center of gravity:
dynamic equilibrium:
mechanical advantage:
neutral equilibrium:
perpendicular lever arm:
SI units of torque:
stable equilibrium:
static equilibrium:
static equilibrium:
torque:
unstable equilibrium:
Figure 9.30This figure shows that large forces are exerted by the back muscles and experienced in the vertebrae when a person lifts with their back, since these muscles
have small effective perpendicular lever arms. The data shown here are analyzed in the preceding example,Example 9.5.
What are the benefits of having most skeletal muscles attached so close to joints? One advantage is speed because small muscle contractions can
produce large movements of limbs in a short period of time. Other advantages are flexibility and agility, made possible by the large numbers of joints
and the ranges over which they function. For example, it is difficult to imagine a system with biceps muscles attached at the wrist that would be
capable of the broad range of movement we vertebrates possess.
There are some interesting complexities in real systems of muscles, bones, and joints. For instance, the pivot point in many joints changes location
as the joint is flexed, so that the perpendicular lever arms and the mechanical advantage of the system change, too. Thus the force the biceps
muscle must exert to hold up a book varies as the forearm is flexed. Similar mechanisms operate in the legs, which explain, for example, why there is
less leg strain when a bicycle seat is set at the proper height. The methods employed in this section give a reasonable description of real systems
provided enough is known about the dimensions of the system. There are many other interesting examples of force and torque in the body—a few of
these are the subject of end-of-chapter problems.
Glossary
the point where the total weight of the body is assumed to be concentrated
a state of equilibrium in which the net external force and torque on a system moving with constant velocity are zero
the ratio of output to input forces for any simple machine
a state of equilibrium that is independent of a system’s displacements from its original position
the shortest distance from the pivot point to the line along which
F
lies
newton times meters, usually written as N·m
a system, when displaced, experiences a net force or torque in a direction opposite to the direction of the displacement
a state of equilibrium in which the net external force and torque acting on a system is zero
equilibrium in which the acceleration of the system is zero and accelerated rotation does not occur
turning or twisting effectiveness of a force
a system, when displaced, experiences a net force or torque in the same direction as the displacement from equilibrium
Section Summary
9.1The First Condition for Equilibrium
• Statics is the study of forces in equilibrium.
• Two conditions must be met to achieve equilibrium, which is defined to be motion without linear or rotational acceleration.
• The first condition necessary to achieve equilibrium is that the net external force on the system must be zero, so that
netF=0
.
9.2The Second Condition for Equilibrium
• The second condition assures those torques are also balanced. Torque is the rotational equivalent of a force in producing a rotation and is
defined to be
τ=rFsinθ
CHAPTER 9 | STATICS AND TORQUE E 309
Pdf split - Split, seperate PDF into multiple files in C#.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
Explain How to Split PDF Document in Visual C#.NET Application
pdf split pages in half; split pdf into multiple files
Pdf split - VB.NET PDF File Split Library: Split, seperate PDF into multiple files in vb.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
VB.NET PDF Document Splitter Control to Disassemble PDF Document
pdf file specification; break apart a pdf
where
τ
is torque,
r
is the distance from the pivot point to the point where the force is applied,
F
is the magnitude of the force, and
θ
is the
angle between
F
and the vector directed from the point where the force acts to the pivot point. The perpendicular lever arm
r
is defined to
be
r
=rsinθ
so that
τ=r
F.
• The perpendicular lever arm
r
is the shortest distance from the pivot point to the line along which
F
acts. The SI unit for torque is newton-
meter
(N·m)
. The second condition necessary to achieve equilibrium is that the net external torque on a system must be zero:
netτ=0
By convention, clockwise torques are positive, and counterclockwise torques are negative.
9.3Stability
• A system is said to be in stable equilibrium if, when displaced from equilibrium, it experiences a net force or torque in a direction opposite the
direction of the displacement.
• A system is in unstable equilibrium if, when displaced from equilibrium, it experiences a net force or torque in the same direction as the
displacement from equilibrium.
• A system is in neutral equilibrium if its equilibrium is independent of displacements from its original position.
9.4Applications of Statics, Including Problem-Solving Strategies
• Statics can be applied to a variety of situations, ranging from raising a drawbridge to bad posture and back strain. We have discussed the
problem-solving strategies specifically useful for statics. Statics is a special case of Newton’s laws, both the general problem-solving strategies
and the special strategies for Newton’s laws, discussed inProblem-Solving Strategies, still apply.
9.5Simple Machines
• Simple machines are devices that can be used to multiply or augment a force that we apply – often at the expense of a distance through which
we have to apply the force.
• The ratio of output to input forces for any simple machine is called its mechanical advantage
• A few simple machines are the lever, nail puller, wheelbarrow, crank, etc.
9.6Forces and Torques in Muscles and Joints
• Statics plays an important part in understanding everyday strains in our muscles and bones.
• Many lever systems in the body have a mechanical advantage of significantly less than one, as many of our muscles are attached close to
joints.
• Someone with good posture stands or sits in such as way that their center of gravity lies directly above the pivot point in their hips, thereby
avoiding back strain and damage to disks.
Conceptual Questions
9.1The First Condition for Equilibrium
1.What can you say about the velocity of a moving body that is in dynamic equilibrium? Draw a sketch of such a body using clearly labeled arrows to
represent all external forces on the body.
2.Under what conditions can a rotating body be in equilibrium? Give an example.
9.2The Second Condition for Equilibrium
3.What three factors affect the torque created by a force relative to a specific pivot point?
4.A wrecking ball is being used to knock down a building. One tall unsupported concrete wall remains standing. If the wrecking ball hits the wall near
the top, is the wall more likely to fall over by rotating at its base or by falling straight down? Explain your answer. How is it most likely to fall if it is
struck with the same force at its base? Note that this depends on how firmly the wall is attached at its base.
5.Mechanics sometimes put a length of pipe over the handle of a wrench when trying to remove a very tight bolt. How does this help? (It is also
hazardous since it can break the bolt.)
9.3Stability
6.A round pencil lying on its side as inFigure 9.13is in neutral equilibrium relative to displacements perpendicular to its length. What is its stability
relative to displacements parallel to its length?
7.Explain the need for tall towers on a suspension bridge to ensure stable equilibrium.
9.4Applications of Statics, Including Problem-Solving Strategies
8.When visiting some countries, you may see a person balancing a load on the head. Explain why the center of mass of the load needs to be directly
above the person’s neck vertebrae.
9.5Simple Machines
9.Scissors are like a double-lever system. Which of the simple machines inFigure 9.23andFigure 9.24is most analogous to scissors?
10.Suppose you pull a nail at a constant rate using a nail puller as shown inFigure 9.23. Is the nail puller in equilibrium? What if you pull the nail
with some acceleration – is the nail puller in equilibrium then? In which case is the force applied to the nail puller larger and why?
310 CHAPTER 9 | STATICS AND TORQUE
This content is available for free at http://cnx.org/content/col11406/1.7
Online Split PDF file. Best free online split PDF tool.
Online Split PDF, Separate PDF file into Multiple ones. Download Free Trial. Split PDF file. Then set your PDF file split settings. The perfect split tool.
break password pdf; break apart a pdf in reader
C# Word - Split Word Document in C#.NET
C# Word - Split Word Document in C#.NET. Explain How to Split Word Document in Visual C#.NET Application. Overview. Split Word file into two files in C#.
c# print pdf to specific printer; break a pdf
11.Why are the forces exerted on the outside world by the limbs of our bodies usually much smaller than the forces exerted by muscles inside the
body?
12.Explain why the forces in our joints are several times larger than the forces we exert on the outside world with our limbs. Can these forces be
even greater than muscle forces (see previous Question)?
9.6Forces and Torques in Muscles and Joints
13.Why are the forces exerted on the outside world by the limbs of our bodies usually much smaller than the forces exerted by muscles inside the
body?
14.Explain why the forces in our joints are several times larger than the forces we exert on the outside world with our limbs. Can these forces be
even greater than muscle forces?
15.Certain types of dinosaurs were bipedal (walked on two legs). What is a good reason that these creatures invariably had long tails if they had long
necks?
16.Swimmers and athletes during competition need to go through certain postures at the beginning of the race. Consider the balance of the person
and why start-offs are so important for races.
17.If the maximum force the biceps muscle can exert is 1000 N, can we pick up an object that weighs 1000 N? Explain your answer.
18.Suppose the biceps muscle was attached through tendons to the upper arm close to the elbow and the forearm near the wrist. What would be the
advantages and disadvantages of this type of construction for the motion of the arm?
19.Explain one of the reasons why pregnant women often suffer from back strain late in their pregnancy.
CHAPTER 9 | STATICS AND TORQUE E 311
C# TIFF: C#.NET Code to Split Multipage TIFF File
XDoc.Tiff ›› C# Tiff: Split Tiff. C# TIFF - Split Multi-page TIFF File in C#.NET. C# Guide for How to Use TIFF Processing DLL to Split Multi-page TIFF File.
cannot select text in pdf file; pdf split
C# PowerPoint - Split PowerPoint Document in C#.NET
C# PowerPoint - Split PowerPoint Document in C#.NET. Explain How to Split PowerPoint Document in Visual C#.NET Application. C# DLLs: Split PowerPoint Document.
split pdf into individual pages; reader split pdf
Problems & Exercises
9.2The Second Condition for Equilibrium
1.(a) When opening a door, you push on it perpendicularly with a force
of 55.0 N at a distance of 0.850m from the hinges. What torque are you
exerting relative to the hinges? (b) Does it matter if you push at the
same height as the hinges?
2.When tightening a bolt, you push perpendicularly on a wrench with a
force of 165 N at a distance of 0.140 m from the center of the bolt. (a)
How much torque are you exerting in newton × meters (relative to the
center of the bolt)? (b) Convert this torque to footpounds.
3.Two children push on opposite sides of a door during play. Both push
horizontally and perpendicular to the door. One child pushes with a
force of 17.5 N at a distance of 0.600 m from the hinges, and the
second child pushes at a distance of 0.450 m. What force must the
second child exert to keep the door from moving? Assume friction is
negligible.
4.Use the second condition for equilibrium
(net τ = 0)
to calculate
F
p
inExample 9.1, employing any data given or solved for in part (a)
of the example.
5.Repeat the seesaw problem inExample 9.1with the center of mass
of the seesaw 0.160 m to the left of the pivot (on the side of the lighter
child) and assuming a mass of 12.0 kg for the seesaw. The other data
given in the example remain unchanged. Explicitly show how you follow
the steps in the Problem-Solving Strategy for static equilibrium.
9.3Stability
6.Suppose a horse leans against a wall as inFigure 9.31. Calculate
the force exerted on the wall assuming that force is horizontal while
using the data in the schematic representation of the situation. Note
that the force exerted on the wall is equal and opposite to the force
exerted on the horse, keeping it in equilibrium. The total mass of the
horse and rider is 500 kg. Take the data to be accurate to three digits.
Figure 9.31
7.Two children of mass 20 kg and 30 kg sit balanced on a seesaw with
the pivot point located at the center of the seesaw. If the children are
separated by a distance of 3 m, at what distance from the pivot point is
the small child sitting in order to maintain the balance?
8.(a) Calculate the magnitude and direction of the force on each foot of
the horse inFigure 9.31(two are on the ground), assuming the center
of mass of the horse is midway between the feet. The total mass of the
horse and rider is 500kg. (b) What is the minimum coefficient of friction
between the hooves and ground? Note that the force exerted by the
wall is horizontal.
9.A person carries a plank of wood 2 m long with one hand pushing
down on it at one end with a force
F
1
and the other hand holding it up
at 50 cm from the end of the plank with force
F
2
. If the plank has a
mass of 20 kg and its center of gravity is at the middle of the plank,
what are the forces
F
1
and
F
2
?
10.A 17.0-m-high and 11.0-m-long wall under construction and its
bracing are shown inFigure 9.32. The wall is in stable equilibrium
without the bracing but can pivot at its base. Calculate the force exerted
by each of the 10 braces if a strong wind exerts a horizontal force of
650 N on each square meter of the wall. Assume that the net force from
the wind acts at a height halfway up the wall and that all braces exert
equal forces parallel to their lengths. Neglect the thickness of the wall.
Figure 9.32
11.(a) What force must be exerted by the wind to support a 2.50-kg
chicken in the position shown inFigure 9.33? (b) What is the ratio of
this force to the chicken’s weight? (c) Does this support the contention
that the chicken has a relatively stable construction?
Figure 9.33
12.Suppose the weight of the drawbridge inFigure 9.34is supported
entirely by its hinges and the opposite shore, so that its cables are
slack. (a) What fraction of the weight is supported by the opposite shore
if the point of support is directly beneath the cable attachments? (b)
What is the direction and magnitude of the force the hinges exert on the
bridge under these circumstances? The mass of the bridge is 2500 kg.
Figure 9.34A small drawbridge, showing the forces on the hinges (
F
), its weight (
w
), and the tension in its wires (
T
).
13.Suppose a 900-kg car is on the bridge inFigure 9.34with its center
of mass halfway between the hinges and the cable attachments. (The
bridge is supported by the cables and hinges only.) (a) Find the force in
the cables. (b) Find the direction and magnitude of the force exerted by
the hinges on the bridge.
312 CHAPTER 9 | STATICS AND TORQUE
This content is available for free at http://cnx.org/content/col11406/1.7
C# PDF: C#.NET PDF Document Merging & Splitting Control SDK
C# PDF - Merge or Split PDF File in C#.NET. C#.NET Q 2: The target PDF document that I need to split is password-protected. Can I
cannot print pdf no pages selected; combine pages of pdf documents into one
VB.NET PDF Library SDK to view, edit, convert, process PDF file
Tell VB.NET users how to: create a new PDF file and load PDF from other file formats; merge, append, and split PDF files; insert, delete, move, rotate, copy
can print pdf no pages selected; break a pdf apart
14.A sandwich board advertising sign is constructed as shown in
Figure 9.35. The sign’s mass is 8.00 kg. (a) Calculate the tension in the
chain assuming no friction between the legs and the sidewalk. (b) What
force is exerted by each side on the hinge?
Figure 9.35A sandwich board advertising sign demonstrates tension.
15.(a) What minimum coefficient of friction is needed between the legs
and the ground to keep the sign inFigure 9.35in the position shown if
the chain breaks? (b) What force is exerted by each side on the hinge?
16.A gymnast is attempting to perform splits. From the information
given inFigure 9.36, calculate the magnitude and direction of the force
exerted on each foot by the floor.
Figure 9.36A gymnast performs full split. The center of gravity and the various
distances from it are shown.
9.4Applications of Statics, Including Problem-Solving
Strategies
17.To get up on the roof, a person (mass 70.0 kg) places a 6.00-m
aluminum ladder (mass 10.0 kg) against the house on a concrete pad
with the base of the ladder 2.00 m from the house. The ladder rests
against a plastic rain gutter, which we can assume to be frictionless.
The center of mass of the ladder is 2 m from the bottom. The person is
standing 3 m from the bottom. What are the magnitudes of the forces
on the ladder at the top and bottom?
18.InFigure 9.21, the cg of the pole held by the pole vaulter is 2.00 m
from the left hand, and the hands are 0.700 m apart. Calculate the force
exerted by (a) his right hand and (b) his left hand. (c) If each hand
supports half the weight of the pole inFigure 9.19, show that the
second condition for equilibrium
(netτ=0)
is satisfied for a pivot
other than the one located at the center of gravity of the pole. Explicitly
show how you follow the steps in the Problem-Solving Strategy for
static equilibrium described above.
9.5Simple Machines
19.What is the mechanical advantage of a nail puller—similar to the
one shown inFigure 9.23—where you exert a force
45 cm
from the
pivot and the nail is
1.8 cm
on the other side? What minimum force
must you exert to apply a force of
1250 N
to the nail?
20.Suppose you needed to raise a 250-kg mower a distance of 6.0 cm
above the ground to change a tire. If you had a 2.0-m long lever, where
would you place the fulcrum if your force was limited to 300 N?
21.a) What is the mechanical advantage of a wheelbarrow, such as the
one inFigure 9.24, if the center of gravity of the wheelbarrow and its
load has a perpendicular lever arm of 5.50 cm, while the hands have a
perpendicular lever arm of 1.02 m? (b) What upward force should you
exert to support the wheelbarrow and its load if their combined mass is
55.0 kg? (c) What force does the wheel exert on the ground?
22.A typical car has an axle with
1.10 cm
radius driving a tire with a
radius of
27.5 cm
. What is its mechanical advantage assuming the
very simplified model inFigure 9.25(b)?
23.What force does the nail puller inExercise 9.19exert on the
supporting surface? The nail puller has a mass of 2.10 kg.
24.If you used an ideal pulley of the type shown inFigure 9.26(a) to
support a car engine of mass
115 kg
, (a) What would be the tension
in the rope? (b) What force must the ceiling supply, assuming you pull
straight down on the rope? Neglect the pulley system’s mass.
25.RepeatExercise 9.24for the pulley shown inFigure 9.26(c),
assuming you pull straight up on the rope. The pulley system’s mass is
7.00 kg
.
9.6Forces and Torques in Muscles and Joints
26.Verify that the force in the elbow joint inExample 9.4is 407 N, as
stated in the text.
27.Two muscles in the back of the leg pull on the Achilles tendon as
shown inFigure 9.37. What total force do they exert?
Figure 9.37The Achilles tendon of the posterior leg serves to attach plantaris,
gastrocnemius, and soleus muscles to calcaneus bone.
28.The upper leg muscle (quadriceps) exerts a force of 1250 N, which
is carried by a tendon over the kneecap (the patella) at the angles
shown inFigure 9.38. Find the direction and magnitude of the force
exerted by the kneecap on the upper leg bone (the femur).
CHAPTER 9 | STATICS AND TORQUE E 313
C# PDF Library SDK to view, edit, convert, process PDF file for C#
Tell C# users how to: create a new PDF file and load PDF from other file formats; merge, append, and split PDF files; insert, delete, move, rotate, copy and
acrobat split pdf pages; acrobat split pdf into multiple files
C# PDF File & Page Process Library SDK for C#.net, ASP.NET, MVC
Jpeg. Convert PDF to Png, Gif, Bitmap Images. File and Page Process. File: Merge, Append PDF Files. File: Split PDF Document. File
break pdf file into parts; break a pdf into parts
Figure 9.38The knee joint works like a hinge to bend and straighten the lower leg.
It permits a person to sit, stand, and pivot.
29.A device for exercising the upper leg muscle is shown inFigure
9.39, together with a schematic representation of an equivalent lever
system. Calculate the force exerted by the upper leg muscle to lift the
mass at a constant speed. Explicitly show how you follow the steps in
the Problem-Solving Strategy for static equilibrium inApplications of
Statistics, Including Problem-Solving Strategies.
Figure 9.39A mass is connected by pulleys and wires to the ankle in this exercise
device.
30.A person working at a drafting board may hold her head as shown
inFigure 9.40, requiring muscle action to support the head. The three
major acting forces are shown. Calculate the direction and magnitude of
the force supplied by the upper vertebrae
F
V
to hold the head
stationary, assuming that this force acts along a line through the center
of mass as do the weight and muscle force.
Figure 9.40
31.We analyzed the biceps muscle example with the angle between
forearm and upper arm set at
90º
. Using the same numbers as in
Example 9.4, find the force exerted by the biceps muscle when the
angle is
120º
and the forearm is in a downward position.
32.Even when the head is held erect, as inFigure 9.41, its center of
mass is not directly over the principal point of support (the atlanto-
occipital joint). The muscles at the back of the neck should therefore
exert a force to keep the head erect. That is why your head falls forward
when you fall asleep in the class. (a) Calculate the force exerted by
these muscles using the information in the figure. (b) What is the force
exerted by the pivot on the head?
Figure 9.41The center of mass of the head lies in front of its major point of support,
requiring muscle action to hold the head erect. A simplified lever system is shown.
33.A 75-kg man stands on his toes by exerting an upward force
through the Achilles tendon, as inFigure 9.42. (a) What is the force in
the Achilles tendon if he stands on one foot? (b) Calculate the force at
the pivot of the simplified lever system shown—that force is
representative of forces in the ankle joint.
314 CHAPTER 9 | STATICS AND TORQUE
This content is available for free at http://cnx.org/content/col11406/1.7
Figure 9.42The muscles in the back of the leg pull the Achilles tendon when one
stands on one’s toes. A simplified lever system is shown.
34.A father lifts his child as shown inFigure 9.43. What force should
the upper leg muscle exert to lift the child at a constant speed?
Figure 9.43A child being lifted by a father’s lower leg.
35.Unlike most of the other muscles in our bodies, the masseter
muscle in the jaw, as illustrated inFigure 9.44, is attached relatively far
from the joint, enabling large forces to be exerted by the back teeth. (a)
Using the information in the figure, calculate the force exerted by the
teeth on the bullet. (b) Calculate the force on the joint.
Figure 9.44A person clenching a bullet between his teeth.
36.Integrated Concepts
Suppose we replace the 4.0-kg book inExercise 9.31of the biceps
muscle with an elastic exercise rope that obeys Hooke’s Law. Assume
its force constant
k=600N/m
. (a) How much is the rope stretched
(past equilibrium) to provide the same force
F
B
as in this example?
Assume the rope is held in the hand at the same location as the book.
(b) What force is on the biceps muscle if the exercise rope is pulled
straight up so that the forearm makes an angle of
25º
with the
horizontal? Assume the biceps muscle is still perpendicular to the
forearm.
37.(a) What force should the woman inFigure 9.45exert on the floor
with each hand to do a push-up? Assume that she moves up at a
constant speed. (b) The triceps muscle at the back of her upper arm
has an effective lever arm of 1.75 cm, and she exerts force on the floor
at a horizontal distance of 20.0 cm from the elbow joint. Calculate the
magnitude of the force in each triceps muscle, and compare it to her
weight. (c) How much work does she do if her center of mass rises
0.240 m? (d) What is her useful power output if she does 25 pushups in
one minute?
Figure 9.45A woman doing pushups.
38.You have just planted a sturdy 2-m-tall palm tree in your front lawn
for your mother’s birthday. Your brother kicks a 500 g ball, which hits
the top of the tree at a speed of 5 m/s and stays in contact with it for 10
ms. The ball falls to the ground near the base of the tree and the recoil
of the tree is minimal. (a) What is the force on the tree? (b) The length
of the sturdy section of the root is only 20 cm. Furthermore, the soil
around the roots is loose and we can assume that an effective force is
applied at the tip of the 20 cm length. What is the effective force exerted
by the end of the tip of the root to keep the tree from toppling? Assume
the tree will be uprooted rather than bend. (c) What could you have
done to ensure that the tree does not uproot easily?
39.Unreasonable Results
Suppose two children are using a uniform seesaw that is 3.00 m long
and has its center of mass over the pivot. The first child has a mass of
30.0 kg and sits 1.40 m from the pivot. (a) Calculate where the second
18.0 kg child must sit to balance the seesaw. (b) What is unreasonable
about the result? (c) Which premise is unreasonable, or which premises
are inconsistent?
40.Construct Your Own Problem
Consider a method for measuring the mass of a person’s arm in
anatomical studies. The subject lies on her back, extends her relaxed
arm to the side and two scales are placed below the arm. One is placed
under the elbow and the other under the back of her hand. Construct a
problem in which you calculate the mass of the arm and find its center
of mass based on the scale readings and the distances of the scales
from the shoulder joint. You must include a free body diagram of the
arm to direct the analysis. Consider changing the position of the scale
under the hand to provide more information, if needed. You may wish to
consult references to obtain reasonable mass values.
CHAPTER 9 | STATICS AND TORQUE E 315
316 CHAPTER 9 | STATICS AND TORQUE
This content is available for free at http://cnx.org/content/col11406/1.7
10
ROTATIONAL MOTION AND ANGULAR
MOMENTUM
Figure 10.1The mention of a tornado conjures up images of raw destructive power. Tornadoes blow houses away as if they were made of paper and have been known to
pierce tree trunks with pieces of straw. They descend from clouds in funnel-like shapes that spin violently, particularly at the bottom where they are most narrow, producing
winds as high as 500 km/h. (credit: Daphne Zaras, U.S. National Oceanic and Atmospheric Administration)
Learning Objectives
10.1.Angular Acceleration
• Describe uniform circular motion.
• Explain non-uniform circular motion.
• Calculate angular acceleration of an object.
• Observe the link between linear and angular acceleration.
10.2.Kinematics of Rotational Motion
• Observe the kinematics of rotational motion.
• Derive rotational kinematic equations.
• Evaluate problem solving strategies for rotational kinematics.
10.3.Dynamics of Rotational Motion: Rotational Inertia
• Understand the relationship between force, mass and acceleration.
• Study the turning effect of force.
• Study the analogy between force and torque, mass and moment of inertia, and linear acceleration and angular acceleration.
10.4.Rotational Kinetic Energy: Work and Energy Revisited
• Derive the equation for rotational work.
• Calculate rotational kinetic energy.
• Demonstrate the Law of Conservation of Energy.
10.5.Angular Momentum and Its Conservation
• Understand the analogy between angular momentum and linear momentum.
• Observe the relationship between torque and angular momentum.
• Apply the law of conservation of angular momentum.
10.6.Collisions of Extended Bodies in Two Dimensions
• Observe collisions of extended bodies in two dimensions.
• Examine collision at the point of percussion.
10.7.Gyroscopic Effects: Vector Aspects of Angular Momentum
• Describe the right-hand rule to find the direction of angular velocity, momentum, and torque.
• Explain the gyroscopic effect.
• Study how Earth acts like a gigantic gyroscope.
CHAPTER 10 | ROTATIONAL MOTION AND ANGULAR MOMENTUM
317
Introduction to Rotational Motion and Angular Momentum
Why do tornadoes spin at all? And why do tornados spin so rapidly? The answer is that air masses that produce tornadoes are themselves rotating,
and when the radii of the air masses decrease, their rate of rotation increases. An ice skater increases her spin in an exactly analogous manner as
seen inFigure 10.2. The skater starts her rotation with outstretched limbs and increases her spin by pulling them in toward her body. The same
physics describes the exhilarating spin of a skater and the wrenching force of a tornado.
Clearly, force, energy, and power are associated with rotational motion. These and other aspects of rotational motion are covered in this chapter. We
shall see that all important aspects of rotational motion either have already been defined for linear motion or have exact analogs in linear motion.
First, we look at angular acceleration—the rotational analog of linear acceleration.
Figure 10.2This figure skater increases her rate of spin by pulling her arms and her extended leg closer to her axis of rotation. (credit: Luu, Wikimedia Commons)
10.1Angular Acceleration
Uniform Circular Motion and Gravitationdiscussed only uniform circular motion, which is motion in a circle at constant speed and, hence, constant
angular velocity. Recall that angular velocity
ω
was defined as the time rate of change of angle
θ
:
(10.1)
ω=
Δθ
Δt
,
where
θ
is the angle of rotation as seen inFigure 10.3. The relationship between angular velocity
ω
and linear velocity
v
was also defined in
Rotation Angle and Angular Velocityas
(10.2)
v=
or
(10.3)
ω=
v
r
,
where
r
is the radius of curvature, also seen inFigure 10.3. According to the sign convention, the counter clockwise direction is considered as
positive direction and clockwise direction as negative
Figure 10.3This figure shows uniform circular motion and some of its defined quantities.
Angular velocity is not constant when a skater pulls in her arms, when a child starts up a merry-go-round from rest, or when a computer’s hard disk
slows to a halt when switched off. In all these cases, there is anangular acceleration, in which
ω
changes. The faster the change occurs, the
greater the angular acceleration. Angular acceleration
α
is defined as the rate of change of angular velocity. In equation form, angular acceleration is
expressed as follows:
(10.4)
α=
Δω
Δt
,
318 CHAPTER 10 | ROTATIONAL MOTION AND ANGULAR MOMENTUM
This content is available for free at http://cnx.org/content/col11406/1.7
Documents you may be interested
Documents you may be interested