asp net pdf viewer control c# : Split pdf application SDK tool html winforms web page online PHYS101_OpenStaxCollege_College-Physics10-part1727

Figure 3.33Vector
A
has magnitude
53.0 m
and direction
20.0º
north of thex-axis. Vector
B
has magnitude
34.0 m
and direction
63.0º
north of thex-
axis. You can use analytical methods to determine the magnitude and direction of
R
.
Strategy
The components of
A
and
B
along thex- andy-axes represent walking due east and due north to get to the same ending point. Once found,
they are combined to produce the resultant.
Solution
Following the method outlined above, we first find the components of
A
and
B
along thex- andy-axes. Note that
A=53.0 m
,
θ
A
=20.0º
,
B=34.0 m
, and
θ
B
=63.0º
. We find thex-components by using
A
x
=Acosθ
, which gives
(3.16)
A
x
Acosθ
A
=(53.0 m)(cos 20.0º)
= (53.0 m)(0.940)=49.8 m
and
(3.17)
B
x
Bcosθ
B
=(34.0 m)(cos 63.0º)
= (34.0 m)(0.454)=15.4 m.
Similarly, they-components are found using
A
y
=Asinθ
A
:
(3.18)
A
y
Asinθ
A
=(53.0 m)(sin 20.0º)
= (53.0 m)(0.342)=18.1 m
and
(3.19)
B
y
Bsinθ
B
=(34.0 m)(sin 63.0º)
= (34.0 m)(0.891)=30.3 m.
Thex- andy-components of the resultant are thus
(3.20)
R
x
=A
x
+B
x
=49.8 m+15.4 m=65.2 m
and
(3.21)
R
y
=A
y
+B
y
=18.1 m+30.3 m=48.4 m.
Now we can find the magnitude of the resultant by using the Pythagorean theorem:
(3.22)
RR
x
2
+R
y
2
= (65.2)
2
+(48.4)
2
m
so that
(3.23)
R=81.2 m.
Finally, we find the direction of the resultant:
(3.24)
θ=tan
−1
(R
y
/R
x
)=+tan
−1
(48.4/65.2).
Thus,
(3.25)
θ=tan
−1
(0.742)=36.6º.
CHAPTER 3 | TWO-DIMENSIONAL KINEMATICS S 99
Split pdf - Split, seperate PDF into multiple files in C#.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
Explain How to Split PDF Document in Visual C#.NET Application
pdf link to specific page; cannot print pdf no pages selected
Split pdf - VB.NET PDF File Split Library: Split, seperate PDF into multiple files in vb.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
VB.NET PDF Document Splitter Control to Disassemble PDF Document
can print pdf no pages selected; pdf split and merge
Figure 3.34Using analytical methods, we see that the magnitude of
R
is
81.2 m
and its direction is
36.6º
north of east.
Discussion
This example illustrates the addition of vectors using perpendicular components. Vector subtraction using perpendicular components is very
similar—it is just the addition of a negative vector.
Subtraction of vectors is accomplished by the addition of a negative vector. That is,
ABA+(–B)
. Thus,the method for the subtraction
of vectors using perpendicular components is identical to that for addition. The components of
–B
are the negatives of the components of
B
.
Thex- andy-components of the resultant
AB = R
are thus
(3.26)
R
x
=A
x
+
B
x
and
(3.27)
R
y
=A
y
+
B
y
and the rest of the method outlined above is identical to that for addition. (SeeFigure 3.35.)
Analyzing vectors using perpendicular components is very useful in many areas of physics, because perpendicular quantities are often independent
of one another. The next module,Projectile Motion, is one of many in which using perpendicular components helps make the picture clear and
simplifies the physics.
Figure 3.35The subtraction of the two vectors shown inFigure 3.30. The components of
–B
are the negatives of the components of
B
. The method of subtraction is the
same as that for addition.
PhET Explorations: Vector Addition
Learn how to add vectors. Drag vectors onto a graph, change their length and angle, and sum them together. The magnitude, angle, and
components of each vector can be displayed in several formats.
Figure 3.36Vector Addition (http://cnx.org/content/m42128/1.10/vector-addition_en.jar)
100 CHAPTER 3 | TWO-DIMENSIONAL KINEMATICS
This content is available for free at http://cnx.org/content/col11406/1.7
Online Split PDF file. Best free online split PDF tool.
Online Split PDF, Separate PDF file into Multiple ones. Download Free Trial. Split PDF file. Just upload your file by clicking
c# split pdf; c# print pdf to specific printer
.NET PDF Document Viewing, Annotation, Conversion & Processing
File & Page Process. Create new file, load PDF from existing files. Merge, split PDF files. Insert, delete PDF pages. Re-order, rotate PDF pages. PDF Read.
break apart a pdf in reader; combine pages of pdf documents into one
3.4Projectile Motion
Projectile motionis themotionof an object thrown or projected into the air, subject to only the acceleration of gravity. The object is called a
projectile, and its path is called itstrajectory. The motion of falling objects, as covered inProblem-Solving Basics for One-Dimensional
Kinematics, is a simple one-dimensional type of projectile motion in which there is no horizontal movement. In this section, we consider two-
dimensional projectile motion, such as that of a football or other object for whichair resistanceis negligible.
The most important fact to remember here is thatmotions along perpendicular axes are independentand thus can be analyzed separately. This fact
was discussed inKinematics in Two Dimensions: An Introduction, where vertical and horizontal motions were seen to be independent. The key to
analyzing two-dimensional projectile motion is to break it into two motions, one along the horizontal axis and the other along the vertical. (This choice
of axes is the most sensible, because acceleration due to gravity is vertical—thus, there will be no acceleration along the horizontal axis when air
resistance is negligible.) As is customary, we call the horizontal axis thex-axis and the vertical axis they-axis.Figure 3.37illustrates the notation for
displacement, where
s
is defined to be the total displacement and
x
and
y
are its components along the horizontal and vertical axes, respectively.
The magnitudes of these vectors ares,x, andy. (Note that in the last section we used the notation
A
to represent a vector with components
A
x
and
A
y
. If we continued this format, we would call displacement
s
with components
s
x
and
s
y
. However, to simplify the notation, we will simply
represent the component vectors as
x
and
y
.)
Of course, to describe motion we must deal with velocity and acceleration, as well as with displacement. We must find their components along thex-
andy-axes, too. We will assume all forces except gravity (such as air resistance and friction, for example) are negligible. The components of
acceleration are then very simple:
a
y
= –g= –9.80 m/s
2
. (Note that this definition assumes that the upwards direction is defined as the
positive direction. If you arrange the coordinate system instead such that the downwards direction is positive, then acceleration due to gravity takes a
positive value.) Because gravity is vertical,
a
x
=0
. Both accelerations are constant, so the kinematic equations can be used.
Review of Kinematic Equations (constant
a
)
(3.28)
x=x
0
+v
-
t
(3.29)
v
-
=
v
0
+v
2
(3.30)
v=v
0
+at
(3.31)
x=x
0
+v
0
t+
1
2
at
2
(3.32)
v
2
=v
0
2
+2a(xx
0
).
Figure 3.37The total displacement
s
of a soccer ball at a point along its path. The vector
s
has components
x
and
y
along the horizontal and vertical axes. Its magnitude
is
s
, and it makes an angle
θ
with the horizontal.
Given these assumptions, the following steps are then used to analyze projectile motion:
Step 1.Resolve or break the motion into horizontal and vertical components along the x- and y-axes.These axes are perpendicular, so
A
x
=Acosθ
and
A
y
=Asinθ
are used. The magnitude of the components of displacement
s
along these axes are
x
and
y.
The
magnitudes of the components of the velocity
v
are
v
x
=vcosθ
and
v
y
=vsinθ,
where
v
is the magnitude of the velocity and
θ
is its
direction, as shown inFigure 3.38. Initial values are denoted with a subscript 0, as usual.
Step 2.Treat the motion as two independent one-dimensional motions, one horizontal and the other vertical.The kinematic equations for horizontal
and vertical motion take the following forms:
(3.33)
Horizontal Motion(a
x
=0)
(3.34)
x=x
0
+v
x
t
(3.35)
v
x
=v
0x
=v
x
=velocity is a constant.
(3.36)
Vertical Motion(assuming positive is upa
y
=−g=−9.80m/s
2
)
CHAPTER 3 | TWO-DIMENSIONAL KINEMATICS S 101
VB.NET PDF Library SDK to view, edit, convert, process PDF file
Tell VB.NET users how to: create a new PDF file and load PDF from other file formats; merge, append, and split PDF files; insert, delete, move, rotate, copy
break pdf into separate pages; pdf print error no pages selected
C# WPF PDF Viewer SDK to view, annotate, convert and print PDF in
Jpeg. Convert PDF to Png, Gif, Bitmap Images. File and Page Process. File: Merge, Append PDF Files. File: Split PDF Document. File
break a pdf into smaller files; acrobat separate pdf pages
(3.37)
y=y
0
+
1
2
(v
0y
+v
y
)t
(3.38)
v
y
=v
0y
gt
(3.39)
y=y
0
+v
0y
t
1
2
gt
2
(3.40)
v
y
2
=v
0y
2
−2g(yy
0
).
Step 3.Solve for the unknowns in the two separate motions—one horizontal and one vertical.Note that the only common variable between the
motions is time
t
. The problem solving procedures here are the same as for one-dimensionalkinematicsand are illustrated in the solved examples
below.
Step 4.Recombine the two motions to find the total displacement
s
and velocity
v
. Because thex- andy-motions are perpendicular, we determine
these vectors by using the techniques outlined in theVector Addition and Subtraction: Analytical Methodsand employing
AA
x
2
+A
y
2
and
θ=tan
−1
(A
y
/A
x
)
in the following form, where
θ
is the direction of the displacement
s
and
θ
v
is the direction of the velocity
v
:
Total displacement and velocity
(3.41)
sx
2
+y
2
(3.42)
θ=tan
−1
(y/x)
(3.43)
vv
x
2
+v
y
2
(3.44)
θ
v
=tan
−1
(v
y
/v
x
).
Figure 3.38(a) We analyze two-dimensional projectile motion by breaking it into two independent one-dimensional motions along the vertical and horizontal axes. (b) The
horizontal motion is simple, because
a
x
=0
and
v
is thus constant. (c) The velocity in the vertical direction begins to decrease as the object rises; at its highest point, the
vertical velocity is zero. As the object falls towards the Earth again, the vertical velocity increases again in magnitude but points in the opposite direction to the initial vertical
velocity. (d) Thex- andy-motions are recombined to give the total velocity at any given point on the trajectory.
Example 3.4A Fireworks Projectile Explodes High and Away
During a fireworks display, a shell is shot into the air with an initial speed of 70.0 m/s at an angle of
75.0º
above the horizontal, as illustrated in
Figure 3.39. The fuse is timed to ignite the shell just as it reaches its highest point above the ground. (a) Calculate the height at which the shell
explodes. (b) How much time passed between the launch of the shell and the explosion? (c) What is the horizontal displacement of the shell
when it explodes?
Strategy
102 CHAPTER 3 | TWO-DIMENSIONAL KINEMATICS
This content is available for free at http://cnx.org/content/col11406/1.7
VB.NET PDF - WPF PDF Viewer for VB.NET Program
to Png, Gif, Bitmap Images. File & Page Process. File: Merge, Append PDF Files. File: Split PDF Document. File: Compress PDF. Page
break a pdf into separate pages; break pdf password online
VB.NET Create PDF from PowerPoint Library to convert pptx, ppt to
to Png, Gif, Bitmap Images. File & Page Process. File: Merge, Append PDF Files. File: Split PDF Document. File: Compress PDF. Page
a pdf page cut; break a pdf file
Because air resistance is negligible for the unexploded shell, the analysis method outlined above can be used. The motion can be broken into
horizontal and vertical motions in which
a
x
=0
and
a
y
= –g
. We can then define
x
0
and
y
0
to be zero and solve for the desired
quantities.
Solution for (a)
By “height” we mean the altitude or vertical position
y
above the starting point. The highest point in any trajectory, called the apex, is reached
when
v
y
=0
. Since we know the initial and final velocities as well as the initial position, we use the following equation to find
y
:
(3.45)
v
y
2
=v
0y
2
−2g(yy
0
).
Figure 3.39The trajectory of a fireworks shell. The fuse is set to explode the shell at the highest point in its trajectory, which is found to be at a height of 233 m and 125 m
away horizontally.
Because
y
0
and
v
y
are both zero, the equation simplifies to
(3.46)
0=v
0y
2
−2gy.
Solving for
y
gives
(3.47)
y=
v
0y
2
2g
.
Now we must find
v
0y
, the component of the initial velocity in they-direction. It is given by
v
0y
=v
0
sinθ
, where
v
0y
is the initial velocity of
70.0 m/s, and
θ
0
=75.0º
is the initial angle. Thus,
(3.48)
v
0y
=v
0
sinθ
0
=(70.0 m/s)(sin 75º)=67.6 m/s.
and
y
is
(3.49)
y=
(67.6 m/s)
2
2(9.80 m/s
2
)
,
so that
(3.50)
y=233m.
Discussion for (a)
Note that because up is positive, the initial velocity is positive, as is the maximum height, but the acceleration due to gravity is negative. Note
also that the maximum height depends only on the vertical component of the initial velocity, so that any projectile with a 67.6 m/s initial vertical
component of velocity will reach a maximum height of 233 m (neglecting air resistance). The numbers in this example are reasonable for large
fireworks displays, the shells of which do reach such heights before exploding. In practice, air resistance is not completely negligible, and so the
initial velocity would have to be somewhat larger than that given to reach the same height.
Solution for (b)
As in many physics problems, there is more than one way to solve for the time to the highest point. In this case, the easiest method is to use
y=y
0
+
1
2
(v
0y
+v
y
)t
. Because
y
0
is zero, this equation reduces to simply
(3.51)
y=
1
2
(v
0y
+v
y
)t.
CHAPTER 3 | TWO-DIMENSIONAL KINEMATICS S 103
VB.NET Create PDF from Word Library to convert docx, doc to PDF in
to Png, Gif, Bitmap Images. File & Page Process. File: Merge, Append PDF Files. File: Split PDF Document. File: Compress PDF. Page
split pdf files; break pdf file into multiple files
VB.NET PDF- HTML5 PDF Viewer for VB.NET Project
to Png, Gif, Bitmap Images. File & Page Process. File: Merge, Append PDF Files. File: Split PDF Document. File: Compress PDF. Page
split pdf into multiple files; break pdf into smaller files
Note that the final vertical velocity,
v
y
, at the highest point is zero. Thus,
(3.52)
=
2y
(v
0y
+v
y
)
=
2(233 m)
(67.6 m/s)
= 6.90 s.
Discussion for (b)
This time is also reasonable for large fireworks. When you are able to see the launch of fireworks, you will notice several seconds pass before
the shell explodes. (Another way of finding the time is by using
y=y
0
+v
0y
t
1
2
gt
2
, and solving the quadratic equation for
t
.)
Solution for (c)
Because air resistance is negligible,
a
x
=0
and the horizontal velocity is constant, as discussed above. The horizontal displacement is
horizontal velocity multiplied by time as given by
x=x
0
+v
x
t
, where
x
0
is equal to zero:
(3.53)
x=v
x
t,
where
v
x
is thex-component of the velocity, which is given by
v
x
=v
0
cosθ
0
.
Now,
(3.54)
v
x
=v
0
cosθ
0
=(70.0 m/s)(cos 75.0º)=18.1 m/s.
The time
t
for both motions is the same, and so
x
is
(3.55)
x=(18.1 m/s)(6.90 s)=125 m.
Discussion for (c)
The horizontal motion is a constant velocity in the absence of air resistance. The horizontal displacement found here could be useful in keeping
the fireworks fragments from falling on spectators. Once the shell explodes, air resistance has a major effect, and many fragments will land
directly below.
In solving part (a) of the preceding example, the expression we found for
y
is valid for any projectile motion where air resistance is negligible. Call
the maximum height
y=h
; then,
(3.56)
h=
v
0y
2
2g
.
This equation defines themaximum height of a projectileand depends only on the vertical component of the initial velocity.
Defining a Coordinate System
It is important to set up a coordinate system when analyzing projectile motion. One part of defining the coordinate system is to define an origin
for the
x
and
y
positions. Often, it is convenient to choose the initial position of the object as the origin such that
x
0
=0
and
y
0
=0
. It is
also important to define the positive and negative directions in the
x
and
y
directions. Typically, we define the positive vertical direction as
upwards, and the positive horizontal direction is usually the direction of the object’s motion. When this is the case, the vertical acceleration,
g
,
takes a negative value (since it is directed downwards towards the Earth). However, it is occasionally useful to define the coordinates differently.
For example, if you are analyzing the motion of a ball thrown downwards from the top of a cliff, it may make sense to define the positive direction
downwards since the motion of the ball is solely in the downwards direction. If this is the case,
g
takes a positive value.
Example 3.5Calculating Projectile Motion: Hot Rock Projectile
Kilauea in Hawaii is the world’s most continuously active volcano. Very active volcanoes characteristically eject red-hot rocks and lava rather
than smoke and ash. Suppose a large rock is ejected from the volcano with a speed of 25.0 m/s and at an angle
35.0º
above the horizontal, as
shown inFigure 3.40. The rock strikes the side of the volcano at an altitude 20.0 m lower than its starting point. (a) Calculate the time it takes the
rock to follow this path. (b) What are the magnitude and direction of the rock’s velocity at impact?
104 CHAPTER 3 | TWO-DIMENSIONAL KINEMATICS
This content is available for free at http://cnx.org/content/col11406/1.7
Figure 3.40The trajectory of a rock ejected from the Kilauea volcano.
Strategy
Again, resolving this two-dimensional motion into two independent one-dimensional motions will allow us to solve for the desired quantities. The
time a projectile is in the air is governed by its vertical motion alone. We will solve for
t
first. While the rock is rising and falling vertically, the
horizontal motion continues at a constant velocity. This example asks for the final velocity. Thus, the vertical and horizontal results will be
recombined to obtain
v
and
θ
v
at the final time
t
determined in the first part of the example.
Solution for (a)
While the rock is in the air, it rises and then falls to a final position 20.0 m lower than its starting altitude. We can find the time for this by using
(3.57)
y=y
0
+v
0y
t
1
2
gt
2
.
If we take the initial position
y
0
to be zero, then the final position is
y=−20.0 m.
Now the initial vertical velocity is the vertical component of
the initial velocity, found from
v
0y
=v
0
sinθ
0
= (
25.0 m/s
)(
sin 35.0º
) =
14.3 m/s
. Substituting known values yields
(3.58)
−20.0 m=(14.3 m/s)t
4.90 m/s
2
t
2
.
Rearranging terms gives a quadratic equation in
t
:
(3.59)
4.90 m/s
2
t
2
−(14.3 m/s)t−(20.0 m)=0.
This expression is a quadratic equation of the form
at
2
+bt+c=0
, where the constants are
a=4.90
,
b= –14.3
, and
c= –20.0.
Its
solutions are given by the quadratic formula:
(3.60)
t=
b± b
2
−4ac
2a
.
This equation yields two solutions:
t=3.96
and
t= –1.03
. (It is left as an exercise for the reader to verify these solutions.) The time is
t=3.96s
or
–1.03s
. The negative value of time implies an event before the start of motion, and so we discard it. Thus,
(3.61)
t=3.96 s.
Discussion for (a)
The time for projectile motion is completely determined by the vertical motion. So any projectile that has an initial vertical velocity of 14.3 m/s and
lands 20.0 m below its starting altitude will spend 3.96 s in the air.
Solution for (b)
From the information now in hand, we can find the final horizontal and vertical velocities
v
x
and
v
y
and combine them to find the total velocity
v
and the angle
θ
0
it makes with the horizontal. Of course,
v
x
is constant so we can solve for it at any horizontal location. In this case, we
chose the starting point since we know both the initial velocity and initial angle. Therefore:
(3.62)
v
x
=v
0
cosθ
0
=(25.0 m/s)(cos 35º)=20.5 m/s.
The final vertical velocity is given by the following equation:
(3.63)
v
y
=v
0y
gt,
where
v
0y
was found in part (a) to be
14.3 m/s
. Thus,
(3.64)
v
y
=14.3 m/s−(9.80 m/s
2
)(3.96 s)
so that
(3.65)
v
y
=−24.5 m/s.
To find the magnitude of the final velocity
v
we combine its perpendicular components, using the following equation:
CHAPTER 3 | TWO-DIMENSIONAL KINEMATICS S 105
(3.66)
vv
x
2
+v
y
2
= (20.5 m/s)
2
+(−24.5 m/s)
2
,
which gives
(3.67)
v=31.9 m/s.
The direction
θ
v
is found from the equation:
(3.68)
θ
v
=tan
−1
(v
y
/v
x
)
so that
(3.69)
θ
v
=tan
−1
(−24.5/20.5)=tan
−1
(−1.19).
Thus,
(3.70)
θ
v
=−50.1º.
Discussion for (b)
The negative angle means that the velocity is
50.1º
below the horizontal. This result is consistent with the fact that the final vertical velocity is
negative and hence downward—as you would expect because the final altitude is 20.0 m lower than the initial altitude. (SeeFigure 3.40.)
One of the most important things illustrated by projectile motion is that vertical and horizontal motions are independent of each other. Galileo was the
first person to fully comprehend this characteristic. He used it to predict the range of a projectile. On level ground, we definerangeto be the
horizontal distance
R
traveled by a projectile. Galileo and many others were interested in the range of projectiles primarily for military
purposes—such as aiming cannons. However, investigating the range of projectiles can shed light on other interesting phenomena, such as the orbits
of satellites around the Earth. Let us consider projectile range further.
Figure 3.41Trajectories of projectiles on level ground. (a) The greater the initial speed
v
0
, the greater the range for a given initial angle. (b) The effect of initial angle
θ
0
on
the range of a projectile with a given initial speed. Note that the range is the same for
15º
and
75º
, although the maximum heights of those paths are different.
How does the initial velocity of a projectile affect its range? Obviously, the greater the initial speed
v
0
, the greater the range, as shown inFigure
3.41(a). The initial angle
θ
0
also has a dramatic effect on the range, as illustrated inFigure 3.41(b). For a fixed initial speed, such as might be
produced by a cannon, the maximum range is obtained with
θ
0
=45º
. This is true only for conditions neglecting air resistance. If air resistance is
considered, the maximum angle is approximately
38º
. Interestingly, for every initial angle except
45º
, there are two angles that give the same
range—the sum of those angles is
90º
. The range also depends on the value of the acceleration of gravity
g
. The lunar astronaut Alan Shepherd
was able to drive a golf ball a great distance on the Moon because gravity is weaker there. The range
R
of a projectile onlevel groundfor which air
resistance is negligible is given by
(3.71)
R=
v
0
2
sin2θ
0
g
,
where
v
0
is the initial speed and
θ
0
is the initial angle relative to the horizontal. The proof of this equation is left as an end-of-chapter problem
(hints are given), but it does fit the major features of projectile range as described.
106 CHAPTER 3 | TWO-DIMENSIONAL KINEMATICS
This content is available for free at http://cnx.org/content/col11406/1.7
When we speak of the range of a projectile on level ground, we assume that
R
is very small compared with the circumference of the Earth. If,
however, the range is large, the Earth curves away below the projectile and acceleration of gravity changes direction along the path. The range is
larger than predicted by the range equation given above because the projectile has farther to fall than it would on level ground. (SeeFigure 3.42.) If
the initial speed is great enough, the projectile goes into orbit. This is called escape velocity. This possibility was recognized centuries before it could
be accomplished. When an object is in orbit, the Earth curves away from underneath the object at the same rate as it falls. The object thus falls
continuously but never hits the surface. These and other aspects of orbital motion, such as the rotation of the Earth, will be covered analytically and in
greater depth later in this text.
Once again we see that thinking about one topic, such as the range of a projectile, can lead us to others, such as the Earth orbits. InAddition of
Velocities, we will examine the addition of velocities, which is another important aspect of two-dimensional kinematics and will also yield insights
beyond the immediate topic.
Figure 3.42Projectile to satellite. In each case shown here, a projectile is launched from a very high tower to avoid air resistance. With increasing initial speed, the range
increases and becomes longer than it would be on level ground because the Earth curves away underneath its path. With a large enough initial speed, orbit is achieved.
PhET Explorations: Projectile Motion
Blast a Buick out of a cannon! Learn about projectile motion by firing various objects. Set the angle, initial speed, and mass. Add air resistance.
Make a game out of this simulation by trying to hit a target.
Figure 3.43Projectile Motion (http://cnx.org/content/m42042/1.8/projectile-motion_en.jar)
3.5Addition of Velocities
Relative Velocity
If a person rows a boat across a rapidly flowing river and tries to head directly for the other shore, the boat instead movesdiagonallyrelative to the
shore, as inFigure 3.44. The boat does not move in the direction in which it is pointed. The reason, of course, is that the river carries the boat
downstream. Similarly, if a small airplane flies overhead in a strong crosswind, you can sometimes see that the plane is not moving in the direction in
which it is pointed, as illustrated inFigure 3.45. The plane is moving straight ahead relative to the air, but the movement of the air mass relative to the
ground carries it sideways.
CHAPTER 3 | TWO-DIMENSIONAL KINEMATICS S 107
Figure 3.44A boat trying to head straight across a river will actually move diagonally relative to the shore as shown. Its total velocity (solid arrow) relative to the shore is the
sum of its velocity relative to the river plus the velocity of the river relative to the shore.
Figure 3.45An airplane heading straight north is instead carried to the west and slowed down by wind. The plane does not move relative to the ground in the direction it
points; rather, it moves in the direction of its total velocity (solid arrow).
In each of these situations, an object has avelocityrelative to a medium (such as a river) and that medium has a velocity relative to an observer on
solid ground. The velocity of the objectrelative to the observeris the sum of these velocity vectors, as indicated inFigure 3.44andFigure 3.45.
These situations are only two of many in which it is useful to add velocities. In this module, we first re-examine how to add velocities and then
consider certain aspects of what relative velocity means.
How do we add velocities? Velocity is a vector (it has both magnitude and direction); the rules ofvector additiondiscussed inVector Addition and
Subtraction: Graphical MethodsandVector Addition and Subtraction: Analytical Methodsapply to the addition of velocities, just as they do for
any other vectors. In one-dimensional motion, the addition of velocities is simple—they add like ordinary numbers. For example, if a field hockey
player is moving at
5 m/s
straight toward the goal and drives the ball in the same direction with a velocity of
30 m/s
relative to her body, then the
velocity of the ball is
35 m/s
relative to the stationary, profusely sweating goalkeeper standing in front of the goal.
In two-dimensional motion, either graphical or analytical techniques can be used to add velocities. We will concentrate on analytical techniques. The
following equations give the relationships between the magnitude and direction of velocity (
v
and
θ
) and its components (
v
x
and
v
y
) along thex-
andy-axes of an appropriately chosen coordinate system:
(3.72)
v
x
=vcosθ
(3.73)
v
y
=vsinθ
(3.74)
vv
x
2
+v
y
2
(3.75)
θ=tan
−1
(v
y
/v
x
).
108 CHAPTER 3 | TWO-DIMENSIONAL KINEMATICS
This content is available for free at http://cnx.org/content/col11406/1.7
Documents you may be interested
Documents you may be interested