problems 
775
is far from the dipole (r .. a), show that the electric 
potential is
V5
k
e
p cos u
r2
(b) Calculate the radial compo-
nent E
r
and the perpendicular 
component E
u
of the associated 
electric field. Note that E
u
2(1/r)('V/'u). Do these results 
seem reasonable for (c) u 5 908 
and 08? (d) For r 5 0? (e) For 
the dipole arrangement shown 
in Figure P25.71, express V in 
terms of Cartesian coordinates 
using r 5 (x2 1 y2)1/2 and
cos u5
y
1
x1y2
21/2
(f) Using these results and again taking r .. a, calcu-
late the field components E
x
and E
y
.
72. A solid sphere of radius R has a uniform charge density 
r and total charge Q. Derive an expression for its total 
electric potential energy. Suggestion: Imagine the 
sphere is constructed by adding successive layers of 
concentric shells of charge dq 5 (4pr2 dr)r and use  
dU 5 V dq.
73. A disk of radius R (Fig. 
P25.73) has a nonuniform 
surface charge density s 5 
Cr, where C is a constant 
and r is measured from the 
center of the disk to a point 
on the surface of the disk. 
Find (by direct integration) 
the electric potential at P.
74. Four balls, each with mass m, are 
connected by four nonconducting 
strings to form a square with side 
a as shown in Figure P25.74. The 
assembly is placed on a noncon-
ducting, frictionless, horizontal sur-
face. Balls 1 and 2 each have charge 
q, and balls 3 and 4 are uncharged. 
After the string connecting balls 1 and 2 is cut, what is 
the maximum speed of balls 3 and 4?
75. (a) A uniformly charged cylindrical shell with no end 
caps has total charge Q, radius R, and length h. Deter-
mine the electric potential at a point a distance d from 
the right end of the cylinder as shown in Figure P25.75. 
a
-q
a
+q
r
1
r
2
r
x
y
P
E
r
E
u
u
+
-
Figure P25.71
S
x
P
R
Figure P25.73
S
1
2
a
a
4
3
+
+
Figure P25.74
S
S
pulse of electric current between the wire and the cyl-
inder is counted by an external circuit. (a) Show that 
the magnitude of the electric potential difference 
between the wire and the cylinder is
DV52k
e
l ln a
r
a
r
b
b
(b) Show that the magnitude of the electric field in the 
space between cathode and anode is
E5
DV
ln 
1
r
a
/r
b
2
a
1
r
b
where r is the distance from the axis of the anode to 
the point where the field is to be calculated.
Figure P25.68
r
b
r
a
Cathode
Anode
l
-l
a
b
H
a
n
k
M
o
r
g
a
n
/
P
h
o
t
o
R
e
s
e
a
r
c
h
e
r
s
,
I
n
c
.
69. Review. Two parallel plates having charges of equal 
magnitude but opposite sign are separated by 12.0 cm.  
Each plate has a surface charge density of 36.0 nC/m2.  
A proton is released from rest at the positive plate. Deter-
mine (a)the magnitude of the electric field between 
the plates from the charge density, (b) the potential dif-
ference between the plates, (c) the kinetic energy of the 
proton when it reaches the negative plate, (d) the speed 
of the proton just before it strikes the negative plate,  
(e) the acceleration of the proton, and (f) the force on 
the proton. (g) From the force, find the magnitude of 
the electric field. (h) How does your value of the elec-
tric field compare with that found in part(a)?
70. When an uncharged conducting sphere of radius a is 
placed at the origin of an xyz coordinate system that 
lies in an initially uniform electric field E
S
5E
0
k
^
, the 
resulting electric potential is V(x, y, z) 5 V
0
for points 
inside the sphere and
V1xyz25V
0
2E
0
z1
E
0
a3z
1
x1y21z2
2
3/2
for points outside the sphere, where V
0
is the (constant) 
electric potential on the conductor. Use this equation 
to determine the xy, and z components of the result-
ing electric field (a) inside the sphere and (b) outside 
the sphere.
Challenge Problems
71. An electric dipole is located along the y axis as shown 
in Figure P25.71. The magnitude of its electric dipole 
moment is defined as p 5 2aq. (a) At a point P, which 
S
S
d
R
h
Figure P25.75
Embed pdf to website - Convert PDF to html files in C#.net, ASP.NET MVC, WinForms, WPF application
How to Convert PDF to HTML Webpage with C# PDF Conversion SDK
how to convert pdf to html email; embed pdf into webpage
Embed pdf to website - VB.NET PDF Convert to HTML SDK: Convert PDF to html files in vb.net, ASP.NET MVC, WinForms, WPF application
PDF to HTML Webpage Converter SDK for VB.NET PDF to HTML Conversion
convert pdf into html online; online convert pdf to html
776
chapter 25 electric potential
the equilibrium of the ball is 
unstable if V
0
exceeds the criti-
cal value 
3
k
e
d2 mg/
1
4RL
241/2
Suggestion: Consider the forces 
on the ball when it is displaced 
a distance x ,, L.
77. A particle with charge q is 
located at x 5 2R, and a par-
ticle with charge 22q is located 
at the origin. Prove that the 
equipotential surface that has 
zero potential is a sphere centered at (24R/3, 0, 0) and 
having a radius r5
2
3
R.
S
Suggestion: Use the result of Example 25.5 by treating 
the cylinder as a collection of ring charges. (b) What 
If? Use the result of Example 25.6 to solve the same 
problem for a solid cylinder.
76. As shown in Figure P25.76, two large, parallel, verti-
cal conducting plates separated by distance d are 
charged so that their potentials are 1V
0
and 2V
0
. A 
small conducting ball of mass m and radius R (where  
R ,, d) hangs midway between the plates. The thread 
of length L supporting the ball is a conducting wire 
connected to ground, so the potential of the ball is 
fixed at V 5 0. The ball hangs straight down in stable 
equilibrium when V
0
is sufficiently small. Show that 
S
+V
0
-V
0
d
L
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
Figure P25.76
VB.NET PDF Convert to Images SDK: Convert PDF to png, gif images
Embed PDF to image converter in viewer. the API, sample codes are provided for PDF document to Our website offers PDF to Raster Images Conversion Control for VB
convert pdf into html code; convert pdf form to html form
C# Image: How to Integrate Web Document and Image Viewer
RasterEdgeImagingDeveloperGuide8.0.pdf: from this user manual, you can existing one from where the website is ready Embed Document Viewer to Your ASPX Web Page.
best website to convert pdf to word online; convert pdf to web page online
When a patient receives a shock 
from a defibrillator, the energy 
delivered to the patient is initially 
stored in a capacitor.  We will study 
capacitors and capacitance in this 
chapter. 
(Andrew Olney/Getty Images)
26.1 Definition of Capacitance
26.2 Calculating Capacitance
26.3 Combinations of 
Capacitors
26.4 Energy Stored in a Charged 
Capacitor
26.5 Capacitors with Dielectrics
26.6 Electric Dipole in an 
Electric Field
26.7 An Atomic Description of 
Dielectrics
c h a p p t t e r 
26
In this chapter, we introduce the first of three simple circuit elements that can be 
connected with wires to form an electric circuit. Electric circuits are the basis for the vast 
majority of the devices used in our society. Here we shall discuss capacitors, devices that 
store electric charge. This discussion is followed by the study of resistors in Chapter 27 and 
inductors in Chapter 32. In later chapters, we will study more sophisticated circuit elements 
such as diodes and transistors.
Capacitors are commonly used in a variety of electric circuits. For instance, they are used 
to tune the frequency of radio receivers, as filters in power supplies, to eliminate sparking in 
automobile ignition systems, and as energy-storing devices in electronic flash units.
26.1 Definition of Capacitance
Consider two conductors as shown in Figure 26.1 (page 778). Such a combination 
of two conductors is called a capacitor. The conductors are called plates. If the con-
ductors carry charges of equal magnitude and opposite sign, a potential difference 
DV exists between them.
capacitance and 
Dielectrics
777
VB.NET Word: VB Code to Create Word Mobile Viewer with .NET Doc
prorgam, please link to see: PDF Document Mobile RasterEdge_Imaging_Files" to your created website folder Embed "RasterEdge.css" and "RasterEdge.js" references
changing pdf to html; convert pdf to website
VB.NET Image: VB Code to Download and Save Image from Web URL
this, you can instantly and quickly embed required RasterEdge users to download image from website link more & profession imaging controls, PDF document, image
convert pdf into webpage; how to convert pdf file to html
778
Chapter 26 Capacitance and Dielectrics
What determines how much charge is on the plates of a capacitor for a given volt-
age? Experiments show that the quantity of charge Q on a capacitor1 is linearly pro-
portional to the potential difference between the conductors; that is, Q ~ DV. The 
proportionality constant depends on the shape and separation of the conductors.2 
This relationship can be written as Q 5 C DV if we define capacitance as follows:
The capacitance C of a capacitor is defined as the ratio of the magnitude of 
the charge on either conductor to the magnitude of the potential difference 
between the conductors:
C;
Q
DV
(26.1)
By definition capacitance is always a positive quantity. Furthermore, the charge Q and the 
potential difference DV are always expressed in Equation 26.1 as positive quantities.
From Equation 26.1, we see that capacitance has SI units of coulombs per volt. 
Named in honor of Michael Faraday, the SI unit of capacitance is the farad (F):
1 F51 C/V 
The farad is a very large unit of capacitance. In practice, typical devices have capac-
itances ranging from microfarads (1026 F) to picofarads (10212 F). We shall use the 
symbol mF to represent microfarads. In practice, to avoid the use of Greek letters, 
physical capacitors are often labeled “mF” for microfarads and “mmF” for micromi-
crofarads or, equivalently, “pF” for picofarads.
Let’s consider a capacitor formed from a pair of parallel plates as shown in Figure 
26.2. Each plate is connected to one terminal of a battery, which acts as a source of 
potential difference. If the capacitor is initially uncharged, the battery establishes 
an electric field in the connecting wires when the connections are made. Let’s focus 
on the plate connected to the negative terminal of the battery. The electric field in 
the wire applies a force on electrons in the wire immediately outside this plate; this 
force causes the electrons to move onto the plate. The movement continues until 
the plate, the wire, and the terminal are all at the same electric potential. Once this 
equilibrium situation is attained, a potential difference no longer exists between 
the terminal and the plate; as a result, no electric field is present in the wire and 
Definition of capacitance 
Pitfall Prevention 26.1
Capacitance Is a Capacity To 
understand capacitance, think of 
similar notions that use a similar 
word. The capacity of a milk carton 
is the volume of milk it can store. 
The heat capacity of an object is 
the amount of energy an object 
can store per unit of temperature 
difference. The capacitance of a 
capacitor is the amount of charge 
the capacitor can store per unit of 
potential difference.
Pitfall Prevention 26.2
Potential Difference Is D
V
,
Not 
V
 
We use the symbol DV for the 
potential difference across a cir-
cuit element or a device because 
this notation is consistent with our 
definition of potential difference 
and with the meaning of the delta 
sign. It is a common but confus-
ing practice to use the symbol V 
without the delta sign for both a 
potential and a potential differ-
ence! Keep that in mind if you 
consult other texts.
1Although the total charge on the capacitor is zero (because there is as much excess positive charge on one conduc-
tor as there is excess negative charge on the other), it is common practice to refer to the magnitude of the charge on 
either conductor as “the charge on the capacitor.” 
2The proportionality between and DV can be proven from Coulomb’s law or by experiment.
-Q
+Q
When the capacitor is charged, the 
conductors carry charges of equal 
magnitude and opposite sign.
Figure 26.1 
A capacitor 
consists of two conductors. 
d
-Q
+Q
Area = A
+
-
When the capacitor is connected 
to the terminals of a battery, 
electrons transfer between the 
plates and the wires so that the 
plates become charged.
Figure 26.2 
A parallel-plate 
capacitor consists of two parallel 
conducting plates, each of area A
separated by a distance d. 
C# PDF url edit Library: insert, remove PDF links in C#.net, ASP.
embed link to specific PDF pages. Easy to put link into specified position of PDF text, image and PDF table. Link access to variety of objects, such as website,
best pdf to html converter online; convert pdf to html form
VB.NET PDF url edit library: insert, remove PDF links in vb.net
Able to embed link to specific PDF pages in VB Extract and search url in existing PDF file in VB access to variety of objects, including website, image, document
converting pdf into html; convert pdf form to web form
26.2 calculating capacitance 
779
the electrons stop moving. The plate now carries a negative charge. A similar pro-
cess occurs at the other capacitor plate, where electrons move from the plate to the 
wire, leaving the plate positively charged. In this final configuration, the potential 
difference across the capacitor plates is the same as that between the terminals of 
the battery.
uick Quiz 26.1  A capacitor stores charge Q at a potential difference DV. What 
happens if the voltage applied to the capacitor by a battery is doubled to 2 DV? 
(a) The capacitance falls to half its initial value, and the charge remains the 
same. (b) The capacitance and the charge both fall to half their initial values. 
(c) The capacitance and the charge both double. (d) The capacitance remains 
the same, and the charge doubles.
26.2 Calculating Capacitance
We can derive an expression for the capacitance of a pair of oppositely charged 
conductors having a charge of magnitude Q in the following manner. First we cal-
culate the potential difference using the techniques described in Chapter 25. We 
then use the expression C 5 Q/DV to evaluate the capacitance. The calculation is 
relatively easy if the geometry of the capacitor is simple.
Although the most common situation is that of two conductors, a single con-
ductor also has a capacitance. For example, imagine a single spherical, charged 
conductor. The electric field lines around this conductor are exactly the same as 
if there were a conducting, spherical shell of infinite radius, concentric with the 
sphere and carrying a charge of the same magnitude but opposite sign. Therefore, 
we can identify the imaginary shell as the second conductor of a two-conductor 
capacitor. The electric potential of the sphere of radius a is simply k
e
Q/a (see Sec-
tion 25.6), and setting V 5 0 for the infinitely large shell gives
C5
Q
DV
5
Q
k
e
Q/a
5
a
k
e
54pP
0
a 
(26.2)
This expression shows that the capacitance of an isolated, charged sphere is pro-
portional to its radius and is independent of both the charge on the sphere and its 
potential, as is the case with all capacitors. Equation 26.1 is the general definition 
of capacitance in terms of electrical parameters, but the capacitance of a given 
capacitor will depend only on the geometry of the plates.
The capacitance of a pair of conductors is illustrated below with three familiar 
geometries, namely, parallel plates, concentric cylinders, and concentric spheres. In 
these calculations, we assume the charged conductors are separated by a vacuum.
Parallel-Plate Capacitors
Two parallel, metallic plates of equal area A are separated by a distance d as shown 
in Figure 26.2. One plate carries a charge 1Q, and the other carries a charge 2Q. 
The surface charge density on each plate is s 5 Q/A. If the plates are very close 
together (in comparison with their length and width), we can assume the electric 
field is uniform between the plates and zero elsewhere. According to the What If? 
feature of Example 24.5, the value of the electric field between the plates is
E5
s
P
0
5
Q
P
0
A
Because the field between the plates is uniform, the magnitude of the potential dif-
ference between the plates equals Ed (see Eq. 25.6); therefore,
DV5Ed5
Qd
P
0
A
WW Capacitance of an isolated 
charged sphere
Pitfall Prevention 26.3
Too Many Cs Do not confuse an 
italic C for capacitance with a non-
italic C for the unit coulomb.
C# TIFF: C#.NET Code to Create Online TIFF Document Viewer
how to create more web viewers on PDF and Word Create an ASP.NET website in Visual Studio 2005 or any If you want to embed .NET Web TIFF Document Viewer DLL
embed pdf into website; convert url pdf to word
C# PowerPoint: Create Web Document Viewer for PowerPoint Viewing
and saving web PowerPoint document to PDF and TIFF. a web application and then add and embed Web PowerPoint C# Guide: Setup an ASP.NET Website in Visual Studio.
embed pdf into html; convert pdf to html code
780
chapter 26 capacitance and Dielectrics
Example 26.1   The Cylindrical Capacitor
A solid cylindrical conductor of radius a and charge 
Q is coaxial with a cylindrical shell of negligible thick-
ness, radius b. a, and charge 2Q (Fig. 26.4a). Find the 
capacitance of this cylindrical capacitor if its length 
is,.
Conceptualize  Recall that any pair of conductors 
qualifies as a capacitor, so the system described in this 
example therefore qualifies. Figure 26.4b helps visual-
ize the electric field between the conductors. We expect 
the capacitance to depend only on geometric factors, 
which, in this case, are a, b, and ,.
Categorize  Because of the cylindrical symmetry of the 
system, we can use results from previous studies of cylin-
drical systems to find the capacitance.
SoluTIoN
Substituting this result into Equation 26.1, we find that the capacitance is
C5
Q
DV
5
Q
Qd/P
0
A
C5
P
0
A
d
(26.3)
That is, the capacitance of a parallel-plate capacitor is proportional to the area of 
its plates and inversely proportional to the plate separation.
Let’s consider how the geometry of these conductors influences the capacity of 
the pair of plates to store charge. As a capacitor is being charged by a battery, elec-
trons flow into the negative plate and out of the positive plate. If the capacitor 
plates are large, the accumulated charges are able to distribute themselves over a 
substantial area and the amount of charge that can be stored on a plate for a given 
potential difference increases as the plate area is increased. Therefore, it is reason-
able that the capacitance is proportional to the plate area A as in Equation 26.3.
Now consider the region that separates the plates. Imagine moving the plates 
closer together. Consider the situation before any charges have had a chance to 
move in response to this change. Because no charges have moved, the electric field 
between the plates has the same value but extends over a shorter distance. There-
fore, the magnitude of the potential difference between the plates DV 5 Ed (Eq. 
25.6) is smaller. The difference between this new capacitor voltage and the terminal 
voltage of the battery appears as a potential difference across the wires connecting 
the battery to the capacitor, resulting in an electric field in the wires that drives 
more charge onto the plates and increases the potential difference between the 
plates. When the potential difference between the plates again matches that of the 
battery, the flow of charge stops. Therefore, moving the plates closer together causes 
the charge on the capacitor to increase. If d is increased, the charge decreases. As a 
result, the inverse relationship between C and d in Equation 26.3 is reasonable.
uick Quiz 26.2  Many computer keyboard buttons are constructed of capacitors 
as shown in Figure 26.3. When a key is pushed down, the soft insulator between 
the movable plate and the fixed plate is compressed. When the key is pressed, 
what happens to the capacitance? (a) It increases. (b) It decreases. (c) It changes 
in a way you cannot determine because the electric circuit connected to the key-
board button may cause a change in DV.
Capacitance of parallel plates 
Key
B
Movable plate
Insulator
Fixed plate
Figure 26.3 
(Quick Quiz 26.2) 
One type of computer keyboard 
button.
b
a
Gaussian
surface
-Q
-Q
a
Q
Q
b
r
a
b
Figure 26.4 
(Example 26.1) (a)A cylindrical capacitor consists 
of a solid cylindrical conductor of radius a and length , sur-
rounded by a coaxial cylindrical shell of radius b. (b) End view. 
The electric field lines are radial. The dashed line represents the 
end of a cylindrical gaussian surface of radius r and length ,.
26.2 calculating capacitance 
781
Apply Equation 24.7 for the electric field outside a cylin-
drically symmetric charge distribution and notice from 
Figure 26.4b that E
S
is parallel to ds
S
along a radial line:
V
b
2V
a
5 2
3
b
a
E
r
dr522k
e
3
b
a
dr
r
522k
e
l
ln a
b
a
b
Substitute the absolute value of DV into Equation 26.1 
and use l 5 Q/,:
5
Q
DV
5
Q
1
2k
e
Q/,
2
ln 
1
b/a
2
5
,
2k
e
ln 
1
b/a
2
(26.4)
Finalize  The capacitance depends on the radii a and b and is proportional to the length of the cylinders. Equation 
26.4 shows that the capacitance per unit length of a combination of concentric cylindrical conductors is
C
,
5
1
2k
e
ln 
1
b/a
2
(26.5)
An example of this type of geometric arrangement is a coaxial cable, which consists of two concentric cylindrical conduc-
tors separated by an insulator. You probably have a coaxial cable attached to your television set if you are a subscriber 
to cable television. The coaxial cable is especially useful for shielding electrical signals from any possible external 
influences.
Suppose b 5 2.00a for the cylindrical capacitor. You would like to increase the capacitance, and you can 
do so by choosing to increase either , by 10% or a by 10%. Which choice is more effective at increasing the capacitance?
Answer  According to Equation 26.4, C is proportional to ,, so increasing , by 10% results in a 10% increase in C. For 
the result of the change in a, let’s use Equation 26.4 to set up a ratio of the capacitance C9 for the enlarged cylinder 
radius a9 to the original capacitance:
Cr
C
5
,/2k
e
ln 1b/ar2
,/2k
e
ln 
1
b/a
2
5
ln 
1
b/a
2
ln 
1
b/ar
2
We now substitute b 5 2.00a and a9 5 1.10a, representing a 10% increase in a:
Cr
C
5
ln 
1
2.00a/a
2
ln 
1
2.00a/1.10a
2
5
ln 2.00
ln 1.82
51.16
which corresponds to a 16% increase in capacitance. Therefore, it is more effective to increase a than to increase ,.
Note two more extensions of this problem. First, it is advantageous to increase a only for a range of relationships 
between a and b. If b . 2.85a, increasing , by 10% is more effective than increasing a (see Problem 70). Second, if b 
decreases, the capacitance increases. Increasing a or decreasing b has the effect of bringing the plates closer together, 
which increases the capacitance.
WhaT IF?
Write an expression for the potential difference between 
the two cylinders from Equation 25.3:
V
b
2V
a
5 2
3
b
a
E
S
?s
S
Analyze  Assuming , is much greater than a and b, we can neglect end effects. In this case, the electric field is perpen-
dicular to the long axis of the cylinders and is confined to the region between them (Fig. 26.4b).
▸ 26.1 
continued
continued
Example 26.2   The Spherical Capacitor
A spherical capacitor consists of a spherical conducting shell of radius b and charge 2Q concentric with a smaller con-
ducting sphere of radius a and charge Q (Fig. 26.5, page 782). Find the capacitance of this device.
Conceptualize  As with Example 26.1, this system involves a pair of conductors and qualifies as a capacitor. We expect 
the capacitance to depend on the spherical radii a and b.
SoluTIoN
782
chapter 26 capacitance and Dielectrics
26.3 Combinations of Capacitors
Two or more capacitors often are combined in electric circuits. We can calculate 
the equivalent capacitance of certain combinations using methods described in 
this section. Throughout this section, we assume the capacitors to be combined are 
initially uncharged.
In studying electric circuits, we use a simplified pictorial representation called a 
circuit diagram. Such a diagram uses circuit symbols to represent various circuit 
elements. The circuit symbols are connected by straight lines that represent the 
wires between the circuit elements. The circuit symbols for capacitors, batteries, 
and switches as well as the color codes used for them in this text are given in Fig-
ure 26.6. The symbol for the capacitor reflects the geometry of the most common 
model for a capacitor, a pair of parallel plates. The positive terminal of the battery 
is at the higher potential and is represented in the circuit symbol by the longer line.
Parallel Combination
Two capacitors connected as shown in Figure 26.7a are known as a parallel combi-
nation of capacitors. Figure 26.7b shows a circuit diagram for this combination of 
capacitors. The left plates of the capacitors are connected to the positive terminal of 
the battery by a conducting wire and are therefore both at the same electric potential 
Substitute the absolute value of DV into Equation 26.1:
C5
Q
DV
5
Q
0
V
b
2V
a
0
5
ab
k
e
1
b2a
2
(26.6)
Apply the result of Example 24.3 for the electric field 
outside a spherically symmetric charge distribution  
and note that E
S
is parallel to ds
S
along a radial line:
V
b
2V
a
5 2
3
b
a
E
r
dr52k
e
Q 
3
b
a
dr
r2
5k
e
Q
c
1
r
d
b
a
(1)   V
b
2V
a
5k
e
Q
a
1
b
2
1
a
b
5k
e
Q 
a2b
ab
Write an expression for the potential difference between 
the two conductors from Equation 25.3:
V
b
2V
a
5 2
3
b
a
E
S
?s
S
Finalize  The capacitance depends on a and b as expected. The potential difference between the spheres in Equation 
(1) is negative because Q is positive and b . a. Therefore, in Equation 26.6, when we take the absolute value, we change 
a 2 b to b 2 a. The result is a positive number.
If the radius b of the outer sphere approaches infinity, what does the capacitance become?
Answer  In Equation 26.6, we let b S `:
C5lim
b
S
`
ab
k
e
1
b2a
2
5
ab
k
e
1
b
2
5
a
k
e
54pP
0
a
Notice that this expression is the same as Equation 26.2, the capacitance of an isolated spherical conductor.
WhaT IF?
Capacitor
symbol
Battery
symbol
symbol
Switch
Open
Closed
-
+
Figure 26.6 
Circuit symbols for 
capacitors, batteries, and switches. 
Notice that capacitors are in 
blue, batteries are in green, and 
switches are in red. The closed 
switch can carry current, whereas 
the open one cannot.
▸ 26.2 
continued
Categorize  Because of the spherical symmetry of the sys-
tem, we can use results from previous studies of spherical 
systems to find the capacitance.
Analyze  As shown in Chapter 24, the direction of the 
electric field outside a spherically symmetric charge 
distribution is radial and its magnitude is given by the 
expression E 5 k
e
Q/r2. In this case, this result applies to 
the field between the spheres (a , r,b).
a
b
-Q
+Q
Figure 26.5 
(Example 26.2) 
A spherical capacitor consists of 
an inner sphere of radius a sur-
rounded by a concentric spherical 
shell of radius b. The electric field 
between the spheres is directed 
radially outward when the inner 
sphere is positively charged.
26.3 combinations of capacitors 
783
as the positive terminal. Likewise, the right plates are connected to the negative ter-
minal and so are both at the same potential as the negative terminal. Therefore, the 
individual potential differences across capacitors connected in parallel are the same 
and are equal to the potential difference applied across the combination. That is,
DV
1
5DV
2
5DV 
where DV is the battery terminal voltage.
After the battery is attached to the circuit, the capacitors quickly reach their 
maximum charge. Let’s call the maximum charges on the two capacitors Q
1
and 
Q
2
, where Q
1
C
1
DV
1
and Q
2
C
2
DV
2
. The total charge Q
tot
stored by the two 
capacitors is the sum of the charges on the individual capacitors:
Q
tot
5Q
1
1Q
2
C
1
DV
1
C
2
DV
2
(26.7)
Suppose you wish to replace these two capacitors by one equivalent capacitor hav-
ing a capacitance C
eq
as in Figure 26.7c. The effect this equivalent capacitor has 
on the circuit must be exactly the same as the effect of the combination of the two 
individual capacitors. That is, the equivalent capacitor must store charge Q
tot
when 
connected to the battery. Figure 26.7c shows that the voltage across the equivalent 
capacitor is DV because the equivalent capacitor is connected directly across the 
battery terminals. Therefore, for the equivalent capacitor,
Q
tot
5C
eq
DV 
Substituting this result into Equation 26.7 gives
C
eq
DV5C
1
DV
1
1C
2
DV
2
C
eq
5C
1
1C
2
1
parallel combination
2
where we have canceled the voltages because they are all the same. If this treat-
ment is extended to three or more capacitors connected in parallel, the equivalent 
capacitance is found to be
C
eq
5C
1
1C
2
1C
3
1
c
1
parallel combination
2
(26.8)
Therefore, the equivalent capacitance of a parallel combination of capacitors is 
(1)the algebraic sum of the individual capacitances and (2) greater than any of 
WW Equivalent capacitance for 
capacitors in parallel 
C
2
C
1
V
Q
2
C
2
Q
1
C
1
V
V
V
1
+
-
+ -
+Q
1
-Q
1
V
2
+Q
2
-Q
2
+
-
+
-
+
-
C
eq
C
1
C
2
=
+
A pictorial 
representation of two 
capacitors connected in 
parallel to a battery
A circuit diagram 
showing the two 
capacitors connected 
in parallel to a battery
A circuit diagram 
showing the equivalent 
capacitance of the 
capacitors in parallel
a
b
c
Figure 26.7 
Two capacitors 
connected in parallel. All three 
diagrams are equivalent.
784
chapter 26 capacitance and Dielectrics
the individual capacitances. Statement (2) makes sense because we are essentially 
combining the areas of all the capacitor plates when they are connected with con-
ducting wire, and capacitance of parallel plates is proportional to area (Eq. 26.3).
Series Combination
Two capacitors connected as shown in Figure 26.8a and the equivalent circuit dia-
gram in Figure 26.8b are known as a series combination of capacitors. The left 
plate of capacitor 1 and the right plate of capacitor 2 are connected to the termi-
nals of a battery. The other two plates are connected to each other and to nothing 
else; hence, they form an isolated system that is initially uncharged and must con-
tinue to have zero net charge. To analyze this combination, let’s first consider the 
uncharged capacitors and then follow what happens immediately after a battery is 
connected to the circuit. When the battery is connected, electrons are transferred 
out of the left plate of C
1
and into the right plate of C
2
. As this negative charge 
accumulates on the right plate of C
2
, an equivalent amount of negative charge is 
forced off the left plate of C
2
, and this left plate therefore has an excess positive 
charge. The negative charge leaving the left plate of C
2
causes negative charges 
to accumulate on the right plate of C
1
. As a result, both right plates end up with a 
charge 2Q and both left plates end up with a charge 1Q. Therefore, the charges 
on capacitors connected in series are the same:
Q
1
5Q
2
5Q 
where Q is the charge that moved between a wire and the connected outside plate 
of one of the capacitors.
Figure 26.8a shows the individual voltages DV
1
and DV
2
across the capacitors. 
These voltages add to give the total voltage DV
tot
across the combination:
DV
tot
5DV
1
1DV
2
5
Q
1
C
1
1
Q
2
C
2
(26.9)
In general, the total potential difference across any number of capacitors connected 
in series is the sum of the potential differences across the individual capacitors.
Suppose the equivalent single capacitor in Figure 26.8c has the same effect on 
the circuit as the series combination when it is connected to the battery. After it is 
fully charged, the equivalent capacitor must have a charge of 2Q on its right plate 
and a charge of 1Q on its left plate. Applying the definition of capacitance to the 
circuit in Figure 26.8c gives
DV
tot
5
Q
C
eq
+
-
C
2
V
C
1
V
1
V
2
V
C
1
C
2
V
1
V
2
+-Q
+-Q
+ -
V
C
2
C
eq
C
1
1
1
1
=
+
+ -
A pictorial 
representation of two 
capacitors connected in 
series to a battery
A circuit diagram 
showing the two 
capacitors connected 
in series to a battery
A circuit diagram 
showing the equivalent 
capacitance of the 
capacitors in series
a
b
c
Figure 26.8 
Two capacitors 
connected in series. All three dia-
grams are equivalent.
Documents you may be interested
Documents you may be interested