24. (AT) Create a stem and leaf plot of the number of correct responses of the 
participants after taking the placebo (d0 variable). What can you say about the 
shape of the distribution?
25. (AT) Create box plots for the four conditions. You may have to rearrange the 
data to get a computer program to create the box plots.
SAT and College GPA (SG) case study
26. (SG)Create histograms and stem and leaf displays of both high-school grade 
point average and university grade point average. In what way(s) do the 
distributions differ?
27. The April 10th issue of the Journal of the American Medical Association 
reports a study on the effects of anti-depressants. The study involved 340 
subjects who were being treated for major depression. The subjects were 
randomly assigned to receive one of three treatments: St. John’s wort (an herb), 
Zoloft (Pfizer’s cousin of Lilly’s Prozac) or placebo for an 8-week period. The 
following are the mean scores (approximately) for the three groups of subjects 
over the eight-week experiment. The first column is the baseline. Lower scores 
mean less depression. Create a graph to display these means.
     00)3 /7)/ /5)7 /5)/ /4)0 /3)/ /0)/ /0)1
01). 0.)0 /6)0 /6). . /4)3 3 /4)/ /2)0 /1).
 
00)2 /7)0 /4)4 /3)3 3 /2)0 0 /1)/ //)6 /.)3
28. For the graph below, of heights of singers in a large chorus. What word starting 
with the letter “B” best describes the distribution?
121
Pdf first page thumbnail - Draw thumbnail images for PDF in C#.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
Support Thumbnail Generation with Various Options for Quick PDF Navigation
how to make a thumbnail from pdf; pdf thumbnail preview
Pdf first page thumbnail - VB.NET PDF Thumbnail Create SDK: Draw thumbnail images for PDF in vb.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
Support Thumbnail Generation with Various Options for Quick PDF Navigation
create thumbnail jpg from pdf; can't view pdf thumbnails
29.Pretend you are constructing a histogram for describing the distribution of 
salaries for individuals who are 40 years or older, but are not yet retired. (a) 
What is on the Y-axis? Explain. (b) What is on the X-axis? Explain. (c) 
What would be the probable shape of the salary distribution? Explain why.
122
VB.NET Image: Program for Creating Thumbnail from Documents and
are supposed to read VB.NET Imaging: Get Started first! document and image formats, such as PDF, TIFF, GIF server space, which results in slower web page loading
pdf reader thumbnails; enable thumbnail preview for pdf files
How to C#: Preview Document Content Using XDoc.PowerPoint
Project. RasterEdge XDoc.PowerPoint provide you with APIs to get a thumbnail bitmap of the first page in the PowerPoint document file.
enable pdf thumbnail preview; create pdf thumbnail image
3. Summarizing Distributions
A.Central Tendency
1. What is Central Tendency
2. Measures of Central Tendency
3. Median and Mean
4. Additional Measures
5. Comparing measures
B.Variability
1. Measures of Variability
C.Shape
1. Effects of Transformations
2. Variance Sum Law I
D.Exercises
Descriptive statistics often involves using a few numbers to summarize a 
distribution. One important aspect of a distribution is where its center is located. 
Measures of central tendency are discussed first. A second aspect of a distribution 
is how spread out it is. In other words, how much the numbers in the distribution 
vary from one another. The second section describes measures of variability. 
Distributions can differ in shape. Some distributions are symmetric whereas others 
have long tails in just one direction. The third section describes measures of the 
shape of distributions. The final two sections concern (1) how transformations 
affect measures summarizing distributions and (2) the variance sum law, an 
important relationship involving a measure of variability.
123
How to C#: Preview Document Content Using XDoc.Word
Programming Project. RasterEdge XDoc.Word provide you with APIs to get a thumbnail bitmap of the first page in the word document file.
.pdf printing in thumbnail size; view pdf thumbnails
C# Word - Render Word to Other Images
String inputFilePath = Program.RootPath + "\\" 1.docx"; DOCXDocument doc = new DOCXDocument(inputFilePath); // Get the first page of Word file.
enable pdf thumbnails; pdf thumbnail generator
What is Central Tendency?
by David M. Lane and Heidi Ziemer
Prerequisites
Chapter 1: Distributions
Chapter 2: Stem and Leaf Displays
Learning Objectives
1. Identify situations in which knowing the center of a distribution would be 
valuable
2. Give three different ways the center of a distribution can be defined
3. Describe how the balance is different for symmetric distributions than it is for 
asymmetric distributions.
What is “central tendency,” and why do we want to know the central tendency of a 
group of scores? Let us first try to answer these questions intuitively. Then we will 
proceed to a more formal discussion.
Imagine this situation: You are in a class with just four other students, and 
the five of you took a 5-point pop quiz. Today your instructor is walking around the 
room, handing back the quizzes. She stops at your desk and hands you your paper. 
Written in bold black ink on the front is “3/5.” How do you react? Are you happy 
with your score of 3 or disappointed? How do you decide? You might calculate 
your percentage correct, realize it is 60%, and be appalled. But it is more likely 
that when deciding how to react to your performance, you will want additional 
information. What additional information would you like?
If you are like most students, you will immediately ask your neighbors, 
“Whad'ja get?” and then ask the instructor, “How did the class do?” In other words, 
the additional information you want is how your quiz score compares to other 
students' scores. You therefore understand the importance of comparing your score 
to the class distribution of scores. Should your score of 3 turn out to be among the 
higher scores, then you'll be pleased after all. On the other hand, if 3 is among the 
lower scores in the class, you won't be quite so happy.
This idea of comparing individual scores to a distribution of scores is 
fundamental to statistics. So let's explore it further, using the same example (the 
pop quiz you took with your four classmates). Three possible outcomes are shown 
in Table 1. They are labeled “Dataset A,” “Dataset B,” and “Dataset C.” Which of 
124
C# powerpoint - Render PowerPoint to Other Images
String inputFilePath = Program.RootPath + "\\" 1.pptx"; PPTXDocument doc = new PPTXDocument(inputFilePath); // Get the first page of PowerPoint file.
pdf thumbnail viewer; pdf files thumbnails
C# Word - Insert Blank Word Page in C#.NET
page inserting library control toolkit allows developers to specify where they want to insert (blank) Word document page (before the first page or after the
pdf thumbnail; program to create thumbnail from pdf
the three datasets would make you happiest? In other words, in comparing your 
score with your fellow students' scores, in which dataset would your score of 3 be 
the most impressive?
In Dataset A, everyone's score is 3. This puts your score at the exact center 
of the distribution. You can draw satisfaction from the fact that you did as well as 
everyone else. But of course it cuts both ways: everyone else did just as well as 
you.
Table 1. Three possible datasets for the 5-point make-up quiz.
Student
Dataset A
Dataset B
Dataset C
You
3
3
3
John's
3
4
2
Maria's
3
4
2
Shareecia's
3
4
2
Luther's
3
5
1
Now consider the possibility that the scores are described as in Dataset B. This is a 
depressing outcome even though your score is no different than the one in Dataset 
A. The problem is that the other four students had higher grades, putting yours 
below the center of the distribution.
Finally, let's look at Dataset C. This is more like it! All of your classmates 
score lower than you so your score is above the center of the distribution.
Now let's change the example in order to develop more insight into the 
center of a distribution. Figure 1 shows the results of an experiment on memory for 
chess positions. Subjects were shown a chess position and then asked to 
reconstruct it on an empty chess board. The number of pieces correctly placed was 
recorded. This was repeated for two more chess positions. The scores represent the 
total number of chess pieces correctly placed for the three chess positions. The 
maximum possible score was 89.
125
C# Raster - Image Save Options in C#.NET
Tiff Edit. Image Thumbnail. Image Save. Advanced Save Options. Save Image. VB.NET How-to, VB.NET PDF, VB.NET Word to icon file, false: just save the first page to
pdf thumbnails in; how to view pdf thumbnails in
C# PowerPoint - Insert Blank PowerPoint Page in C#.NET
page inserting library control toolkit allows developers to specify where they want to insert (blank) PowerPoint document page (before the first page or after
pdf files thumbnail preview; thumbnail pdf preview
8 05 
7 156 
6 233 
5 168 
330 
4 06 
9420 
 
622 
 
Figure 1. Back-to-back stem and leaf display. The left side shows the 
memory scores of the non-players. The right side shows the scores of 
the tournament players.
Two groups are compared. On the left are people who don't play chess. On the 
right are people who play a great deal (tournament players). It is clear that the 
location of the center of the distribution for the non-players is much lower than the 
center of the distribution for the tournament players.
We're sure you get the idea now about the center of a distribution. It is time 
to move beyond intuition. We need a formal definition of the center of a 
distribution. In fact, we'll offer you three definitions! This is not just generosity on 
our part. There turn out to be (at least) three different ways of thinking about the 
center of a distribution, all of them useful in various contexts. In the remainder of 
this section we attempt to communicate the idea behind each concept. In the 
succeeding sections we will give statistical measures for these concepts of central 
tendency.
Definitions of Center
Now we explain the three different ways of defining the center of a distribution. All 
three are called measures of central tendency.
Balance Scale
One definition of central tendency is the point at which the distribution is in 
balance. Figure 2 shows the distribution of the five numbers 2, 3, 4, 9, 16 placed 
upon a balance scale. If each number weighs one pound, and is placed at its 
126
C# Image: Quick to Navigate Document in .NET Web Viewer
Navigation Throw Thumbnial Image. The first method recommended can be called from any document page object for formed documents, like Word and PDF, will contain
create pdf thumbnails; create thumbnail from pdf
C# Word - Table Cell Processing in C#.NET
Create a Table for document ITable table = doc.CreateTable(3, 3); //Get all rows in table List<ITableRow> rows = table.GetRows(); //Get first row ITableRow row
create thumbnail from pdf c#; show pdf thumbnails in
position along the number line, then it would be possible to balance them by 
placing a fulcrum at 6.8.
Figure 2. A balance scale.
For another example, consider the distribution shown in Figure 3. It is balanced by 
placing the fulcrum in the geometric middle.
Figure 3. A distribution balanced on the tip of a triangle.
Figure 4 illustrates that the same distribution can't be balanced by placing the 
fulcrum to the left of center.
127
Figure 4. The distribution is not balanced.
Figure 5 shows an asymmetric distribution. To balance it, we cannot put the 
fulcrum halfway between the lowest and highest values (as we did in Figure 3). 
Placing the fulcrum at the “half way” point would cause it to tip towards the left.
Figure 5. An asymmetric distribution balanced on the tip of a triangle.
The balance point defines one sense of a distribution's center.
Smallest Absolute Deviation
Another way to define the center of a distribution is based on the concept of the 
sum of the absolute deviations (differences). Consider the distribution made up of 
the five numbers 2, 3, 4, 9, 16. Let's see how far the distribution is from 10 
128
(picking a number arbitrarily). Table 2 shows the sum of the absolute deviations of 
these numbers from the number 10.
Table 2. An example of the sum of absolute deviations
Values
Absolute Deviations 
from 10
2
3
4
9
16
8
7
6
1
6
Sum
28
The first row of the table shows that the absolute value of the difference between 2 
and 10 is 8; the second row shows that the absolute difference between 3 and 10 is 
7, and similarly for the other rows. When we add up the five absolute deviations, 
we get 28. So, the sum of the absolute deviations from 10 is 28. Likewise, the sum 
of the absolute deviations from 5 equals 3 + 2 + 1 + 4 + 11 = 21. So, the sum of the 
absolute deviations from 5 is smaller than the sum of the absolute deviations from 
10. In this sense, 5 is closer, overall, to the other numbers than is 10.
We are now in a position to define a second measure of central tendency, this time 
in terms of absolute deviations. Specifically, according to our second definition, the 
center of a distribution is the number for which the sum of the absolute deviations 
is smallest. As we just saw, the sum of the absolute deviations from 10 is 28 and 
the sum of the absolute deviations from 5 is 21. Is there a value for which the sum 
of the absolute deviations is even smaller than 21? Yes. For these data, there is a 
value for which the sum of absolute deviations is only 20. See if you can find it.
Smallest Squared Deviation
We shall discuss one more way to define the center of a distribution. It is based on 
the concept of the sum of squared deviations (differences). Again, consider the 
distribution of the five numbers 2, 3, 4, 9, 16. Table 3 shows the sum of the squared 
deviations of these numbers from the number 10.
129
Table 3. An example of the sum of squared deviations.
Values
Squared Deviations 
from 10
2
3
4
9
16
64
49
36
1
36
Sum
186
The first row in the table shows that the squared value of the difference between 2 
and 10 is 64; the second row shows that the squared difference between 3 and 10 is 
49, and so forth. When we add up all these squared deviations, we get 186. 
Changing the target from 10 to 5, we calculate the sum of the squared deviations 
from 5 as 9 + 4 + 1 + 16 + 121 = 151. So, the sum of the squared deviations from 5 
is smaller than the sum of the squared deviations from 10. Is there a value for 
which the sum of the squared deviations is even smaller than 151? Yes, it is 
possible to reach 134.8. Can you find the target number for which the sum of 
squared deviations is 134.8?
The target that minimizes the sum of squared deviations provides another 
useful definition of central tendency (the last one to be discussed in this section). It 
can be challenging to find the value that minimizes this sum.
130
Documents you may be interested
Documents you may be interested