﻿
Figure 21.21This circuit cannot be reduced to a combination of series and parallel connections. Kirchhoff’s rules, special applications of the laws of conservation of charge
and energy, can be used to analyze it. (Note: The script E in the figure represents electromotive force, emf.)
Kirchhoff’s Rules
• Kirchhoff’s first rule—the junction rule. The sum of all currents entering a junction must equal the sum of all currents leaving the junction.
• Kirchhoff’s second rule—the loop rule. The algebraic sum of changes in potential around any closed circuit path (loop) must be zero.
Explanations of the two rules will now be given, followed by problem-solving hints for applying Kirchhoff’s rules, and a worked example that uses
them.
Kirchhoff’s First Rule
Kirchhoff’s first rule (thejunction rule) is an application of the conservation of charge to a junction; it is illustrated inFigure 21.22. Current is the flow
of charge, and charge is conserved; thus, whatever charge flows into the junction must flow out. Kirchhoff’s first rule requires that
I
1
=I
2
+I
3
(see
figure). Equations like this can and will be used to analyze circuits and to solve circuit problems.
Making Connections: Conservation Laws
Kirchhoff’s rules for circuit analysis are applications ofconservation lawsto circuits. The first rule is the application of conservation of charge,
while the second rule is the application of conservation of energy. Conservation laws, even used in a specific application, such as circuit analysis,
are so basic as to form the foundation of that application.
Figure 21.22The junction rule. The diagram shows an example of Kirchhoff’s first rule where the sum of the currents into a junction equals the sum of the currents out of a
junction. In this case, the current going into the junction splits and comes out as two currents, so that
I
1
=I
2
+I
3
. Here
I
1
must be 11 A, since
I
2
is 7 A and
I
3
is 4
A.
Kirchhoff’s Second Rule
Kirchhoff’s second rule (theloop rule) is an application of conservation of energy. The loop rule is stated in terms of potential,
V
, rather than
potential energy, but the two are related since
PE
elec
=qV
. Recall thatemfis the potential difference of a source when no current is flowing. In a
closed loop, whatever energy is supplied by emf must be transferred into other forms by devices in the loop, since there are no other ways in which
energy can be transferred into or out of the circuit.Figure 21.23illustrates the changes in potential in a simple series circuit loop.
CHAPTER 21 | CIRCUITS, BIOELECTRICITY, AND DC INSTRUMENTS S 749
Pdf split pages - Split, seperate PDF into multiple files in C#.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
Explain How to Split PDF Document in Visual C#.NET Application
pdf separate pages; combine pages of pdf documents into one
Pdf split pages - VB.NET PDF File Split Library: Split, seperate PDF into multiple files in vb.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
VB.NET PDF Document Splitter Control to Disassemble PDF Document
split pdf; acrobat split pdf
Kirchhoff’s second rule requires
emf−IrIR
1
IR
2
=0
. Rearranged, this is
emf=Ir+IR
1
+IR
2
, which means the emf equals the sum of
the
IR
(voltage) drops in the loop.
Figure 21.23The loop rule. An example of Kirchhoff’s second rule where the sum of the changes in potential around a closed loop must be zero. (a) In this standard schematic
of a simple series circuit, the emf supplies 18 V, which is reduced to zero by the resistances, with 1 V across the internal resistance, and 12 V and 5 V across the two load
resistances, for a total of 18 V. (b) This perspective view represents the potential as something like a roller coaster, where charge is raised in potential by the emf and lowered
by the resistances. (Note that the script E stands for emf.)
Applying Kirchhoff’s Rules
By applying Kirchhoff’s rules, we generate equations that allow us to find the unknowns in circuits. The unknowns may be currents, emfs, or
resistances. Each time a rule is applied, an equation is produced. If there are as many independent equations as unknowns, then the problem can be
solved. There are two decisions you must make when applying Kirchhoff’s rules. These decisions determine the signs of various quantities in the
equations you obtain from applying the rules.
1. When applying Kirchhoff’s first rule, the junction rule, you must label the current in each branch and decide in what direction it is going. For
example, inFigure 21.21,Figure 21.22, andFigure 21.23, currents are labeled
I
1
,
I
2
,
I
3
, and
I
, and arrows indicate their directions.
There is no risk here, for if you choose the wrong direction, the current will be of the correct magnitude but negative.
2. When applying Kirchhoff’s second rule, the loop rule, you must identify a closed loop and decide in which direction to go around it, clockwise or
counterclockwise. For example, inFigure 21.23the loop was traversed in the same direction as the current (clockwise). Again, there is no risk;
going around the circuit in the opposite direction reverses the sign of every term in the equation, which is like multiplying both sides of the
equation by
–1.
Figure 21.24and the following points will help you get the plus or minus signs right when applying the loop rule. Note that the resistors and emfs are
traversed by going from a to b. In many circuits, it will be necessary to construct more than one loop. In traversing each loop, one needs to be
consistent for the sign of the change in potential. (SeeExample 21.5.)
Figure 21.24Each of these resistors and voltage sources is traversed from a to b. The potential changes are shown beneath each element and are explained in the text. (Note
that the script E stands for emf.)
• When a resistor is traversed in the same direction as the current, the change in potential is
IR
. (SeeFigure 21.24.)
• When a resistor is traversed in the direction opposite to the current, the change in potential is
+IR
. (SeeFigure 21.24.)
• When an emf is traversed from
to + (the same direction it moves positive charge), the change in potential is +emf. (SeeFigure 21.24.)
• When an emf is traversed from + to
(opposite to the direction it moves positive charge), the change in potential is
emf. (SeeFigure
21.24.)
750 CHAPTER 21 | CIRCUITS, BIOELECTRICITY, AND DC INSTRUMENTS
This content is available for free at http://cnx.org/content/col11406/1.7
C# PDF Page Insert Library: insert pages into PDF file in C#.net
files by C# code, how to rotate PDF document page, how to delete PDF page using C# .NET, how to reorganize PDF document pages and how to split PDF document in
can print pdf no pages selected; pdf split pages in half
VB.NET PDF Page Delete Library: remove PDF pages in vb.net, ASP.
Page: Delete Existing PDF Pages. |. Home ›› XDoc.PDF ›› VB.NET PDF: Delete PDF Page. How to VB.NET: Delete Consecutive Pages from PDF.
split pdf into individual pages; pdf no pages selected to print
Example 21.5Calculating Current: Using Kirchhoff’s Rules
Find the currents flowing in the circuit inFigure 21.25.
Figure 21.25This circuit is similar to that inFigure 21.21, but the resistances and emfs are specified. (Each emf is denoted by script E.) The currents in each branch are
labeled and assumed to move in the directions shown. This example uses Kirchhoff’s rules to find the currents.
Strategy
This circuit is sufficiently complex that the currents cannot be found using Ohm’s law and the series-parallel techniques—it is necessary to use
Kirchhoff’s rules. Currents have been labeled
I
1
,
I
2
, and
I
3
in the figure and assumptions have been made about their directions. Locations
on the diagram have been labeled with letters a through h. In the solution we will apply the junction and loop rules, seeking three independent
equations to allow us to solve for the three unknown currents.
Solution
We begin by applying Kirchhoff’s first or junction rule at point a. This gives
(21.54)
I
1
=I
2
+I
3
,
since
I
1
flows into the junction, while
I
2
and
I
3
flow out. Applying the junction rule at e produces exactly the same equation, so that no new
information is obtained. This is a single equation with three unknowns—three independent equations are needed, and so the loop rule must be
applied.
Now we consider the loop abcdea. Going from a to b, we traverse
R
2
in the same (assumed) direction of the current
I
2
, and so the change in
potential is
I
2
R
2
. Then going from b to c, we go from
to +, so that the change in potential is
+emf
1
. Traversing the internal resistance
r
1
from c to d gives
I
2
r
1
. Completing the loop by going from d to a again traverses a resistor in the same direction as its current, giving a
change in potential of
I
1
R
1
.
The loop rule states that the changes in potential sum to zero. Thus,
(21.55)
I
2
R
2
+emf
1
I
2
r
1
I
1
R
1
=−I
2
(R
2
+r
1
)+emf
1
I
1
R
1
=0.
Substituting values from the circuit diagram for the resistances and emf, and canceling the ampere unit gives
(21.56)
−3I
2
+18−6I
1
=0.
Now applying the loop rule to aefgha (we could have chosen abcdefgha as well) similarly gives
(21.57)
+I
1
R
1
+I
3
R
3
+I
3
r
2
−emf
2
= +I
1
R
1
+I
3
R
3
+r
2
−emf
2
=0.
Note that the signs are reversed compared with the other loop, because elements are traversed in the opposite direction. With values entered,
this becomes
(21.58)
+6I
1
+2I
3
−45=0.
These three equations are sufficient to solve for the three unknown currents. First, solve the second equation for
I
2
:
(21.59)
I
2
=6−2I
1
.
Now solve the third equation for
I
3
:
(21.60)
I
3
=22.5−3I
1
.
CHAPTER 21 | CIRCUITS, BIOELECTRICITY, AND DC INSTRUMENTS S 751
VB.NET PDF Page Insert Library: insert pages into PDF file in vb.
Page: Insert PDF Pages. |. Home ›› XDoc.PDF ›› VB.NET PDF: Insert PDF Page. Add and Insert Multiple PDF Pages to PDF Document Using VB.
break pdf into multiple files; break a pdf into parts
C# PDF Page Delete Library: remove PDF pages in C#.net, ASP.NET
Page: Delete Existing PDF Pages. Provide C# Users with Mature .NET PDF Document Manipulating Library for Deleting PDF Pages in C#.
pdf split; break password on pdf
Substituting these two new equations into the first one allows us to find a value for
I
1
:
(21.61)
I
1
=I
2
+I
3
=(6−2I
1
)+(22.5−3I
1
)=28.5−5I
1
.
Combining terms gives
(21.62)
6I
1
=28.5, and
(21.63)
I
1
=4.75 A.
Substituting this value for
I
1
back into the fourth equation gives
(21.64)
I
2
=6−2I
1
=6−9.50
(21.65)
I
2
=−3.50 A.
The minus sign means
I
2
flows in the direction opposite to that assumed inFigure 21.25.
Finally, substituting the value for
I
1
into the fifth equation gives
(21.66)
I
3
=22.5−3I
1
=22.5−14.25
(21.67)
I
3
=8.25 A.
Discussion
Just as a check, we note that indeed
I
1
=I
2
+I
3
. The results could also have been checked by entering all of the values into the equation for
the abcdefgha loop.
Problem-Solving Strategies for Kirchhoff’s Rules
1. Make certain there is a clear circuit diagram on which you can label all known and unknown resistances, emfs, and currents. If a current is
unknown, you must assign it a direction. This is necessary for determining the signs of potential changes. If you assign the direction
incorrectly, the current will be found to have a negative value—no harm done.
2. Apply the junction rule to any junction in the circuit. Each time the junction rule is applied, you should get an equation with a current that
does not appear in a previous application—if not, then the equation is redundant.
3. Apply the loop rule to as many loops as needed to solve for the unknowns in the problem. (There must be as many independent equations
as unknowns.) To apply the loop rule, you must choose a direction to go around the loop. Then carefully and consistently determine the
signs of the potential changes for each element using the four bulleted points discussed above in conjunction withFigure 21.24.
4. Solve the simultaneous equations for the unknowns. This may involve many algebraic steps, requiring careful checking and rechecking.
5. Check to see whether the answers are reasonable and consistent. The numbers should be of the correct order of magnitude, neither
exceedingly large nor vanishingly small. The signs should be reasonable—for example, no resistance should be negative. Check to see
that the values obtained satisfy the various equations obtained from applying the rules. The currents should satisfy the junction rule, for
example.
The material in this section is correct in theory. We should be able to verify it by making measurements of current and voltage. In fact, some of the
devices used to make such measurements are straightforward applications of the principles covered so far and are explored in the next modules. As
we shall see, a very basic, even profound, fact results—making a measurement alters the quantity being measured.
Check Your Understanding
Can Kirchhoff’s rules be applied to simple series and parallel circuits or are they restricted for use in more complicated circuits that are not
combinations of series and parallel?
Solution
Kirchhoff's rules can be applied to any circuit since they are applications to circuits of two conservation laws. Conservation laws are the most
broadly applicable principles in physics. It is usually mathematically simpler to use the rules for series and parallel in simpler circuits so we
emphasize Kirchhoff’s rules for use in more complicated situations. But the rules for series and parallel can be derived from Kirchhoff’s rules.
Moreover, Kirchhoff’s rules can be expanded to devices other than resistors and emfs, such as capacitors, and are one of the basic analysis
devices in circuit analysis.
21.4DC Voltmeters and Ammeters
Voltmetersmeasure voltage, whereasammetersmeasure current. Some of the meters in automobile dashboards, digital cameras, cell phones, and
tuner-amplifiers are voltmeters or ammeters. (SeeFigure 21.26.) The internal construction of the simplest of these meters and how they are
connected to the system they monitor give further insight into applications of series and parallel connections.
752 CHAPTER 21 | CIRCUITS, BIOELECTRICITY, AND DC INSTRUMENTS
This content is available for free at http://cnx.org/content/col11406/1.7
C# PDF File & Page Process Library SDK for C#.net, ASP.NET, MVC
C# File: Merge PDF; C# File: Split PDF; C# Page: Insert PDF pages; C# Page: Delete PDF pages; C# Read: PDF Text Extract; C# Read: PDF
acrobat separate pdf pages; break pdf file into multiple files
C# PDF Page Extract Library: copy, paste, cut PDF pages in C#.net
C#.NET PDF Library - Copy and Paste PDF Pages in C#.NET. Easy to C#.NET Sample Code: Copy and Paste PDF Pages Using C#.NET. C# programming
pdf no pages selected; cannot print pdf file no pages selected
Figure 21.26The fuel and temperature gauges (far right and far left, respectively) in this 1996 Volkswagen are voltmeters that register the voltage output of “sender” units,
which are hopefully proportional to the amount of gasoline in the tank and the engine temperature. (credit: Christian Giersing)
Voltmeters are connected in parallel with whatever device’s voltage is to be measured. A parallel connection is used because objects in parallel
experience the same potential difference. (SeeFigure 21.27, where the voltmeter is represented by the symbol V.)
Ammeters are connected in series with whatever device’s current is to be measured. A series connection is used because objects in series have the
same current passing through them. (SeeFigure 21.28, where the ammeter is represented by the symbol A.)
Figure 21.27(a) To measure potential differences in this series circuit, the voltmeter (V) is placed in parallel with the voltage source or either of the resistors. Note that terminal
voltage is measured between points a and b. It is not possible to connect the voltmeter directly across the emf without including its internal resistance,
r
. (b) A digital
voltmeter in use. (credit: Messtechniker, Wikimedia Commons)
CHAPTER 21 | CIRCUITS, BIOELECTRICITY, AND DC INSTRUMENTS S 753
VB.NET PDF Page Extract Library: copy, paste, cut PDF pages in vb.
Page: Extract, Copy, Paste PDF Pages. |. Home ›› XDoc.PDF ›› VB.NET PDF: Copy and Paste PDF Page. VB.NET PDF - PDF File Pages Extraction Guide.
acrobat split pdf into multiple files; break pdf into pages
C# PDF Page Rotate Library: rotate PDF page permanently in C#.net
featured with the functions to merge PDF files using C# .NET, add new PDF page, delete certain PDF page, reorder existing PDF pages and split PDF document in
add page break to pdf; break a pdf into separate pages
Figure 21.28An ammeter (A) is placed in series to measure current. All of the current in this circuit flows through the meter. The ammeter would have the same reading if
located between points d and e or between points f and a as it does in the position shown. (Note that the script capital E stands for emf, and
r
stands for the internal
resistance of the source of potential difference.)
Analog Meters: Galvanometers
Analog metershave a needle that swivels to point at numbers on a scale, as opposed todigital meters, which have numerical readouts similar to a
hand-held calculator. The heart of most analog meters is a device called agalvanometer, denoted by G. Current flow through a galvanometer,
I
G
,
produces a proportional needle deflection. (This deflection is due to the force of a magnetic field upon a current-carrying wire.)
The two crucial characteristics of a given galvanometer are its resistance and current sensitivity.Current sensitivityis the current that gives afull-
scale deflectionof the galvanometer’s needle, the maximum current that the instrument can measure. For example, a galvanometer with a current
sensitivity of
50 μA
has a maximum deflection of its needle when
50 μA
flows through it, reads half-scale when
25 μA
flows through it, and so
on.
If such a galvanometer has a
25-Ω
resistance, then a voltage of only
V=IR=
50 μA
(25 Ω)=1.25 mV
connecting resistors to this galvanometer in different ways, you can use it as either a voltmeter or ammeter that can measure a broad range of
voltages or currents.
Galvanometer as Voltmeter
Figure 21.29shows how a galvanometer can be used as a voltmeter by connecting it in series with a large resistance,
R
. The value of the
resistance
R
is determined by the maximum voltage to be measured. Suppose you want 10 V to produce a full-scale deflection of a voltmeter
containing a
25-Ω
galvanometer with a
50-μA
sensitivity. Then 10 V applied to the meter must produce a current of
50 μA
. The total resistance
must be
(21.68)
R
tot
=R+r=
V
I
=
10V
50 μA
=200kΩ, or
(21.69)
R=R
tot
r=200 kΩ−25 5 Ω ≈200kΩ.
(
R
is so large that the galvanometer resistance,
r
, is nearly negligible.) Note that 5 V applied to this voltmeter produces a half-scale deflection by
producing a
25-μA
current through the meter, and so the voltmeter’s reading is proportional to voltage as desired.
This voltmeter would not be useful for voltages less than about half a volt, because the meter deflection would be small and difficult to read
accurately. For other voltage ranges, other resistances are placed in series with the galvanometer. Many meters have a choice of scales. That choice
involves switching an appropriate resistance into series with the galvanometer.
Figure 21.29A large resistance
R
placed in series with a galvanometer G produces a voltmeter, the full-scale deflection of which depends on the choice of
R
. The larger
the voltage to be measured, the larger
R
must be. (Note that
r
represents the internal resistance of the galvanometer.)
Galvanometer as Ammeter
The same galvanometer can also be made into an ammeter by placing it in parallel with a small resistance
R
, often called theshunt resistance, as
shown inFigure 21.30. Since the shunt resistance is small, most of the current passes through it, allowing an ammeter to measure currents much
greater than those producing a full-scale deflection of the galvanometer.
Suppose, for example, an ammeter is needed that gives a full-scale deflection for 1.0 A, and contains the same
25-Ω
galvanometer with its
50-μA
sensitivity. Since
R
and
r
are in parallel, the voltage across them is the same.
These
IR
drops are
IR=I
G
r
so that
IR=
I
G
I
=
R
r
. Solving for
R
, and noting that
I
G
is
50 μA
and
I
is 0.999950 A, we have
(21.70)
R=r
I
G
I
=(25Ω)
50 μA
0.999950 A
=1.25×10
−3
Ω.
754 CHAPTER 21 | CIRCUITS, BIOELECTRICITY, AND DC INSTRUMENTS
This content is available for free at http://cnx.org/content/col11406/1.7
Figure 21.30A small shunt resistance
R
placed in parallel with a galvanometer G produces an ammeter, the full-scale deflection of which depends on the choice of
R
. The
larger the current to be measured, the smaller
R
must be. Most of the current (
I
) flowing through the meter is shunted through
R
to protect the galvanometer. (Note that
r
represents the internal resistance of the galvanometer.) Ammeters may also have multiple scales for greater flexibility in application. The various scales are achieved by
switching various shunt resistances in parallel with the galvanometer—the greater the maximum current to be measured, the smaller the shunt resistance must be.
Taking Measurements Alters the Circuit
When you use a voltmeter or ammeter, you are connecting another resistor to an existing circuit and, thus, altering the circuit. Ideally, voltmeters and
ammeters do not appreciably affect the circuit, but it is instructive to examine the circumstances under which they do or do not interfere.
First, consider the voltmeter, which is always placed in parallel with the device being measured. Very little current flows through the voltmeter if its
resistance is a few orders of magnitude greater than the device, and so the circuit is not appreciably affected. (SeeFigure 21.31(a).) (A large
resistance in parallel with a small one has a combined resistance essentially equal to the small one.) If, however, the voltmeter’s resistance is
comparable to that of the device being measured, then the two in parallel have a smaller resistance, appreciably affecting the circuit. (SeeFigure
21.31(b).) The voltage across the device is not the same as when the voltmeter is out of the circuit.
Figure 21.31(a) A voltmeter having a resistance much larger than the device (
R
Voltmeter
>>R
) with which it is in parallel produces a parallel resistance essentially the
same as the device and does not appreciably affect the circuit being measured. (b) Here the voltmeter has the same resistance as the device (
R
Voltmeter
R
), so that the
parallel resistance is half of what it is when the voltmeter is not connected. This is an example of a significant alteration of the circuit and is to be avoided.
An ammeter is placed in series in the branch of the circuit being measured, so that its resistance adds to that branch. Normally, the ammeter’s
resistance is very small compared with the resistances of the devices in the circuit, and so the extra resistance is negligible. (SeeFigure 21.32(a).)
However, if very small load resistances are involved, or if the ammeter is not as low in resistance as it should be, then the total series resistance is
significantly greater, and the current in the branch being measured is reduced. (SeeFigure 21.32(b).)
A practical problem can occur if the ammeter is connected incorrectly. If it was put in parallel with the resistor to measure the current in it, you could
possibly damage the meter; the low resistance of the ammeter would allow most of the current in the circuit to go through the galvanometer, and this
current would be larger since the effective resistance is smaller.
Figure 21.32(a) An ammeter normally has such a small resistance that the total series resistance in the branch being measured is not appreciably increased. The circuit is
essentially unaltered compared with when the ammeter is absent. (b) Here the ammeter’s resistance is the same as that of the branch, so that the total resistance is doubled
and the current is half what it is without the ammeter. This significant alteration of the circuit is to be avoided.
One solution to the problem of voltmeters and ammeters interfering with the circuits being measured is to use galvanometers with greater sensitivity.
This allows construction of voltmeters with greater resistance and ammeters with smaller resistance than when less sensitive galvanometers are
used.
There are practical limits to galvanometer sensitivity, but it is possible to get analog meters that make measurements accurate to a few percent. Note
that the inaccuracy comes from altering the circuit, not from a fault in the meter.
Connections: Limits to Knowledge
Making a measurement alters the system being measured in a manner that produces uncertainty in the measurement. For macroscopic systems,
such as the circuits discussed in this module, the alteration can usually be made negligibly small, but it cannot be eliminated entirely. For
submicroscopic systems, such as atoms, nuclei, and smaller particles, measurement alters the system in a manner that cannot be made
CHAPTER 21 | CIRCUITS, BIOELECTRICITY, AND DC INSTRUMENTS S 755
arbitrarily small. This actually limits knowledge of the system—even limiting what nature can know about itself. We shall see profound
implications of this when the Heisenberg uncertainty principle is discussed in the modules on quantum mechanics.
There is another measurement technique based on drawing no current at all and, hence, not altering the circuit at all. These are called null
measurements and are the topic ofNull Measurements. Digital meters that employ solid-state electronics and null measurements can attain
accuracies of one part in
10
6
.
Check Your Understanding
Digital meters are able to detect smaller currents than analog meters employing galvanometers. How does this explain their ability to measure
voltage and current more accurately than analog meters?
Solution
Since digital meters require less current than analog meters, they alter the circuit less than analog meters. Their resistance as a voltmeter can be
far greater than an analog meter, and their resistance as an ammeter can be far less than an analog meter. ConsultFigure 21.27andFigure
21.28and their discussion in the text.
PhET Explorations: Circuit Construction Kit (DC Only), Virtual Lab
Stimulate a neuron and monitor what happens. Pause, rewind, and move forward in time in order to observe the ions as they move across the
neuron membrane.
Figure 21.33Circuit Construction Kit (DC Only), Virtual Lab (http://cnx.org/content/m42360/1.6/circuit-construction-kit-dc-virtual-lab_en.jar)
21.5Null Measurements
Standard measurements of voltage and current alter the circuit being measured, introducing uncertainties in the measurements. Voltmeters draw
some extra current, whereas ammeters reduce current flow.Null measurementsbalance voltages so that there is no current flowing through the
measuring device and, therefore, no alteration of the circuit being measured.
Null measurements are generally more accurate but are also more complex than the use of standard voltmeters and ammeters, and they still have
limits to their precision. In this module, we shall consider a few specific types of null measurements, because they are common and interesting, and
they further illuminate principles of electric circuits.
The Potentiometer
Suppose you wish to measure the emf of a battery. Consider what happens if you connect the battery directly to a standard voltmeter as shown in
Figure 21.34. (Once we note the problems with this measurement, we will examine a null measurement that improves accuracy.) As discussed
before, the actual quantity measured is the terminal voltage
V
, which is related to the emf of the battery by
V=emf−Ir
, where
I
is the current
that flows and
r
is the internal resistance of the battery.
The emf could be accurately calculated if
r
were very accurately known, but it is usually not. If the current
I
V=emf
,
and so emf could be directly measured. However, standard voltmeters need a current to operate; thus, another technique is needed.
Figure 21.34An analog voltmeter attached to a battery draws a small but nonzero current and measures a terminal voltage that differs from the emf of the battery. (Note that
the script capital E symbolizes electromotive force, or emf.) Since the internal resistance of the battery is not known precisely, it is not possible to calculate the emf precisely.
Apotentiometeris a null measurement device for measuring potentials (voltages). (SeeFigure 21.35.) A voltage source is connected to a resistor
R,
say, a long wire, and passes a constant current through it. There is a steady drop in potential (an
IR
drop) along the wire, so that a variable
potential can be obtained by making contact at varying locations along the wire.
Figure 21.35(b) shows an unknown
emf
x
(represented by script
E
x
in the figure) connected in series with a galvanometer. Note that
emf
x
opposes the other voltage source. The location of the contact point (see the arrow on the drawing) is adjusted until the galvanometer reads zero.
756 CHAPTER 21 | CIRCUITS, BIOELECTRICITY, AND DC INSTRUMENTS
This content is available for free at http://cnx.org/content/col11406/1.7
emf
x
=IR
x
, where
R
x
is the resistance of the section of wire up to the contact point. Since no current flows
through the galvanometer, none flows through the unknown emf, and so
emf
x
is directly sensed.
Now, a very precisely known standard
emf
s
is substituted for
emf
x
, and the contact point is adjusted until the galvanometer again reads zero, so
that
emf
s
=IR
s
. In both cases, no current passes through the galvanometer, and so the current
I
through the long wire is the same. Upon taking
the ratio
emf
x
emf
s
,
I
cancels, giving
(21.71)
emf
x
emf
s
=
IR
x
IR
s
=
R
x
R
s
.
Solving for
emf
x
gives
(21.72)
emf
x
=emf
s
R
x
R
s
.
Figure 21.35The potentiometer, a null measurement device. (a) A voltage source connected to a long wire resistor passes a constant current
I
through it. (b) An unknown
emf (labeled script
E
x
in the figure) is connected as shown, and the point of contact along
R
is adjusted until the galvanometer reads zero. The segment of wire has a
resistance
R
and script
E
x
=IR
x, where
I
is unaffected by the connection since no current flows through the galvanometer. The unknown emf is thus proportional to
the resistance of the wire segment.
Because a long uniform wire is used for
R
, the ratio of resistances
R
x
/R
s
is the same as the ratio of the lengths of wire that zero the galvanometer
for each emf. The three quantities on the right-hand side of the equation are now known or measured, and
emf
x
can be calculated. The uncertainty
in this calculation can be considerably smaller than when using a voltmeter directly, but it is not zero. There is always some uncertainty in the ratio of
resistances
R
x
/R
s
and in the standard
emf
s
. Furthermore, it is not possible to tell when the galvanometer reads exactly zero, which introduces
error into both
R
x
and
R
s
, and may also affect the current
I
.
Resistance Measurements and the Wheatstone Bridge
There is a variety of so-calledohmmetersthat purport to measure resistance. What the most common ohmmeters actually do is to apply a voltage to
a resistance, measure the current, and calculate the resistance using Ohm’s law. Their readout is this calculated resistance. Two configurations for
ohmmeters using standard voltmeters and ammeters are shown inFigure 21.36. Such configurations are limited in accuracy, because the meters
alter both the voltage applied to the resistor and the current that flows through it.
CHAPTER 21 | CIRCUITS, BIOELECTRICITY, AND DC INSTRUMENTS S 757
Figure 21.36Two methods for measuring resistance with standard meters. (a) Assuming a known voltage for the source, an ammeter measures current, and resistance is
calculated as
R=
V
I
. (b) Since the terminal voltage
V
varies with current, it is better to measure it.
V
is most accurately known when
I
is small, but
I
itself is most
accurately known when it is large.
TheWheatstone bridgeis a null measurement device for calculating resistance by balancing potential drops in a circuit. (SeeFigure 21.37.) The
device is called a bridge because the galvanometer forms a bridge between two branches. A variety ofbridge devicesare used to make null
measurements in circuits.
Resistors
R
1
and
R
2
are precisely known, while the arrow through
R
3
indicates that it is a variable resistance. The value of
R
3
can be precisely
R
x
in the circuit,
R
3
is adjusted until the galvanometer reads zero. The potential difference between points b
and d is then zero, meaning that b and d are at the same potential. With no current running through the galvanometer, it has no effect on the rest of
the circuit. So the branches abc and adc are in parallel, and each branch has the full voltage of the source. That is, the
IR
are the same. Since b and d are at the same potential, the
IR
drop along ad must equal the
IR
drop along ab. Thus,
(21.73)
I
1
R
1
=I
2
R
3
.
Again, since b and d are at the same potential, the
IR
drop along dc must equal the
IR
drop along bc. Thus,
(21.74)
I
1
R
2
=I
2
R
x
.
Taking the ratio of these last two expressions gives
(21.75)
I
1
R
1
I
1
R
2
=
I
2
R
3
I
2
R
x
.
Canceling the currents and solving for R
x
yields
(21.76)
R
x
=R
3
R
2
R
1
.
Figure 21.37The Wheatstone bridge is used to calculate unknown resistances. The variable resistance
R
3
closed. This simplifies the circuit, allowing
R
to be calculated based on the
IR
drops as discussed in the text.
This equation is used to calculate the unknown resistance when current through the galvanometer is zero. This method can be very accurate (often to
four significant digits), but it is limited by two factors. First, it is not possible to get the current through the galvanometer to be exactly zero. Second,
there are always uncertainties in
R
1
,
R
2
, and
R
3
, which contribute to the uncertainty in
R
x
.
Check Your Understanding
Identify other factors that might limit the accuracy of null measurements. Would the use of a digital device that is more sensitive than a
galvanometer improve the accuracy of null measurements?
758 CHAPTER 21 | CIRCUITS, BIOELECTRICITY, AND DC INSTRUMENTS
This content is available for free at http://cnx.org/content/col11406/1.7