Strategy
Angular acceleration is given directly by the expression
α=
net τ
I
:
(10.45)
α=
τ
I
.
To solve for
α
, we must first calculate the torque
τ
(which is the same in both cases) and moment of inertia
I
(which is greater in the second
case). To find the torque, we note that the applied force is perpendicular to the radius and friction is negligible, so that
(10.46)
τ=rFsin θ=(1.50 m)(250 N)=375 N⋅m.
Solution for (a)
The moment of inertia of a solid disk about this axis is given inFigure 10.12to be
(10.47)
1
2
MR
2
,
where
M=50.0 kg
and
R=1.50 m
, so that
(10.48)
I=(0.500)(50.0 kg)(1.50 m)
2
=56.25 kg⋅m
2
.
Now, after we substitute the known values, we find the angular acceleration to be
(10.49)
α=
τ
I
=
375 N⋅m
56.25 kg⋅m
2
=6.67
rad
s
2
.
Solution for (b)
We expect the angular acceleration for the system to be less in this part, because the moment of inertia is greater when the child is on the merry-
go-round. To find the total moment of inertia
I
, we first find the child’s moment of inertia
I
c
by considering the child to be equivalent to a point
mass at a distance of 1.25 m from the axis. Then,
(10.50)
I
c
=MR
2
=(18.0 kg)(1.25 m)
2
=28.13 kg⋅m
2
.
The total moment of inertia is the sum of moments of inertia of the merry-go-round and the child (about the same axis). To justify this sum to
yourself, examine the definition of
I
:
(10.51)
I=28.13 kg⋅m
2
+56.25 kg⋅m
2
=84.38 kg⋅m
2
.
Substituting known values into the equation for
α
gives
(10.52)
α=
τ
I
=
375 N⋅m
84.38 kg⋅m
2
=4.44
rad
s
2
.
Discussion
The angular acceleration is less when the child is on the merry-go-round than when the merry-go-round is empty, as expected. The angular
accelerations found are quite large, partly due to the fact that friction was considered to be negligible. If, for example, the father kept pushing
perpendicularly for 2.00 s, he would give the merry-go-round an angular velocity of 13.3 rad/s when it is empty but only 8.89 rad/s when the child
is on it. In terms of revolutions per second, these angular velocities are 2.12 rev/s and 1.41 rev/s, respectively. The father would end up running
at about 50 km/h in the first case. Summer Olympics, here he comes! Confirmation of these numbers is left as an exercise for the reader.
Check Your Understanding
Torque is the analog of force and moment of inertia is the analog of mass. Force and mass are physical quantities that depend on only one
factor. For example, mass is related solely to the numbers of atoms of various types in an object. Are torque and moment of inertia similarly
simple?
Solution
No. Torque depends on three factors: force magnitude, force direction, and point of application. Moment of inertia depends on both mass and its
distribution relative to the axis of rotation. So, while the analogies are precise, these rotational quantities depend on more factors.
10.4Rotational Kinetic Energy: Work and Energy Revisited
In this module, we will learn about work and energy associated with rotational motion.Figure 10.14shows a worker using an electric grindstone
propelled by a motor. Sparks are flying, and noise and vibration are created as layers of steel are pared from the pole. The stone continues to turn
even after the motor is turned off, but it is eventually brought to a stop by friction. Clearly, the motor had to work to get the stone spinning. This work
went into heat, light, sound, vibration, and considerablerotational kinetic energy.
CHAPTER 10 | ROTATIONAL MOTION AND ANGULAR MOMENTUM
329
Break a pdf file - Split, seperate PDF into multiple files in C#.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
Explain How to Split PDF Document in Visual C#.NET Application
split pdf by bookmark; break pdf into separate pages
Break a pdf file - VB.NET PDF File Split Library: Split, seperate PDF into multiple files in vb.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
VB.NET PDF Document Splitter Control to Disassemble PDF Document
split pdf into multiple files; acrobat split pdf into multiple files
Figure 10.14The motor works in spinning the grindstone, giving it rotational kinetic energy. That energy is then converted to heat, light, sound, and vibration. (credit: U.S. Navy
photo by Mass Communication Specialist Seaman Zachary David Bell)
Work must be done to rotate objects such as grindstones or merry-go-rounds. Work was defined inUniform Circular Motion and Gravitationfor
translational motion, and we can build on that knowledge when considering work done in rotational motion. The simplest rotational situation is one in
which the net force is exerted perpendicular to the radius of a disk (as shown inFigure 10.15) and remains perpendicular as the disk starts to rotate.
The force is parallel to the displacement, and so the net work done is the product of the force times the arc length traveled:
(10.53)
netW=
(
netF
)
Δs.
To get torque and other rotational quantities into the equation, we multiply and divide the right-hand side of the equation by
r
, and gather terms:
(10.54)
netW=(rnetF)
Δs
r
.
We recognize that
rnetF=net τ
and
Δs/r=θ
, so that
(10.55)
netW=
(
net τ
)
θ.
This equation is the expression for rotational work. It is very similar to the familiar definition of translational work as force multiplied by distance. Here,
torque is analogous to force, and angle is analogous to distance. The equation
netW=(net τ)θ
is valid in general, even though it was derived for
a special case.
To get an expression for rotational kinetic energy, we must again perform some algebraic manipulations. The first step is to note that
net τ=
, so
that
(10.56)
netW=Iαθ.
Figure 10.15The net force on this disk is kept perpendicular to its radius as the force causes the disk to rotate. The net work done is thus
(netFs
. The net work goes
into rotational kinetic energy.
Making Connections
Work and energy in rotational motion are completely analogous to work and energy in translational motion, first presented inUniform Circular
Motion and Gravitation.
Now, we solve one of the rotational kinematics equations for
αθ
. We start with the equation
(10.57)
ω
2
=ω
0
2
+2αθ.
Next, we solve for
αθ
:
(10.58)
αθ=
ω
2
ω
0
2
2
.
Substituting this into the equation for net
W
and gathering terms yields
330 CHAPTER 10 | ROTATIONAL MOTION AND ANGULAR MOMENTUM
This content is available for free at http://cnx.org/content/col11406/1.7
C# PDF Convert: How to Convert Jpeg, Png, Bmp, & Gif Raster Images
Success"); break; case ConvertResult.FILE_TYPE_UNSUPPORT: Console.WriteLine("Fail: can not convert to PDF, file type unsupport"); break; case ConvertResult
break apart pdf pages; cannot select text in pdf
C# Image Convert: How to Convert Word to Jpeg, Png, Bmp, and Gif
RasterEdge.XDoc.PDF.dll. case ConvertResult.NO_ERROR: Console.WriteLine("Success"); break; case ConvertResult Fail: can not convert to JPEG, file type unsupport
pdf split; break a pdf into smaller files
(10.59)
netW=
1
2
2
1
2
0
2
.
This equation is thework-energy theoremfor rotational motion only. As you may recall, net work changes the kinetic energy of a system. Through
an analogy with translational motion, we define the term
1
2
2
to berotational kinetic energy
KE
rot
for an object with a moment of inertia
I
and an angular velocity
ω
:
(10.60)
KE
rot
=
1
2
2
.
The expression for rotational kinetic energy is exactly analogous to translational kinetic energy, with
I
being analogous to
m
and
ω
to
v
.
Rotational kinetic energy has important effects. Flywheels, for example, can be used to store large amounts of rotational kinetic energy in a vehicle,
as seen inFigure 10.16.
Figure 10.16Experimental vehicles, such as this bus, have been constructed in which rotational kinetic energy is stored in a large flywheel. When the bus goes down a hill, its
transmission converts its gravitational potential energy into
KE
rot
. It can also convert translational kinetic energy, when the bus stops, into
KE
rot
. The flywheel’s energy
can then be used to accelerate, to go up another hill, or to keep the bus from going against friction.
Example 10.8Calculating the Work and Energy for Spinning a Grindstone
Consider a person who spins a large grindstone by placing her hand on its edge and exerting a force through part of a revolution as shown in
Figure 10.17. In this example, we verify that the work done by the torque she exerts equals the change in rotational energy. (a) How much work
is done if she exerts a force of 200 N through a rotation of
1.00 rad(57.3º)
? The force is kept perpendicular to the grindstone’s 0.320-m radius
at the point of application, and the effects of friction are negligible. (b) What is the final angular velocity if the grindstone has a mass of 85.0 kg?
(c) What is the final rotational kinetic energy? (It should equal the work.)
Strategy
To find the work, we can use the equation
netW=(net τ)θ
. We have enough information to calculate the torque and are given the rotation
angle. In the second part, we can find the final angular velocity using one of the kinematic relationships. In the last part, we can calculate the
rotational kinetic energy from its expression in
KE
rot
=
1
2
2
.
Solution for (a)
The net work is expressed in the equation
(10.61)
netW=(net τ)θ,
where net
τ
is the applied force multiplied by the radius
(rF)
because there is no retarding friction, and the force is perpendicular to
r
. The
angle
θ
is given. Substituting the given values in the equation above yields
(10.62)
netrFθ=
(
0.320 m
)(
200 N
)(
1.00 rad
)
= 64.0 N⋅m.
Noting that
1 N·m=1 J
,
(10.63)
netW=64.0 J.
CHAPTER 10 | ROTATIONAL MOTION AND ANGULAR MOMENTUM
331
C# PDF Page Insert Library: insert pages into PDF file in C#.net
Offer PDF page break inserting function. offers easy & mature APIs for developers to add & insert an (empty) page into an existing PDF document file.
break pdf documents; a pdf page cut
VB.NET PDF Page Insert Library: insert pages into PDF file in vb.
Offer PDF page break inserting function. And this page will give comprehensive VB example codes to create a new page to any designed location of the PDF file.
acrobat separate pdf pages; break password pdf
Figure 10.17A large grindstone is given a spin by a person grasping its outer edge.
Solution for (b)
To find
ω
from the given information requires more than one step. We start with the kinematic relationship in the equation
(10.64)
ω
2
=ω
0
2
+2αθ.
Note that
ω
0
=0
because we start from rest. Taking the square root of the resulting equation gives
(10.65)
ω=(2αθ)
1/2
.
Now we need to find
α
. One possibility is
(10.66)
α=
net τ
I
,
where the torque is
(10.67)
net τ=rF=(0.320 m)(200 N)=64.0 N⋅m.
The formula for the moment of inertia for a disk is found inFigure 10.12:
(10.68)
I=
1
2
MR
2
=0.5
85.0 kg
(0.320 m)
2
=4.352 kg⋅m
2
.
Substituting the values of torque and moment of inertia into the expression for
α
, we obtain
(10.69)
α=
64.0 N⋅m
4.352 kg⋅m
2
=14.7
rad
s
2
.
Now, substitute this value and the given value for
θ
into the above expression for
ω
:
(10.70)
ω=
(
2αθ
)
1/2
=
2
14.7
rad
s
2
(
1.00 rad
)
1/2
=5.42
rad
s
.
Solution for (c)
The final rotational kinetic energy is
(10.71)
KE
rot
=
1
2
2
.
Both
I
and
ω
were found above. Thus,
(10.72)
KE
rot
=(0.5)
4.352 kg⋅m
2
(5.42 rad/s)
2
=64.0 J.
Discussion
The final rotational kinetic energy equals the work done by the torque, which confirms that the work done went into rotational kinetic energy. We
could, in fact, have used an expression for energy instead of a kinematic relation to solve part (b). We will do this in later examples.
Helicopter pilots are quite familiar with rotational kinetic energy. They know, for example, that a point of no return will be reached if they allow their
blades to slow below a critical angular velocity during flight. The blades lose lift, and it is impossible to immediately get the blades spinning fast
enough to regain it. Rotational kinetic energy must be supplied to the blades to get them to rotate faster, and enough energy cannot be supplied in
time to avoid a crash. Because of weight limitations, helicopter engines are too small to supply both the energy needed for lift and to replenish the
rotational kinetic energy of the blades once they have slowed down. The rotational kinetic energy is put into them before takeoff and must not be
allowed to drop below this crucial level. One possible way to avoid a crash is to use the gravitational potential energy of the helicopter to replenish the
332 CHAPTER 10 | ROTATIONAL MOTION AND ANGULAR MOMENTUM
This content is available for free at http://cnx.org/content/col11406/1.7
C# TWAIN - Query & Set Device Abilities in C#
TWSX_NATIVE; // See if the device supports file transfer. device.TwainTransferMode = method; break; } if (method == TwainTransferMethod.TWSX_FILE) device
break pdf into multiple documents; break a pdf
C# TWAIN - Install, Deploy and Distribute XImage.Twain Control
RasterEdge.XDoc.PDF.dll. See if the device supports file transfer device. TwainTransferMode = method; break; } if (method == TwainTransferMethod.TWSX_FILE)
acrobat split pdf pages; cannot print pdf no pages selected
rotational kinetic energy of the blades by losing altitude and aligning the blades so that the helicopter is spun up in the descent. Of course, if the
helicopter’s altitude is too low, then there is insufficient time for the blade to regain lift before reaching the ground.
Problem-Solving Strategy for Rotational Energy
1. Determine that energy or work is involved in the rotation.
2. Determine the system of interest. A sketch usually helps.
3. Analyze the situation to determine the types of work and energy involved.
4. For closed systems, mechanical energy is conserved. That is,
KE
i
+PE
i
=KE
f
+PE
f
.
Note that
KE
i
and
KE
f
may each include
translational and rotational contributions.
5. For open systems, mechanical energy may not be conserved, and other forms of energy (referred to previously as
OE
), such as heat
transfer, may enter or leave the system. Determine what they are, and calculate them as necessary.
6. Eliminate terms wherever possible to simplify the algebra.
7. Check the answer to see if it is reasonable.
Example 10.9Calculating Helicopter Energies
A typical small rescue helicopter, similar to the one inFigure 10.18, has four blades, each is 4.00 m long and has a mass of 50.0 kg. The blades
can be approximated as thin rods that rotate about one end of an axis perpendicular to their length. The helicopter has a total loaded mass of
1000 kg. (a) Calculate the rotational kinetic energy in the blades when they rotate at 300 rpm. (b) Calculate the translational kinetic energy of the
helicopter when it flies at 20.0 m/s, and compare it with the rotational energy in the blades. (c) To what height could the helicopter be raised if all
of the rotational kinetic energy could be used to lift it?
Strategy
Rotational and translational kinetic energies can be calculated from their definitions. The last part of the problem relates to the idea that energy
can change form, in this case from rotational kinetic energy to gravitational potential energy.
Solution for (a)
The rotational kinetic energy is
(10.73)
KE
rot
=
1
2
2
.
We must convert the angular velocity to radians per second and calculate the moment of inertia before we can find
KE
rot
. The angular velocity
ω
is
(10.74)
ω=
300 rev
1.00 min
2π rad
1 rev
1.00 min
60.0 s
=31.4
rad
s
.
The moment of inertia of one blade will be that of a thin rod rotated about its end, found inFigure 10.12. The total
I
is four times this moment of
inertia, because there are four blades. Thus,
(10.75)
I=4
Mℓ
2
3
=4×
50.0 kg
(4.00 m)
2
3
=1067 kg⋅m
2
.
Entering
ω
and
I
into the expression for rotational kinetic energy gives
(10.76)
KE
rot
= 0.5(1067 kg⋅m
2
)(31.4 rad/s)
2
= 5.26×10
5
J
Solution for (b)
Translational kinetic energy was defined inUniform Circular Motion and Gravitation. Entering the given values of mass and velocity, we obtain
(10.77)
KE
trans
=
1
2
mv
2
=(0.5)
1000 kg
(20.0 m/s)
2
=2.00×10
5
J.
To compare kinetic energies, we take the ratio of translational kinetic energy to rotational kinetic energy. This ratio is
(10.78)
2.00×10
5
J
5.26×10
5
J
=0.380.
Solution for (c)
At the maximum height, all rotational kinetic energy will have been converted to gravitational energy. To find this height, we equate those two
energies:
(10.79)
KE
rot
=PE
grav
or
(10.80)
1
2
2
=mgh.
We now solve for
h
and substitute known values into the resulting equation
CHAPTER 10 | ROTATIONAL MOTION AND ANGULAR MOMENTUM
333
C# TWAIN - Acquire or Save Image to File
RasterEdge.XDoc.PDF.dll. is necessary in order to set the file format later Group4) device.Compression = TwainCompressionMode.Group3; break; } } acq.FileTranfer
break a pdf into multiple files; pdf no pages selected
C# TWAIN - Specify Size and Location to Scan
How to Save Acquired Image to File in C#.NET with in frames) { if (frame == TwainStaticFrameSizeType.LetterUS) { this.device.FrameSize = frame; break; } } }.
can't select text in pdf file; pdf split and merge
(10.81)
h=
1
2
2
mg
=
5.26×10
5
J
1000 kg
9.80m/s
2
=53.7 m.
Discussion
The ratio of translational energy to rotational kinetic energy is only 0.380. This ratio tells us that most of the kinetic energy of the helicopter is in
its spinning blades—something you probably would not suspect. The 53.7 m height to which the helicopter could be raised with the rotational
kinetic energy is also impressive, again emphasizing the amount of rotational kinetic energy in the blades.
Figure 10.18The first image shows how helicopters store large amounts of rotational kinetic energy in their blades. This energy must be put into the blades before takeoff and
maintained until the end of the flight. The engines do not have enough power to simultaneously provide lift and put significant rotational energy into the blades. The second
image shows a helicopter from the Auckland Westpac Rescue Helicopter Service. Over 50,000 lives have been saved since its operations beginning in 1973. Here, a water
rescue operation is shown. (credit: 111 Emergency, Flickr)
Making Connections
Conservation of energy includes rotational motion, because rotational kinetic energy is another form of
KE
.Uniform Circular Motion and
Gravitationhas a detailed treatment of conservation of energy.
How Thick Is the Soup? Or Why Don’t All Objects Roll Downhill at the Same Rate?
One of the quality controls in a tomato soup factory consists of rolling filled cans down a ramp. If they roll too fast, the soup is too thin. Why should
cans of identical size and mass roll down an incline at different rates? And why should the thickest soup roll the slowest?
The easiest way to answer these questions is to consider energy. Suppose each can starts down the ramp from rest. Each can starting from rest
means each starts with the same gravitational potential energy
PE
grav
, which is converted entirely to
KE
, provided each rolls without slipping.
KE
, however, can take the form of
KE
trans
or
KE
rot
, and total
KE
is the sum of the two. If a can rolls down a ramp, it puts part of its energy into
rotation, leaving less for translation. Thus, the can goes slower than it would if it slid down. Furthermore, the thin soup does not rotate, whereas the
thick soup does, because it sticks to the can. The thick soup thus puts more of the can’s original gravitational potential energy into rotation than the
thin soup, and the can rolls more slowly, as seen inFigure 10.19.
Figure 10.19Three cans of soup with identical masses race down an incline. The first can has a low friction coating and does not roll but just slides down the incline. It wins
because it converts its entire PE into translational KE. The second and third cans both roll down the incline without slipping. The second can contains thin soup and comes in
second because part of its initial PE goes into rotating the can (but not the thin soup). The third can contains thick soup. It comes in third because the soup rotates along with
the can, taking even more of the initial PE for rotational KE, leaving less for translational KE.
334 CHAPTER 10 | ROTATIONAL MOTION AND ANGULAR MOMENTUM
This content is available for free at http://cnx.org/content/col11406/1.7
Assuming no losses due to friction, there is only one force doing work—gravity. Therefore the total work done is the change in kinetic energy. As the
cans start moving, the potential energy is changing into kinetic energy. Conservation of energy gives
(10.82)
PE
i
=KE
f
.
More specifically,
(10.83)
PE
grav
=KE
trans
+KE
rot
or
(10.84)
mgh=
1
2
mv
2
+
1
2
2
.
So, the initial
mgh
is divided between translational kinetic energy and rotational kinetic energy; and the greater
I
is, the less energy goes into
translation. If the can slides down without friction, then
ω=0
and all the energy goes into translation; thus, the can goes faster.
Take-Home Experiment
Locate several cans each containing different types of food. First, predict which can will win the race down an inclined plane and explain why.
See if your prediction is correct. You could also do this experiment by collecting several empty cylindrical containers of the same size and filling
them with different materials such as wet or dry sand.
Example 10.10Calculating the Speed of a Cylinder Rolling Down an Incline
Calculate the final speed of a solid cylinder that rolls down a 2.00-m-high incline. The cylinder starts from rest, has a mass of 0.750 kg, and has a
radius of 4.00 cm.
Strategy
We can solve for the final velocity using conservation of energy, but we must first express rotational quantities in terms of translational quantities
to end up with
v
as the only unknown.
Solution
Conservation of energy for this situation is written as described above:
(10.85)
mgh=
1
2
mv
2
+
1
2
2
.
Before we can solve for
v
, we must get an expression for
I
fromFigure 10.12. Because
v
and
ω
are related (note here that the cylinder is
rolling without slipping), we must also substitute the relationship
ω=v/R
into the expression. These substitutions yield
(10.86)
mgh=
1
2
mv
2
+
1
2
1
2
mR
2
v
2
R
2
.
Interestingly, the cylinder’s radius
R
and mass
m
cancel, yielding
(10.87)
gh=
1
2
v
2
+
1
4
v
2
=
3
4
v
2
.
Solving algebraically, the equation for the final velocity
v
gives
(10.88)
v=
4gh
3
1/2
.
Substituting known values into the resulting expression yields
(10.89)
v=
4
9.80m/s
2
(2.00 m)
3
1/2
=5.11 m/s.
Discussion
Because
m
and
R
cancel, the result
v=
4
3
gh
1/2
is valid for any solid cylinder, implying that all solid cylinders will roll down an incline at the
same rate independent of their masses and sizes. (Rolling cylinders down inclines is what Galileo actually did to show that objects fall at the
same rate independent of mass.) Note that if the cylinder slid without friction down the incline without rolling, then the entire gravitational potential
energy would go into translational kinetic energy. Thus,
1
2
mv
2
=mgh
and
v=(2gh)
1/2
, which is 22% greater than
(4gh/3)
1/2
. That is,
the cylinder would go faster at the bottom.
Check Your Understanding
CHAPTER 10 | ROTATIONAL MOTION AND ANGULAR MOMENTUM
335
Analogy of Rotational and Translational Kinetic Energy
Is rotational kinetic energy completely analogous to translational kinetic energy? What, if any, are their differences? Give an example of each
type of kinetic energy.
Solution
Yes, rotational and translational kinetic energy are exact analogs. They both are the energy of motion involved with the coordinated (non-
random) movement of mass relative to some reference frame. The only difference between rotational and translational kinetic energy is that
translational is straight line motion while rotational is not. An example of both kinetic and translational kinetic energy is found in a bike tire while
being ridden down a bike path. The rotational motion of the tire means it has rotational kinetic energy while the movement of the bike along the
path means the tire also has translational kinetic energy. If you were to lift the front wheel of the bike and spin it while the bike is stationary, then
the wheel would have only rotational kinetic energy relative to the Earth.
PhET Explorations: My Solar System
Build your own system of heavenly bodies and watch the gravitational ballet. With this orbit simulator, you can set initial positions, velocities, and
masses of 2, 3, or 4 bodies, and then see them orbit each other.
Figure 10.20My Solar System (http://cnx.org/content/m42180/1.5/my-solar-system_en.jar)
10.5Angular Momentum and Its Conservation
Why does Earth keep on spinning? What started it spinning to begin with? And how does an ice skater manage to spin faster and faster simply by
pulling her arms in? Why does she not have to exert a torque to spin faster? Questions like these have answers based in angular momentum, the
rotational analog to linear momentum.
By now the pattern is clear—every rotational phenomenon has a direct translational analog. It seems quite reasonable, then, to defineangular
momentum
L
as
(10.90)
L=.
This equation is an analog to the definition of linear momentum as
p=mv
. Units for linear momentum are
kg⋅m/s
while units for angular
momentum are
kg⋅m
2
/s
. As we would expect, an object that has a large moment of inertia
I
, such as Earth, has a very large angular momentum.
An object that has a large angular velocity
ω
, such as a centrifuge, also has a rather large angular momentum.
Making Connections
Angular momentum is completely analogous to linear momentum, first presented inUniform Circular Motion and Gravitation. It has the same
implications in terms of carrying rotation forward, and it is conserved when the net external torque is zero. Angular momentum, like linear
momentum, is also a property of the atoms and subatomic particles.
Example 10.11Calculating Angular Momentum of the Earth
Strategy
No information is given in the statement of the problem; so we must look up pertinent data before we can calculate
L=
. First, according to
Figure 10.12, the formula for the moment of inertia of a sphere is
(10.91)
I=
2MR
2
5
so that
(10.92)
L==
2MR
2
ω
5
.
Earth’s mass
M
is
5.979×10
24
kg
and its radius
R
is
6.376×10
6
m
. The Earth’s angular velocity
ω
is, of course, exactly one revolution
per day, but we must covert
ω
to radians per second to do the calculation in SI units.
Solution
Substituting known information into the expression for
L
and converting
ω
to radians per second gives
336 CHAPTER 10 | ROTATIONAL MOTION AND ANGULAR MOMENTUM
This content is available for free at http://cnx.org/content/col11406/1.7
(10.93)
= 0.4
5.979×10
24
kg
6.376×10
6
m
2
1rev
d
= 9.72×10
37
kg⋅m
2
⋅rev/d.
Substituting
rad for
1
rev and
8.64×10
4
s
for 1 day gives
(10.94)
=
9.72×10
37
kg⋅m
2
2πrad/rev
8.64×10
4
s/d
(1rev/d)
= 7.07×10
33
kg⋅m
2
/s.
Discussion
This number is large, demonstrating that Earth, as expected, has a tremendous angular momentum. The answer is approximate, because we
have assumed a constant density for Earth in order to estimate its moment of inertia.
When you push a merry-go-round, spin a bike wheel, or open a door, you exert a torque. If the torque you exert is greater than opposing torques,
then the rotation accelerates, and angular momentum increases. The greater the net torque, the more rapid the increase in
L
. The relationship
between torque and angular momentum is
(10.95)
netτ=
ΔL
Δt
.
This expression is exactly analogous to the relationship between force and linear momentum,
Fpt
. The equation
netτ=
ΔL
Δt
is very
fundamental and broadly applicable. It is, in fact, the rotational form of Newton’s second law.
Example 10.12Calculating the Torque Putting Angular Momentum Into a Lazy Susan
Figure 10.21shows a Lazy Susan food tray being rotated by a person in quest of sustenance. Suppose the person exerts a 2.50 N force
perpendicular to the lazy Susan’s 0.260-m radius for 0.150 s. (a) What is the final angular momentum of the lazy Susan if it starts from rest,
assuming friction is negligible? (b) What is the final angular velocity of the lazy Susan, given that its mass is 4.00 kg and assuming its moment of
inertia is that of a disk?
Figure 10.21A partygoer exerts a torque on a lazy Susan to make it rotate. The equation
netτ=
ΔL
Δt
gives the relationship between torque and the angular
momentum produced.
Strategy
We can find the angular momentum by solving
netτ=
ΔL
Δt
for
ΔL
, and using the given information to calculate the torque. The final angular
momentum equals the change in angular momentum, because the lazy Susan starts from rest. That is,
ΔL=L
. To find the final velocity, we
must calculate
ω
from the definition of
L
in
L=
.
Solution for (a)
Solving
netτ=
ΔL
Δt
for
ΔL
gives
(10.96)
ΔL=(netτ)Δt.
Because the force is perpendicular to
r
, we see that
netτ=rF
, so that
(10.97)
= rFΔt=(0.260 m)(2.50 N)(0.150 s)
= 9.75×10
−2
kg⋅m
2
/s.
Solution for (b)
The final angular velocity can be calculated from the definition of angular momentum,
(10.98)
L=.
CHAPTER 10 | ROTATIONAL MOTION AND ANGULAR MOMENTUM
337
Solving for
ω
and substituting the formula for the moment of inertia of a disk into the resulting equation gives
(10.99)
ω=
L
I
=
L
1
2
MR
2
.
And substituting known values into the preceding equation yields
(10.100)
ω=
9.75×10
−2
kg⋅m
2
/s
(0.500)
4.00kg
(0.260m)
=0.721rad/s.
Discussion
Note that the imparted angular momentum does not depend on any property of the object but only on torque and time. The final angular velocity
is equivalent to one revolution in 8.71 s (determination of the time period is left as an exercise for the reader), which is about right for a lazy
Susan.
Example 10.13Calculating the Torque in a Kick
The person whose leg is shown inFigure 10.22kicks his leg by exerting a 2000-N force with his upper leg muscle. The effective perpendicular
lever arm is 2.20 cm. Given the moment of inertia of the lower leg is
1.25 kg⋅m
2
, (a) find the angular acceleration of the leg. (b) Neglecting
the gravitational force, what is the rotational kinetic energy of the leg after it has rotated through
57.3º
(1.00 rad)?
Figure 10.22The muscle in the upper leg gives the lower leg an angular acceleration and imparts rotational kinetic energy to it by exerting a torque about the knee.
F
is
a vector that is perpendicular to
r
. This example examines the situation.
Strategy
The angular acceleration can be found using the rotational analog to Newton’s second law, or
α=netτ/I
. The moment of inertia
I
is given
and the torque can be found easily from the given force and perpendicular lever arm. Once the angular acceleration
α
is known, the final
angular velocity and rotational kinetic energy can be calculated.
Solution to (a)
From the rotational analog to Newton’s second law, the angular acceleration
α
is
(10.101)
α=
netτ
I
.
Because the force and the perpendicular lever arm are given and the leg is vertical so that its weight does not create a torque, the net torque is
thus
(10.102)
netτ r
F
= (0.0220 m)(2000N)
= 44.0 N⋅m.
Substituting this value for the torque and the given value for the moment of inertia into the expression for
α
gives
(10.103)
α=
44.0N⋅m
1.25kg⋅m
2
=35.2rad/s
2
.
Solution to (b)
The final angular velocity can be calculated from the kinematic expression
(10.104)
ω
2
=ω
0
2
+2αθ
or
(10.105)
ω
2
=2αθ
338 CHAPTER 10 | ROTATIONAL MOTION AND ANGULAR MOMENTUM
This content is available for free at http://cnx.org/content/col11406/1.7
Documents you may be interested
Documents you may be interested