how to open pdf file in new tab in mvc : Convert pdf to text without losing formatting Library control component .net azure windows mvc mechanics3-part731

Mathematical Prependix
27
Why do this when you have the quadratic formula? What if the equation is
:
01
x
5
x
+1 = 0?
You will have to hunt very hard to nd the quintic formula. Iteration however is no harder than it was
for the quadratic equation.
x
=1 +
:
01
x
5
!
x
=1
:
01  !
x
=1 +
:
01(1
:
01)
5
=1
:
0105101005
!
x
=1 +
:
01(1
:
0105101005)
5
=1
:
0105367  !
x
=1
:
010538
If the equation is not algebraic, maybe you can do the same thing. If you encounter the equation
x
+1+
:
01sin
x
=0 you can do a single iteration to get
x
= 0
:
9916. But of course all these examples
were set up so that you could do such repetitive calculations easily. That doesn’t always happen, but
thennothing always works. That’s why you need a large tool kit. This method will be used in sections
4.1, 4.5,and 5.3.Itwillgreatlysimplifythesolutionandtheinterpretationoftheresultsfoundthere.
Though you don’t need it for later applications in this text, you may be wondering about the
other solution to thequadraticequation
:
01
x
2
x
+1 = 0. (If you weren’t, why not?) Sketch a
graph of this function. It is 1  
x
plus a small bit of
x
2
. That means that it doesn’t come back up to
intersect the
x
-axis until some large value of
x
. If
x
is large, what can balance it in this equation? Not
1certainly. That means it must be the
:
01
x
2
term that balances it |that is all there is left.
:
01
x
2
x
=0  !
:
01
x
1 = 0  !
x
=100
This is the lowest order approximation to the result. How do you improve on it? Rearrange the equation
to take advantage of the fact that
x
is now large: Divide by it.
:
01
x
2
x
+1 = 0  !
:
01
x
1 +
1
x
=0  !
x
100 +
100
x
=0  !
x
=100  
100
x
Now iterate using this.
x
=100  
100
100
!
x
=99  !
x
=100  
100
99
=98
:
9898
;
etc.
Exercises
In Eq.(0.1)you have theseries for1
=
(1  
x
). Dierentiate it with respect to
x
. Next use the
binomial series for
n
= 2 and expand 1
=
(1  
x
)
2
to see if the results match.
DivideoneofthetwoequationsinEq.(0.11)bytheotherandmanipulatetoobtainanidentityfor
tanh(
x
+
y
).
Verifytheequations(0.11)bymultiplyingouttheexpressionsontherightsideusingthedenitions
of the hyperbolic functions.
Verifythat
x
2
+
y
2
+
z
2
=
r
2
in the second set of equations (0.13).
EitherverifyEq.(0.43)orcorrectitifit’swrong.
VerifythattheresultinEq.(0.44)isright. Notthatthederivationisright,thattheresultis! ! Also,
what is it’s time-derivative?
UsetheseriesinEq.(0.1)toderiveEq.(0.46).
Convert pdf to text without losing formatting - Library control component:C# PDF Convert to Text SDK: Convert PDF to txt files in C#.net, ASP.NET MVC, WinForms, WPF application
C# PDF to Text (TXT) Converting Library to Convert PDF to Text
www.rasteredge.com
Convert pdf to text without losing formatting - Library control component:VB.NET PDF Convert to Text SDK: Convert PDF to txt files in vb.net, ASP.NET MVC, WinForms, WPF application
VB.NET Guide and Sample Codes to Convert PDF to Text in .NET Project
www.rasteredge.com
Mathematical Prependix
28
SettherightsideofEq.(0.51)equaltotheunitmatrix. Ifyouknowthenumbers
e; f; g; h
,then
solve for
a; b; c; d
.For example,
ae
+
bg
=1 is your rst equation. Ans: Eq. (0.52)
TakeM=
11
11
and nd all the
p
’s and
q
’s such that the equations (0.54) do have a solution. Then
how many solutions do they have?
10 UsetheprocedurestartingatEq.(0.5)toderivethepowerseriesforthesineandforthecosine.
11 Computetheareaofthetrianglewithvertices(0
;
0), (
a;
0), (
a;b
). Do it twice as a double integral
dxdy
,interchanging limits. Now integrate the function
x
over the same area both ways and see if you
again get the same answer both ways. Since you’ve done both integrals, divide the second by the rst.
12 Verifythatthesphericalcoordinatevelocityandacceleration,Eq.(0.42),reducetotheplanepolar
coordinate versions in the equatorial plane (
=90
). Verify the same along constant longitude (
=
constant).
13 InwhatstatesarethemostNorthern,Southern,Western,andEasternpointsintheUnitedStates?
Ans: You’re probably wrong. Lookvery closely at the map on page8, or consult a large atlas.
14 EachdaytheEarthgainsabout100000tonsfromspacedebris(rocks,dust,etc.) Aboutwhatis
the average daily change in the Earth’s radius from this bombardment? Express the result in atomic
diameters. If you nd yourself involved in a lot of arithmetic, reread Eq. (0.31). Donot become involved
with subtracting large, almost-equal numbers. Let the algebra do the labor for you.
Library control component:VB.NET Create PDF from PowerPoint Library to convert pptx, ppt to
VB.NET merge PDF files, VB.NET view PDF online, VB.NET convert PDF to tiff, VB.NET read PDF, VB.NET convert PDF to text, VB.NET Convert to PDF with embedded
www.rasteredge.com
Library control component:VB.NET Create PDF from Word Library to convert docx, doc to PDF in
Export all Word text and image content into high quality PDF without losing formatting. Create PDF files from both DOC and DOCX formats. Convert multiple pages
www.rasteredge.com
Mathematical Prependix
29
Problems
0.1 FindthenextordercorrectiontotheseriesexpansionforEq.(0.3).Checktheresultbyanumerical
comparison of the exact result versus your approximate result for a couple of modest sized values of
at=c
. Use
a
=
g
,but rst convert
g
=9
:
81 m/s
2
to the units light-years per year squared.
0.2 Writethepowerseriesexpansionabout
t
=0 for 1
=
(1+
t
), then evaluate the integral
R
x
0
dt=
(1+
t
)
by integrating this series. Ans: See table Eq. (0.1).
0.3 Useseriesexpansionstondthelimitas
x
!0 of
1
sin
2
x
1
x
2
The series for the sine and the binomial series are what you need. You can test your result experimentally
by putting various values of
x
into a hand calculator.
0.4 Improveontheprecedingcalculationandndthebehaviorofthatfunctionforsmall
x
. Find the
results in a power series up through terms in
x
2
. Check your approximate result versus the exact one
using a calculator for a couple of small
x
. Again you will use the sine series and the binomial expansion,
but keep the next order terms. Ans:
1
3
+
1
15
x
2
0.5 ThelimittakeninEq.(0.2)wassimplythevalueas
x
!0. Improve it by keeping more terms and
nding the behavior for small
x
instead of just for zero
x
. Ans:  
1
2
1
8
x
0.6 Therelativisticexpressionforthekineticenergyofanon-zeromassparticleis
K
=
mc
2
"
1
p
v
2
=c
2
1
#
For small speed (
v
c
)expand this to terms in
v
4
at least.
0.7 Thehyperbolicsineisanoddfunction,sinh(
x
)=   sinh
x
,so the inverse hyperbolic sine is odd
too. Equation (0.10) doesn’t look odd, but prove that it is anyway.
0.8 Derivetheequations(0.8).
0.9 Fromthedenitionofsinh,writesinh(2
x
)then factor the result and derive the identity sinh(2
x
)=
2sinh
x
cosh
x
. Similarly, nd cosh(2
x
)in terms of hyperbolic functions of
x
.
0.10 Derivethepowerseriesexpansionsofsinh
x
and cosh
x
about
x
=0. Ans: See table Eq. (0.1).
0.11 (a)
y
=sinh
1
x
means
x
=sinh
y
. Dierentiate the latter equation with respect to
x
,solve the
result for
dy=dx
,use a simple identity to eliminate the cosh, and show that the derivative of sinh
1
x
is 1
=
p
1+
x
2.
(b) Repeat this calculation of the derivative, but starting from Eq. (0.10).
0.12 Justaftertheequation(0.10)thereisasetofgraphsofthevarioushyperbolicfunctions. Sort
out which graph is which.
0.13 InEq.(0.7)youseehowthehyperbolicfunctionsproduceahyperbolaforagraph. Nowchange
variables (rotate coordinates) to
x
0
=(
x
+
y
)
=
p
2,
y
0
=(
x
y
)
=
p
2and draw the corresponding graph
for this.
Library control component:VB.NET Create PDF from Excel Library to convert xlsx, xls to PDF
images, C#.NET PDF file & pages edit, C#.NET PDF pages extract, copy, paste, C#.NET rotate PDF pages, C#.NET search text in PDF Convert to PDF with embedded
www.rasteredge.com
Library control component:C# Create PDF from Word Library to convert docx, doc to PDF in C#.
A convenient C#.NET control able to turn all Word text and image content into high quality PDF without losing formatting. Convert multiple pages Word to
www.rasteredge.com
Mathematical Prependix
30
0.14 Substitute
ix
into the power series for cos
x
to get cos(
ix
)and show that it is cosh
x
. Find an
analogous relation for sin(
ix
).
0.15 Fromtheprecedingproblemtogetcosandsinof
ix
,show how to go from the known identities
for cos(
x
+
y
) and sin(
x
+
y
) to the corresponding ones for cosh and sinh. Ans: cosh(
x
+
y
) =
cosh
x
cosh
y
+sinh
x
sinh
y
0.16 Fromtheequationcos
2
x
+sin
2
x
=1 you get a useful identity by dividing it by cos
2
x
.What is
the analogous result starting from cosh
2
x
sinh
2
x
=1?
0.17 SimilartotherelationsinEq.(0.13),ndtherelationsbetweencylindricalandsphericalcoordi-
nates.
0.18 ComputetheareaofthetriangleinEq.(0.20)using polar coordinates.Thetrianglehasvertices
at (0
;
0), (
a;
0), and (
a; b
). Carefully consider the order of integration, drawing enough pictures to
allow you to make a considered choice.
0.19 Computethevolumeofasphereusing(a)sphericalcoordinates,(b)cylindricalcoordinates.
0.20 Computetheareaofasphereusing(a)sphericalcoordinates,(b)cylindricalcoordinates,(c)rect-
angular coordinates.
0.21 ComparetheareasontheEarthbetween10
and 11
North latitude to the area between 79
and
80
.Take the ratio. Can you do this by brute force, using a calculator that keeps a zillion digits? Yes, but
don’t. Use algebra and some thought instead before you grab the calculator. Ans: tan 10
:
5
=0
:
1653
0.22 Amomentofareais
R
r
2
dA
.Use the area of the triangle that led to Eq. (0.20) with
r
measured
from the origin, and evaluate this moment, doing the integral twice, once in each order shown.
0.23 Expresstherectangularcomponents
x
,
y
,
z
of a point in terms of its spherical coordinates. Verify
x
2
+
y
2
+
z
2
. Ans:e.g.
x
=
r
sin
cos
0.24 (a)Computethedotproductof(3^
x
+4^
y
)and (4^
x
+3^
y
)two ways: once using components and
once using the original denition of the dot product, Eq. (0.21). Equate the results and deduce the
angle between the vectors. (b) Repeat the calculation to nd the angle, but using the cross product
instead|once with the denition and once with basis vectors and components. What ambiguities
appear in these results? Ans: in part 16
:
3
0.25 Obtainthelawofcosinesintrigonometrybyinterpretingtheproduct
~
A
~
B
.
~
A
~
B
. Let
~
C
=
~
A
~
B
.No components please.
0.26 (a)Foratrianglewithtwosidesbeing
~
A
and
~
B
,show that
~
A
~
B
has magnitude twice the area of
the triangle. (b) Make the third side of the triangle
~
C
and (having chosen the directions appropriately)
show that
~
A
~
B
=
~
A
~
C
. From there derive the law of sines. Again, no components please.
0.27 Showbydrawingpicturesandusingthegeometricdenitionsoftheproductsthat
~
A
.
~
B
~
C
is
() the volume of the parallelepiped spanned by the three vectors. From this picture, show why the
rst of the identities Eq. (0.25) is true. The second one too.
0.28 Let
~a
be a xed vector. Show that the in the plane,
r
2
2
~a
.
~r
=0 is the equation of a circle.
Interpret this equation to show that the angle inscribed in a semicircle is a right angle.
Library control component:C# Create PDF from Excel Library to convert xlsx, xls to PDF in C#
An excellent .NET control support convert PDF to multiple Excel formats in C#.NET Turn all Excel spreadsheet into high quality PDF without losing formatting.
www.rasteredge.com
Library control component:C# Create PDF from PowerPoint Library to convert pptx, ppt to PDF
Excellent .NET control for turning all PowerPoint presentation into high quality PDF without losing formatting in C#.NET Class. Convert to PDF with embedded
www.rasteredge.com
Mathematical Prependix
31
0.29_If
~
A
.
~
B
=0 and
~
A
is not zero, show that the simultaneous equations
~
V
~
A
=
~
B
and
~
V
.
A
=
p
have the solution
~
V
=
~
A
~
B
+
p
~
A
=
~
A
.
~
A
0.30 If ^
u
is a unit vector in an arbitrary direction, show that for any vector
~
A
this identity holds. Also,
draw a picture to show what this identity looks like.
~
A
=^
u
~
A
.
^
u
+^
u
~
A
^
u
0.31 Evaluate(rememberthesummationconvention)
ij
jk
;
ii
jj
;
ij
ij
;
ii
ii
;
ii
jk
0.32 (a)DerivetheJacobiidentity,Eq.(0.23)fromEq.(0.24). (b)DeriveEq.(0.24)equationfrom
Eq. (0.30). (c) Derive that equation too.
0.33 Carryoutthecalculations ofthederivativesofEq.(0.34),withanswersafewlines afterthat.
Also compute the derivatives of
f
3
=
df
1
=dx
and of
f
4
(
x
)=
R
x=
2
0
t
p
x
tdt
. In the case of
f
4
,also
evaluate the integral and dierentiate the result to see if the two ways to calculate the derivative give
the same answer. To do the integral, notice that the factor
t
can be written as
(
x
t
)+
x
.
0.34 (a)Computethederivativewithrespectto
t
of
R
2
t
t
dx e
tx2
. (b) Make a change of integration
variables so that the new limits are constants. Now compute the time derivative and compare the two
answers.
0.35Atrickyderivative.Tryitthestraight-forwardwayrstanddemonstratehowitblowsuponyou.
Next do a partial integration to put the integral into a dierent form and then do the derivative.
f
(
t
)
is an unspecied, but dierentiable, function of
t
.Show that the result it
d
dx
Z
x
0
dt
f
(
t
)
p
x
t
=
1
p
x
f
(0) +
Z
x
0
dt
_
f
(
t
)
p
x
t
Test this on an explicit, non-constant, special
f
for which you can do the integral; then do this derivative
directly and with the formula that you just derived.
0.36Theprecedingproblemcan alsobedoneby goingbacktothe-denition ofaderivative and
manipulating that. No partial integrations, just the denitions and maybe a coordinate shift.
0.37 Startfromtheproductrulefordierentiation,Eq.(0.36),integrateitandsoderivetheequation
for partial integration,
R
udv
=
uv
R
vdu
.
0.38 Afunction of
x
is dened to be
R
1
0
t
x
1
e
t
dt
. Call it  (
x
). Change variables in the integral
to
t
=
u
. Dierentiate the result with respect to
. Of course, the answer has to be zero doesn’t
it? Now set
=1 and show that this gives  (
x
+1) =
x
(
x
). (b) Evaluate  (1). Now what are
(2)
;
(3)
;
(4)
;
(5)?
0.39 Compute
d
dx
Z
2
x
x
dte
xt3
;
d
dx
Z
x
x
dte
xt3
Library control component:VB.NET PDF Convert to Word SDK: Convert PDF to Word library in vb.
finish high-fidelity PDF to Word conversion without depending on pictures and font formatting of source PDF file are Why do we need to convert PDF to Word file
www.rasteredge.com
Mathematical Prependix
32
without doing the integral (you won’t be able to anyway). Check one point of each of your results by
asking what these derivatives are at
x
=0. [For small (not zero)
x
,what is the integral?] Compare
your solutions to this special case. Sketching a graph may help.
0.40 (a) TakethesquareofEq.(0.46)anddeducetwocommonidentitiesconcerningtrigonometric
functions of double angles. (b) Take the cube of the same equation and deduce two not-so-common
trigonometric identities for triple angles.
0.41 Startfromthe equation (0.1) fortheexponentialand substitute
x
=
i
. Collect the real and
imaginary parts, and use other series from (0.1) to derive Euler’s formula for
e
i
.
0.42 Expressinpolarform,
re
i
1+
i
i
;
1 +
i
p
3
+1 +
i
p
3
;
1+
i;
14   17
i
0.43 Sketchthepointsinthecomplexplane: j
z
j
<
1, j
z
2j
>
1,
z
+
z
=5,
z
z
=5.
0.44 Showthatcos
x
=
1
2
(
e
ix
+
e
ix
)and that sin
x
=
1
2
i
(
e
ix
e
ix
).
0.45 Assumethattheequationsof problem0.44arevalidforcomplex valuesof
x
,and use that to
dene cos(
x
+
iy
)and sin(
x
+
iy
). That is,start with cos(
x
+
iy
)dened by replacing
x
!
x
+
iy
in problem0.44, then rearrange the result to show that (a) sin(
x
+
iy
)= sin
x
cosh
y
+
i
cos
x
sinh
y
.
(b) Find the analogous equation for cos(
x
+
iy
). (c) And what are these when
x
=0? (d) What is
cos
1
2? What is sin
1
2? Ans: in part: 1
:
570796  
i
1
:
316958
0.46 Dierentiate
e
i
with respect to
to derive the dierentiation formulas for sine and cosine.
0.47 Whatiscosh
x
+
1
2
i
?
0.48 Findtheareaofanellipse.Doingtheintegral
R
dA
=
R
dxdy
is easiest inrectangular coordinates,
with the equation Eq. (0.16). Ans:
ab
0.49 In Eq. (0.38) there’s the derivative of a a dotproduct. . Can n you really do this? ? Write
~v
.
~v
in
rectangular components, dierentiate it, and reassemble the results to show that it works.
0.50 InEq.(0.39)itsays\andsimilarly",leavingtherestofthederivationtoyou.Doit.
0.51 Fillinthestepsleadingtotheexampleresult,Eq.(0.44),andverifythattheresultisplausible.
Then compute its acceleration. Pictures of course. Lots of arrows.
0.52 A carstarts from restandmovesalonga a circulartrackof radius
R
. It has constant forward
acceleration, so the distance along the track is
at
2
=
2. Write its velocity and acceleration in the ^
r
-
^
basis and sketch the
~r
,
~v
,and
~a
vectors at dierent times.
0.53 (a)Compute
d~a=dt
=
d
3
~r=dt
3
in plane polar coordinates. (b) What is this for circular motion
at constant speed? Ans:^
r
_
3r_
_
2
3
r
_
+
^
r
_
+3_
r
+3
r
_
r
_
3
0.54 InEq.(0.45)itshowshowtosimplifyafractionbyrationalizingthedenominator. Whatdoyou
get if you rationalize its numerator instead?
Mathematical Prependix
33
0.55 UsetheidentitiesinEq.(0.48)oranotherwayifyouprefer,andderivetheoccasionallyuseful
identities
cos
x
+cos
y
=2 cos
x
+
y
2
cos
x
y
2
and cos
x
cos
y
=2 sin
x
+
y
2
sin
y
x
2
0.56 Solve by separation n of f variables
dx=dt
=
a
+
x
with the initial condition that
x
(0) =
b
.
Ans:
x
(
t
)= (
a
+
b
)
e
t
a
0.57 Solvethe1
st
,3
rd
,and 4
th
of the equations in Eq. (0.49), nding the general solution.
0.58 Find acombinationofnumbers
a;b; c; d; p; q
in Eq. (0.54) so that one or both of
p
and
q
are
not zero, the determinantis zero, and there is still a non-zero solution for
x
and
y
.
0.59 Sometimesaquadraticequationisalinearequationindisguise.
(a) Solve the equation 0
:
001
x
2
x
+2 = 0 by noticing that it is almost linear, so
x
=2 is almost
right. (b) Use iteration. Get the second solution too.
0.60 How do you u takethe square root of a a numberby y hand? ? You u solve the equation
x
2
=
a
by
iteration. If
x
0
is an approximate answer and
is the error, then
a
=(
x
0
+
)
2
=
x
2
0
+2
x
0
+
2
x
2
0
+2
x
0
!
a
x
2
0
2
x
0
The improved estimate of the root is
x
1
=
x
0
+
. Finish this algebra for the new
x
=
x
1
and use it to
compute
p
2by repeating this process with improved values at every step. Start with a stupid initial
guess such as
x
0
=1 and iterate to see how fast it converges. This is the basis for the internal square
root algorithm used inside some computers. There however, they will make a more intelligent starting
choice. Ans: 1
:
,1
:
5, 1
:
417, 1
:
414216, 1
:
4142135623747,
:: :
Introduction
.
Read sections 0.4 0.5
What are Newton’s laws of motion? For a caricature of them (don’t believe this) you have
1. An object with no external forces on it will either remain at rest or stay moving
at constant velocity.
2.
~
F
=
m~a
.
3. Action equal reaction.
Start with the last one. What in the world is \action"* let alone \reaction"? The answer is that
you would never write this law in such a language today. A formulation in contemporary language is
3. If one object exerts a force on a second, then the second will exert a force on
the rst of the same magnitude but opposite direction. In colloquial mathematics
this is
~
F
on1 by2
~
F
on 2by1
Not obviously so, but another, better way to state the third law ismomentumis
conserved. Seeproblem4.47forapuzzleaboutthis.
For the rst law, can’t you derive it from the second? Just set the total force on an object to
zero, then
~a
=0 and the velocity is constant. Didn’t Newton notice this?
As stated, the rst law is obviously false. The sun goes around the Earth daily. It’s moving on a
circle and its velocity is certainly changing, but there’s no force causing it to do this. You say that this
is because of the Earth’s rotation on its axis? Where, in the rst law as stated above, is this precluded?
The last time that I was on a merry-go-round I saw people moving up and down and going in circles
around me. They weren’t moving at constant velocity even though there was no force to push them
into this odd motion. If you think that I’m wrong to say this, that I’m the one who’s moving, then
explain why I can’t assume that I’m the center of the universe. What if I prefer to think that the world
moves around me and that I am forever standing still?
The answer is that Ican do this. It is a question of complexity. Newton’s rst law is really a
denition: that of an \inertial frame", and it is only in inertial systems that the laws of nature take on
an especially simple form. A statement of Newton’s rst law is
1. An inertial observer (or inertial frame or inertial coordinate system) is one for
which IF no forces act on an object |there are no discernible interactions with
any other body|THEN that object will move with constant velocity. This is the
denitionofaninertialsystem.
This doesn’t say that there’s anything wrong with a coordinate system that is not inertial. It
simply tells you what it means tobe inertial. The Earth is not an inertial system. The merry-go-round
isn’t either. Does that mean there’s anything wrong with setting up a coordinate system centered on
either of these? No, it simply means that you can’t use Newton’s laws in their simplest form. Chapter
ve is devoted to this question.
* The Oxford English Dictionary says it is either momentum times time, or kinetic energy times
time, or maybe closest to our purposes, \The exertion of force by one body upon another; in uence".
And these don’t exhaust the possibilities.
34
1|Introduction
35
For the second law,
2. IF you are in an inertial frame, THEN the acceleration of a point mass is
equal to the total force on it divided by its mass.
~a
=
~
F=m
. More generally,
~
F
=
d
(
m~v
)
=dt
if the mass that is in motion happens not to be constant.
When you write the laws this way you can’t even ask that question about deriving the rst law
from the second. You need the denition stated in the rst law even to state the second law. Do these
restatements of the laws of mechanics clarify everything? No. There are still some ideas to resolve,
some of them hard. What is acceleration? (easy) What is mass? (pretty easy) What is force? (tough)
Which is correct,
~
F
=
m~a
or
~
F
=
d
(
m~v
)
=dt
?That is an experimental question, and when the
mass of an object is not constant, the two forms aren’t the same. The second one is right, and that’s
the one that is consistent with conservation of momentum. Of course the validity of that law is an
experimental question too. Example: a raindrop is falling and while falling it picks up more water from
the surrounding moist air. Example: a rope is coiled on the table and you pick up one end, pulling it
straight up at constant speed; onlysome of the mass is moving at any time. For most of the material
in this text, the mass will be constant, so you can pull it out of the derivative and use the simpler form.
But,
In a non-inertial system
~
F
6=
m~a
and it 6=
d
(
m~v
)
dt
either.
What do you do if you really want to work in a non-inertial system? Read chapter ve.
This statement of Newton’s rst law denes an inertial frame, but if you’re not satised, you
can look upplato.stanford.edu/entries/spacetime-iframes/ for a far more detailed denition. It will tell
you more than you want to know about the subject. Despite this snarky comment, it is very clear and
readable. It lays out and discusses some of the subtleties that I’ve ignored here.
1.1 Dimensions and Units
Almost every physical quantity that you encounter will have some sort of dimensional property: mass,
length, time, charge, temperature,etc. There is a dierence between dimensions and units, though you
can easily ignore this distinction without serious consequence. If mass is a dimension, then kilograms,
grams, even slugs are units. For the dimension length you have units meter, decimeter, light-year,
furlong, mile, and many others.
When you say that an object has a mass of two kilograms you are saying that the ratio of its
mass to the mass of a certain piece of platinum-iridium alloy kept in a vault near Paris is two to one.
When you use a unit of measurement, that’s all you are doing|stating a ratio of what you measure
to some conventional standard. If it seems arbitrary that’s because it is, but it is exactly what you do
any time that you measure something, including your own weight (unit: pound, stone, grzywna*, or
Newton).
When you measure a length the common unit is the meter, and that is dened in terms of the
properties of light in conjunction with a special atomic clock. One meter is the distance that light
travels in a vacuum in 1/299 792 458seconds. It is just as arbitrary as the kilogram, but at least it uses
aphysical standard that can be reproduced anywhere in the world. You do not have to go to Paris for
it, though perhaps that’s a point against it.
What is mass? Maybe not in any very fundamental way, but what is a denition that will let
me know what I am measuring? One way is to let two masses interact with each other, perhaps by
putting a very light spring in between them and letting them push apart. After they have pushed apart,
measure their speeds.
* I did not make this up
1|Introduction
36
m
1
m
2
~v
1
~v
2
Fig. 1.1
Dene the ratio of the two masses to be
m
1
=m
2
=
v
2
=v
1
. That way, if
m
2
is a standard kilogram
then you are measuring
m
1
in kilograms. What about the spring? Well, you really have to take some
sort of limit as it shrinks to nothing.
Is this the only way to dene such a mass ratio? No, you could measure accelerations and dene
this using the ratio of the measured accelerations. You can even dene the ratio in another way that
may make no immediate sense, but is the right denition when you encounter relativity.
m
1
m
2
=
v
2
p
v
2
1
=c
2
v
1
p
v
2
2
=c
2
In this equations
c
is the speed of light in vacuum,
c
= 299 792 458 m/s, and for ordinary speeds
this denition reduces to the rst one. For most purposes you do not need to refer to these precise
statements, but it is appropriate to understand that they are needed at some point in order to dene
the words that we use.
At a fundamental level there are just a few types of forces. They are
1. gravity
2. electromagnetism
3. weak nuclear
4. strong nuclear
electroweak
)
standard model
9
>
=
>
;
?
At one time (before Maxwell in the 1860s) electricity and magnetism were two dierent forces, but he
found that they were just two dierent aspects of the same thing. More recently the electromagnetic
force was united with the weak nuclear force (responsible for beta-decay). A little later these were
combined with the strong nuclear force (really the interaction of quarks). Now we’re stuck.
In classical mechanics there are exactly two types of forces that you encounter: gravity and
electromagnetism, and in the latter case the most common manifestation is the contactforce. Two
objects touch each other and exert forces on each other. Those are in fact molecule to molecule forces
and those are electrical. Fortunately you never have to examine the problem at this level; you simply
say that there is a force of contact between two objects and then let Newton’s equations gure out
how big it is. That it involves interacting molecules is someone else’s business.
For this entire book the only forces are 1.gravity, 2. contact, 3.electric or magnetic elds|
mostly numbers one and two. Are there exceptions? You could argue that the inertial forces in chapter
ve are dierent, but those are the result of a coordinate transformation. Friction? That is just a
contact force, so it is basically electromagnetic, intermolecular forces.
1.2 Types of Mass
Mass is in some sense a resistance to acceleration. Any of the ways to dene mass in the preceding
section came from this idea. When two masses push each other apart the more massive one accelerates
less. In the equation
~a
=
~
F=m
,the bigger the mass the less the acceleration, other things being equal.
Mass appears in another basic physical law, gravity. The equation
~
F
grav
=
m~g
says that a
gravitational eld
~g
pushes on an object in direct proportion to some special property of the object,
commonly calledmass.
Look at the last two paragraphs. The same word, \mass", appeared in two dierent meanings.
One involved resistance to acceleration and the other involved the eect of a gravitational eld. If I say
that the electric eld,
~
E
,caused a force
m
~
E
on an object, you should object. Why is it that the eect
Documents you may be interested
Documents you may be interested