Figure 3.9A person walks 9 blocks east and 5 blocks north. The displacement is 10.3 blocks at an angle
29.1º
north of east.
Figure 3.10To describe the resultant vector for the person walking in a city considered inFigure 3.9graphically, draw an arrow to represent the total displacement vector
D
.
Using a protractor, draw a line at an angle
θ
relative to the east-west axis. The length
D
of the arrow is proportional to the vector’s magnitude and is measured along the
line with a ruler. In this example, the magnitude
D
of the vector is 10.3 units, and the direction
θ
is
29.1º
north of east.
Vector Addition: Head-to-Tail Method
Thehead-to-tail methodis a graphical way to add vectors, described inFigure 3.11below and in the steps following. Thetailof the vector is the
starting point of the vector, and thehead(or tip) of a vector is the final, pointed end of the arrow.
Figure 3.11Head-to-Tail Method:The head-to-tail method of graphically adding vectors is illustrated for the two displacements of the person walking in a city considered in
Figure 3.9. (a) Draw a vector representing the displacement to the east. (b) Draw a vector representing the displacement to the north. The tail of this vector should originate
from the head of the first, east-pointing vector. (c) Draw a line from the tail of the east-pointing vector to the head of the north-pointing vector to form the sum orresultant
vector
D
. The length of the arrow
D
is proportional to the vector’s magnitude and is measured to be 10.3 units . Its direction, described as the angle with respect to the east
(or horizontal axis)
θ
is measured with a protractor to be
29.1º
.
Step 1.Draw an arrow to represent the first vector (9 blocks to the east) using a ruler and protractor.
CHAPTER 3 | TWO-DIMENSIONAL KINEMATICS S 89
Break pdf documents - Split, seperate PDF into multiple files in C#.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
Explain How to Split PDF Document in Visual C#.NET Application
pdf split pages in half; acrobat separate pdf pages
Break pdf documents - VB.NET PDF File Split Library: Split, seperate PDF into multiple files in vb.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
VB.NET PDF Document Splitter Control to Disassemble PDF Document
pdf link to specific page; split pdf
Figure 3.12
Step 2.Now draw an arrow to represent the second vector (5 blocks to the north).Place the tail of the second vector at the head of the first vector.
Figure 3.13
Step 3.If there are more than two vectors, continue this process for each vector to be added. Note that in our example, we have only two vectors, so
we have finished placing arrows tip to tail.
Step 4.Draw an arrow from the tail of the first vector to the head of the last vector. This is theresultant, or the sum, of the other vectors.
Figure 3.14
Step 5.To get themagnitudeof the resultant,measure its length with a ruler. (Note that in most calculations, we will use the Pythagorean theorem to
determine this length.)
Step 6.To get thedirectionof the resultant,measure the angle it makes with the reference frame using a protractor. (Note that in most calculations,
we will use trigonometric relationships to determine this angle.)
The graphical addition of vectors is limited in accuracy only by the precision with which the drawings can be made and the precision of the measuring
tools. It is valid for any number of vectors.
90 CHAPTER 3 | TWO-DIMENSIONAL KINEMATICS
This content is available for free at http://cnx.org/content/col11406/1.7
C# PDF Convert: How to Convert MS PPT to Adobe PDF Document
RasterEdge.com is specializing in documents and images conversion WriteLine("Fail: can not convert to PDF, file type unsupport"); break; case ConvertResult
break apart a pdf; break pdf file into multiple files
C# PDF Convert: How to Convert Office Excel to Adobe PDF
sheet size will keep unchanged for conversion among documents. WriteLine("Fail: can not convert to PDF, file type unsupport"); break; case ConvertResult
can't select text in pdf file; break pdf documents
Example 3.1Adding Vectors Graphically Using the Head-to-Tail Method: A Woman Takes a Walk
Use the graphical technique for adding vectors to find the total displacement of a person who walks the following three paths (displacements) on
a flat field. First, she walks 25.0 m in a direction
49.0º
north of east. Then, she walks 23.0 m heading
15.0º
north of east. Finally, she turns
and walks 32.0 m in a direction 68.0° south of east.
Strategy
Represent each displacement vector graphically with an arrow, labeling the first
A
, the second
B
, and the third
C
, making the lengths
proportional to the distance and the directions as specified relative to an east-west line. The head-to-tail method outlined above will give a way to
determine the magnitude and direction of the resultant displacement, denoted
R
.
Solution
(1) Draw the three displacement vectors.
Figure 3.15
(2) Place the vectors head to tail retaining both their initial magnitude and direction.
Figure 3.16
(3) Draw the resultant vector,
R
.
Figure 3.17
(4) Use a ruler to measure the magnitude of
R
, and a protractor to measure the direction of
R
. While the direction of the vector can be
specified in many ways, the easiest way is to measure the angle between the vector and the nearest horizontal or vertical axis. Since the
resultant vector is south of the eastward pointing axis, we flip the protractor upside down and measure the angle between the eastward axis and
the vector.
CHAPTER 3 | TWO-DIMENSIONAL KINEMATICS S 91
VB.NET PDF Page Insert Library: insert pages into PDF file in vb.
Forms. Support adding PDF page number. Offer PDF page break inserting function. Free SDK library for Visual Studio .NET. Independent
break apart a pdf in reader; break pdf
C# PDF Page Insert Library: insert pages into PDF file in C#.net
Ability to add PDF page number in preview. Offer PDF page break inserting function. Free components and online source codes for .NET framework 2.0+.
pdf split and merge; break password pdf
Figure 3.18
In this case, the total displacement
R
is seen to have a magnitude of 50.0 m and to lie in a direction
7.0º
south of east. By using its magnitude
and direction, this vector can be expressed as
R=50.0 m
and
θ=7.0º
south of east.
Discussion
The head-to-tail graphical method of vector addition works for any number of vectors. It is also important to note that the resultant is independent
of the order in which the vectors are added. Therefore, we could add the vectors in any order as illustrated inFigure 3.19and we will still get the
same solution.
Figure 3.19
Here, we see that when the same vectors are added in a different order, the result is the same. This characteristic is true in every case and is an
important characteristic of vectors. Vector addition iscommutative. Vectors can be added in any order.
(3.1)
A+B=B+A.
(This is true for the addition of ordinary numbers as well—you get the same result whether you add
2+3
or
3+2
, for example).
Vector Subtraction
Vector subtraction is a straightforward extension of vector addition. To define subtraction (say we want to subtract
B
from
A
, written
AB
, we
must first define what we mean by subtraction. Thenegativeof a vector
B
is defined to be
–B
; that is, graphicallythe negative of any vector has
the same magnitude but the opposite direction, as shown inFigure 3.20. In other words,
B
has the same length as
–B
, but points in the opposite
direction. Essentially, we just flip the vector so it points in the opposite direction.
92 CHAPTER 3 | TWO-DIMENSIONAL KINEMATICS
This content is available for free at http://cnx.org/content/col11406/1.7
C# TWAIN - Query & Set Device Abilities in C#
device.TwainTransferMode = method; break; } if (method == TwainTransferMethod.TWSX_FILE) device.TransferMethod = method; } // If it's not supported tell stop.
cannot print pdf no pages selected; c# split pdf
C# TWAIN - Install, Deploy and Distribute XImage.Twain Control
RasterEdge.XDoc.PDF.dll. device.TwainTransferMode = method; break; } if (method == TwainTransferMethod.TWSX_FILE) device.TransferMethod = method; } // If it's
pdf separate pages; cannot select text in pdf file
Figure 3.20The negative of a vector is just another vector of the same magnitude but pointing in the opposite direction. So
B
is the negative of
–B
; it has the same length
but opposite direction.
Thesubtractionof vector
B
from vector
A
is then simply defined to be the addition of
–B
to
A
. Note that vector subtraction is the addition of a
negative vector. The order of subtraction does not affect the results.
(3.2)
A – B = A + (–B).
This is analogous to the subtraction of scalars (where, for example,
5 – 2 = 5 + (–2)
). Again, the result is independent of the order in which the
subtraction is made. When vectors are subtracted graphically, the techniques outlined above are used, as the following example illustrates.
Example 3.2Subtracting Vectors Graphically: A Woman Sailing a Boat
A woman sailing a boat at night is following directions to a dock. The instructions read to first sail 27.5 m in a direction
66.0º
north of east from
her current location, and then travel 30.0 m in a direction
112º
north of east (or
22.0º
west of north). If the woman makes a mistake and
travels in theoppositedirection for the second leg of the trip, where will she end up? Compare this location with the location of the dock.
Figure 3.21
Strategy
We can represent the first leg of the trip with a vector
A
, and the second leg of the trip with a vector
B
. The dock is located at a location
A+B
. If the woman mistakenly travels in theoppositedirection for the second leg of the journey, she will travel a distance
B
(30.0 m) in the
direction
180º–112º=68º
south of east. We represent this as
–B
, as shown below. The vector
–B
has the same magnitude as
B
but is
in the opposite direction. Thus, she will end up at a location
A+(–B)
, or
AB
.
Figure 3.22
We will perform vector addition to compare the location of the dock,
B
, with the location at which the woman mistakenly arrives,
A + (–B)
.
CHAPTER 3 | TWO-DIMENSIONAL KINEMATICS S 93
C# TWAIN - Specify Size and Location to Scan
foreach (TwainStaticFrameSizeType frame in frames) { if (frame == TwainStaticFrameSizeType.LetterUS) { this.device.FrameSize = frame; break; } } }.
pdf insert page break; split pdf into individual pages
C# TWAIN - Acquire or Save Image to File
RasterEdge.XDoc.PDF.dll. if (device.Compression != TwainCompressionMode.Group4) device.Compression = TwainCompressionMode.Group3; break; } } acq.FileTranfer
break pdf into multiple documents; cannot print pdf file no pages selected
Solution
(1) To determine the location at which the woman arrives by accident, draw vectors
A
and
–B
.
(2) Place the vectors head to tail.
(3) Draw the resultant vector
R
.
(4) Use a ruler and protractor to measure the magnitude and direction of
R
.
Figure 3.23
In this case,
R=23.0 m
and
θ=7.5º
south of east.
(5) To determine the location of the dock, we repeat this method to add vectors
A
and
B
. We obtain the resultant vector
R'
:
Figure 3.24
In this case
R = 52.9 m
and
θ=90.1º
northofeast.
We can see that the woman will end up a significant distance from the dock if she travels in the opposite direction for the second leg of the trip.
Discussion
Because subtraction of a vector is the same as addition of a vector with the opposite direction, the graphical method of subtracting vectors works
the same as for addition.
Multiplication of Vectors and Scalars
If we decided to walk three times as far on the first leg of the trip considered in the preceding example, then we would walk
3 × 27.5 m
, or 82.5 m,
in a direction
66.0º
north of east. This is an example of multiplying a vector by a positivescalar. Notice that the magnitude changes, but the
direction stays the same.
If the scalar is negative, then multiplying a vector by it changes the vector’s magnitude and gives the new vector theoppositedirection. For example,
if you multiply by –2, the magnitude doubles but the direction changes. We can summarize these rules in the following way: When vector
A
is
multiplied by a scalar
c
,
• the magnitude of the vector becomes the absolute value of
c A
,
• if
c
is positive, the direction of the vector does not change,
• if
c
is negative, the direction is reversed.
In our case,
c=3
and
A=27.5 m
. Vectors are multiplied by scalars in many situations. Note that division is the inverse of multiplication. For
example, dividing by 2 is the same as multiplying by the value (1/2). The rules for multiplication of vectors by scalars are the same for division; simply
treat the divisor as a scalar between 0 and 1.
94 CHAPTER 3 | TWO-DIMENSIONAL KINEMATICS
This content is available for free at http://cnx.org/content/col11406/1.7
Resolving a Vector into Components
In the examples above, we have been adding vectors to determine the resultant vector. In many cases, however, we will need to do the opposite. We
will need to take a single vector and find what other vectors added together produce it. In most cases, this involves determining the perpendicular
componentsof a single vector, for example thex-andy-components, or the north-south and east-west components.
For example, we may know that the total displacement of a person walking in a city is 10.3 blocks in a direction
29.0º
north of east and want to find
out how many blocks east and north had to be walked. This method is calledfinding the components (or parts)of the displacement in the east and
north directions, and it is the inverse of the process followed to find the total displacement. It is one example of finding the components of a vector.
There are many applications in physics where this is a useful thing to do. We will see this soon inProjectile Motion, and much more when we cover
forcesinDynamics: Newton’s Laws of Motion. Most of these involve finding components along perpendicular axes (such as north and east), so
that right triangles are involved. The analytical techniques presented inVector Addition and Subtraction: Analytical Methodsare ideal for finding
vector components.
PhET Explorations: Maze Game
Learn about position, velocity, and acceleration in the "Arena of Pain". Use the green arrow to move the ball. Add more walls to the arena to
make the game more difficult. Try to make a goal as fast as you can.
Figure 3.25Maze Game (http://cnx.org/content/m42127/1.7/maze-game_en.jar)
3.3Vector Addition and Subtraction: Analytical Methods
Analytical methodsof vector addition and subtraction employ geometry and simple trigonometry rather than the ruler and protractor of graphical
methods. Part of the graphical technique is retained, because vectors are still represented by arrows for easy visualization. However, analytical
methods are more concise, accurate, and precise than graphical methods, which are limited by the accuracy with which a drawing can be made.
Analytical methods are limited only by the accuracy and precision with which physical quantities are known.
Resolving a Vector into Perpendicular Components
Analytical techniques and right triangles go hand-in-hand in physics because (among other things) motions along perpendicular directions are
independent. We very often need to separate a vector into perpendicular components. For example, given a vector like
A
inFigure 3.26, we may
wish to find which two perpendicular vectors,
A
x
and
A
y
, add to produce it.
Figure 3.26The vector
A
, with its tail at the origin of anx,y-coordinate system, is shown together with itsx- andy-components,
A
and
A
y. These vectors form a right
triangle. The analytical relationships among these vectors are summarized below.
A
x
and
A
y
are defined to be the components of
A
along thex- andy-axes. The three vectors
A
,
A
x
, and
A
y
form a right triangle:
(3.3)
A
x
+ A
y
= A.
Note that this relationship between vector components and the resultant vector holds only for vector quantities (which include both magnitude and
direction). The relationship does not apply for the magnitudes alone. For example, if
A
x
=3 m
east,
A
y
=4 m
north, and
A=5 m
north-east,
then it is true that the vectors
A
x
+ A
y
= A
. However, it isnottrue that the sum of the magnitudes of the vectors is also equal. That is,
(3.4)
3 m+4 m ≠ 5 m
Thus,
CHAPTER 3 | TWO-DIMENSIONAL KINEMATICS S 95
(3.5)
A
x
+A
y
A
If the vector
A
is known, then its magnitude
A
(its length) and its angle
θ
(its direction) are known. To find
A
x
and
A
y
, itsx- andy-components,
we use the following relationships for a right triangle.
(3.6)
A
x
=Acosθ
and
(3.7)
A
y
=Asinθ.
Figure 3.27The magnitudes of the vector components
A
and
A
can be related to the resultant vector
A
and the angle
θ
with trigonometric identities. Here we see
that
A
x
=Acosθ
and
A
y
=Asinθ
.
Suppose, for example, that
A
is the vector representing the total displacement of the person walking in a city considered inKinematics in Two
Dimensions: An IntroductionandVector Addition and Subtraction: Graphical Methods.
Figure 3.28We can use the relationships
A
x
=Acosθ
and
A
y
=Asinθ
to determine the magnitude of the horizontal and vertical component vectors in this
example.
Then
A=10.3
blocks and
θ=29.1º
, so that
(3.8)
A
x
=Acosθ=
10.3 blocks
cos29.1º
=9.0 blocks
(3.9)
A
y
=Asinθ=
10.3 blocks
sin29.1º
=5.0 blocks.
Calculating a Resultant Vector
If the perpendicular components
A
x
and
A
y
of a vector
A
are known, then
A
can also be found analytically. To find the magnitude
A
and
direction
θ
of a vector from its perpendicular components
A
x
and
A
y
, we use the following relationships:
(3.10)
AA
x
2
+A
y
2
(3.11)
θ=tan
−1
(A
y
/A
x
).
96 CHAPTER 3 | TWO-DIMENSIONAL KINEMATICS
This content is available for free at http://cnx.org/content/col11406/1.7
Figure 3.29The magnitude and direction of the resultant vector can be determined once the horizontal and vertical components
A
x
and
A
y
have been determined.
Note that the equation
AA
x
2
+A
y
2
is just the Pythagorean theorem relating the legs of a right triangle to the length of the hypotenuse. For
example, if
A
x
and
A
y
are 9 and 5 blocks, respectively, then
A= 9
2
+5
2
=10.3
blocks, again consistent with the example of the person
walking in a city. Finally, the direction is
θ=tan
–1
(5/9)=29.1º
, as before.
Determining Vectors and Vector Components with Analytical Methods
Equations
A
x
=Acosθ
and
A
y
=Asinθ
are used to find the perpendicular components of a vector—that is, to go from
A
and
θ
to
A
x
and
A
y
. Equations
AA
x
2
+A
y
2
and
θ=tan
–1
(A
y
/A
x
)
are used to find a vector from its perpendicular components—that is, to go from
A
x
and
A
y
to
A
and
θ
. Both processes are crucial to analytical methods of vector addition and subtraction.
Adding Vectors Using Analytical Methods
To see how to add vectors using perpendicular components, considerFigure 3.30, in which the vectors
A
and
B
are added to produce the
resultant
R
.
Figure 3.30Vectors
A
and
B
are two legs of a walk, and
R
is the resultant or total displacement. You can use analytical methods to determine the magnitude and
direction of
R
.
If
A
and
B
represent two legs of a walk (two displacements), then
R
is the total displacement. The person taking the walk ends up at the tip of
R.
There are many ways to arrive at the same point. In particular, the person could have walked first in thex-direction and then in they-direction.
Those paths are thex- andy-components of the resultant,
R
x
and
R
y
. If we know
R
x
and
R
y
, we can find
R
and
θ
using the equations
AA
x
2
+A
y
2
and
θ=tan
–1
(A
y
/A
x
)
. When you use the analytical method of vector addition, you can determine the components or the
magnitude and direction of a vector.
Step 1.Identify the x- and y-axes that will be used in the problem. Then, find the components of each vector to be added along the chosen
perpendicular axes.Use the equations
A
x
=Acosθ
and
A
y
=Asinθ
to find the components. InFigure 3.31, these components are
A
x
,
A
y
,
B
x
, and
B
y
. The angles that vectors
A
and
B
make with thex-axis are
θ
A
and
θ
B
, respectively.
CHAPTER 3 | TWO-DIMENSIONAL KINEMATICS S 97
Figure 3.31To add vectors
A
and
B
, first determine the horizontal and vertical components of each vector. These are the dotted vectors
A
x,
A
y,
B
and
B
shown
in the image.
Step 2.Find the components of the resultant along each axis by adding the components of the individual vectors along that axis.That is, as shown in
Figure 3.32,
(3.12)
R
x
=A
x
+B
x
and
(3.13)
R
y
=A
y
+B
y
.
Figure 3.32The magnitude of the vectors
A
and
B
add to give the magnitude
R
of the resultant vector in the horizontal direction. Similarly, the magnitudes of the
vectors
A
y
and
B
y
add to give the magnitude
R
y
of the resultant vector in the vertical direction.
Components along the same axis, say thex-axis, are vectors along the same line and, thus, can be added to one another like ordinary numbers. The
same is true for components along they-axis. (For example, a 9-block eastward walk could be taken in two legs, the first 3 blocks east and the
second 6 blocks east, for a total of 9, because they are along the same direction.) So resolving vectors into components along common axes makes
it easier to add them. Now that the components of
R
are known, its magnitude and direction can be found.
Step 3.To get the magnitude
R
of the resultant, use the Pythagorean theorem:
(3.14)
RR
x
2
+R
y
2
.
Step 4.To get the direction of the resultant:
(3.15)
θ=tan
−1
(R
y
/R
x
).
The following example illustrates this technique for adding vectors using perpendicular components.
Example 3.3Adding Vectors Using Analytical Methods
Add the vector
A
to the vector
B
shown inFigure 3.33, using perpendicular components along thex- andy-axes. Thex- andy-axes are along
the east–west and north–south directions, respectively. Vector
A
represents the first leg of a walk in which a person walks
53.0 m
in a
direction
20.0º
north of east. Vector
B
represents the second leg, a displacement of
34.0 m
in a direction
63.0º
north of east.
98 CHAPTER 3 | TWO-DIMENSIONAL KINEMATICS
This content is available for free at http://cnx.org/content/col11406/1.7
Documents you may be interested
Documents you may be interested