e) Can more than one such point lie on the y axis?
(f) Determine the position vector of one such point.
W
M
S
Q/C
9. Two forces F
S
1
and F
S
2
act along the two sides of an equi-
lateral triangle as shown in Figure P11.9. Point O is the
intersection of the altitudes of the triangle. (a) Find
a third force F
S
3
to be applied at B and along BC that
will make the total torque zero about the point O.
(b) What If? Will the total torque change if F
S
3
is
applied not at B but at any other point along BC?
A
C
D
O
B
F
1
S
F
2
S
F
3
S
Figure P11.9
10. A student claims that he has found a vector A
S
such
that 12
i
^
23
j
^
14k
^
2
A
S
5
1
4
i
^
13
j
^
2k
^
2
. (a) Do you
believe this claim? (b) Explain why or why not.
Section 11.2  Analysis Model: nonisolated System
(Angular Momentum)
11. A light, rigid rod of length , 5 1.00m joins two par-
ticles, with masses m
1
5 4.00 kg and m
2
5 3.00kg, at its
ends. The combination rotates in the xy plane about a
pivot through the center of the rod (Fig. P11.11). Deter-
mine the angular momentum of the system about the
origin when the speed of each particle is 5.00 m/s.
x
y
m
1
m
2
,
v
S
v
S
Figure P11.11
12. A 1.50-kg particle moves in the xy plane with a veloc-
ity of v
S
5
1
4.20
i
^
23.60
j
^
2 m/s. Determine the angular
momentum of the particle about the origin when its
position vector is r
S
11.50
i
^
12.20
j
^
2 m.
13. A particle of mass m moves in the xy plane with a velocity
of v
S
5v
x
i
^
1v
y
j
^
. Determine the angular momentum
Q/C
M
W
S
Problems
The problems found in this
chapter may be assigned
online in Enhanced WebAssign
1.
straightforward;
2.
intermediate;
3.
challenging
1.
full solution available in the Student
Solutions Manual/Study Guide
AMT
Analysis Model tutorial available in
Enhanced WebAssign
GP
Guided Problem
M
Master It tutorial available in Enhanced
WebAssign
W
Watch It video solution available in
Enhanced WebAssign
BIO
Q/C
S
Converting pdf to html email - Convert PDF to html files in C#.net, ASP.NET MVC, WinForms, WPF application
How to Convert PDF to HTML Webpage with C# PDF Conversion SDK
adding pdf to html page; convert pdf to html with images
Converting pdf to html email - VB.NET PDF Convert to HTML SDK: Convert PDF to html files in vb.net, ASP.NET MVC, WinForms, WPF application
PDF to HTML Webpage Converter SDK for VB.NET PDF to HTML Conversion
convert pdf to html for online; changing pdf to html
356
chapter 11 Angular Momentum
18. A counterweight of mass m 5 4.00 kg is attached to
a light cord that is wound around a pulley as in Fig-
ure P11.18. The pulley is a thin hoop of radius R5
8.00 cm and mass M 5 2.00kg. The spokes have neg-
ligible mass. (a)What is the magnitude of the net
torque on the system about the axle of the pulley?
(b)When the counterweight has a speed v, the pulley
has an angular speed v 5 v/R. Determine the mag-
nitude of the total angular momentum of the system
about the axle of the pulley. (c) Using your result from
part (b) and t
S
5dL
S
/dt, calculate the acceleration of
the counterweight.
m
R
M
Figure P11.18
19. The position vector of a particle of mass 2.00 kg as
a function of time is given by r
S
5
1
6.00
i
^
15.00t
j
^
2
,
where r
S
is in meters and t is in seconds. Determine the
angular momentum of the particle about the origin as
a function of time.
20. A 5.00-kg particle starts from the origin at time zero.
Its velocity as a function of time is given by
v
S
56t2
i
^
12t
j
^
where v
S
is in meters per second and t is in seconds.
(a)Find its position as a function of time. (b) Describe
its motion qualitatively. Find (c) its acceleration as a
function of time, (d) the net force exerted on the par-
ticle as a function of time, (e) the net torque about the
origin exerted on the particle as a function of time,
(f) the angular momentum of the particle as a func-
tion of time, (g) the kinetic energy of the particle as a
function of time, and (h) the power injected into the
system of the particle as a function of time.
21. A ball having mass m is fas-
tened at the end of a flagpole
that is connected to the side
of a tall building at point P as
shown in Figure P11.21. The
length of the flagpole is ,, and
it makes an angle u with the x
axis. The ball becomes loose
and starts to fall with accelera-
tion 2g
j
^
. (a)Determine the
angular momentum of the
ball about point P as a function of time. (b) For what
physical reason does the angular momentum change?
(c) What is the rate of change of the angular momen-
tum of the ball about point P?
W
AMT
M
Q/C
m
P
u
Figure P11.21
Q/C
S
of the particle about the origin when its position vector
is r
S
5x
i
^
1y
j
^
.
14. Heading straight toward the summit of Pike’s Peak, an
airplane of mass 12 000 kg flies over the plains of Kan-
sas at nearly constant altitude 4.30 km with constant
velocity 175m/s west. (a) What is the airplane’s vector
angular momentum relative to a wheat farmer on the
ground directly below the airplane? (b) Does this value
change as the airplane continues its motion along a
straight line? (c) What If? What is its angular momen-
tum relative to the summit of Pike’s Peak?
15. Review. A projectile of mass m is launched with an ini-
tial velocity v
S
i
making an angle u with the horizontal as
shown in Figure P11.15. The projectile moves in the
gravitational field of the Earth. Find the angular
momentum of the projectile about the origin (a) when
the projectile is at the origin, (b) when it is at the high-
est point of its trajectory, and (c) just before it hits the
ground. (d) What torque causes its angular momen-
tum to change?
O
R
v
xi
i
u
m
y
x
v
i
S
v
2
S
v
1
S
=
Figure P11.15
16. Review. A conical pendulum consists
of a bob of mass m in motion in a cir-
cular path in a horizontal plane as
shown in Figure P11.16. During the
motion, the supporting wire of length
, maintains a constant angle u with
the vertical. Show that the magnitude
of the angular momentum of the bob
about the vertical dashed line is
L5a
m2g,3 sin4 u
cos u
b
1/2
17. A particle of mass m moves in a circle of radius R at a
constant speed v as shown in Figure P11.17. The motion
begins at point Q at time t 5 0. Determine the angular
momentum of the particle about the axis perpendicu-
lar to the page through point P as a function of time.
Q/C
S
m
u
Figure P11.16
S
S
m
R
y
x
Q
P
v
S
Figure P11.17
Problems 17 and 32.
C# PDF Convert to Word SDK: Convert PDF to Word library in C#.net
batch converting PDF documents in C#.NET program. Convert PDF to multiple MS Word formats such as .doc and .docx. Create editable Word file online without email
convert pdf to html5 open source; convert pdf to web form
About RasterEdge.com - A Professional Image Solution Provider
Email to: support@rasteredge.com. controls, PDF document, image to pdf files and components for capturing, viewing, processing, converting, compressing and
add pdf to website; how to convert pdf to html
problems
357
the ring. (a)What angular momentum does the space
station acquire? (b) For what time interval must the
rockets be fired if each exerts a thrust of 125 N?
Figure P11.29
Problems 29 and 40.
Section 11.4  Analysis Model: Isolated System
(Angular Momentum)
30. A disk with moment of inertia I
1
tionless, vertical axle with angular speed v
i
. A second
disk, this one having moment of inertia I
2
and initially
not rotating, drops onto the first disk (Fig. P11.30).
Because of friction between the surfaces, the two even-
tually reach the same angular speed v
f
. (a)Calculate
v
f
. (b) Calculate the ratio of the final to the initial
rotational energy.
Before
After
I
2
I
1
v
i
S
v
f
S
Figure P11.30
31. A playground merry-go-round of radius R 5 2.00 m
has a moment of inertia I 5 250 kg ? m2 and is rotating
at 10.0rev/min about a frictionless, vertical axle. Fac-
ing the axle, a 25.0-kg child hops onto the merry-go-
round and manages to sit down on the edge. What is
the new angular speed of the merry-go-round?
32. Figure P11.17 represents a small, flat puck with mass
m 5 2.40 kg sliding on a frictionless, horizontal sur-
face. It is held in a circular orbit about a fixed axis by
a rod with negligible mass and length R 5 1.50 m, piv-
oted at one end. Initially, the puck has a speed of v 5
5.00 m/s. A 1.30-kg ball of putty is dropped verti-
cally onto the puck from a small distance above it and
immediately sticks to the puck. (a) What is the new
period of rotation? (b) Is the angular momentum of
the puck–putty system about the axis of rotation con-
stant in this process? (c) Is the momentum of the sys-
tem constant in the process of the putty sticking to
the puck? (d) Is the mechanical energy of the system
constant in the process?
W
S
AMT
W
Q/C
Section 11.3  Angular Momentum of a Rotating Rigid object
22. A uniform solid sphere of radius r 5 0.500 m and mass
m 5 15.0 kg turns counterclockwise about a vertical axis
through its center. Find its vector angular momentum
23. Big Ben (Fig. P10.49, page 328), the Parliament tower
clock in London, has hour and minute hands with
lengths of 2.70m and 4.50 m and masses of 60.0 kg
and 100 kg, respectively. Calculate the total angular
momentum of these hands about the center point.
(You may model the hands as long, thin rods rotating
about one end. Assume the hour and minute hands
are rotating at a constant rate of one revolution per
12 hours and 60 minutes, respectively.)
24. Show that the kinetic energy of an object rotating
about a fixed axis with angular momentum L 5 Iv can
be written as K 5 L2/2I.
25. A uniform solid disk of mass m 5 3.00 kg and radius
r 5 0.200 m rotates about a fixed axis perpendicular
to its face with angular frequency 6.00 rad/s. Calcu-
late the magnitude of the angular momentum of the
disk when the axis of rotation (a) passes through its
center of mass and (b)passes through a point midway
between the center and the rim.
26. Model the Earth as a uniform sphere. (a) Calculate
the angular momentum of the Earth due to its spin-
ning motion about its axis. (b) Calculate the angu-
lar momentum of the Earth due to its orbital motion
about the Sun. (c) Explain why the answer in part (b) is
larger than that in part (a) even though it takes signifi-
cantly longer for the Earth to go once around the Sun
than to rotate once about its axis.
27. A particle of mass 0.400 kg is attached to the 100-cm
mark of a meterstick of mass 0.100 kg. The meterstick
rotates on the surface of a frictionless, horizontal
table with an angular speed of 4.00 rad/s. Calculate
the angular momentum of the system when the stick
is pivoted about an axis (a)perpendicular to the table
through the 50.0-cm mark and (b)perpendicular to
the table through the 0-cm mark.
28. The distance between the centers of the wheels of a
motorcycle is 155 cm. The center of mass of the motor-
cycle, including the rider, is 88.0 cm above the ground
and halfway between the wheels. Assume the mass of
each wheel is small compared with the body of the
motorcycle. The engine drives the rear wheel only.
What horizontal acceleration of the motorcycle will
make the front wheel rise off the ground?
29. A space station is constructed in the shape of a hollow
ring of mass 5.00 3 104 kg. Members of the crew walk
on a deck formed by the inner surface of the outer
cylindrical wall of the ring, with radius r 5 100 m. At
rest when constructed, the ring is set rotating about
its axis so that the people inside experience an effec-
tive free-fall acceleration equal to g. (See Fig. P11.29.)
The rotation is achieved by firing two small rockets
attached tangentially to opposite points on the rim of
S
W
Q/C
M
AMT
VB.NET PDF Convert to Word SDK: Convert PDF to Word library in vb.
Create editable Word file online without email. Supports transfer from password protected PDF. The PDF to Word converting toolkit is a thread-safe VB.NET
convert pdf to url; convert pdf to html online
VB.NET Create PDF from Excel Library to convert xlsx, xls to PDF
Viewer, C# HTML Document Viewer for Sharepoint, C# HTML Document Viewer for Azure, C# HTML Document Viewer VB.NET Demo Code for Converting Excel to PDF.
best website to convert pdf to word; export pdf to html
358
chapter 11 Angular Momentum
the pucks stick together and rotate after the collision
(Fig. P11.36b). (a) What is the angular momentum of
the system relative to the center of mass? (b) What is
the angular speed about the center of mass?
v
S
m
1
m
2
a
b
Figure P11.36
37. A wooden block of mass M resting on a frictionless,
horizontal surface is attached to a rigid rod of length ,
and of negligible mass (Fig. P11.37). The rod is pivoted
at the other end. A bullet of mass m traveling parallel
to the horizontal surface and perpendicular to the rod
with speed v hits the block and becomes embedded in
it. (a) What is the angular momentum of the bullet–
block system about a vertical axis through the pivot?
(b)What fraction of the original kinetic energy of the
bullet is converted into internal energy in the system
during the collision?
v
S
m
M
Figure P11.37
38. Review. A thin, uniform, rectangular signboard hangs
vertically above the door of a shop. The sign is hinged
to a stationary horizontal rod along its top edge. The
mass of the sign is 2.40 kg, and its vertical dimension
is 50.0 cm. The sign is swinging without friction, so it
is a tempting target for children armed with snowballs.
The maximum angular displacement of the sign is
25.08 on both sides of the vertical. At a moment when
the sign is vertical and moving to the left, a snowball
of mass 400 g, traveling horizontally with a velocity of
160 cm/s to the right, strikes perpendicularly at the
lower edge of the sign and sticks there. (a) Calculate
the angular speed of the sign immediately before the
impact. (b) Calculate its angular speed immediately
after the impact. (c) The spattered sign will swing up
through what maximum angle?
39. A wad of sticky clay with mass m and velocity v
S
i
is fired
at a solid cylinder of mass M and radius R (Fig.P11.39).
The cylinder is initially at rest and is mounted on a
fixed horizontal axle that runs through its center of
mass. The line of motion of the projectile is perpendic-
ular to the axle and at a distance d , R from the cen-
ter. (a) Find the angular speed of the system just after
the clay strikes and sticks to the surface of the cylin-
S
Q/C
S
33. A 60.0-kg woman stands at the western rim of a
horizontal turntable having a moment of inertia of
500kg?m2 and a radius of 2.00 m. The turntable is
initially at rest and is free to rotate about a friction-
less, vertical axle through its center. The woman then
starts walking around the rim clockwise (as viewed
from above the system) at a constant speed of 1.50 m/s
relative to the Earth. Consider the woman–turntable
system as motion begins. (a)Is the mechanical energy
of the system constant? (b) Is the momentum of the
system constant? (c) Is the angular momentum of the
system constant? (d) In what direction and with what
angular speed does the turntable rotate? (e)How much
chemical energy does the woman’s body convert into
mechanical energy of the woman–turntable system as
the woman sets herself and the turntable into motion?
34. A student sits on a freely rotating stool holding two
dumbbells, each of mass 3.00 kg (Fig. P11.34). When
his arms are extended horizontally (Fig. P11.34a), the
dumbbells are 1.00 m from the axis of rotation and the
student rotates with an angular speed of 0.750 rad/s.
The moment of inertia of the student plus stool is
3.00 kg · m2 and is assumed to be constant. The student
pulls the dumbbells inward horizontally to a position
0.300 m from the rotation axis (Fig.P11.34b). (a) Find
the new angular speed of the student. (b) Find the
kinetic energy of the rotating system before and after
he pulls the dumbbells inward.
v
v
i
f
a
b
Figure P11.34
35. A uniform cylindrical turntable of radius 1.90 m and
mass 30.0 kg rotates counterclockwise in a horizontal
plane with an initial angular speed of 4p rad/s. The
fixed turntable bearing is frictionless. A lump of clay
of mass 2.25 kg and negligible size is dropped onto the
turntable from a small distance above it and immedi-
ately sticks to the turntable at a point 1.80 m to the
east of the axis. (a) Find the final angular speed of the
clay and turntable. (b) Is the mechanical energy of
the turntable–clay system constant in this process?
Explain and use numerical results to verify your
answer. (c) Is the momentum of the system constant in
36. A puck of mass m
1
5 80.0 g and radius r
1
5 4.00 cm
glides across an air table at a speed of v
S
51.50 m/s as
shown in Figure P11.36a. It makes a glancing collision
with a second puck of radius r
2
5 6.00 cm and mass m
2

120 g (initially at rest) such that their rims just touch.
Because their rims are coated with instant-acting glue,
Q/C
M
W
Q/C
RasterEdge.com General FAQs for Products
convert pdf to web pages; convert pdf table to html
.NET RasterEdge XDoc.PDF Purchase Details
PDF Print. Have a Question Email us at. support@rasteredge.com. imaging controls and components for capturing, viewing, processing, converting, compressing and
convert pdf to html code for email; convert pdf to html code
problems
359
of the spacecraft around the same axis is I
s
5 5.00 3
105kg?m2. Neither the spacecraft nor the gyroscope
is originally rotating. The gyroscope can be powered
up in a negligible period of time to an angular speed
of 100 rad/s. If the orientation of the spacecraft is to
be changed by 30.08, for what time interval should the
gyroscope be operated?
43. The angular momentum vector of a precessing gyro-
scope sweeps out a cone as shown in Figure P11.43. The
angular speed of the tip of the angular momentum vec-
tor, called its precessional frequency, is given by v
p
t/L, where t is the magnitude of the torque on the gyro-
scope and L is the magnitude of its angular momen-
tum. In the motion called precession of the equinoxes, the
Earth’s axis of rotation precesses about the perpendicu-
lar to its orbital plane with a period of 2.58 3 104 yr.
Model the Earth as a uniform sphere and calculate the
torque on the Earth that is causing this precession.
L
t
L
S
v
Figure P11.43
A precessing
angular momentum vector
sweeps out a cone in space.
44. A light rope passes over a light,
frictionless pulley. One end is fas-
tened to a bunch of bananas of
mass M, and a monkey of mass M
clings to the other end (Fig. P11.44).
The monkey climbs the rope in
an attempt to reach the bananas.
(a) Treating the system as consist-
ing of the monkey, bananas, rope,
and pulley, find the net torque on
the system about the pulley axis.
(b) Using the result of part (a),
determine the total angular momen-
tum about the pulley axis and describe the motion of
the system. (c)Will the monkey reach the bananas?
45. Comet Halley moves about the Sun in an elliptical
orbit, with its closest approach to the Sun being about
0.590 AU and its greatest distance 35.0 AU (1 AU 5 the
Earth–Sun distance). The angular momentum of the
comet about the Sun is constant, and the gravitational
force exerted by the Sun has zero moment arm. The
comet’s speed at closest approach is 54.0 km/s. What is
its speed when it is farthest from the Sun?
46. Review. Two boys are sliding toward each other on a
frictionless, ice-covered parking lot. Jacob, mass 45.0 kg,
is gliding to the right at 8.00 m/s, and Ethan, mass
31.0kg, is gliding to the left at 11.0 m/s along the same
M
M
Figure P11.44
Q/C
S
Q/C
der. (b) Is the mechanical energy of the clay–cylinder
system constant in this process? Explain your answer.
(c) Is the momentum of the clay–cylinder system con-
stant in this process? Explain your answer.
M
R
m
d
v
i
S
Figure P11.39
40. Why is the following situation impossible? A space station
shaped like a giant wheel has a radius of r 5 100 m and
a moment of inertia of 5.00 3 108 kg ? m2. A crew of
150 people of average mass 65.0 kg is living on the rim,
and the station’s rotation causes the crew to experience
an apparent free-fall acceleration of g (Fig. P11.29).
A research technician is assigned to perform an experi-
ment in which a ball is dropped at the rim of the station
every 15 minutes and the time interval for the ball to
drop a given distance is measured as a test to make sure
the apparent value of g is correctly maintained. One
evening, 100 average people move to the center of the
station for a union meeting. The research technician,
who has already been performing his experiment for an
hour before the meeting, is disappointed that he cannot
attend the meeting, and his mood sours even further by
his boring experiment in which every time interval for
the dropped ball is identical for the entire evening.
41. A 0.005 00-kg bullet traveling horizontally with speed
1.00 3 103 m/s strikes an 18.0-kg door, embedding itself
10.0 cm from the side opposite the hinges as shown in
Figure P11.41. The 1.00-m wide door is free to swing
on its frictionless hinges. (a) Before it hits the door,
does the bullet have angular momentum relative to the
door’s axis of rotation? (b) If so, evaluate this angu-
lar momentum. If not, explain why there is no angular
momentum. (c) Is the mechanical energy of the bullet–
door system constant during this collision? Answer
without doing a calculation. (d)At what angular speed
does the door swing open immediately after the colli-
sion? (e) Calculate the total energy of the bullet–door
system and determine whether it is less than or equal
to the kinetic energy of the bullet before the collision.
0.005 00 kg
18.0 kg
Hinge
Figure P11.41
An overhead view of a bullet striking a door.
Section 11.5  The Motion of Gyroscopes and Tops
42. A spacecraft is in empty space. It carries on board a
gyroscope with a moment of inertia of I
g
5 20.0 kg ? m2
about the axis of the gyroscope. The moment of inertia
Q/C
VB.NET Create PDF from PowerPoint Library to convert pptx, ppt to
PDF in VB.NET, VB.NET convert PDF to HTML, VB.NET convert PDF to Word, VB.NET extract text from PDF VB.NET Demo Code for Converting PowerPoint to PDF.
converting pdf to html email; convert pdf into html online
RasterEdge Product Refund Policy
Refund Agreement that we will email to you. controls, PDF document, image to pdf files and for capturing, viewing, processing, converting, compressing and
create html email from pdf; pdf to html converters
360
chapter 11 Angular Momentum
Assuming m and d are known, find (a) the moment
of inertia of the system of three particles about the
pivot, (b) the torque acting on the system at t 5 0,
(c) the angular acceleration of the system at t 5 0,
(d) the linear acceleration of the particle labeled 3 at
t 5 0, (e) the maximum kinetic energy of the system,
(f) the maximum angular speed reached by the rod,
(g) the maximum angular momentum of the system,
and (h) the maximum speed reached by the particle
labeled 2.
d
2d
3
m
m
m
P
d
3
1
2
Figure P11.49
50. Two children are playing on stools at a restaurant coun-
ter. Their feet do not reach the footrests, and the tops
of the stools are free to rotate without friction on ped-
estals fixed to the floor. One of the children catches a
tossed ball, in a process described by the equation
1
0.730 kg
#
m2
21
2.40
j
^
2
1
1
0.120 kg
21
0.350
i
^
m
2
3
1
4.30
k
^
m/s
2
5
3
0.730 kg
#
m1
1
0.120 kg
21
0.350 m
224
v
S
(a) Solve the equation for the unknown v
S
. (b) Com-
plete the statement of the problem to which this
equation applies. Your statement must include the
given numerical information and specification of the
unknown to be determined. (c) Could the equation
equally well describe the other child throwing the ball?
51. A projectile of mass m moves to the right with a speed v
i
(Fig. P11.51a). The projectile strikes and sticks to the end
of a stationary rod of mass M, length d, pivoted about
a frictionless axle perpendicular to the page through
O (Fig. P11.51b). We wish to find the fractional change
of kinetic energy in the system due to the collision.
(a) What is the appropriate analysis model to describe
the projectile and the rod? (b)What is the angular
momentum of the system before the collision about an
axis through O? (c)What is the moment of inertia of
the system about an axis through O after the projectile
sticks to the rod? (d)If the angular speed of the system
after the collision is v, what is the angular momentum
of the system after the collision? (e) Find the angular
speed v after the collision in terms of the given quanti-
Q/C
S
GP
line. When they meet, they grab each other and hang
on. (a) What is their velocity immediately thereafter?
(b) What fraction of their original kinetic energy is
still mechanical energy after their collision? That was
so much fun that the boys repeat the collision with the
same original velocities, this time moving along paral-
lel lines 1.20 m apart. At closest approach, they lock
arms and start rotating about their common center of
mass. Model the boys as particles and their arms as a
cord that does not stretch. (c) Find the velocity of their
center of mass. (d) Find their angular speed. (e) What
fraction of their original kinetic energy is still mechani-
to parts (b) and (e) so different?
47. We have all complained that there aren’t enough hours
in a day. In an attempt to fix that, suppose all the peo-
ple in the world line up at the equator and all start
running east at 2.50 m/s relative to the surface of the
Earth. By how much does the length of a day increase?
Assume the world population to be 7.00 3 109 people
with an average mass of 55.0kg each and the Earth to
be a solid homogeneous sphere. In addition, depend-
ing on the details of your solution, you may need to use
the approximation 1/(1 2 x) < 11 x for small x.
48. A skateboarder with his board can be modeled as a
particle of mass 76.0 kg, located at his center of mass,
0.500m above the ground. As shown in Figure P11.48,
the skateboarder starts from rest in a crouching posi-
tion at one lip of a half-pipe (point A). The half-pipe
forms one half of a cylinder of radius 6.80 m with its
axis horizontal. On his descent, the skateboarder moves
without friction and maintains his crouch so that his
center of mass moves through one quarter of a circle.
(a) Find his speed at the bottom of the half-pipe (point
B). (b) Find his angular momentum about the center
of curvature at this point. (c)Immediately after passing
point B, he stands up and raises his arms, lifting his
center of gravity to 0.950 m above the concrete (point
C). Explain why his angular momentum is constant in
this maneuver, whereas the kinetic energy of his body
is not constant. (d) Find his speed immediately after he
stands up. (e) How much chemical energy in the skate-
boarder’s legs was converted into mechanical energy in
the skateboarder–Earth system when he stood up?
A
B
C
Figure P11.48
49. A rigid, massless rod has three particles with equal
masses attached to it as shown in Figure P11.49. The rod
is free to rotate in a vertical plane about a frictionless
axle perpendicular to the rod through the point P and
is released from rest in the horizontal position at t 5 0.
Q/C
S
O
d
M
m
O
v
v
i
S
a
b
Figure P11.51
XDoc.Converter for .NET Purchase information
Online Convert PDF to Html. SUPPORT: controls, PDF document, image to pdf files and components for capturing, viewing, processing, converting, compressing and
best pdf to html converter online; batch convert pdf to html
XDoc.HTML5 Viewer for .NET Purchase information
Online Convert PDF to Html. SUPPORT: controls, PDF document, image to pdf files and components for capturing, viewing, processing, converting, compressing and
convert pdf to html code c#; convert pdf to website html
problems
361
of mass at speeds of 5.00 m/s. Treating the astronauts
as particles, calculate (a) the magnitude of the angu-
lar momentum of the two-astronaut system and (b) the
rotational energy of the system. By pulling on the rope,
one astronaut shortens the distance between them to
5.00 m. (c) What is the new angular momentum of
the system? (d) What are the astronauts’ new speeds?
(e) What is the new rotational energy of the system?
(f) How much chemical potential energy in the body
of the astronaut was converted to mechanical energy in
the system when he shortened the rope?
56. Two astronauts (Fig. P11.55), each having a mass M
are connected by a rope of length d having negligible
mass. They are isolated in space, orbiting their center
of mass at speeds v. Treating the astronauts as particles,
calculate (a)the magnitude of the angular momen-
tum of the two-astronaut system and (b) the rotational
energy of the system. By pulling on the rope, one of the
astronauts shortens the distance between them to d/2.
(c) What is the new angular momentum of the system?
(d) What are the astronauts’ new speeds? (e) What is
the new rotational energy of the system? (f) How much
chemical potential energy in the body of the astronaut
was converted to mechanical energy in the system
when he shortened the rope?
57. Native people throughout North and South America
used a bola to hunt for birds and animals. A bola can
consist of three stones, each with mass m, at the ends
of three light cords, each with length ,. The other
ends of the cords are tied together to form a Y. The
hunter holds one stone and swings the other two above
his head (FigureP11.57a). Both these stones move
together in a horizontal circle of radius 2, with speed
v
0
. At a moment when the horizontal component of
their velocity is directed toward the quarry, the hunter
releases the stone in his hand. As the bola flies through
the air, the cords quickly take a stable arrangement
with constant 120-degree angles between them (Fig.
P11.57b). In the vertical direction, the bola is in free
fall. Gravitational forces exerted by the Earth make
the junction of the cords move with the downward
acceleration g
S
. You may ignore the vertical motion as
you proceed to describe the horizontal motion of the
bola. In terms of m, ,, and v
0
, calculate (a) the mag-
nitude of the momentum of the bola at the moment
of release and, after release, (b)the horizontal speed
of the center of mass of the bola and (c) the angu-
lar momentum of the bola about its center of mass.
(d) Find the angular speed of the bola about its center
of mass after it has settled into its Y shape. Calculate
S
Q/C
S
ties. (f)What is the kinetic energy of the system before
the collision? (g)What is the kinetic energy of the sys-
tem after the collision? (h)Determine the fractional
change of kinetic energy due to the collision.
52.A puck of mass m 5 50.0 g is attached to a taut cord pass-
ing through a small hole in a frictionless, horizontal
surface (Fig. P11.52). The puck is initially orbiting with
speed v
i
5 1.50m/s in a circle of radius r
i
5 0.300m.
The cord is then slowly pulled from below, decreasing
the radius of the circle to r 5 0.100 m. (a)What is the
puck’s speed at the smaller radius? (b) Find the tension
in the cord at the smaller radius. (c) How much work is
done by the hand in pulling the cord so that the radius
of the puck’s motion changes from 0.300 m to 0.100 m?
r
i
m
v
i
S
Figure P11.52
Problems 52 and 53.
53. A puck of mass m is attached to a taut cord passing
through a small hole in a frictionless, horizontal sur-
face (Fig. P11.52). The puck is initially orbiting with
speed v
i
in a circle of radius r
i
. The cord is then slowly
pulled from below, decreasing the radius of the circle
to r. (a) What is the puck’s speed when the radius is r?
(b) Find the tension in the cord as a function of r.
(c) How much work is done by the hand in pulling the
cord so that the radius of the puck’s motion changes
from r
i
to r?
54. Why is the following situation impossible? A meteoroid strikes
the Earth directly on the equator. At the time it lands,
it is traveling exactly vertical and downward. Due to the
impact, the time for the Earth to rotate once increases
by 0.5 s, so the day is 0.5 s longer, undetectable to layper-
sons. After the impact, people on the Earth ignore the
extra half-second each day and life goes on as normal.
(Assume the density of the Earth is uniform.)
55. Two astronauts (Fig. P11.55), each having a mass of
75.0kg, are connected by a 10.0-m rope of negligible
mass. They are isolated in space, orbiting their center
M
AMT
S
M
CM
d
Figure P11.55
Problems 55 and 56.
Figure P11.57
,
,
,
m
m
m
b
a
362
chapter 11 Angular Momentum
rolling occurs. (c) Assume the coefficient of friction
between disk and surface is m. What is the time inter-
val after setting the disk down before pure rolling
motion begins? (d) How far does the disk travel before
pure rolling begins?
M
Figure P11.61
62. In Example 11.9, we investigated an elastic collision
between a disk and a stick lying on a frictionless sur-
face. Suppose everything is the same as in the example
except that the collision is perfectly inelastic so that
the disk adheres to the stick at the endpoint at which it
strikes. Find (a) the speed of the center of mass of the
system and (b)the angular speed of the system after
the collision.
63. A solid cube of side 2a and mass M is sliding on a fric-
tionless surface with uniform velocity v
S
as shown in
FigureP11.63a. It hits a small obstacle at the end of
the table that causes the cube to tilt as shown in Fig-
ure P11.63b. Find the minimum value of the magni-
tude of v
S
such that the cube tips over and falls off the
table. Note: The cube undergoes an inelastic collision
at the edge.
v
S
2a
M
v
a
b
Figure P11.63
64. A solid cube of wood of side 2a and mass M is resting
on a horizontal surface. The cube is constrained to
rotate about a fixed axis AB (Fig. P11.64). A bullet of
mass m and speed v is shot at the face opposite ABCD at
a height of 4a/3. The bullet becomes embedded in the
cube. Find the minimum value of v required to tip the
cube so that it falls on face ABCD. Assume m ,, M.
m
2a
A
B
C
v
S
3
4a
D
Figure P11.64
S
S
the kinetic energy of the bola (e) at the instant of
release and (f) in its stable Y shape. (g) Explain how
the conservation laws apply to the bola as its configu-
ration changes. Robert Beichner suggested the idea
for this problem.
58. A uniform rod of mass 300 g and length 50.0 cm
rotates in a horizontal plane about a fixed, frictionless,
vertical pin through its center. Two small, dense beads,
each of mass m, are mounted on the rod so that they
can slide without friction along its length. Initially,
the beads are held by catches at positions 10.0 cm on
each side of the center and the system is rotating at an
angular speed of 36.0 rad/s. The catches are released
simultaneously, and the beads slide outward along the
rod. (a) Find an expression for the angular speed v
f
of
the system at the instant the beads slide off the ends of
the rod as it depends on m. (b) What are the maximum
and the minimum possible values for v
f
and the values
of m to which they correspond?
59. Global warming is a cause for concern because even
small changes in the Earth’s temperature can have sig-
nificant consequences. For example, if the Earth’s polar
ice caps were to melt entirely, the resulting additional
water in the oceans would flood many coastal areas.
Model the polar ice as having mass 2.30 3 1019 kg and
forming two flat disks of radius 6.00 3 105 m. Assume
the water spreads into an unbroken thin, spherical shell
after it melts. Calculate the resulting change in the dura-
tion of one day both in seconds and as a percentage.
60. The puck in Figure P11.60 has a mass of 0.120 kg. The
distance of the puck from the center of rotation is
originally 40.0 cm, and the puck is sliding with a speed
of 80.0 cm/s. The string is pulled downward 15.0 cm
through the hole in the frictionless table. Determine
the work done on the puck. (Suggestion: Consider the
change of kinetic energy.)
F
S
i
v
S
O
R
Figure P11.60
Challenge Problems
61. A uniform solid disk of radius R is set into rotation
with an angular speed v
i
about an axis through its cen-
ter. While still rotating at this speed, the disk is placed
into contact with a horizontal surface and immedi-
ately released as shown in Figure P11.61. (a) What is
the angular speed of the disk once pure rolling takes
place? (b) Find the fractional change in kinetic energy
from the moment the disk is set down until pure
Q/C
S
Balanced Rock in Arches National
Park, Utah, is a 3 000 000-kg
boulder that has been in stable
equilibrium for several millennia.
It had a smaller companion nearby,
called “Chip Off the Old Block,”
that fell during the winter of 1975.
Balanced Rock appeared in an
early scene of the movie Indiana
Jones and the Last Crusade. We will
study the conditions under which
an object is in equilibrium in this
chapter.
(John W. Jewett, Jr.)
12.1 Analysis Model: Rigid
Object in Equilibrium
12.2 More on the Center of
Gravity
12.3 Examples of Rigid Objects
in Static Equilibrium
12.4 Elastic Properties of Solids
c h a p p t t e r
12
Static equilibrium
and elasticity
363
In Chapters 10 and 11, we studied the dynamics of rigid objects. Part of this chapter
addresses the conditions under which a rigid object is in equilibrium. The term equilibrium
implies that the object moves with both constant velocity and constant angular velocity
relative to an observer in an inertial reference frame. We deal here only with the special
case in which both of these velocities are equal to zero. In this case, the object is in what
is called static equilibrium. Static equilibrium represents a common situation in engineering
practice, and the principles it involves are of special interest to civil engineers, architects,
and mechanical engineers. If you are an engineering student, you will undoubtedly take an
advanced course in statics in the near future.
The last section of this chapter deals with how objects deform under load conditions. An
elastic object returns to its original shape when the deforming forces are removed. Several
elastic constants are defined, each corresponding to a different type of deformation.
12.1 Analysis Model: Rigid Object in Equilibrium
In Chapter 5, we discussed the particle in equilibrium model, in which a particle
moves with constant velocity because the net force acting on it is zero. The situation
with real (extended) objects is more complex because these objects often cannot be
modeled as particles. For an extended object to be in equilibrium, a second condi-
tion must be satisfied. This second condition involves the rotational motion of the
extended object.
364
chapter 12 Static equilibrium and elasticity
F
2
S
F
1
S
F
3
S
Figure 12.3
(Quick Quiz 12.2)
Three forces act on an object.
Notice that the lines of action of
all three forces pass through a
common point.
Consider a single force F
S
acting on a rigid object as shown in Figure 12.1. Recall
that the torque associated with the force F
S
about an axis through O is given by
Equation 11.1:
t
S
r
S
F
S
The magnitude of t
S
is Fd (see Equation 10.14), where d is the moment arm shown
in Figure 12.1. According to Equation 10.18, the net torque on a rigid object causes
it to undergo an angular acceleration.
In this discussion, we investigate those rotational situations in which the angular
acceleration of a rigid object is zero. Such an object is in rotational equilibrium.
Because o t
ext
Ia for rotation about a fixed axis, the necessary condition for rota-
tional equilibrium is that the net torque about any axis must be zero. We now have
two necessary conditions for equilibrium of a rigid object:
1. The net external force on the object must equal zero:
a
F
S
ext
50
(12.1)
2. The net external torque on the object about any axis must be zero:
a
t
S
ext
50
(12.2)
These conditions describe the rigid object in equilibrium analysis model. The first
condition is a statement of translational equilibrium; it states that the translational
acceleration of the object’s center of mass must be zero when viewed from an iner-
tial reference frame. The second condition is a statement of rotational equilibrium;
it states that the angular acceleration about any axis must be zero. In the special
case of static equilibrium, which is the main subject of this chapter, the object in
equilibrium is at rest relative to the observer and so has no translational or angular
speed (that is, v
CM
5 0 and v 5 0).
uick Quiz 12.1  Consider the object subject to the two forces of equal magnitude
in Figure 12.2. Choose the correct statement with regard to this situation.
(a) The object is in force equilibrium but not torque equilibrium. (b)The object
is in torque equilibrium but not force equilibrium. (c) The object is in both
force equilibrium and torque equilibrium. (d) The object is in neither force
equilibrium nor torque equilibrium.
uick Quiz 12.2  Consider the object subject to the three forces in Figure 12.3.
Choose the correct statement with regard to this situation. (a)The object is in
force equilibrium but not torque equilibrium. (b) The object is in torque equi-
librium but not force equilibrium. (c) The object is in both force  equilibrium
and torque equilibrium. (d) The object is in neither force equilibrium nor
torque equilibrium.
The two vector expressions given by Equations 12.1 and 12.2 are equivalent,
in general, to six scalar equations: three from the first condition for equilibrium
and three from the second (corresponding to x, y, and z components). Hence, in a
complex system involving several forces acting in various directions, you could be
faced with solving a set of equations with many unknowns. Here, we restrict our
discussion to situations in which all the forces lie in the xy plane. (Forces whose
vector representations are in the same plane are said to be coplanar.) With this
restriction, we must deal with only three scalar equations. Two come from balanc-
ing the forces in the x and y directions. The third comes from the torque equa-
tion, namely that the net torque about a perpendicular axis through any point in
the xy plane must be zero. This perpendicular axis will necessarily be parallel to
F
S
r
S
P
O
d
u
Figure 12.1
A single force F
S
acts
on a rigid object at the point P.
Pitfall Prevention 12.1
Zero Torque Zero net torque does
not mean an absence of rotational
motion. An object that is rotating
at a constant angular speed can
be under the influence of a net
torque of zero. This possibility
is analogous to the translational
situation: zero net force does not
mean an absence of translational
motion.
F
S
d
d
CM
F
S
Figure 12.2
(Quick Quiz 12.1)
Two forces of equal magnitude are
applied at equal distances from
the center of mass of a rigid object.