asp. net mvc pdf viewer : Split pdf into individual pages Library software API .net winforms wpf sharepoint nr_acsm_usa6-part337

Vol. 66, No. 2                                                                                                                                                           147 
the figure. Notice how they bulge up over the 
mountain. This is true in general: the equipotential 
surfaces roughly follow the topographic shape of 
the Earth in that they bow up over mountains and 
dip down into valleys. Also, any one of the geopo-
tential lines shown in Figure II.9 can be thought of 
as representing the surface of the ocean above an 
underwater seamount. Water piles up over the top 
of subsurface topography to exactly the degree that 
the mass of the additional water exactly balances 
the excess of gravity caused by the seamount. Thus, 
one can indirectly observe seafloor topography by 
measuring the departure of the ocean’s surface 
from nominal gravity (Hall 1992). The geoid, of 
course, surrounds the Earth, and Figure II.10 
shows the ellipsoid height of the geoid with respect 
to NAD 83 over the conterminous United States as 
modeled by GEOID03 (Roman et al.  2004). At first 
glance, one could mistake the image for a topo-
graphic map. However, closer examination reveals 
numerous differences.
Geopotential Numbers
The geoid is usually considered the proper 
surface from which to reckon geodetic 
heights because it honors the flow of water 
and nominally resides at mean sea level. Sea 
level, itself, does not exactly match the geoid 
because of the various physical factors men-
tioned before. Therefore, actually finding 
the geoid in order to realize a usable vertical 
datum is currently not possible from mean 
sea level measurements. Ideally, one would 
measure potential directly in some fashion 
analogous to measuring gravity acceleration 
directly. If this were possible, the resulting 
number would be a geopotential number. In 
other words, a geopotential number is the 
potential of the Earth’s gravity field at any point 
in space. Using geopotential numbers as heights is 
appealing for several reasons:
• Geopotential defines hydraulic head. Therefore, 
if two points are at the same geopotential 
number, water will not flow between them due to 
gravity alone. Conversely, if two points are not at 
the same geopotential number, gravity will cause 
the water to flow between them if the waterway is 
unobstructed (ignoring friction). 
• Geopotential decreases linearly with distance 
from the center of the Earth (Equation (II.10)). 
This makes it a natural measure of distance.
• Geopotential does not depend on the path taken 
from the Earth’s center to the point of interest. 
This makes a geopotential number stable.
• The magnitude of a geopotential number is less 
important than the relative values between two 
places. Therefore, one can scale geopotential 
numbers to any desirable values, such as defining 
the geoid to have a geopotential number of zero. 
Equation (II.11) gives hope of determining height 
by measuring a gravity-related quantity, namely, 
absolute potential. Regrettably, potential cannot be 
measured directly. This is understandable because 
the manifestation of potential (the force of gravity) 
is created by potential differences, not in the poten-
tial itself. That is, two pairs of potential energies, 
say (150, 140) and (1000, 990) result in a force 
of the same magnitude. This is true because the 
difference of the two pairs is the same, namely, 
10 newtons. In light of this, one might ask how 
images of the geoid, such as Figure (II.10), came 
into being. The image in Figure (II.10) is the 
result of a sophisticated mathematical model 
based on Stokes’ formula, which we take from 
Heiskanen and Moritz’ (1967, p. 94) equation 
2-163b, and present here for completeness:
Figure II.9. The gravity force vectors and isopotential lines cre-
ated at the Earth’s surface by a point with mass roughly equal to 
that of Mt. Everest. The single heavy line is a plumb line.
Figure II.10. GEOID03 local geoid model for the conter-
minous United States. From Roman et. al (2004).
Split pdf into individual pages - Split, seperate PDF into multiple files in C#.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
Explain How to Split PDF Document in Visual C#.NET Application
break pdf file into parts; add page break to pdf
Split pdf into individual pages - VB.NET PDF File Split Library: Split, seperate PDF into multiple files in vb.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
VB.NET PDF Document Splitter Control to Disassemble PDF Document
break pdf; pdf file specification
where: 
N = geoid height at a point of interest;
R = mean radius of the Earth;
G = the universal gravitational constant;
σ = the surface of the Earth;
∆g= the reduced, observed gravity measure-
ments around the Earth;
ψ  = the spherical distance from each surface
element dσ to the point of interest, and
S(ψ), which is known as Stokes’ function, given 
by Heiskanen and Moritz’ (1967, p. 94) equa-
tion 2-164:
The model is calibrated with, and has bound-
ary conditions provided by, reduced gravity 
measurements taken in the field—the g’s in 
Equation (II.12). These measurements together 
with Stokes’ formula permit the deduction of the 
potential field that must have given rise to the 
observed gravity measurements.
In summary, in spite of their natural suit-
ability, geopotential numbers are not practical 
to use as heights because practicing surveyors 
cannot easily measure them in the field. They 
are, however, the essence of what the word height 
really means, and subsequent papers in this 
series will come to grips with how orthometric 
and ellipsoid heights are related to geopoten-
tial numbers by introducing Helmert orthometric 
heights and dynamic heights.
Summary
This second paper in a four-part series that 
reviews the fundamental concept of height pre-
sented simple derivations of the physics con-
cepts needed to understand the force of gravity, 
since mean sea level and the Earth’s gravity field are 
strongly interrelated. It was shown that one cannot 
use the magnitude of the force of gravity to define 
a vertical datum because equiforce surfaces are not 
level surfaces. However, it was observed that gravity 
potential gives rise to gravity force and, further-
more, gravity force is normal to equipotential sur-
faces. The practical consequence of this is that water 
will not flow along an equipotential surface due to 
the force of gravity alone. Therefore, equipotential 
surfaces are level surfaces and suitable to define 
a vertical datum. In particular, although there is 
an infinite number of equipotential surfaces, the 
geoid is often chosen to be the equipotential sur-
face of the Earth’s gravity field that best fits mean 
sea level in a least squares sense, and the geoid has 
thus become the fundamental vertical datum for 
mapping. It was shown that mean sea level itself is 
not a level surface, therefore, one cannot deduce 
the location of the geoid by measuring the location 
of mean sea level alone. Furthermore, one cannot 
measure gravity potential directly. Therefore, we 
model the geoid mathematically, based on gravity 
observations.
A geopotential number was defined to be a 
number proportional to the gravity potential at 
that place. Geopotential numbers capture the 
notion of height exactly because they vary linearly 
with vertical distance and define level surfaces. 
However, they are usually unsuitable for use as 
distances themselves because they cannot be mea-
sured directly and have units of energy rather than 
length.
REFERENCES
Blakely, R.J. 1995. Potential theory in gravity and magnetic 
applications. Cambridge, U.K.: Cambridge University 
Press. 441p.
Bomford, G. 1980. Geodesy, 4th ed. Oxford, U.K.: 
Clarendon Press. 561p.
Davis, H.F., and A. D. Snider. 1979. Introduction to vector 
analysis.  Boston, Massachusetts:  Allyn and Bacon, Inc. 
340p.  
Faller, J.E., and A. L. Vitouchkine. 2003. Prospects 
for a truly portable absolute gravimeter. Journal of 
Geodynamics 35(4-5): 567-72.
Groten, E. 2004. Fundamental parameters and current 
(2004) best estimates of the parameters of common 
relevance to astronomy, geodesy, and geodynamics.  
Journal of Geodesy 77(10-11): 724-97.
Hall, S.S. 1992.  Mapping the next millennium.  New York, 
New York:  Random House. 477p.  
Heiskanen, W.A., and H. Moritz. 1967. Physical geodesy. 
New York, New York: W. H. Freeman & Co. 364p.
Kellogg, O.D. 1953. Foundations of potential theory. New 
York, New York:  Dover Publications. 384p.
Marsden, J.E., and A. J. Tromba. 1988. Vector calculus, 
3rd ed. New York, New York: W.H. Freeman and 
Company. 655p.  
Meyer, T. H. 2002. Grid, ground, and globe: Distances in 
the GPS era.  Surveying and Land Information Science 
62(3): 179-202.
National Geodetic Survey. 1986. Geodetic glos-
sary. Rockville, Maryland: National Oceanic and 
Atmospheric Administration. 274p.
Ramsey, A.S. 1981. Newtonian attraction.  Cambridge, 
U.K.:  Cambridge University Press. 184p.  
Roman, D. R., Y. M. Wang, W. Henning, and J. 
Hamilton. 2004. Assessment of the new National 
Geoid Height Model, GEOID03. Presented at the 
2004 Conference of the American Congress on 
Surveying and Mapping, Nashville, Tennessee.
Schey, H.M. 1992. Div, grad, curl and all that: An infor-
mal text on vector calculus. New York, New York: W.W. 
Norton & Company. 164p.  
Shalowitz, A.L. 1938. The geographic datums of the 
Coast and Geodetic Survey.  US Coast and Geodetic 
Survey Field Engineers Bulletin 12: 10-31.
Torge, W. 1997. Geodesy, 2nd ed. New York, New York: 
Walter du Gruyter. 264p.
Vanicek, P., and E. J. Krakiwsky. 1996. Geodesy: The 
concepts, 2nd ed. Amsterdam, Holland: Elsevier 
Scientific Publishing Company. 697p.
(II.12)
C# PDF Page Insert Library: insert pages into PDF file in C#.net
the ability to inserting a new PDF page into existing PDF PDF page using C# .NET, how to reorganize PDF document pages and how to split PDF document in
break a pdf into parts; break pdf into smaller files
VB.NET PDF Page Insert Library: insert pages into PDF file in vb.
Able to add and insert one or multiple pages to existing adobe PDF document in VB.NET. DLLs for Adding Page into PDF Document in VB.NET Class.
cannot print pdf file no pages selected; split pdf files
Surveying and Land Information Science, Vol. 66, No. 2, 2006, pp. 149-160 
What Does Height Really Mean?
Part III: Height Systems
Thomas H. Meyer, Daniel R. Roman, 
and David B. Zilkoski
ABSTRACT: This is the third paper in a four-part series considering the fundamental question, “what 
does the word “height” really mean?” The first paper reviewed reference ellipsoids and mean sea level 
datums. The second paper reviewed the physics of heights culminating in a simple development of the 
geoid and explained why mean sea level stations are not all at the same orthometric height. This third 
paper develops the principle notions of height, namely measured, differentially deduced changes in 
elevation, orthometric heights, Helmert orthometric heights, normal orthometric heights, dynamic 
heights, and geopotential numbers. We conclude with a more in-depth discussion of current thoughts 
regarding the geoid.
Introduction
T
here are two general visions of what 
the word “height” means—a geometric 
separation versus hydraulic head. For 
Earth mensuration, these visions are not the 
same thing, and this discrepancy has lead to 
many formulations of different types of heights. 
In broad strokes there are orthometric heights, 
purely geometric heights, and heights that 
are neither. None of these are inferior to the 
others in all respects. They all have strengths 
and weaknesses, so to speak, and this has given 
rise to a number of competing height systems. 
We begin by introducing these types of heights, 
then examine the height systems in which they 
are measured, and conclude with some remarks 
concerning the geoid.
Heights
Uncorrected Differential Leveling
Leveling is a process by which the geometric 
height difference along the vertical is trans-
ferred from a reference station to a forward 
station. Suppose a leveling line connects two 
stations A and B as depicted in Figure III.1 (c.f. 
Heiskanen and Moritz 1967, p. 161). If the 
two stations are far enough apart, the leveling 
section will contain several turning points, the 
vertical geometric separation between which we 
denote as δv
i
. Any two turning points are at two 
particular geopotential numbers, the difference 
of which is the potential gravity energy available 
to move water between them; hydraulic head. 
We also consider the vertical geometric separa-
tion of those two equipotential surfaces along 
the plumb line for B, δH
B,i
We will now argue that differential leveling 
does not, in general, produce orthometric 
heights. Figure III.1 depicts two stations A and B, 
indicated by open circles, with geopotential num-
bers C
A
and C
B
, and at orthometric heights H
A
and 
H
B
, respectively. The geopotential surfaces, shown 
in cross section as lines, are not parallel; they con-
verge towards the right. Therefore, it follows that 
δv
i
≠ δH
B,i
. The height difference from A to B as 
Thomas H. Meyer, Department of Natural Resources 
Management and Engineering, University of ConnecticutStorrs, 
CT 06269-4087. Tel: (860) 486-2840; Fax: (860) 486-5408. 
E-mail: <thomas.meyer@uconn.edu>. Daniel R. Roman, 
National Geodetic Survey, 1315 East-West Highway, Silver 
Springs, MD 20910. E-mail:<Dan.Roman@noaa.gov>. 
David B. Zilkoski, National Geodetic Survey, 1315 East-West 
Highway, Silver Springs, MD 20910. E-mail: <Dave.Zilkoski@
noaa.gov>.
Figure III.1. A comparison of differential leveling height 
differences δv
i
with orthometric height differences δH
B,i
The height determined by leveling is the sum of the δv
whereas the orthometric height is the sum of the δH
B,i
These two are not the same due to the non-parallelism of 
the equipotential surfaces whose geopotential numbers 
are denoted by C.
Basic Surveying Concepts
C# PDF insert text Library: insert text into PDF content in C#.net
Parameters: Name, Description, Valid Value. value, The char wil be added into PDF page, 0
break apart a pdf; cannot select text in pdf
VB.NET TWAIN: Scanning Multiple Pages into PDF & TIFF File Using
those scanned individual image files need to be combined into one convenient multi-page document file, like PDF and TIFF. This VB.NET TWAIN pages scanning
break password on pdf; break pdf into single pages
150                                                                                                                     Surveying and Land Information Science
determined by differential leveling is the sum 
of the δv
i
. Therefore, because δv
i
≠ δH
B,i
and 
the orthometric height at B can be written as 
, it follows that ∑δv
i
≠ H
B
.
We now formalize the difference between dif-
ferential leveling and orthometric heights so as 
to clarify the role of gravity in heighting. In the 
bubble “gedanken experiment” in the second 
paper of this series (Meyer et al.  2005, pp. 11-
12), we argued that the force moving the bubble 
was the result of a change in water pressure over 
a finite change in depth. By analogy, we claimed 
that gravity force is the result of a change in 
gravity potential over a finite separation: 
(III.1)
where g is gravity force, W is geopotential and 
H is orthometric height. Simple calculus allows 
rearranging to give -δW = g δH. Recall that δv
i
and δH
B,i
are, by construction, across the same 
potential difference so -δW = g δv
i
= g’ δH
B,i
where g’ is gravity force at the plumb line. Now, 
δv
i
≠ δH
B,i
due to the non-parallelism of the 
equipotential surfaces but δW  is the same for 
both, so gravity must be different on the surface 
where the leveling took place than at the plumb 
line. This leads us to Heiskanen and Moritz 
(1967, p. 161, Equation (4-2)):
(III.2)
which indicates that differential leveling height 
differences differ from orthometric height dif-
ferences by the amount that surface gravity 
differs from gravity along the plumb line at 
that geopotential. An immediate consequence 
of this is that two different leveling lines starting 
and ending at the same station will, in general, 
provide different values for the height of final 
station. This is because the two lines will run 
through different topography and, consequently, 
geopotential surfaces with disparate separations. 
Uncorrected differential leveling heights are 
not single valued, meaning the result you get 
depends on the route you took to get there. 
In summary, heights derived from uncor-
rected differential leveling:
• Are readily observed by differential leveling;
• Are not single valued by failing to account for 
the variability in gravity;
• Will not, in theory, produce closed leveling 
circuits; and
• Do not define equipotential surfaces. Indeed, 
they do not define surfaces in the mathemati-
cal sense at all.
Orthometric Heights
According to Heiskanen and Moritz (1967, 
p. 172), “Orthometric heights are the natural 
‘heights above sea level,’ that is, heights above 
the geoid. They thus have an unequalled geo-
metrical and physical significance.” National 
Geodetic Survey (1986) defines orthometric 
height as, “The distance between the geoid 
and a point measured along the plumb line and 
taken positive upward from the geoid” (ibid.),  
with plumb line defined as, “A line perpendicu-
lar to all equipotential surfaces of the Earth’s 
gravity field that intersect with it” (ibid.). 
In one sense, orthometric heights are purely 
geometric: they are the length of a particu-
lar curve (a plumb line). However, that curve 
depends on gravity in two ways. First, the curve 
begins at the geoid. Second, plumb lines remain 
everywhere perpendicular to equipotential sur-
faces through which they pass, so the shape of 
the curve is determined by the orientation of the 
equipotential surfaces. Therefore, orthometric 
heights are closely related to gravity in addition 
to being a geometric quantity. 
How are orthometric heights related to geopo-
tential? Equation (III.1) gives that g = -δW/δH. 
Taking differentials instead of finite differences and 
rearranging them leads to dW = -g dH. Recall that 
geopotential numbers are the difference in poten-
tial between the geoid W
0
and a point of interest A, 
W
A
: C
A
= W
0
– W
A
, so:
(III.3)
in which it is understood that g is not a con-
stant. Equation (III.3) can be used to derive the 
desired relationship:
(III.4)
meaning that a geopotential number is equal to 
an orthometric height multiplied by the average 
acceleration of gravity along the plumb line. It 
was argued in the second paper that geopoten-
tial is single valued, meaning the potential of 
any particular place is independent of the path 
C# PDF Page Extract Library: copy, paste, cut PDF pages in C#.net
Ability to copy selected PDF pages and paste into another PDF file. C#.NET Sample Code: Extract PDF Pages and Save into a New PDF File in C#.NET.
pdf will no pages selected; pdf split pages in half
C# PDF File & Page Process Library SDK for C#.net, ASP.NET, MVC
VB.NET File: Merge PDF; VB.NET File: Split PDF; VB.NET Read: PDF Image Extract; VB.NET Write: Insert text into PDF; VB.NET Annotate: PDF Markup & Drawing. XDoc.Word
break a pdf into separate pages; cannot print pdf no pages selected
Vol. 66, No. 2                                                                                                                                                              151 
taken to arrive there. Consequently, orthometric 
heights are likewise single valued, being a scaled 
value of a geopotential number.
If orthometric heights are single valued, it is 
logical to inquire whether surfaces of constant 
orthometric height form equipotential surfaces. 
The answer to this is, unfortunately, no. Consider 
the geopotential numbers of two different places 
with the same orthometric height. If orthomet-
ric heights formed equipotential surfaces, then 
two places at the same orthometric height must 
be at the same potential. Under this hypothesis, 
Equation (III.4) requires that the average gravity 
along the plumb lines of these different places 
necessarily be equal. However, the acceleration 
of gravity depends on height, latitude, and the 
distribution of masses near enough to be of 
concern; it is constant in neither magnitude nor 
direction. There is no reason that the average 
gravity would be equal and, in fact, it typically is 
not. Therefore, two points of equal orthometric 
height need not have the same gravity poten-
tial energy, meaning that they need not be on 
the same equipotential surface and, therefore, 
not at the same height from the perspective of 
geopotential numbers. 
Consider Figure III.2, which is essentially a 
three-dimensional rendering of Figures II.9 and 
III.1, and which shows an imaginary mountain 
together with various equipotential surfaces. 
Panel (b) shows the mountain with just one 
gravity equipotential surface. Everywhere on 
gravity equipotential surface is the same grav-
ity potential, so water would not flow along the 
intersection of the equipotential surface with 
the topography without external influence. 
Nevertheless, the curve defined by the intersec-
tion of the gravity equipotential surface with the 
topography would not be drawn as a contour 
line on a topographic map because a contour 
line is defined to be, “An imaginary line on the 
ground, all points of which are at the same eleva-
tion above or below a specified reference surface” 
(National Geodetic Survey 1986). This runs con-
trary to conventional wisdom that would define 
a contour line as the intersection of a horizontal 
plane with the topography. In panels (c) and 
(d), one can see that the equipotential surfaces 
undulate. In particular, notice that the surfaces 
do not remain everywhere the same distance 
apart from each other and that they “pull up” 
through the mountains. Panel (d) shows mul-
tiple surfaces, each having less curvature than 
the one below it as a consequence of increasing 
distance from the Earth. 
Now consider Figure III.3, which is an enlarge-
ment of the foothill in the right side of panel 
III.2(c). Suppose that the equipotential surface 
containing A and D is the geoid. Then the 
orthometric height of station B is the distance 
along its plumb line to the surface containing A 
and D; the same for station C. Although neither 
B’s nor C’s plumb line is shown—both plumb 
lines are inside the mountain—one can see that 
the separation from B to the geoid is different 
than the separation from C to the geoid, even 
though B and C are on the same equipotential 
surface. Therefore, they have the same geopo-
tential number but have different orthometric 
heights. This illustrates why orthometric heights 
are single valued but do not create equipotential 
surfaces.
How are orthometric heights measured? 
Suppose an observed sequence of geometric 
height differences δv
i
has been summed together 
for the total change in geometric height along a 
section from station A to B, v
AB
= ∑δv
i
. Denote 
the change in orthometric height from A to B 
as H
AB
. Equation (III.4) requires knowing a 
geopotential number and the average accelera-
tion of gravity along the plumb line but neither 
of these are measurable. Fortunately, there is a 
relationship between leveling differences v and 
orthometric height differences H. A change in 
orthometric height equals a change in geomet-
ric height plus a correction factor known as 
the orthometric correction (for a derivation 
see Heiskanen and Moritz 1967, pp.167-168, 
Equations (4-31) and (4-33)):
H
AB 
=v
AB
+OC
AB                              
(III.5)
where OC
AB
is the orthometric correction and has 
the form of:
(III.6)
where g
i
is the observed force of gravity at the 
observation stations, 
are the average 
values of gravity along the plumb lines at A and 
B, respectively, and γ
0
is an arbitrary constant, 
which is often taken to be the value of normal 
gravity at 45º latitude. 
Although Equation (III.6) stipulates gravity be 
observed at every measuring station, Bomford 
(1980, p. 206) suggested that the observation sta-
tions need to be no closer than two to three km 
in level country but should be as close as 0.3 km 
in mountainous country. Others recommended 
observation station separations be 15 to 25 km 
in level country and 5 km in mountainous 
VB.NET PDF Page Extract Library: copy, paste, cut PDF pages in vb.
PDF file. Ability to copy PDF pages and paste into another PDF file. outputFilePath). VB.NET: Extract PDF Pages and Save into a New PDF File. You
split pdf into individual pages; pdf insert page break
C# PDF insert image Library: insert images into PDF in C#.net, ASP
Import graphic picture, digital photo, signature and logo into PDF document. Merge several images into PDF. Insert images into PDF form field.
break a pdf password; pdf split file
152                                                                                                                     Surveying and Land Information Science
country (Strang van Hees 1992; Kao et al. 2000; 
Hwang and Hsiao 2003). 
There is a fair amount of literature on practi-
cal applications of orthometric corrections, of 
which the following is a small sample: Forsberg 
(1984), Strang van Hees (1992), Kao et al. (2000), 
Allister and Featherstone (2001), Hwang (2002), 
Brunner (2002), Hwang and Hsiao (2003), and 
Tenzer et al. (2005). The work described in 
these reports was undertaken by institutions 
with the resources to field surveying crews with 
gravimeters. Although there has been progress 
made in developing portable gravimeters (Faller 
and Vitouchkine 2003), it remains impractical to 
make the required gravity measurements called 
for by Equation (III.6) for most surveyors. For 
first-order leveling, National Geodetic Survey 
(NGS) has used corrections that depend solely 
on the geodetic latitude and normal gravity at 
the observation stations, thus avoiding the need 
to measure gravity (National Geodetic Survey 
1981, pp. 5-26), although if leveling is used to 
determine geopotential numbers, such as in the 
NAVD 88 adjustment, orthometric corrections 
are not used. The Survey’s data sheets include 
modeled gravity at benchmarks, which provide 
a better estimate of gravity than normal gravity 
and are suitable for orthometric correction.
Although exact knowledge of 
is not possible 
at this time, its value can be estimated either 
(a)
(b)
(c)
(d)
Figure III.2. Four views of several geopotential surfaces around and through an imaginary mountain. (a) The mountain 
without any equipotential surfaces. (b) The mountain shown with just one equipotential surface for visual simplicity. 
The intersection of the surface and the ground is a line of constant gravity potential but not a contour line. (c) The moun-
tain shown with two equipotential surfaces. Note that the surfaces are not parallel and that they undulate through the 
terrain. (d) The mountain shown with many equipotential surfaces. The further the surface is away from the Earth, the 
less curvature it has. (Image credit: Ivan Ortega, Office of Communication and Information Technology, UConn College 
of Agriculture and Natural Resources).
Vol. 66, No. 2                                                                                                                                                              153 
using a free-air correction (Heiskanen and 
Moritz 1967, pp. 163-164), or by the reduction 
of Poincaré and Prey (ibid., p 165). The former 
depends on knowledge of normal gravity only 
by making assumptions regarding the mean 
curvature of the potential field outside the 
Earth. Orthometric heights that depend upon 
this strategy are called Helmert orthometric 
heights. The National Geodetic Survey pub-
lishes NAVD 88 Helmert orthometric heights. 
The Poincaré and Prey reduction, which requires 
a remove–reduce–restore operation, is more 
complicated and only improves the estimate 
slightly (ibid., pp. 163-165).
In summary, orthometric heights:
• Constitute the embodiment of the concept of 
“height above sea level;”
• Are single valued by virtue of their relation-
ship with geopotential numbers and, conse-
quently, will produce closed leveling circuits, 
in theory;
• Do not define equipotential surfaces due to 
the variable nature of the force of gravity. 
This could, in principle, lead to the infamous 
situation of water apparently “flowing uphill.” 
Although possible, this situation would require 
a steep gravity gradient in a location with rela-
tively little topographic relief. This can occur 
in places where subterranean features substan-
tially affect the local gravity field but have no 
expression on the Earth’s surface; and
• Are not directly measurable 
from their definition. Orthometric 
heights can be determined by 
observing differential leveling-
derived geometric height dif-
ferences to which are applied a 
small correction, the orthometric 
correction. The orthometric cor-
rection requires surface gravity 
observations and an approxima-
tion of the average acceleration of 
gravity along the plumb line.
Ellipsoid Heights and 
Geoid Heights
Ellipsoid heights are the straight-
line distances normal to a refer-
ence ellipsoid produced away 
from (or into) the ellipsoid to 
the point of interest. Before GPS 
it was practically impossible for 
anyone outside the geodetic com-
munity to determine an ellipsoid 
height. Now, GPS receivers pro-
duce three-dimensional baselines (Meyer 2002) 
resulting in determinations of geodetic latitude, 
longitude, and ellipsoid height. As a result, ellip-
soid heights are now commonplace.
Ellipsoid heights are almost never suitable 
surrogates for orthometric heights (Meyer et al.  
2004, pp. 226-227) because equipotential ellip-
soids are not, in general, suitable surrogates for 
the geoid (although see Kumar 2005). Consider 
that nowhere in the conterminous United States 
is the geoid closer to a GRS 80-shaped ellipsoid 
centered at the ITRF origin than about two 
meters. Confusing an ellipsoid height with an 
orthometric height could not result in a blunder 
less than two meters but would typically be far 
worse, even disastrous. For example, reporting 
the height of an obstruction in the approach 
to an airport runway at New York City using 
ellipsoid heights instead of orthometric heights 
would apparently lower the reported height by 
around 30 m, with a possible result of causing a 
pilot to mistakenly believe the aircraft had 30 m 
more clearance than what is real.
Ellipsoid heights have no relationship to 
gravity; they are purely geometric. It is remark-
able, then, that ellipsoid heights have a simple 
(approximate) relationship to orthometric 
heights, namely:
(III.7)
Figure III.3. B and C are on the same equipotential surface but are at 
difference distances from the geoid at A-D. Therefore, they have different 
orthometric heights. Nonetheless, a closed leveling circuit with orthometric 
corrections around these points would theoretically close exactly on the 
starting height, although leveling alone would not.
154                                                                                                                     Surveying and Land Information Science
where H is orthometric height, h is ellipsoid 
height, and N is the ellipsoid height of the geoid 
itself, a geoid height or geoid undulation.
This relationship is not exact because it ignores 
the deflection of the vertical. Nevertheless, it 
is close enough for most practical purposes. 
According to Equation (III.7), ellipsoid heights 
can be used to determine orthometric heights 
if the geoid height is known. As discussed in 
the previous paper, geoid models are used to 
estimate N, thus enabling the possibility of 
determining orthometric heights with GPS 
(Meyer et al. 2005, p.12). We will explore these 
relationships in some detail in the last paper in 
the series on GPS heighting. 
In summary, ellipsoid heights:
• Are single valued (because a normal gravity 
potential field satisfies Laplace’s equation and 
is, therefore, convex);
• Do not use the geoid or any other physical 
gravity equipotential surface as their datum;
• Do not define equipotential surfaces; and
• Are readily determined using GPS.
Geopotential Numbers
and Dynamic Heights
Geopotential numbers C are defined from 
Equation (II.6) (c.f. Heiskanen and Moritz 1967, 
p. 162, Equation (4-8)) which gives the change in 
gravity potential energy between a point on the 
geoid and another point of interest. The geopo-
tential number for any place is the potential of 
the geoid W
0
minus the potential of that place 
W (recall the potential decreases with distance 
away from the Earth, so this difference is a posi-
tive number). Geopotential numbers are given 
in geopotential units (g.p.u.), where 1 g.p.u. = 
1 kgal-meter = 1000 gal meter (Heiskanen and 
Moritz 1967, p. 162). If gravity is assumed to be 
a constant 0.98 kgal, a geopotential number is 
approximately equal to 0.98 H, so geopotential 
numbers in g.p.u. are nearly equal to orthomet-
ric heights in meters. However, geopotential 
numbers have units of energy, not length, and 
are therefore an “unnatural” measure of height.
It is possible to scale geopotential numbers by 
dividing by a gravity value, which will change 
their units from kgal-meter to meter. Doing so 
results in a dynamic height:
(III.8)
One reasonable choice for γ
0
is the value of 
normal gravity (Equation (I.2)) at some latitude, 
conventionally taken to be 45 degrees.  Obviously, 
scaling geopotential numbers by a constant does 
not change their fundamental properties, so 
dynamic heights, like geopotential numbers, are 
single valued, produce equipotential surfaces, 
and form closed leveling circuits. They are not, 
however, geometric like an orthometric height: 
two different places on the same equipotential 
surface have the same dynamic height but gen-
erally do not have the same orthometric height. 
Thus, dynamics heights are not “distances from 
the geoid.”
Measuring dynamic heights is accomplished 
in a manner similar to that for orthometric 
heights: geometric height differences observed 
by differential leveling are added to a correction 
term that accounts for gravity thus: 
(III.9)
where v
AB
is the total measured geometric 
height difference derived by differential level-
ing and DC
AB
is the dynamic correction. The 
dynamic correction from station A to B is 
given by Heiskanen and Moritz (1967, p. 163, 
Equation (4-11)) as:
(III.10)
where g
i
is the (variable) force of gravity at each 
leveling observation station, 
and 
the δv
i
are the observed changes in geometric 
height along each section of the leveling line. 
However, DC typically takes a large value for 
inland leveling conducted far from the defin-
ing latitude. For example, suppose a surveyor 
in Albuquerque, New Mexico (at a latitude of 
around 35 N), begins a level line at the Route 
66 bridge over the downtown railroad tracks at 
an elevation of, say, 1510 m, and runs levels to 
the Four Hills subdivision at an elevation of, say, 
1720 m, a change in elevation of 210 m.
From Equation (III.10), DC = 
.So 
taking 
gal and 
gal, then 
-0.189775 m, a correction of roughly two parts 
in one thousand. 
This is a huge correction compared to any 
other correction applied in first-order leveling, 
with no obvious physical interpretation such as 
the refraction caused by the atmosphere. It is 
unlikely that surveyors would embrace a height 
system that imposed such large corrections that 
would often affect even lower-accuracy work. 
Nonetheless, dynamics heights are of practical 
use wherever water levels are needed, such as 
Vol. 66, No. 2                                                                                                                                                              155 
at the Great Lakes and also along ocean shores, 
even if they are used far from the latitude 
of the normal gravity constant. The geoid is 
thought to be not more than a couple meters 
from the ocean surface and, therefore, shores 
will have geopotential near to that of the geoid. 
Consequently, shores have dynamic heights 
near to zero regardless of their distance from 
the defining latitude. Even so, for inland survey-
ing, DC can have a large value, on the order of 
several meters at the equator.  
The dynamics heights in the International 
Great Lakes Datum of 1985 are established by the 
“Vertical Control–Water Levels” Subcommittee 
under the Coordinating Committee on Great 
Lakes Basic Hydraulics and Hydrology Data 
(CCGLBHHD).
In summary, dynamic heights:
• Are a scaling of geopotential numbers by a 
constant to endow them with units of length;
• Are not geometric distances;
• Are single valued by virtue of their relationship 
with geopotential numbers and, consequently, 
will produce closed-circuits, in theory;
• Define equipotential surfaces; and
• Are not measurable directly from their defi-
nition. Dynamic heights can be determined 
by observing differential leveling-derived 
geometric height differences to which are 
applied a correction, the dynamic correction
The dynamic correction requires surface grav-
ity observations and can be on the order of 
meters in places far from the latitude at which 
γ
0
was defined.
Normal Heights
Of heights defined by geopotential (orthometric 
and dynamic) Heiskanen and Moritz (1967, p. 
287) write:
The advantage of this approach is that 
the geoid is a level surface, capable of 
simple definition in terms of the physically 
meaningful and geodetically important 
potential W. The geoid represents the 
most obvious mathematical formulation of 
a horizontal surface at mean sea level. This 
is why the use of the geoid simplifies geo-
detic problems and makes them accessible 
to geometrical intuition.
The disadvantage is that the potential W 
inside the earth, and hence the geoid W = 
const., depends on [a detailed knowledge 
of the density of the Earth]…Therefore, 
in order to determine or to use the geoid, 
the density of the masses at every point 
between the geoid and the ground must be 
known, at least theoretically. This is clearly 
impossible, and therefore some assump-
tions concerning the density must be made, 
which is unsatisfactory theoretically, even 
though the practical influence of these 
assumptions is usually very small.
These issues led Molodensky in 1945 to for-
mulate a new type of height, a normal height, 
which supposed that the Earth’s gravity field 
was normal, meaning the actual gravity poten-
tial equals normal gravity potential (Molodensky 
1945). The result of this postulate allowed that 
the “physical surface of the Earth can be deter-
mined from geodetic measurements alone, 
without using the density of the Earth’s crust” 
(Heiskanen and Moritz 1967, p. 288). This 
conceptualization of heights allowed a fully rig-
orous method to be formulated for their deter-
mination, a method without assumptions. The 
price, however, was that “This requires that the 
concept of the geoid be abandoned. The math-
ematical formulation becomes more abstract 
and more difficult” (ibid.). Normal heights are 
defined by:
(III.11)
and
(III.12)
where H* is normal height and γ is normal grav-
ity. These formulae have identical forms to those 
for orthometric height (c.f. Equations (III.3) 
and (III.4)), but their meaning is completely dif-
ferent. First, the zero used as the lower integral 
bound is not the geoid; it is a reference ellipsoid. 
Consequently, normal heights depend upon the 
choice of reference ellipsoid and datum. Second, 
normal gravity is an analytical function, so its 
average may be computed in closed form; no 
gravity observations are required. Third, from 
its definition one finds that a normal height H* 
is that ellipsoid height where the normal gravity 
potential equals the actual geopotential of the 
point of interest. Regarding this, Heiskanen 
and Moritz (1967, p. 170) commented, “…but 
since the potential of the Earth is evidently not 
normal, what does all this mean?”
Like orthometric and dynamic heights, 
normal heights can be determined from geo-
metrical height differences observed by differ-
ential leveling and applying a correction. The 
correction term has the same structure as that 
for orthometric correction, namely:
156                                                                                                                     Surveying and Land Information Science
(III.13)
with 
being the average normal gravity from A 
to B and other terms defined as Equation (III.6). 
Normal corrections also depend upon gravity 
observations g
but do not require assumptions 
regarding average gravity within the Earth. 
Therefore, they are rigorous; all the neces-
sarily quantities can be calculated or directly 
observed. Like orthometric heights, they do not 
form equipotential surfaces (because of normal 
gravity’s dependence on latitude; recall that 
dynamic heights scale geopotential simply by 
a constant, whereas orthometric and normal 
heights’ scale factors vary with location). Like 
orthometric heights, normal heights are single 
valued and give rise to closed leveling circuits. 
Geometrically, they represent the distance from 
the ellipsoid up to a surface known as the tellu-
roid (see Heiskanen and Moritz 1967 for further 
discussion).
In summary, normal heights:
• Are geometric distances, being ellipsoid 
heights, but not to the point of interest;
•  Are single valued and, consequently, produce 
closed-circuits, in theory;
•   Do not define equipotential surfaces; and
•  Are not measurable directly from their defi-
nition. Normal heights can be determined 
by observing differential leveling-derived 
geometric height differences to which are 
applied a correction, the normal correction
The normal correction requires surface grav-
ity observations only and, therefore, can be 
determined without approximations.
Height Systems
The term “height system” refers to a mecha-
nism by which height values can be assigned to 
places of interest. In consideration of what crite-
ria a height system must satisfy, Hipkin (2002b) 
suggested two necessary conditions:
(i. Hipkin)   Height must be single valued.
(ii.Hipkin)   A surface of constant height must 
also be a level (equipotential) surface.
Heiskanen and Moritz (1967, p. 173) held two 
different criteria, namely:
(i.H&M) Misclosures must be eliminated.
(ii.H&M) Corrections to the measured 
heights must be as small as possible.
The first two criteria (i.Hipkin and i.H&M) 
are equivalent: if heights are single valued, then 
leveling circuits will be closed, and vice versa. 
The second two criteria form the basis of two 
different philosophies about what is considered 
important for heights. Requiring that a surface 
of constant height be equipotential requires that 
the heights be a scaled geopotential number 
and excludes orthometric and normal heights. 
Conversely, requiring the measurement cor-
rections to be as small as possible precludes 
the former, at least from a global point of view, 
because dynamic height scale factors are large 
far from the latitude of definition. No height 
meets all these criteria. This has given rise to 
the use of (Helmert) orthometric heights in the 
United States, dynamic heights in Canada, and 
normal heights in Europe (Ihde and Augath 
2000). Table III.1. provides a comparison of 
these height systems.
NAVD 88 and IGLD 85
Neither NAVD 88 nor IGLD 85 attempts to 
define the geoid or to realize some level surface 
which was thought to be the geoid. Instead, they 
are based upon a level surface that exists near 
the geoid but at some small, unknown distance 
from it. This level surface is situated such that 
shore locations with a height of zero in this ref-
erence frame will generally be near the surface 
of the ocean. IGLD 85 had a design goal that its 
heights be referenced to the water level gauge at 
the mouth of the St. Lawrence River. NAVD 88 
had a design goal that it minimize recompila-
tion of the USGS topographic map series, which 
was referred to NGVD 29. The station at Father 
Point/Rimouski met both requirements. NAVD 
88 was realized using Helmert orthometric 
heights, whereas IGLD 85 employs dynamic 
heights. Quoting from IGLD 85 (1995): 
Two systems, orthometric and dynamic 
heights, are relevant to the establishment 
of IGLD (1985) and NAVD (1988). The 
geopotential numbers for individual bench 
marks are the same in both height systems. 
The requirement in the Great Lakes basin 
to provide an accurate measurement of 
potential hydraulic head is the primary 
reason for adopting dynamic heights. It 
should be noted that dynamic heights 
are basically geopotential numbers scaled 
by a constant of 980.6199 gals, normal 
gravity at sea level at 45 degrees latitude. 
Documents you may be interested
Documents you may be interested