﻿

asp. net mvc pdf viewer : Split pdf into individual pages Library software API .net winforms wpf sharepoint nr_acsm_usa6-part337

Vol. 66, No. 2                                                                                                                                                           147
the figure. Notice how they bulge up over the
mountain. This is true in general: the equipotential
surfaces roughly follow the topographic shape of
the Earth in that they bow up over mountains and
dip down into valleys. Also, any one of the geopo-
tential lines shown in Figure II.9 can be thought of
as representing the surface of the ocean above an
underwater seamount. Water piles up over the top
of subsurface topography to exactly the degree that
the mass of the additional water exactly balances
the excess of gravity caused by the seamount. Thus,
one can indirectly observe seafloor topography by
measuring the departure of the ocean’s surface
from nominal gravity (Hall 1992). The geoid, of
course, surrounds the Earth, and Figure II.10
shows the ellipsoid height of the geoid with respect
to NAD 83 over the conterminous United States as
modeled by GEOID03 (Roman et al.  2004). At first
glance, one could mistake the image for a topo-
graphic map. However, closer examination reveals
numerous differences.
Geopotential Numbers
The geoid is usually considered the proper
surface from which to reckon geodetic
heights because it honors the flow of water
and nominally resides at mean sea level. Sea
level, itself, does not exactly match the geoid
because of the various physical factors men-
tioned before. Therefore, actually finding
the geoid in order to realize a usable vertical
datum is currently not possible from mean
sea level measurements. Ideally, one would
measure potential directly in some fashion
analogous to measuring gravity acceleration
directly. If this were possible, the resulting
number would be a geopotential number. In
other words, a geopotential number is the
potential of the Earth’s gravity field at any point
in space. Using geopotential numbers as heights is
appealing for several reasons:
• Geopotential defines hydraulic head. Therefore,
if two points are at the same geopotential
number, water will not flow between them due to
gravity alone. Conversely, if two points are not at
the same geopotential number, gravity will cause
the water to flow between them if the waterway is
unobstructed (ignoring friction).
• Geopotential decreases linearly with distance
from the center of the Earth (Equation (II.10)).
This makes it a natural measure of distance.
• Geopotential does not depend on the path taken
from the Earth’s center to the point of interest.
This makes a geopotential number stable.
• The magnitude of a geopotential number is less
important than the relative values between two
places. Therefore, one can scale geopotential
numbers to any desirable values, such as defining
the geoid to have a geopotential number of zero.
Equation (II.11) gives hope of determining height
by measuring a gravity-related quantity, namely,
absolute potential. Regrettably, potential cannot be
measured directly. This is understandable because
the manifestation of potential (the force of gravity)
is created by potential differences, not in the poten-
tial itself. That is, two pairs of potential energies,
say (150, 140) and (1000, 990) result in a force
of the same magnitude. This is true because the
difference of the two pairs is the same, namely,
10 newtons. In light of this, one might ask how
images of the geoid, such as Figure (II.10), came
into being. The image in Figure (II.10) is the
result of a sophisticated mathematical model
based on Stokes’ formula, which we take from
Heiskanen and Moritz’ (1967, p. 94) equation
2-163b, and present here for completeness:
Figure II.9. The gravity force vectors and isopotential lines cre-
ated at the Earth’s surface by a point with mass roughly equal to
that of Mt. Everest. The single heavy line is a plumb line.
Figure II.10. GEOID03 local geoid model for the conter-
minous United States. From Roman et. al (2004).
Split pdf into individual pages - Split, seperate PDF into multiple files in C#.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
Explain How to Split PDF Document in Visual C#.NET Application
break pdf file into parts; add page break to pdf
Split pdf into individual pages - VB.NET PDF File Split Library: Split, seperate PDF into multiple files in vb.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
VB.NET PDF Document Splitter Control to Disassemble PDF Document
break pdf; pdf file specification
where:
N = geoid height at a point of interest;
R = mean radius of the Earth;
G = the universal gravitational constant;
σ = the surface of the Earth;
∆g= the reduced, observed gravity measure-
ments around the Earth;
ψ  = the spherical distance from each surface
element dσ to the point of interest, and
S(ψ), which is known as Stokes’ function, given
by Heiskanen and Moritz’ (1967, p. 94) equa-
tion 2-164:
The model is calibrated with, and has bound-
ary conditions provided by, reduced gravity
measurements taken in the field—the g’s in
Equation (II.12). These measurements together
with Stokes’ formula permit the deduction of the
potential field that must have given rise to the
observed gravity measurements.
In summary, in spite of their natural suit-
ability, geopotential numbers are not practical
to use as heights because practicing surveyors
cannot easily measure them in the field. They
are, however, the essence of what the word height
really means, and subsequent papers in this
series will come to grips with how orthometric
and ellipsoid heights are related to geopoten-
tial numbers by introducing Helmert orthometric
heights and dynamic heights.
Summary
This second paper in a four-part series that
reviews the fundamental concept of height pre-
sented simple derivations of the physics con-
cepts needed to understand the force of gravity,
since mean sea level and the Earth’s gravity field are
strongly interrelated. It was shown that one cannot
use the magnitude of the force of gravity to define
a vertical datum because equiforce surfaces are not
level surfaces. However, it was observed that gravity
potential gives rise to gravity force and, further-
more, gravity force is normal to equipotential sur-
faces. The practical consequence of this is that water
will not flow along an equipotential surface due to
the force of gravity alone. Therefore, equipotential
surfaces are level surfaces and suitable to define
a vertical datum. In particular, although there is
an infinite number of equipotential surfaces, the
geoid is often chosen to be the equipotential sur-
face of the Earth’s gravity field that best fits mean
sea level in a least squares sense, and the geoid has
thus become the fundamental vertical datum for
mapping. It was shown that mean sea level itself is
not a level surface, therefore, one cannot deduce
the location of the geoid by measuring the location
of mean sea level alone. Furthermore, one cannot
measure gravity potential directly. Therefore, we
model the geoid mathematically, based on gravity
observations.
A geopotential number was defined to be a
number proportional to the gravity potential at
that place. Geopotential numbers capture the
notion of height exactly because they vary linearly
with vertical distance and define level surfaces.
However, they are usually unsuitable for use as
distances themselves because they cannot be mea-
sured directly and have units of energy rather than
length.
REFERENCES
Blakely, R.J. 1995. Potential theory in gravity and magnetic
applications. Cambridge, U.K.: Cambridge University
Press. 441p.
Bomford, G. 1980. Geodesy, 4th ed. Oxford, U.K.:
Clarendon Press. 561p.
Davis, H.F., and A. D. Snider. 1979. Introduction to vector
analysis.  Boston, Massachusetts:  Allyn and Bacon, Inc.
340p.
Faller, J.E., and A. L. Vitouchkine. 2003. Prospects
for a truly portable absolute gravimeter. Journal of
Geodynamics 35(4-5): 567-72.
Groten, E. 2004. Fundamental parameters and current
(2004) best estimates of the parameters of common
relevance to astronomy, geodesy, and geodynamics.
Journal of Geodesy 77(10-11): 724-97.
Hall, S.S. 1992.  Mapping the next millennium.  New York,
New York:  Random House. 477p.
Heiskanen, W.A., and H. Moritz. 1967. Physical geodesy.
New York, New York: W. H. Freeman & Co. 364p.
Kellogg, O.D. 1953. Foundations of potential theory. New
York, New York:  Dover Publications. 384p.
Marsden, J.E., and A. J. Tromba. 1988. Vector calculus,
3rd ed. New York, New York: W.H. Freeman and
Company. 655p.
Meyer, T. H. 2002. Grid, ground, and globe: Distances in
the GPS era.  Surveying and Land Information Science
62(3): 179-202.
National Geodetic Survey. 1986. Geodetic glos-
sary. Rockville, Maryland: National Oceanic and
Ramsey, A.S. 1981. Newtonian attraction.  Cambridge,
U.K.:  Cambridge University Press. 184p.
Roman, D. R., Y. M. Wang, W. Henning, and J.
Hamilton. 2004. Assessment of the new National
Geoid Height Model, GEOID03. Presented at the
2004 Conference of the American Congress on
Surveying and Mapping, Nashville, Tennessee.
Schey, H.M. 1992. Div, grad, curl and all that: An infor-
mal text on vector calculus. New York, New York: W.W.
Norton & Company. 164p.
Shalowitz, A.L. 1938. The geographic datums of the
Coast and Geodetic Survey.  US Coast and Geodetic
Survey Field Engineers Bulletin 12: 10-31.
Torge, W. 1997. Geodesy, 2nd ed. New York, New York:
Walter du Gruyter. 264p.
Vanicek, P., and E. J. Krakiwsky. 1996. Geodesy: The
concepts, 2nd ed. Amsterdam, Holland: Elsevier
Scientific Publishing Company. 697p.
(II.12)
C# PDF Page Insert Library: insert pages into PDF file in C#.net
the ability to inserting a new PDF page into existing PDF PDF page using C# .NET, how to reorganize PDF document pages and how to split PDF document in
break a pdf into parts; break pdf into smaller files
VB.NET PDF Page Insert Library: insert pages into PDF file in vb.
Able to add and insert one or multiple pages to existing adobe PDF document in VB.NET. DLLs for Adding Page into PDF Document in VB.NET Class.
cannot print pdf file no pages selected; split pdf files
Surveying and Land Information Science, Vol. 66, No. 2, 2006, pp. 149-160
What Does Height Really Mean?
Part III: Height Systems
Thomas H. Meyer, Daniel R. Roman,
and David B. Zilkoski
ABSTRACT: This is the third paper in a four-part series considering the fundamental question, “what
does the word “height” really mean?” The first paper reviewed reference ellipsoids and mean sea level
datums. The second paper reviewed the physics of heights culminating in a simple development of the
geoid and explained why mean sea level stations are not all at the same orthometric height. This third
paper develops the principle notions of height, namely measured, differentially deduced changes in
elevation, orthometric heights, Helmert orthometric heights, normal orthometric heights, dynamic
heights, and geopotential numbers. We conclude with a more in-depth discussion of current thoughts
regarding the geoid.
Introduction
T
here are two general visions of what
the word “height” means—a geometric
separation versus hydraulic head. For
Earth mensuration, these visions are not the
same thing, and this discrepancy has lead to
many formulations of different types of heights.
In broad strokes there are orthometric heights,
purely geometric heights, and heights that
are neither. None of these are inferior to the
others in all respects. They all have strengths
and weaknesses, so to speak, and this has given
rise to a number of competing height systems.
We begin by introducing these types of heights,
then examine the height systems in which they
are measured, and conclude with some remarks
concerning the geoid.
Heights
Uncorrected Differential Leveling
Leveling is a process by which the geometric
height difference along the vertical is trans-
ferred from a reference station to a forward
station. Suppose a leveling line connects two
stations A and B as depicted in Figure III.1 (c.f.
Heiskanen and Moritz 1967, p. 161). If the
two stations are far enough apart, the leveling
section will contain several turning points, the
vertical geometric separation between which we
denote as δv
i
. Any two turning points are at two
particular geopotential numbers, the difference
of which is the potential gravity energy available
to move water between them; hydraulic head.
We also consider the vertical geometric separa-
tion of those two equipotential surfaces along
the plumb line for B, δH
B,i
We will now argue that differential leveling
does not, in general, produce orthometric
heights. Figure III.1 depicts two stations A and B,
indicated by open circles, with geopotential num-
bers C
A
and C
B
, and at orthometric heights H
A
and
H
B
, respectively. The geopotential surfaces, shown
in cross section as lines, are not parallel; they con-
verge towards the right. Therefore, it follows that
δv
i
≠ δH
B,i
. The height difference from A to B as
Thomas H. Meyer, Department of Natural Resources
Management and Engineering, University of ConnecticutStorrs,
CT 06269-4087. Tel: (860) 486-2840; Fax: (860) 486-5408.
E-mail: <thomas.meyer@uconn.edu>. Daniel R. Roman,
National Geodetic Survey, 1315 East-West Highway, Silver
Springs, MD 20910. E-mail:<Dan.Roman@noaa.gov>.
David B. Zilkoski, National Geodetic Survey, 1315 East-West
Highway, Silver Springs, MD 20910. E-mail: <Dave.Zilkoski@
noaa.gov>.
Figure III.1. A comparison of differential leveling height
differences δv
i
with orthometric height differences δH
B,i
The height determined by leveling is the sum of the δv
whereas the orthometric height is the sum of the δH
B,i
These two are not the same due to the non-parallelism of
the equipotential surfaces whose geopotential numbers
are denoted by C.
Basic Surveying Concepts
C# PDF insert text Library: insert text into PDF content in C#.net
Parameters: Name, Description, Valid Value. value, The char wil be added into PDF page, 0
break apart a pdf; cannot select text in pdf
VB.NET TWAIN: Scanning Multiple Pages into PDF & TIFF File Using
those scanned individual image files need to be combined into one convenient multi-page document file, like PDF and TIFF. This VB.NET TWAIN pages scanning
break password on pdf; break pdf into single pages
150                                                                                                                     Surveying and Land Information Science
determined by differential leveling is the sum
of the δv
i
. Therefore, because δv
i
≠ δH
B,i
and
the orthometric height at B can be written as
, it follows that ∑δv
i
≠ H
B
.
We now formalize the difference between dif-
ferential leveling and orthometric heights so as
to clarify the role of gravity in heighting. In the
bubble “gedanken experiment” in the second
paper of this series (Meyer et al.  2005, pp. 11-
12), we argued that the force moving the bubble
was the result of a change in water pressure over
a finite change in depth. By analogy, we claimed
that gravity force is the result of a change in
gravity potential over a finite separation:
(III.1)
where g is gravity force, W is geopotential and
H is orthometric height. Simple calculus allows
rearranging to give -δW = g δH. Recall that δv
i
and δH
B,i
are, by construction, across the same
potential difference so -δW = g δv
i
= g’ δH
B,i
where g’ is gravity force at the plumb line. Now,
δv
i
≠ δH
B,i
due to the non-parallelism of the
equipotential surfaces but δW  is the same for
both, so gravity must be different on the surface
where the leveling took place than at the plumb
line. This leads us to Heiskanen and Moritz
(1967, p. 161, Equation (4-2)):
(III.2)
which indicates that differential leveling height
differences differ from orthometric height dif-
ferences by the amount that surface gravity
differs from gravity along the plumb line at
that geopotential. An immediate consequence
of this is that two different leveling lines starting
and ending at the same station will, in general,
provide different values for the height of final
station. This is because the two lines will run
through different topography and, consequently,
geopotential surfaces with disparate separations.
Uncorrected differential leveling heights are
not single valued, meaning the result you get
depends on the route you took to get there.
In summary, heights derived from uncor-
rected differential leveling:
• Are readily observed by differential leveling;
• Are not single valued by failing to account for
the variability in gravity;
• Will not, in theory, produce closed leveling
circuits; and
• Do not define equipotential surfaces. Indeed,
they do not define surfaces in the mathemati-
cal sense at all.
Orthometric Heights
According to Heiskanen and Moritz (1967,
p. 172), “Orthometric heights are the natural
‘heights above sea level,’ that is, heights above
the geoid. They thus have an unequalled geo-
metrical and physical significance.” National
Geodetic Survey (1986) defines orthometric
height as, “The distance between the geoid
and a point measured along the plumb line and
taken positive upward from the geoid” (ibid.),
with plumb line defined as, “A line perpendicu-
lar to all equipotential surfaces of the Earth’s
gravity field that intersect with it” (ibid.).
In one sense, orthometric heights are purely
geometric: they are the length of a particu-
lar curve (a plumb line). However, that curve
depends on gravity in two ways. First, the curve
begins at the geoid. Second, plumb lines remain
everywhere perpendicular to equipotential sur-
faces through which they pass, so the shape of
the curve is determined by the orientation of the
equipotential surfaces. Therefore, orthometric
heights are closely related to gravity in addition
to being a geometric quantity.
How are orthometric heights related to geopo-
tential? Equation (III.1) gives that g = -δW/δH.
Taking differentials instead of finite differences and
rearranging them leads to dW = -g dH. Recall that
geopotential numbers are the difference in poten-
tial between the geoid W
0
and a point of interest A,
W
A
: C
A
= W
0
– W
A
, so:
(III.3)
in which it is understood that g is not a con-
stant. Equation (III.3) can be used to derive the
desired relationship:
(III.4)
meaning that a geopotential number is equal to
an orthometric height multiplied by the average
acceleration of gravity along the plumb line. It
was argued in the second paper that geopoten-
tial is single valued, meaning the potential of
any particular place is independent of the path
C# PDF Page Extract Library: copy, paste, cut PDF pages in C#.net
Ability to copy selected PDF pages and paste into another PDF file. C#.NET Sample Code: Extract PDF Pages and Save into a New PDF File in C#.NET.
pdf will no pages selected; pdf split pages in half
C# PDF File & Page Process Library SDK for C#.net, ASP.NET, MVC
VB.NET File: Merge PDF; VB.NET File: Split PDF; VB.NET Read: PDF Image Extract; VB.NET Write: Insert text into PDF; VB.NET Annotate: PDF Markup & Drawing. XDoc.Word
break a pdf into separate pages; cannot print pdf no pages selected
Vol. 66, No. 2                                                                                                                                                              151
taken to arrive there. Consequently, orthometric
heights are likewise single valued, being a scaled
value of a geopotential number.
If orthometric heights are single valued, it is
logical to inquire whether surfaces of constant
orthometric height form equipotential surfaces.
The answer to this is, unfortunately, no. Consider
the geopotential numbers of two different places
with the same orthometric height. If orthomet-
ric heights formed equipotential surfaces, then
two places at the same orthometric height must
be at the same potential. Under this hypothesis,
Equation (III.4) requires that the average gravity
along the plumb lines of these different places
necessarily be equal. However, the acceleration
of gravity depends on height, latitude, and the
distribution of masses near enough to be of
concern; it is constant in neither magnitude nor
direction. There is no reason that the average
gravity would be equal and, in fact, it typically is
not. Therefore, two points of equal orthometric
height need not have the same gravity poten-
tial energy, meaning that they need not be on
the same equipotential surface and, therefore,
not at the same height from the perspective of
geopotential numbers.
Consider Figure III.2, which is essentially a
three-dimensional rendering of Figures II.9 and
III.1, and which shows an imaginary mountain
together with various equipotential surfaces.
Panel (b) shows the mountain with just one
gravity equipotential surface. Everywhere on
gravity equipotential surface is the same grav-
ity potential, so water would not flow along the
intersection of the equipotential surface with
the topography without external influence.
Nevertheless, the curve defined by the intersec-
tion of the gravity equipotential surface with the
topography would not be drawn as a contour
line on a topographic map because a contour
line is defined to be, “An imaginary line on the
ground, all points of which are at the same eleva-
tion above or below a specified reference surface”
(National Geodetic Survey 1986). This runs con-
trary to conventional wisdom that would define
a contour line as the intersection of a horizontal
plane with the topography. In panels (c) and
(d), one can see that the equipotential surfaces
undulate. In particular, notice that the surfaces
do not remain everywhere the same distance
apart from each other and that they “pull up”
through the mountains. Panel (d) shows mul-
tiple surfaces, each having less curvature than
the one below it as a consequence of increasing
distance from the Earth.
Now consider Figure III.3, which is an enlarge-
ment of the foothill in the right side of panel
III.2(c). Suppose that the equipotential surface
containing A and D is the geoid. Then the
orthometric height of station B is the distance
along its plumb line to the surface containing A
and D; the same for station C. Although neither
B’s nor C’s plumb line is shown—both plumb
lines are inside the mountain—one can see that
the separation from B to the geoid is different
than the separation from C to the geoid, even
though B and C are on the same equipotential
surface. Therefore, they have the same geopo-
tential number but have different orthometric
heights. This illustrates why orthometric heights
are single valued but do not create equipotential
surfaces.
How are orthometric heights measured?
Suppose an observed sequence of geometric
height differences δv
i
has been summed together
for the total change in geometric height along a
section from station A to B, v
AB
= ∑δv
i
. Denote
the change in orthometric height from A to B
as H
AB
. Equation (III.4) requires knowing a
geopotential number and the average accelera-
tion of gravity along the plumb line but neither
of these are measurable. Fortunately, there is a
relationship between leveling differences v and
orthometric height differences H. A change in
orthometric height equals a change in geomet-
ric height plus a correction factor known as
the orthometric correction (for a derivation
see Heiskanen and Moritz 1967, pp.167-168,
Equations (4-31) and (4-33)):
H
AB
=v
AB
+OC
AB
(III.5)
where OC
AB
is the orthometric correction and has
the form of:
(III.6)
where g
i
is the observed force of gravity at the
observation stations,
are the average
values of gravity along the plumb lines at A and
B, respectively, and γ
0
is an arbitrary constant,
which is often taken to be the value of normal
gravity at 45º latitude.
Although Equation (III.6) stipulates gravity be
observed at every measuring station, Bomford
(1980, p. 206) suggested that the observation sta-
tions need to be no closer than two to three km
in level country but should be as close as 0.3 km
in mountainous country. Others recommended
observation station separations be 15 to 25 km
in level country and 5 km in mountainous
VB.NET PDF Page Extract Library: copy, paste, cut PDF pages in vb.
PDF file. Ability to copy PDF pages and paste into another PDF file. outputFilePath). VB.NET: Extract PDF Pages and Save into a New PDF File. You
split pdf into individual pages; pdf insert page break
C# PDF insert image Library: insert images into PDF in C#.net, ASP
Import graphic picture, digital photo, signature and logo into PDF document. Merge several images into PDF. Insert images into PDF form field.
break a pdf password; pdf split file
152                                                                                                                     Surveying and Land Information Science
country (Strang van Hees 1992; Kao et al. 2000;
Hwang and Hsiao 2003).
There is a fair amount of literature on practi-
cal applications of orthometric corrections, of
which the following is a small sample: Forsberg
(1984), Strang van Hees (1992), Kao et al. (2000),
Allister and Featherstone (2001), Hwang (2002),
Brunner (2002), Hwang and Hsiao (2003), and
Tenzer et al. (2005). The work described in
these reports was undertaken by institutions
with the resources to field surveying crews with
gravimeters. Although there has been progress
made in developing portable gravimeters (Faller
and Vitouchkine 2003), it remains impractical to
make the required gravity measurements called
for by Equation (III.6) for most surveyors. For
first-order leveling, National Geodetic Survey
(NGS) has used corrections that depend solely
on the geodetic latitude and normal gravity at
the observation stations, thus avoiding the need
to measure gravity (National Geodetic Survey
1981, pp. 5-26), although if leveling is used to
determine geopotential numbers, such as in the
NAVD 88 adjustment, orthometric corrections
are not used. The Survey’s data sheets include
modeled gravity at benchmarks, which provide
a better estimate of gravity than normal gravity
and are suitable for orthometric correction.
Although exact knowledge of
is not possible
at this time, its value can be estimated either
(a)
(b)
(c)
(d)
Figure III.2. Four views of several geopotential surfaces around and through an imaginary mountain. (a) The mountain
without any equipotential surfaces. (b) The mountain shown with just one equipotential surface for visual simplicity.
The intersection of the surface and the ground is a line of constant gravity potential but not a contour line. (c) The moun-
tain shown with two equipotential surfaces. Note that the surfaces are not parallel and that they undulate through the
terrain. (d) The mountain shown with many equipotential surfaces. The further the surface is away from the Earth, the
less curvature it has. (Image credit: Ivan Ortega, Office of Communication and Information Technology, UConn College
of Agriculture and Natural Resources).
Vol. 66, No. 2                                                                                                                                                              153
using a free-air correction (Heiskanen and
Moritz 1967, pp. 163-164), or by the reduction
of Poincaré and Prey (ibid., p 165). The former
depends on knowledge of normal gravity only
by making assumptions regarding the mean
curvature of the potential field outside the
Earth. Orthometric heights that depend upon
this strategy are called Helmert orthometric
heights. The National Geodetic Survey pub-
lishes NAVD 88 Helmert orthometric heights.
The Poincaré and Prey reduction, which requires
a remove–reduce–restore operation, is more
complicated and only improves the estimate
slightly (ibid., pp. 163-165).
In summary, orthometric heights:
• Constitute the embodiment of the concept of
“height above sea level;”
• Are single valued by virtue of their relation-
ship with geopotential numbers and, conse-
quently, will produce closed leveling circuits,
in theory;
• Do not define equipotential surfaces due to
the variable nature of the force of gravity.
This could, in principle, lead to the infamous
situation of water apparently “flowing uphill.”
Although possible, this situation would require
a steep gravity gradient in a location with rela-
tively little topographic relief. This can occur
in places where subterranean features substan-
tially affect the local gravity field but have no
expression on the Earth’s surface; and
• Are not directly measurable
from their definition. Orthometric
heights can be determined by
observing differential leveling-
derived geometric height dif-
ferences to which are applied a
small correction, the orthometric
correction. The orthometric cor-
rection requires surface gravity
observations and an approxima-
tion of the average acceleration of
gravity along the plumb line.
Ellipsoid Heights and
Geoid Heights
Ellipsoid heights are the straight-
line distances normal to a refer-
ence ellipsoid produced away
from (or into) the ellipsoid to
the point of interest. Before GPS
it was practically impossible for
anyone outside the geodetic com-
munity to determine an ellipsoid
height. Now, GPS receivers pro-
duce three-dimensional baselines (Meyer 2002)
resulting in determinations of geodetic latitude,
longitude, and ellipsoid height. As a result, ellip-
soid heights are now commonplace.
Ellipsoid heights are almost never suitable
surrogates for orthometric heights (Meyer et al.
2004, pp. 226-227) because equipotential ellip-
soids are not, in general, suitable surrogates for
the geoid (although see Kumar 2005). Consider
that nowhere in the conterminous United States
is the geoid closer to a GRS 80-shaped ellipsoid
centered at the ITRF origin than about two
meters. Confusing an ellipsoid height with an
orthometric height could not result in a blunder
less than two meters but would typically be far
worse, even disastrous. For example, reporting
the height of an obstruction in the approach
to an airport runway at New York City using
ellipsoid heights instead of orthometric heights
would apparently lower the reported height by
around 30 m, with a possible result of causing a
pilot to mistakenly believe the aircraft had 30 m
more clearance than what is real.
Ellipsoid heights have no relationship to
gravity; they are purely geometric. It is remark-
able, then, that ellipsoid heights have a simple
(approximate) relationship to orthometric
heights, namely:
(III.7)
Figure III.3. B and C are on the same equipotential surface but are at
difference distances from the geoid at A-D. Therefore, they have different
orthometric heights. Nonetheless, a closed leveling circuit with orthometric
corrections around these points would theoretically close exactly on the
starting height, although leveling alone would not.
154                                                                                                                     Surveying and Land Information Science
where H is orthometric height, h is ellipsoid
height, and N is the ellipsoid height of the geoid
itself, a geoid height or geoid undulation.
This relationship is not exact because it ignores
the deflection of the vertical. Nevertheless, it
is close enough for most practical purposes.
According to Equation (III.7), ellipsoid heights
can be used to determine orthometric heights
if the geoid height is known. As discussed in
the previous paper, geoid models are used to
estimate N, thus enabling the possibility of
determining orthometric heights with GPS
(Meyer et al. 2005, p.12). We will explore these
relationships in some detail in the last paper in
the series on GPS heighting.
In summary, ellipsoid heights:
• Are single valued (because a normal gravity
potential field satisfies Laplace’s equation and
is, therefore, convex);
• Do not use the geoid or any other physical
gravity equipotential surface as their datum;
• Do not define equipotential surfaces; and
• Are readily determined using GPS.
Geopotential Numbers
and Dynamic Heights
Geopotential numbers C are defined from
Equation (II.6) (c.f. Heiskanen and Moritz 1967,
p. 162, Equation (4-8)) which gives the change in
gravity potential energy between a point on the
geoid and another point of interest. The geopo-
tential number for any place is the potential of
the geoid W
0
minus the potential of that place
W (recall the potential decreases with distance
away from the Earth, so this difference is a posi-
tive number). Geopotential numbers are given
in geopotential units (g.p.u.), where 1 g.p.u. =
1 kgal-meter = 1000 gal meter (Heiskanen and
Moritz 1967, p. 162). If gravity is assumed to be
a constant 0.98 kgal, a geopotential number is
approximately equal to 0.98 H, so geopotential
numbers in g.p.u. are nearly equal to orthomet-
ric heights in meters. However, geopotential
numbers have units of energy, not length, and
are therefore an “unnatural” measure of height.
It is possible to scale geopotential numbers by
dividing by a gravity value, which will change
their units from kgal-meter to meter. Doing so
results in a dynamic height:
(III.8)
One reasonable choice for γ
0
is the value of
normal gravity (Equation (I.2)) at some latitude,
conventionally taken to be 45 degrees.  Obviously,
scaling geopotential numbers by a constant does
not change their fundamental properties, so
dynamic heights, like geopotential numbers, are
single valued, produce equipotential surfaces,
and form closed leveling circuits. They are not,
however, geometric like an orthometric height:
two different places on the same equipotential
surface have the same dynamic height but gen-
erally do not have the same orthometric height.
Thus, dynamics heights are not “distances from
the geoid.”
Measuring dynamic heights is accomplished
in a manner similar to that for orthometric
heights: geometric height differences observed
by differential leveling are added to a correction
term that accounts for gravity thus:
(III.9)
where v
AB
is the total measured geometric
height difference derived by differential level-
ing and DC
AB
is the dynamic correction. The
dynamic correction from station A to B is
given by Heiskanen and Moritz (1967, p. 163,
Equation (4-11)) as:
(III.10)
where g
i
is the (variable) force of gravity at each
leveling observation station,
and
the δv
i
are the observed changes in geometric
height along each section of the leveling line.
However, DC typically takes a large value for
inland leveling conducted far from the defin-
ing latitude. For example, suppose a surveyor
in Albuquerque, New Mexico (at a latitude of
around 35 N), begins a level line at the Route
66 bridge over the downtown railroad tracks at
an elevation of, say, 1510 m, and runs levels to
the Four Hills subdivision at an elevation of, say,
1720 m, a change in elevation of 210 m.
From Equation (III.10), DC =
.So
taking
gal and
gal, then
-0.189775 m, a correction of roughly two parts
in one thousand.
This is a huge correction compared to any
other correction applied in first-order leveling,
with no obvious physical interpretation such as
the refraction caused by the atmosphere. It is
unlikely that surveyors would embrace a height
system that imposed such large corrections that
would often affect even lower-accuracy work.
Nonetheless, dynamics heights are of practical
use wherever water levels are needed, such as
Vol. 66, No. 2                                                                                                                                                              155
at the Great Lakes and also along ocean shores,
even if they are used far from the latitude
of the normal gravity constant. The geoid is
thought to be not more than a couple meters
from the ocean surface and, therefore, shores
will have geopotential near to that of the geoid.
Consequently, shores have dynamic heights
near to zero regardless of their distance from
the defining latitude. Even so, for inland survey-
ing, DC can have a large value, on the order of
several meters at the equator.
The dynamics heights in the International
Great Lakes Datum of 1985 are established by the
“Vertical Control–Water Levels” Subcommittee
under the Coordinating Committee on Great
Lakes Basic Hydraulics and Hydrology Data
(CCGLBHHD).
In summary, dynamic heights:
• Are a scaling of geopotential numbers by a
constant to endow them with units of length;
• Are not geometric distances;
• Are single valued by virtue of their relationship
with geopotential numbers and, consequently,
will produce closed-circuits, in theory;
• Define equipotential surfaces; and
• Are not measurable directly from their defi-
nition. Dynamic heights can be determined
by observing differential leveling-derived
geometric height differences to which are
applied a correction, the dynamic correction
The dynamic correction requires surface grav-
ity observations and can be on the order of
meters in places far from the latitude at which
γ
0
was defined.
Normal Heights
Of heights defined by geopotential (orthometric
and dynamic) Heiskanen and Moritz (1967, p.
287) write:
The advantage of this approach is that
the geoid is a level surface, capable of
simple definition in terms of the physically
meaningful and geodetically important
potential W. The geoid represents the
most obvious mathematical formulation of
a horizontal surface at mean sea level. This
is why the use of the geoid simplifies geo-
detic problems and makes them accessible
to geometrical intuition.
The disadvantage is that the potential W
inside the earth, and hence the geoid W =
const., depends on [a detailed knowledge
of the density of the Earth]…Therefore,
in order to determine or to use the geoid,
the density of the masses at every point
between the geoid and the ground must be
known, at least theoretically. This is clearly
impossible, and therefore some assump-
tions concerning the density must be made,
which is unsatisfactory theoretically, even
though the practical influence of these
assumptions is usually very small.
These issues led Molodensky in 1945 to for-
mulate a new type of height, a normal height,
which supposed that the Earth’s gravity field
was normal, meaning the actual gravity poten-
tial equals normal gravity potential (Molodensky
1945). The result of this postulate allowed that
the “physical surface of the Earth can be deter-
mined from geodetic measurements alone,
without using the density of the Earth’s crust”
(Heiskanen and Moritz 1967, p. 288). This
conceptualization of heights allowed a fully rig-
orous method to be formulated for their deter-
mination, a method without assumptions. The
price, however, was that “This requires that the
concept of the geoid be abandoned. The math-
ematical formulation becomes more abstract
and more difficult” (ibid.). Normal heights are
defined by:
(III.11)
and
(III.12)
where H* is normal height and γ is normal grav-
ity. These formulae have identical forms to those
for orthometric height (c.f. Equations (III.3)
and (III.4)), but their meaning is completely dif-
ferent. First, the zero used as the lower integral
bound is not the geoid; it is a reference ellipsoid.
Consequently, normal heights depend upon the
choice of reference ellipsoid and datum. Second,
normal gravity is an analytical function, so its
average may be computed in closed form; no
gravity observations are required. Third, from
its definition one finds that a normal height H*
is that ellipsoid height where the normal gravity
potential equals the actual geopotential of the
point of interest. Regarding this, Heiskanen
and Moritz (1967, p. 170) commented, “…but
since the potential of the Earth is evidently not
normal, what does all this mean?”
Like orthometric and dynamic heights,
normal heights can be determined from geo-
metrical height differences observed by differ-
ential leveling and applying a correction. The
correction term has the same structure as that
for orthometric correction, namely:
156                                                                                                                     Surveying and Land Information Science
(III.13)
with
being the average normal gravity from A
to B and other terms defined as Equation (III.6).
Normal corrections also depend upon gravity
observations g
but do not require assumptions
regarding average gravity within the Earth.
Therefore, they are rigorous; all the neces-
sarily quantities can be calculated or directly
observed. Like orthometric heights, they do not
form equipotential surfaces (because of normal
gravity’s dependence on latitude; recall that
dynamic heights scale geopotential simply by
a constant, whereas orthometric and normal
heights’ scale factors vary with location). Like
orthometric heights, normal heights are single
valued and give rise to closed leveling circuits.
Geometrically, they represent the distance from
the ellipsoid up to a surface known as the tellu-
roid (see Heiskanen and Moritz 1967 for further
discussion).
In summary, normal heights:
• Are geometric distances, being ellipsoid
heights, but not to the point of interest;
•  Are single valued and, consequently, produce
closed-circuits, in theory;
•   Do not define equipotential surfaces; and
•  Are not measurable directly from their defi-
nition. Normal heights can be determined
by observing differential leveling-derived
geometric height differences to which are
applied a correction, the normal correction
The normal correction requires surface grav-
ity observations only and, therefore, can be
determined without approximations.
Height Systems
The term “height system” refers to a mecha-
nism by which height values can be assigned to
places of interest. In consideration of what crite-
ria a height system must satisfy, Hipkin (2002b)
suggested two necessary conditions:
(i. Hipkin)   Height must be single valued.
(ii.Hipkin)   A surface of constant height must
also be a level (equipotential) surface.
Heiskanen and Moritz (1967, p. 173) held two
different criteria, namely:
(i.H&M) Misclosures must be eliminated.
(ii.H&M) Corrections to the measured
heights must be as small as possible.
The first two criteria (i.Hipkin and i.H&M)
are equivalent: if heights are single valued, then
leveling circuits will be closed, and vice versa.
The second two criteria form the basis of two
different philosophies about what is considered
important for heights. Requiring that a surface
of constant height be equipotential requires that
the heights be a scaled geopotential number
and excludes orthometric and normal heights.
Conversely, requiring the measurement cor-
rections to be as small as possible precludes
the former, at least from a global point of view,
because dynamic height scale factors are large
far from the latitude of definition. No height
meets all these criteria. This has given rise to
the use of (Helmert) orthometric heights in the
United States, dynamic heights in Canada, and
normal heights in Europe (Ihde and Augath
2000). Table III.1. provides a comparison of
these height systems.
NAVD 88 and IGLD 85
Neither NAVD 88 nor IGLD 85 attempts to
define the geoid or to realize some level surface
which was thought to be the geoid. Instead, they
are based upon a level surface that exists near
the geoid but at some small, unknown distance
from it. This level surface is situated such that
shore locations with a height of zero in this ref-
erence frame will generally be near the surface
of the ocean. IGLD 85 had a design goal that its
heights be referenced to the water level gauge at
the mouth of the St. Lawrence River. NAVD 88
had a design goal that it minimize recompila-
tion of the USGS topographic map series, which
was referred to NGVD 29. The station at Father
Point/Rimouski met both requirements. NAVD
88 was realized using Helmert orthometric
heights, whereas IGLD 85 employs dynamic
heights. Quoting from IGLD 85 (1995):
Two systems, orthometric and dynamic
heights, are relevant to the establishment
of IGLD (1985) and NAVD (1988). The
geopotential numbers for individual bench
marks are the same in both height systems.
The requirement in the Great Lakes basin
to provide an accurate measurement of
potential hydraulic head is the primary
reason for adopting dynamic heights. It
should be noted that dynamic heights
are basically geopotential numbers scaled
by a constant of 980.6199 gals, normal
gravity at sea level at 45 degrees latitude.