D
IGITAL
S
QUARE
S
UM
Problem
The digital sum of the year 2007 is 2 + 0 + 0 + 7 = 9, which is a square number.
How many years during the twenty-first century have a square digital sum?
Solution
The twenty-first century runs from the year 2001 to 2100 inclusive, so with the
exception of the year 2100, for which the digital sum is three anyway, the first two
digits of all the other years are fixed as 20. Hence for the sum of all the digits to be
square the sum of the last two digits number be two less than a perfect square.
As the maximum sum of the last two digits is 18, the greatest sum will be 20.
Therefore we can obtain digital sums of 4, 9, or 16, with the last two digits adding to
2, 7, or 14 respectively.
4: 2002, 2011, 2020
9: 2007, 2016, 2025, 2034, 2043, 2052, 2061, 2070
16: 2059, 2068, 2077, 2086, 2095
That is, there are sixteen years during the twenty-first century for which the digital
sum is square.
Which century since 1 A.D. has the most square digital sums?
Problem ID: 321 (14 Apr 2007)     Difficulty: 1 Star     [
]
Convert pdf to plain text online - Library application class:C# PDF Convert to Text SDK: Convert PDF to txt files in C#.net, ASP.NET MVC, WinForms, WPF application
C# PDF to Text (TXT) Converting Library to Convert PDF to Text
www.rasteredge.com
Convert pdf to plain text online - Library application class:VB.NET PDF Convert to Text SDK: Convert PDF to txt files in vb.net, ASP.NET MVC, WinForms, WPF application
VB.NET Guide and Sample Codes to Convert PDF to Text in .NET Project
www.rasteredge.com
D
IGIT
P
RODUCT
Problem
The product of the digits in the number 126, is 1  2  6 = 12.
How many other three digit numbers have a product that is equal to 12?
Solution
The three digits must be (126), (134) or (223) and there are fifteen different 3-digit
numbers made up of these digits:
126,162,216,261,612,621
134,143,314,341,413,431
223,232,322.
Using three digit numbers, how many ways can you make the product 16?
Investigate different product targets.
What is the first product that you cannot make?
Which product can be made in the most number of ways?
Problem ID: 18 (Oct 2000)     Difficulty: 1 Star     [
]
Library application class:C# PDF insert text Library: insert text into PDF content in C#.net
a single text character and text string to PDF files using online source codes in C#.NET class program. Insert formatted text and plain text to PDF page using
www.rasteredge.com
Library application class:VB.NET PDF Password Library: add, remove, edit PDF file password
doc.Save(outputFilePath). VB: Add Password to Plain PDF File. Following are examples for adding password to a plain PDF file in Visual Basic programming.
www.rasteredge.com
D
IGIT
S
UM
Problem
The digits in the number, 42, add to six. There are exactly six 2-digit numbers with
this property: 15, 24, 33, 42, 51, and 60.
How many 3-digit numbers exist for which the sum of the digits is six?
Solution
There are exactly twenty-one 3-digit numbers for which the sum of the digits is six:
105, 150, 501, 510
114, 141, 411
123, 132, 213, 231, 312, 321
204, 240, 402, 420
222
303, 330
600
Can you see how this list was produced?
What about 4-digit numbers with this property?
What about numbers below 10000?
Can you generalise for up to n-digit numbers?
Problem ID: 207 (17 Feb 2005)     Difficulty: 1 Star     [
]
Library application class:VB.NET Create PDF from Text to convert txt files to PDF in vb.net
Able to convert plain text to various fonts, colors and sizes of text content in PDF. Free SDK component built in .NET framework. Online evaluation source code
www.rasteredge.com
Library application class:VB.NET PDF insert text library: insert text into PDF content in vb
Insert formatted text and plain text to PDF page. features, like delete and remove PDF text, add PDF text box and Access to online VB.NET class source codes.
www.rasteredge.com
D
IVIDING
2 A
ND
3
Problem
How many numbers below one hundred are divisible by both 2 and 3?
Solution
If the number is divisible by both 2 and 3 it will be divisible by 6.
16  6 = 96 (17  6 = 102)
So there are 16 numbers under 100 that are divisible by both 2 and 3.
How many numbers under 100 are divisible by 2, 3 and 4?
What about being divisible by 2, 3, 4 and 5?
How many numbers under n are divisible by the integers 1 to m?
Problem ID: 46 (May 2001)     Difficulty: 1 Star     [
]
Library application class:C# PDF Password Library: add, remove, edit PDF file password in C#
Support to add password to PDF document online or in C#.NET WinForms for PDF file protection. C# Sample Code: Add Password to Plain PDF File in C#.NET.
www.rasteredge.com
Library application class:C# Create PDF from Text to convert txt files to PDF in C#.net, ASP
Viewer & Editors, C# ASP.NET Document Viewer, C# Online Dicom Viewer, C# Online Jpeg images Viewer, C# HTML Convert plain text to PDF text with multiple fonts
www.rasteredge.com
D
IVISIBLE
C
ONSECUTIVE
S
UMS
Problem
By adding four consecutive integers it is possible to make different totals. For
example, 16 + 17 + 18 + 19 = 70, which is also divisible by 10.
How many of the numbers under 100 that are divisible by 10 can you make by adding
four consecutive integers?
Solution
Taking four consecutive integers, starting from n,
n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = 4n + 6
Clearly for the total (4n + 6) to be divisible by 10, 4n must end in a 4. So the units
digit of n must be 1 or 6,
1 + 2 + 3 + 4 = 10
6 + 7 + 8 + 9 = 30
11 + 12 + 13 + 14 = 50
16 + 17 + 18 + 19 = 70
21 + 22 + 23 + 24 = 90
Giving 5 numbers under 100 that are divisible by 10 and can be made from the sum
of four consecutive integers.
How many numbers under 1000, that are divisible by 5, can be made from the sum
of four consecutive integers?
Problem ID: 34 (Feb 2001)     Difficulty: 1 Star     [
]
Library application class:C#: XDoc.HTML5 Viewer for .NET Online Help Manual
Enter the URL to view the online document. Click to OCR edited file (one for each) to plain text which can be copied Click to convert PDF document to Word (.docx
www.rasteredge.com
Library application class:C# Word: How to Extract Text from C# Word in .NET Project
Simple to convert a Visual C# MS Word doc Word text extractor preserves both the plain text as well powerful & profession imaging controls, PDF document, image
www.rasteredge.com
E
ASTER
E
GGS
Problem
Mr. and Mrs. Roberts have two daughters and three sons. At Easter time every
member of the family buys one chocolate Easter egg for each other member. How
many Easter eggs will be bought in total?
Solution
There are seven members of the family and each person must buy six Easter eggs.
Therefore, total number of Easter eggs is 7  6 = 42.
Use this idea to work out the following,
(i) In a season, ten schools play home and away matches in a hockey
league. How many matches that take place in a season.
(ii) In a netball tournament there are five teams and each team plays each
other team once. How many matches will take place?
(iii) In a form there are thirty-two girls and two are picked at random. How
many different pairs can be picked?
Problem ID: 112 (Apr 2003)     Difficulty: 1 Star     [
]
E
FFICIENT
M
EASURES
Problem
Using a 2 metre length and two 3 metre lengths, 8 metres can be measured.
It is possible to measure other lengths, for example, to measure 1 metre.
Which of the lengths from 1 to 8 metres can be measured directly?
Solution
Consider the following diagrams.
The only length not possible is 7 metres.
Problem ID: 111 (Apr 2003)     Difficulty: 1 Star     [
]
E
VEN
D
IGITS
M
ULTIPLE
O
F
N
INE
Problem
Find the smallest multiple of nine containing only even digits.
Solution
If a number is divisible by nine then the sum of digits must be a multiple of nine.
But if all of the digits are even then they must sum to an even multiple of nine, and
the smallest even multiple of nine is eighteen.
Hence we are looking for the most efficient way to write eighteen as the sum of even
digits: 2 + 8 + 8. That is, the smallest multiple of nine containing only even digits is
288.
Find the first five multiples of nine containing only even digits.
Problem ID: 328 (05 Jul 2007)     Difficulty: 1 Star     [
]
F
ALSE
C
EILINGS
Problem
A company that specialises in fitting false ceilings uses a design based on 1m
2
ceiling
tiles arranged in a grid.
Each tile is supported by metal strips that slot together.
Find the total length of metal strips required to fit this design in a room measuring 3
m by 4 m.
Solution
Consider the 4x3 grid.
The grid consists of 5 vertical strips of 3 units and 4 horizontal strips of 4 units.
So total length of metal strips = 5  3 + 4  4 = 15 + 16 = 31 m.
What if the room measured m x n?
What if m or n are not integers?
Problem ID: 60 (Dec 2001)     Difficulty: 1 Star     [
]
Documents you may be interested
Documents you may be interested