problems 
925
3. Calculate the magnitude of the magnetic field at a 
point 25.0 cm from a long, thin conductor carrying a 
current of 2.00 A.
W
Section 30.1  The Biot–Savart Law
1. Review. In studies of the possibility of migrating 
birds using the Earth’s magnetic field for navigation,  
birds have been fitted with coils as “caps” and “col-
lars” as shown in Figure P30.1. (a) If the identical coils  
have radii of 1.20 cm and are 2.20 cm apart, with 50 
turns of wire apiece, what current should they both 
carry to produce a magnetic field of 4.50 3 1025 T 
halfway between them? (b) If the resistance of each 
coil is 210 V, what voltage should the battery supply-
ing each coil have? (c) What power is delivered to 
each coil?
Figure P30.1
2. In each of parts (a) through (c) of Figure P30.2, find 
the direction of the current in the wire that would pro-
duce a magnetic field directed as shown.
5. Imagine you have a compass whose needle can rotate 
vertically as well as horizontally. Which way would the 
compass needle point if you were at the Earth’s north 
magnetic pole?
6. Is Ampère’s law valid for all closed paths surrounding a 
conductor? Why is it not useful for calculating B
S
for all 
such paths?
7. A magnet attracts a piece of iron. The iron can then 
attract another piece of iron. On the basis of domain 
alignment, explain what happens in each piece of iron.
8. Why does hitting a magnet with a hammer cause the 
magnetism to be reduced?
9. The quantity 
e
B
S
?ds
S
in Ampère’s law is called magnetic 
circulation. Figures 30.10 and 30.13 show paths around 
which the magnetic circulation is evaluated. Each of 
these paths encloses an area. What is the magnetic flux 
through each area? Explain your answer.
10. Figure CQ30.10 shows four per-
manent magnets, each having a 
hole through its center. Notice 
that the blue and yellow magnets 
are levitated above the red ones.  
(a) How does this levitation 
occur? (b) What purpose do the 
rods serve? (c) What can you say 
about the poles of the magnets 
from this observation? (d) If the 
blue magnet were inverted, what 
do you suppose would happen?
11. Explain why two parallel wires carrying currents in 
opposite directions repel each other.
12. Consider a magnetic field that is uniform in direction 
throughout a certain volume. (a) Can the field be uni-
form in magnitude? (b) Must it be uniform in magni-
tude? Give evidence for your answers.
Figure CQ30.10
.
C
e
n
g
a
g
e
L
e
a
r
n
i
n
g
/
C
h
a
r
l
e
s
D
.
W
i
n
t
e
r
s
Problems
The problems found in this  
chapter may be assigned 
online in Enhanced WebAssign
1.
 straightforward; 
2. 
intermediate;  
3. 
challenging
1.
full solution available in the Student 
Solutions Manual/Study Guide
AMT
Analysis Model tutorial available in 
Enhanced WebAssign
GP
Guided Problem
M
Master It tutorial available in Enhanced 
WebAssign
W
Watch It video solution available in 
Enhanced WebAssign
BIO
Q/C
S
B
in
S
B
out
S
B
S
B
in
S
B
out
S
a
c
b
Figure P30.2
Convert pdf form to web form - Convert PDF to html files in C#.net, ASP.NET MVC, WinForms, WPF application
How to Convert PDF to HTML Webpage with C# PDF Conversion SDK
pdf to html converters; converting pdfs to html
Convert pdf form to web form - VB.NET PDF Convert to HTML SDK: Convert PDF to html files in vb.net, ASP.NET MVC, WinForms, WPF application
PDF to HTML Webpage Converter SDK for VB.NET PDF to HTML Conversion
convert url pdf to word; convert pdf to web
926
chapter 30 Sources of the Magnetic Field
P
I
I
u
Figure P30.13
rent I
2
. The total magnetic field at the origin due 
to the current-carrying wires has the magnitude  
2m
0
I
1
/(2pa). The current I
2
can have either of two pos-
sible values. (a) Find the value of I
2
with the smaller 
magnitude, stating it in terms of I
1
and giving its direc-
tion. (b) Find the other possible value of I
2
.
x
I
2
I
1
2a
–2a
0
Figure P30.9
10. An infinitely long wire carrying a current I is bent at a 
right angle as shown in Figure P30.10. Determine the 
magnetic field at point P, located a distance x from the 
corner of the wire.
x
P
I
I
Figure P30.10
11. A long, straight wire carries a current I. A right-angle 
bend is made in the middle of the wire. The bend 
forms an arc of a circle of radius r as shown in Figure 
P30.11. Determine the magnetic field at point P, the 
center of the arc.
r
P
I
Figure P30.11
12. Consider a flat, circular current loop of radius R car-
rying a current I. Choose the x axis to be along the 
axis of the loop, with the origin at the loop’s center. 
Plot a graph of the ratio of the magnitude of the mag-
netic field at coordinate x to that at the origin for x 5 0  
to x 5 5R. It may be helpful to use a programmable 
calculator or a computer to solve this problem.
13. A current path shaped as shown in Figure P30.13 pro-
duces a magnetic field at P, the center of the arc. If 
the arc subtends an angle of u 5 30.08 and the radius 
of the arc is 0.600 m, what are the magnitude and 
S
S
4. In 1962, measurements of the magnetic field of a large 
tornado were made at the Geophysical Observatory in 
Tulsa, Oklahoma. If the magnitude of the tornado’s 
field was B5 1.50 3 1028 T pointing north when the 
tornado was 9.00km east of the observatory, what cur-
rent was carried up or down the funnel of the tornado? 
Model the vortex as a long, straight wire carrying a 
current.
5. (a) A conducting loop in the shape of a square of 
edge length , 5 0.400m carries a current I 5 10.0A 
as shown in Figure P30.5. Calculate the magnitude 
and direction of the magnetic field at the center of 
the square. (b) What If? If this conductor is reshaped 
to form a circular loop and carries the same current, 
what is the value of the magnetic field at the center?
I
Figure P30.5
6. In Niels Bohr’s 1913 model of the hydrogen atom, 
an electron circles the proton at a distance of 5.29 3  
10211 m with a speed of 2.19 3 106 m/s. Compute the 
magnitude of the magnetic field this motion produces 
at the location of the proton.
7. A conductor consists of a circular loop of radius R 5 
15.0cm and two long, straight sections as shown in Fig-
ure P30.7. The wire lies in the plane of the paper and 
carries a current I 5 1.00 A. Find the magnetic field at 
the center of the loop.
R
I
Figure P30.7 
Problems 7 and 8.
8. A conductor consists of a circular loop of radius R and 
two long, straight sections as shown in Figure P30.7. 
The wire lies in the plane of the paper and carries a 
current I. (a) What is the direction of the magnetic 
field at the center of the loop? (b) Find an expression 
for the magnitude of the magnetic field at the center 
of the loop.
9. Two long, straight, parallel wires carry currents that 
are directed perpendicular to the page as shown 
in Figure P30.9. Wire 1 carries a current I
1
into 
the page (in the negative z direction) and passes 
through the x axis at x 5 1a. Wire 2 passes through 
the x axis at x 5 22a and carries an unknown cur-
M
W
S
S
VB.NET Image: Professional Form Processing and Recognition SDK in
on the top right of our web page. you have checked your forms before using form printing add provide powerful & profession imaging controls, PDF document, image
convert pdf link to html; converter pdf to html
Process Forms in Web Image Viewer | Online Tutorials
Twain Scanning; DICOM Reading; Form Recognition & Processing. Online PDF Editor (beta); Online Document Viewer; Online Convert PDF to Word; Online Convert
best pdf to html converter online; to html
problems 
927
direction of the field produced at P if the current is 
3.00A?
14. One long wire carries current 30.0 A to the left along 
the x axis. A second long wire carries current 50.0 A to 
the right along the line (y 5 0.280 m, z 5 0). (a) Where  
in the plane of the two wires is the total magnetic field 
equal to zero? (b) A particle with a charge of 22.00 mC 
is moving with a velocity of 150i
^
Mm/s along the line  
(y 5 0.100 m, z 5 0). Calculate the vector magnetic 
force acting on the particle. (c) What If? A uni-
form electric field is applied to allow this particle to 
pass through this region undeflected. Calculate the 
required vector electric field.
15. Three long, parallel conductors each carry a current of 
I 5 2.00 A. Figure P30.15 is an end view of the conduc-
tors, with each current coming out of the page. Taking 
a 5 1.00 cm, determine the magnitude and direction 
of the magnetic field at (a) point A, (b) point B, and  
(c) point C.
I
I
a
a
a
a
a
B
A
C
I
Figure P30.15
16. In a long, straight, vertical lightning stroke, electrons 
move downward and positive ions move upward and 
constitute a current of magnitude 20.0 kA. At a loca-
tion 50.0m east of the middle of the stroke, a free elec-
tron drifts through the air toward the west with a speed 
of 300 m/s. (a) Make a sketch showing the various vec-
tors involved. Ignore the effect of the Earth’s magnetic 
field. (b) Find the vector force the lightning stroke 
exerts on the electron. (c) Find the radius of the elec-
tron’s path. (d) Is it a good approximation to model the 
electron as moving in a uniform field? Explain your 
answer. (e) If it does not collide with any obstacles, how 
many revolutions will the electron complete during the 
60.0-ms duration of the lightning stroke?
17. Determine the magnetic field (in terms of Ia, and d
at the origin due to the current loop in Figure P30.17. 
The loop extends to infinity above the figure.
C#: How to Determine the Display Format for Web Doucment Viewing
RasterEdge web document viewer for .NET can convert PDF, Word, Excel and the same time, and then render image form to show on your C# project aspx web page
batch convert pdf to html; convert pdf into webpage
C#: How to Add HTML5 Document Viewer Control to Your Web Page
Add a new Web Form to your C# _tabFile.addCommand(new RECommand("convert")); _tabFile.addCommand _userCmdDemoPdf = new UserCommand("pdf"); _userCmdDemoPdf.addCSS
convert pdf to html format; convert pdf to html email
928
chapter 30 Sources of the Magnetic Field
vidual accomplishments, Weber and Gauss built a tele-
graph in 1833 that consisted of a battery and switch, 
at one end of a transmission line 3 km long, operat-
ing an electromagnet at the other end. Suppose their 
transmission line was as diagrammed in Figure P30.29. 
Two long, parallel wires, each having a mass per unit 
length of 40.0 g/m, are supported in a horizontal plane 
by strings , 5 6.00 cm long. When both wires carry 
the same current I, the wires repel each other so that 
the angle between the supporting strings is u 5 16.08.  
(a) Are the currents in the same direction or in oppo-
site directions? (b) Find the magnitude of the current. 
(c) If this transmission line were taken to Mars, would 
the current required to separate the wires by the same 
angle be larger or smaller than that required on the 
Earth? Why?
u
,
Figure P30.29
Section 30.3  ampère’s Law
30. Niobium metal becomes a superconductor when 
cooled below 9 K. Its superconductivity is destroyed 
when the surface magnetic field exceeds 0.100 T. In 
the absence of any external magnetic field, determine 
the maximum current a 2.00-mm-diameter niobium 
wire can carry and remain superconducting.
31. Figure P30.31 is a cross-sectional view of a coaxial 
cable. The center conductor is surrounded by a rubber 
layer, an outer conductor, and another rubber layer.  
In a particular application, the current in the inner 
conductor is I
1
5 1.00A out of the page and the cur-
rent in the outer conductor is I
2
5 3.00 A into the 
page. Assuming the distance d 5 1.00mm, determine 
the magnitude and direction of the magnetic field at 
(a) point a and (b)pointb.
b
a
I
1
d
d
d
I
2 
Figure P30.31
32. The magnetic coils of a tokamak fusion reactor are 
in the shape of a toroid having an inner radius of  
0.700 m and an outer radius of 1.30 m. The toroid has 
900 turns of large-diameter wire, each of which carries 
a current of 14.0 kA. Find the magnitude of the mag-
W
W
direction or in opposite directions? (c) What would 
happen if the direction of one current were reversed 
and doubled?
23. Two parallel wires are separated by 6.00 cm, each car-
rying 3.00 A of current in the same direction. (a) What 
is the magnitude of the force per unit length between 
the wires? (b) Is the force attractive or repulsive?
24. Two long wires hang vertically. Wire 1 carries an 
upward current of 1.50 A. Wire 2, 20.0 cm to the right 
of wire 1, carries a downward current of 4.00 A. A third 
wire, wire 3, is to be hung vertically and located such 
that when it carries a certain current, each wire experi-
ences no net force. (a) Is this situation possible? Is it 
possible in more than one way? Describe (b) the posi-
tion of wire 3 and (c)the magnitude and direction of 
the current in wire 3.
25. In Figure P30.25, the current in the long, straight wire 
is I
1
5 5.00 A and the wire lies in the plane of the rect-
angular loop, which carries a current I
2
5 10.0 A. The 
dimensions in the figure are c 5 0.100 m, a 5 0.150 m, 
and , 5 0.450 m. Find the magnitude and direction of 
the net force exerted on the loop by the magnetic field 
created by the wire.
I
1
c
a
I
2
Figure P30.25 
Problems 25 and 26.
26. In Figure P30.25, the current in the long, straight wire 
is I
1
and the wire lies in the plane of a rectangular 
loop, which carries a current I
2
. The loop is of length 
, and width a. Its left end is a distance c from the wire. 
Find the magnitude and direction of the net force 
exerted on the loop by the magnetic field created by 
the wire.
27. Two long, parallel wires are attracted to each other by 
a force per unit length of 320 mN/m. One wire carries 
a current of 20.0 A to the right and is located along 
the line y5 0.500 m. The second wire lies along the  
x axis. Determine the value of y for the line in the 
plane of the two wires along which the total magnetic 
field is zero.
28. Why is the following situation impossible? Two parallel 
copper conductors each have length , 5 0.500 m and 
radius r 5 250 mm. They carry currents I 5 10.0 A in 
opposite directions and repel each other with a mag-
netic force F
B
5 1.00N.
29. The unit of magnetic flux is named for Wilhelm Weber. 
A practical-size unit of magnetic field is named for 
Johann Karl Friedrich Gauss. Along with their indi-
Q/C
M
S
AMT
Q/C
C# Image: How to Integrate Web Document and Image Viewer
RasterEdgeImagingDeveloperGuide8.0.pdf: from this user manual, you can find the detailed instructions and Now, you may add a new Web Form to your web project.
convert pdf into html code; convert pdf fillable form to html
C# TIFF: C#.NET Code to Create Online TIFF Document Viewer
We still demonstrate how to create more web viewers on PDF and Word documents at the DLL into your C#.NET web page, you may create a new Web Form (Default.aspx
convert pdf to html open source; how to convert pdf into html code
problems 
929
38. A long, cylindrical conductor of radius R carries a cur-
rent I as shown in Figure P30.38. The current density 
J, however, is not uniform over the cross section of the 
conductor but rather is a function of the radius accord-
ing to J5 br, where b is a constant. Find an expression 
for the magnetic field magnitude B (a) at a distance  
r
1
R and (b)at a distance r
2
R, measured from the 
center of the conductor.
R
r
1
I
r
2
Figure P30.38
39. Four long, parallel conductors carry equal currents of 
I 5 5.00 A. Figure P30.39 is an end view of the conduc-
tors. The current direction is into the page at points 
A and B and out of the page at points C and D. Cal-
culate (a) the magnitude and (b) the direction of the 
magnetic field at point P, located at the center of the 
square of edge length ,5 0.200 m.
,
,
A
B
C
P
D
Figure P30.39
Section 30.4  The Magnetic Field of a Solenoid
40. A certain superconducting magnet in the form of a 
solenoid of length 0.500 m can generate a magnetic 
field of 9.00 T in its core when its coils carry a current 
of 75.0 A. Find the number of turns in the solenoid.
41. A long solenoid that has 1 000 turns uniformly dis-
tributed over a length of 0.400 m produces a magnetic 
field of magnitude 1.00 3 1024 T at its center. What 
current is required in the windings for that to occur?
42. You are given a certain volume of copper from which 
you can make copper wire. To insulate the wire, you 
can have as much enamel as you like. You will use the 
wire to make a tightly wound solenoid 20 cm long hav-
ing the greatest possible magnetic field at the center 
and using a power supply that can deliver a current 
of 5 A. The solenoid can be wrapped with wire in one 
or more layers. (a) Should you make the wire long 
and thin or shorter and thick? Explain. (b) Should 
you make the radius of the solenoid small or large? 
Explain.
43. A single-turn square loop of wire, 2.00 cm on each edge, 
carries a clockwise current of 0.200 A. The loop is inside 
a solenoid, with the plane of the loop perpendicular 
to the magnetic field of the solenoid. The solenoid has 
S
M
M
Q/C
W
netic field inside the toroid along (a) the inner radius 
and (b) the outer radius.
33. A long, straight wire lies on a horizontal table and car-
ries a current of 1.20 mA. In a vacuum, a proton moves 
parallel to the wire (opposite the current) with a con-
stant speed of 2.30 3 104 m/s at a distance d above the 
wire. Ignoring the magnetic field due to the Earth, 
determine the value of d.
34. An infinite sheet of current lying in the yz plane car-
ries a surface current of linear density J
s
. The current 
is in the positive z direction, and J
s
represents the cur-
rent per unit length measured along the y axis. Figure 
P30.34 is an edge view of the sheet. Prove that the mag-
netic field near the sheet is parallel to the sheet and 
perpendicular to the current direction, with magni-
tude m
0
J
s
/2.
J
s
(out of paper)
x
Figure P30.34
35. The magnetic field 40.0 cm away from a long, straight 
wire carrying current 2.00 A is 1.00 mT. (a) At what dis-
tance is it 0.100 mT? (b) What If? At one instant, the 
two conductors in a long household extension cord 
carry equal 2.00-A currents in opposite directions. The 
two wires are 3.00mm apart. Find the magnetic field 
40.0 cm away from the middle of the straight cord, in 
the plane of the two wires. (c)At what distance is it 
one-tenth as large? (d) The center wire in a coaxial 
cable carries current 2.00 A in one direction, and the 
sheath around it carries current 2.00 A in the opposite 
direction. What magnetic field does the cable create at 
points outside the cable?
36. A packed bundle of 100 long, straight, insulated wires 
forms a cylinder of radius R 5 0.500 cm. If each wire 
carries 2.00 A, what are (a) the magnitude and (b) the 
direction of the magnetic force per unit length acting 
on a wire located 0.200 cm from the center of the bun-
dle? (c) What If? Would a wire on the outer edge of the 
bundle experience a force greater or smaller than the 
value calculated in parts (a) and (b)? Give a qualitative 
argument for your answer.
37. The magnetic field created by a large current passing 
through plasma (ionized gas) can force current-carrying  
particles together. This pinch effect has been used in 
designing fusion reactors. It can be demonstrated by 
making an empty aluminum can carry a large cur-
rent parallel to its axis. Let R represent the radius of 
the can and I the current, uniformly distributed over 
the can’s curved wall. Determine the magnetic field  
(a) just inside the wall and (b) just outside. (c) Deter-
mine the pressure on the wall.
S
W
Q/C
S
C# PDF Converter Library SDK to convert PDF to other file formats
C#.NET can manipulate & convert standard PDF developers to conduct high fidelity PDF file conversion C#.NET applications, like ASP.NET web form application and
convert pdf into html online; convert pdf into html email
C# PDF: How to Create PDF Document Viewer in C#.NET with
to images or svg file; Free to convert viewing PDF designed PDF document using C# code; PDF document viewer be created in C# Web Forms, Windows Form and mobile
pdf to html conversion; convert pdf form to html
930
chapter 30 Sources of the Magnetic Field
shown in Figure P30.48a. (b)Figure P30.48b shows an 
enlarged end view of the same solenoid. Calculate the 
flux through the tan area, which is an annulus with 
an inner radius of a 5 0.400 cm and an outer radius 
of b 5 0.800 cm.
r
R
a
b
I
I
a
b
,
Figure P30.48
Section 30.6  Magnetism in Matter
49. The magnetic moment of the Earth is approximately 
8.003 1022 A ? m2. Imagine that the planetary mag-
netic field were caused by the complete magnetiza-
tion of a huge iron deposit with density 7 900 kg/m3  
and approximately 8.50 3 1028 iron atoms/m3.  
(a) How many unpaired electrons, each with a mag-
netic moment of 9.27 3 10224 A ? m2, would participate? 
(b) At two unpaired electrons per iron atom, how many 
kilograms of iron would be present in the deposit?
50. At saturation, when nearly all the atoms have their 
magnetic moments aligned, the magnetic field is 
equal to the permeability constant m
0
multiplied by 
the magnetic moment per unit volume. In a sample of 
iron, where the number density of atoms is approxi-
mately 8.50 3 1028 atoms/m3, the magnetic field can 
reach 2.00 T. If each electron contributes a magnetic 
moment of 9.27 3 10224 A ? m2 (1 Bohr magneton), 
how many electrons per atom contribute to the satu-
rated field of iron?
additional Problems
51. A 30.0-turn solenoid of length 6.00 cm produces a 
magnetic field of magnitude 2.00 mT at its center. Find 
the current in the solenoid.
52. A wire carries a 7.00-A current along the x axis, and 
another wire carries a 6.00-A current along the y axis, 
as shown in Figure P30.52. What is the magnetic field 
at point P, located at x 5 4.00 m, y 5 3.00 m?
M
M
7.00 A
(4.00, 3.00) m
y
x
P
777770000000000A
6.00 A
Figure P30.52
30.0turns/cm and carries a clockwise current of 15.0 A. 
Find (a) the force on each side of the loop and (b) the 
torque acting on the loop.
44. A solenoid 10.0 cm in diameter and 75.0 cm long is 
made from copper wire of diameter 0.100 cm, with very 
thin insulation. The wire is wound onto a cardboard 
tube in a single layer, with adjacent turns touching 
each other. What power must be delivered to the sole-
noid if it is to produce a field of 8.00 mT at its center?
45. It is desired to construct a solenoid that will have a 
resistance of 5.00 V (at 20.08C) and produce a mag-
netic field of 4.00 3 1022 T at its center when it carries 
a current of 4.00A. The solenoid is to be constructed 
from copper wire having a diameter of 0.500 mm. If 
the radius of the solenoid is to be 1.00 cm, determine 
(a) the number of turns of wire needed and (b) the 
required length of the solenoid.
Section 30.5  Gauss’s Law in Magnetism
46. Consider the hemispherical closed surface in Figure 
P30.46. The hemisphere is in a uniform magnetic 
field that makes an angle u with the vertical. Calculate 
the magnetic flux through (a) the flat surface S
1
and 
(b)the hemispherical surfaceS
2
.
S
1
R
S
2
u
B
S
Figure P30.46
47. A cube of edge length , 5 2.50 cm is positioned as 
shown in Figure P30.47. A uniform magnetic field 
given by B
S
5
1
5i
^
14j
^
13k
^
2 
T exists throughout the 
region. (a)Calculate the magnetic flux through the 
shaded face. (b)What is the total flux through the six 
faces?
y
x
z
B
S
Figure P30.47
48. A solenoid of radius r 5 1.25 cm and length , 5 30.0 cm  
has 300 turns and carries 12.0 A. (a) Calculate the 
flux through the surface of a disk-shaped area of 
radius R 5 5.00 cm that is positioned perpendicu-
lar to and centered on the axis of the solenoid as 
S
M
W
C# PDF Convert to SVG SDK: Convert PDF to SVG files in C#.net, ASP
In some situations, it is quite necessary to convert PDF document into SVG image format. indexed, scripted, and supported by most of the up to date web browsers
convert pdf to html code c#; add pdf to website
problems 
931
needle” is a magnetic compass mounted so that it can 
rotate in a vertical north–south plane. At this location, 
a dip needle makes an angle of 13.08 from the vertical. 
What is the total magnitude of the Earth’s magnetic 
field at this location?
59. A very large parallel-plate capacitor has uniform 
charge per unit area 1s on the upper plate and 2s 
on the lower plate. The plates are horizontal, and both 
move horizontally with speed v to the right. (a) What 
is the magnetic field between the plates? (b) What is 
the magnetic field just above or just below the plates?  
(c) What are the magnitude and direction of the mag-
netic force per unit area on the upper plate? (d) At 
what extrapolated speed v will the magnetic force on a 
plate balance the electric force on the plate? Suggestion:  
Use Ampere’s law and choose a path that closes 
between the plates of the capacitor.
60. Two circular coils of radius R, each with N turns, are 
perpendicular to a common axis. The coil centers are 
a distance R apart. Each coil carries a steady current 
I in the same direction as shown in Figure P30.60.  
(a) Show that the magnetic field on the axis at a dis-
tance x from the center of one coil is
B5
Nm
0
IR2
2
c
1
1
R1x2
23/2
1
1
1
2R21x222Rx
23/2
d
(b) Show that dB/dx and d2B/dx2 are both zero at the 
point midway between the coils. We may then conclude 
that the magnetic field in the region midway between 
the coils is uniform. Coils in this configuration are 
called Helmholtz coils.
R
R
I
R
I
Figure P30.60 
Problems 60 and 61.
61. Two identical, flat, circular coils of wire each have 100 
turns and radius R 5 0.500 m. The coils are arranged 
as a set of Helmholtz coils so that the separation dis-
tance between the coils is equal to the radius of the 
coils (see Fig. P30.60). Each coil carries current I 5 
10.0 A. Determine the magnitude of the magnetic field 
at a point on the common axis of the coils and halfway 
between them.
62. Two circular loops are parallel, coaxial, and almost in 
contact, with their centers 1.00 mm apart (Fig. P30.62, 
page 932). Each loop is 10.0 cm in radius. The top loop 
carries a clockwise current of I 5 140 A. The bottom 
loop carries a counterclockwise current of I 5 140 A. 
(a) Calculate the magnetic force exerted by the bot-
tom loop on the top loop. (b)Suppose a student thinks 
the first step in solving part (a) is to use Equation 30.7 
to find the magnetic field created by one of the loops. 
S
S
AMT
Q/C
53. Suppose you install a compass on the center of a car’s 
dashboard. (a) Assuming the dashboard is made 
mostly of plastic, compute an order-of-magnitude esti-
mate for the magnetic field at this location produced 
by the current when you switch on the car’s headlights. 
(b) How does this estimate compare with the Earth’s 
magnetic field?
54. Why is the following situation impossible? The magnitude 
of the Earth’s magnetic field at either pole is approxi-
mately 7.00 3 1025 T. Suppose the field fades away to 
zero before its next reversal. Several scientists propose 
plans for artificially generating a replacement mag-
netic field to assist with devices that depend on the 
presence of the field. The plan that is selected is to lay 
a copper wire around the equator and supply it with a 
current that would generate a magnetic field of magni-
tude 7.00 3 1025 T at the poles. (Ignore magnetization 
of any materials inside the Earth.) The plan is imple-
mented and is highly successful.
55. A nonconducting ring of radius 10.0 cm is uniformly 
charged with a total positive charge 10.0 mC. The ring 
rotates at a constant angular speed 20.0 rad/s about an 
axis through its center, perpendicular to the plane of 
the ring. What is the magnitude of the magnetic field 
on the axis of the ring 5.00 cm from its center?
56. A nonconducting ring of radius R is uniformly charged 
with a total positive charge q. The ring rotates at a con-
stant angular speed v about an axis through its cen-
ter, perpendicular to the plane of the ring. What is the 
magnitude of the magnetic field on the axis of the ring 
a distance 1
2
R from its center?
57. A very long, thin strip of metal of width w carries a 
current I along its length as shown in Figure P30.57. 
The current is distributed uniformly across the width 
of the strip. Find the magnetic field at point P in the 
diagram. Point P is in the plane of the strip at distance 
b away from its edge.
P
y
I
z
b
x
w
Figure P30.57
58. A circular coil of five turns and a diameter of 30.0 cm 
is oriented in a vertical plane with its axis perpendicu-
lar to the horizontal component of the Earth’s mag-
netic field. A horizontal compass placed at the coil’s 
center is made to deflect 45.08 from magnetic north 
by a current of 0.600A in the coil. (a) What is the 
horizontal component of the Earth’s magnetic field?  
(b) The current in the coil is switched off. A “dip 
M
S
S
932
chapter 30 Sources of the Magnetic Field
ates a magnetic field (Section 30.1). (a) To understand 
how a moving charge can also create a magnetic field, 
consider a particle with charge q moving with velocity 
v
S
. Define the position vector r
S
5rr^ leading from the 
particle to some location. Show that the magnetic field 
at that location is
B
S
5
m
0
4p
qv
S
3r^
r2
(b) Find the magnitude of the magnetic field 1.00 mm  
to the side of a proton moving at 2.00 3 107 m/s.  
(c) Find the magnetic force on a second proton at this 
point, moving with the same speed in the opposite direc-
tion. (d) Find the electric force on the second proton.
66. Review. Rail guns have been suggested for launch-
ing projectiles into space without chemical rockets. 
A tabletop model rail gun (Fig. P30.66) consists of 
two long, parallel, horizontal rails , 5 3.50 cm apart, 
bridged by a bar of mass m 5 3.00 g that is free to slide 
without friction. The rails and bar have low electric 
resistance, and the current is limited to a constant  
I 5 24.0 A by a power supply that is far to the left of 
the figure, so it has no magnetic effect on the bar. Fig-
ure P30.66 shows the bar at rest at the midpoint of the 
rails at the moment the current is established. We wish 
to find the speed with which the bar leaves the rails 
after being released from the midpoint of the rails.  
(a) Find the magnitude of the magnetic field at a dis-
tance of 1.75 cm from a single long wire carrying a  
current of 2.40 A. (b)For purposes of evaluating the 
magnetic field, model the rails as infinitely long. Using 
the result of part (a), find the magnitude and direc-
tion of the magnetic field at the midpoint of the bar.  
(c) Argue that this value of the field will be the same 
at all positions of the bar to the right of the midpoint 
of the rails. At other points along the bar, the field is 
in the same direction as at the midpoint, but is larger 
in magnitude. Assume the average effective magnetic 
field along the bar is five times larger than the field 
at the midpoint. With this assumption, find (d) the 
magnitude and (e) the direction of the force on the 
bar. (f) Is the bar properly modeled as a particle under 
constant acceleration? (g)Find the velocity of the bar 
after it has traveled a distance d 5 130 cm to the end 
of the rails.
v
= 0
S
I
m
d
,
y
x
z
Figure P30.66
67. Fifty turns of insulated wire 0.100 cm in diameter are 
tightly wound to form a flat spiral. The spiral fills a 
disk surrounding a circle of radius 5.00 cm and extend-
ing to a radius 10.00 cm at the outer edge. Assume the 
wire carries a current I at the center of its cross section. 
Approximate each turn of wire as a circle. Then a loop 
AMT
GP
How would you argue for or against this idea? (c) The 
upper loop has a mass of 0.021 0kg. Calculate its accel-
eration, assuming the only forces acting on it are the 
force in part (a) and the gravitational force.
I
I
Figure P30.62
63. Two long, straight wires cross each other perpendicu-
larly as shown in Figure P30.63. The wires are thin so 
that they are effectively in the same plane but do not 
touch. Find the magnetic field at a point 30.0 cm above 
the point of intersection of the wires along the z axis; 
that is, 30.0 cm out of the page, toward you.
3.00 A
y
x
5.00 A
Figure P30.63
64. Two coplanar and concentric circular loops of wire 
carry currents of I
1
5 5.00 A and I
2
5 3.00 A in oppo-
site directions as in Figure P30.64. If r
1
5 12.0 cm and 
r
2
5 9.00 cm, what are (a) the magnitude and (b) the 
direction of the net magnetic field at the center of the 
two loops? (c) Let r
1
remain fixed at 12.0 cm and let r
2
be a variable. Determine the value of r
2
such that the 
net field at the center of the loops is zero.
r
1
r
2
I
1
I
2
of current exists at radius 5.05 cm, another at 5.15 cm, 
and so on. Numerically calculate the magnetic field at 
the center of the coil.
68. An infinitely long, straight wire carrying a current I
1
is partially surrounded by a loop as shown in Figure 
P30.68. The loop has a length L and radius R, and  
it carries a current I
2
. The axis of the loop coincides 
with the wire. Calculate the magnetic force exerted on 
the loop.
R
L
I
2
I
1
Figure P30.68
Challenge Problems
69. Consider a solenoid of length , and radius a containing 
N closely spaced turns and carrying a steady current 
I. (a)In terms of these parameters, find the magnetic 
field at a point along the axis as a function of posi-
tion x from the end of the solenoid. (b) Show that as , 
becomes very long, B approaches m
0
NI/2, at each end 
of the solenoid.
70. We have seen that a long solenoid produces a uniform 
magnetic field directed along the axis of a cylindrical 
region. To produce a uniform magnetic field directed 
parallel to a diameter of a cylindrical region, however, 
one can use the saddle coils illustrated in Figure P30.70. 
The loops are wrapped over a long, somewhat flat-
tened tube. Figure P30.70a shows one wrapping of wire 
around the tube. This wrapping is continued in this 
manner until the visible side has many long sections 
of wire carrying current to the left in Figure P30.70a 
and the back side has many lengths carrying current to 
S
S
S
the right. The end view of the tube in Figure P30.70b 
shows these wires and the currents they carry. By wrap-
ping the wires carefully, the distribution of wires can 
take the shape suggested in the end view such that 
the overall current distribution is approximately the 
superposition of two overlapping, circular cylinders of 
radius R (shown by the dashed lines) with uniformly 
distributed current, one toward you and one away from 
you. The current density J is the same for each cylinder. 
The center of one cylinder is described by a position 
vector d
S
relative to the center of the other cylinder. 
Prove that the magnetic field inside the hollow tube is 
m
0
Jd/2 downward. Suggestion: The use of vector meth-
ods simplifies the calculation.
71. A thin copper bar of length , 5 10.0 cm is supported 
horizontally by two (nonmagnetic) contacts at its ends. 
The bar carries a current of I
1
5 100 A in the negative 
x direction as shown in Figure P30.71. At a distance  
h 5 0.500 cm below one end of the bar, a long, straight 
wire carries a current of I
2
5 200A in the positive z 
direction. Determine the magnetic force exerted on 
the bar.
h
I
1
x
z
y
I
2
Figure P30.71
72. In Figure P30.72, both currents in the infinitely long 
wires are 8.00 A in the negative x direction. The wires 
are separated by the distance 2a 5 6.00cm. (a)Sketch 
the magnetic field pattern in the yz plane. (b) What 
is the value of the magnetic field at the origin? (c) At 
(y 5 0, z S `)? (d)Find the magnetic field at points 
along the z axis as a function of z. (e) At what distance 
d along the positive z axis is the magnetic field a maxi-
mum? (f) What is this maximum value?
x
y
a
a
I
I
z
Figure P30.72
73. A wire carrying a current I is bent into the shape of 
an exponential spiral, r 5 eu, from u 5 0 to u 5 2p as 
suggested in Figure P30.73 (page 934). To complete a 
loop, the ends of the spiral are connected by a straight 
wire along the x axis. (a) The angle b between a radial 
S
Wire lengths carrying
current out of the page
Wire lengths carrying
current into the page
I
I
R
R
d
S
a
b
Figure P30.70
934
Chapter 30 Sources of the Magnetic Field
line and its tangent line at any point on a curve r 5 f(u) 
is related to the function by
tan b5
r
dr/du
Use this fact to show that b 5 p/4. (b) Find the mag-
netic field at the origin.
x
r = e
y
r
dr
I
I
u
u
b
d
s
S
Figure P30.73
74. A sphere of radius R has a uniform 
volume charge density r. When the 
sphere rotates as a rigid object with 
angular speed v about an axis through 
its center (Fig. P30.74), determine  
(a) the magnetic field at the center 
of the sphere and (b)the magnetic 
moment of the sphere.
75. A long, cylindrical conductor of radius 
a has two cylindrical cavities each of diameter a through 
its entire length as shown in the end view of Figure 
P30.75. A current I is directed out of the page and is uni-
form through a cross section of the conducting material. 
Find the magnitude and direction of the magnetic field 
in terms of m
0
I, r, and a at (a) point P
1
and (b) point P
2
.
R
v
Figure P30.74
S
S
76. A wire is formed into the shape of a square of edge 
length L (Fig. P30.76). Show that when the current in 
the loop is I, the magnetic field at point P a distance x 
from the center of the square along its axis is
B5
m
0
IL2
2p
1
x21L2/4
2
"x1L2/2
x
P
I
L
L
Figure P30.76
77. The magnitude of the force on a magnetic dipole m
S
aligned with a nonuniform magnetic field in the 
positive x direction is F
x
5 0m
S
0dB/dx. Suppose two flat 
loops of wire each have radius R and carry a current I.  
(a) The loops are parallel to each other and share the 
same axis. They are separated by a variable distance  
x .. R. Show that the magnetic force between them 
varies as 1/x4. (b) Find the magnitude of this force, 
taking I 5 10.0 A, R 5 0.500 cm, and x 5 5.00cm.
S
P
1
P
2
r
r
a
a
Figure P30.75
Documents you may be interested
Documents you may be interested