3. Each value is sampled independently from each other value.
The consequences of violating these assumptions are discussed in Chapter 12. For 
now, suffice it to say that small-to-moderate violations of assumptions 1 and 2 do 
not make much difference.
A confidence interval on the difference between means is computed using 
the following formula:
  '  = =   
(


)
(




  '  = =   +
(


)
(




where M
1
- M
2
is the difference between sample means, t
CL
is the t for the desired 
level of confidence, and  
)
(




is the estimated standard error of the difference 
between sample means. The meanings of these terms will be made clearer as the 
calculations are demonstrated.
We continue to use the data from the “Animal Research” case study and will 
compute a confidence interval on the difference between the mean score of the 
females and the mean score of the males. For this calculation, we will assume that 
the variances in each of the two populations are equal.
The first step is to compute the estimate of the standard error of the 
difference between means 
)
(




. Recall from the relevant section in the chapter 
on sampling distributions that the formula for the standard error of the difference in 
means in the population is:




=

+
=

+
=

2
In order to estimate this quantity, we estimate σ
2
and use that estimate in place of 
σ
2
. Since we are assuming the population variances are the same, we estimate this 
variance by averaging our two sample variances. Thus, our estimate of variance is 
computed using the following formula:
=
 
+
 
 
2
351
Pdf thumbnails in - Draw thumbnail images for PDF in C#.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
Support Thumbnail Generation with Various Options for Quick PDF Navigation
pdf no thumbnail; create thumbnails from pdf files
Pdf thumbnails in - VB.NET PDF Thumbnail Create SDK: Draw thumbnail images for PDF in vb.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
Support Thumbnail Generation with Various Options for Quick PDF Navigation
how to make a thumbnail from pdf; how to create a thumbnail of a pdf document
where MSE is our estimate of σ
2
. In this example,
MSE = (2.743 + 2.985)/2 = 2.864.
Note that MSE stands for “mean square error” and is the mean squared 
deviation of each score from its group’s mean.
Since n (the number of scores in each condition) is 17,
The next step is to find the t to use for the confidence interval (t
CL
). To 
calculate t
CL
, we need to know the degrees of freedom. The degrees of freedom is 
the number of independent estimates of variance on which MSE is based. This is 
equal to (n
1
- 1) + (n
2
- 1) where n
1
is the sample size of the first group and n
2
is the 
sample size of the second group. For this example, n
1
= n
2
= 17. When n
1
= n
2
, it is 
conventional to use “n” to refer to the sample size of each group. Therefore, the 
degrees of freedom is 16 + 16 = 32.
From either the above calculator or a t table, you can find that the t for a 95% 
confidence interval for 32 df is 2.037.
We now have all the components needed to compute the confidence interval. 
First, we know the difference between means:
M
1
- M
2
= 5.353 - 3.882 = 1.471
We know the standard error of the difference between means is
and that the t for the 95% confidence interval with 32 df is
t
CL
= 2.037
Therefore, the 95% confidence interval is
Lower Limit = 1.471 - (2.037)(0.5805) = 0.29
Upper Limit = 1.471 +(2.037)(0.5805) = 2.65
352
C# HTML5 PDF Viewer SDK to view PDF document online in C#.NET
Ability to show PDF page thumbnails for quick navigation. Easy to search PDF text in whole PDF document. Navigate PDF document with thumbnails. 14. Text Search.
pdf thumbnail viewer; create thumbnail jpeg from pdf
VB.NET PDF- View PDF Online with VB.NET HTML5 PDF Viewer
Ability to show PDF page thumbnails for quick navigation. Easy to search PDF text in whole PDF document. Navigate PDF document with thumbnails. 14. Text Search.
pdf preview thumbnail; generate thumbnail from pdf
We can write the confidence interval as:
0.29 ≤ µ
f
- µ
m
≤ 2.65
where μ
f
is the population mean for females and μ
m
is the population mean for 
males. This analysis provides evidence that the mean for females is higher than the 
mean for males, and that the difference between means in the population is likely 
to be between 0.29 and 2.65.
Formatting Data for Computer Analysis
Most computer programs that compute t tests require your data to be in a specific 
form. Consider the data in Table 2.
Table 2. Example Data
Group 1
Group 2
3
5
4
6
5
7
Here there are two groups, each with three observations. To format these data for a 
computer program, you normally have to use two variables: the first specifies the 
group the subject is in and the second is the score itself. For the data in Table 2, the 
reformatted data look as follows:
353
VB.NET PDF File Compress Library: Compress reduce PDF size in vb.
Reduce image resources: Since images are usually or large size, images size reducing can help to reduce PDF file size effectively. Embedded page thumbnails.
pdf thumbnails; create pdf thumbnails
C# PDF Convert to Jpeg SDK: Convert PDF to JPEG images in C#.net
Support of converting from any single one PDF page and multiple pages. Thumbnails can be created from PDF pages. Support for customizing image size.
how to make a thumbnail of a pdf; enable pdf thumbnails in
Table 3. Reformatted Data
G
Y
1
3
1
4
1
5
2
5
2
6
2
7
Computations for Unequal Sample Sizes (optional)
The calculations are somewhat more complicated when the sample sizes are not 
equal. One consideration is that MSE, the estimate of variance, counts the sample 
with the larger sample size more than the sample with the smaller sample size. 
Computationally this is done by computing the sum of squares error (SSE) as 
follows:
=
(
)
 
+
(
 
)
 
where M
1
is the mean for group 1 and M
2
is the mean for group 2. Consider the 
following small example:
Table 4. Example Data
Group 1
Group 2
3
2
4
4
5
M
1
= 4 and M
2
= 3.
SSE = (3-4)
2
+ (4-4)
2
+ (5-4)
2
+ (2-3)
2
+ (4-3)
2
4
354
C# PDF File Compress Library: Compress reduce PDF size in C#.net
Reduce image resources: Since images are usually or large size, images size reducing can help to reduce PDF file size effectively. Embedded page thumbnails.
generate pdf thumbnail c#; .pdf printing in thumbnail size
VB.NET PDF - View PDF with WPF PDF Viewer for VB.NET
File: Compress PDF. Page: Create Thumbnails. Page: Insert PDF Pages. Page: Delete Existing PDF Pages. PDF thumbnails for navigation in .NET project.
pdf first page thumbnail; pdf thumbnails in
Then, MSE is computed by: 
MSE = SSE/df
where the degrees of freedom (df) is computed as before: 
df = (n1 -1) + (n2 -1) = (3-1) + (2-1) = 3. 
MSE = SSE/df = 4/3 = 1.333.
The formula 
is replaced by
where n
h
is the harmonic mean of the sample sizes and is computed as follows:
=
2
1
+
1
=
2
1
3
+
1
2
=2.4 
and
t
CL
for 3 df and the 0.05 level = 3.182.
Therefore the 95% confidence interval is
Lower Limit = 1 - (3.182)(1.054)= -2.35
Upper Limit = 1 + (3.182)(1.054)= 4.35
We can write the confidence interval as:
355
C# PDF Convert to Images SDK: Convert PDF to png, gif images in C#
Converter control easy to create thumbnails from PDF pages. Selection for compressing to multiple image formats. Cut and paste any areas in PDF pages to images.
create pdf thumbnail; pdf files thumbnail preview
C# WPF PDF Viewer SDK to view PDF document in C#.NET
File: Compress PDF. Page: Create Thumbnails. Page: Insert PDF Pages. Page: Delete Existing PDF Pages. PDF thumbnails for navigation in .NET WPF Console application
thumbnail pdf preview; create pdf thumbnail image
-2.35 ≤ µ
1
- µ
2
≤ 4.35
356
Correlation
by David M. Lane
Prerequisites
Chapter 4: Values of the Pearson Correlation
Chapter 9: Sampling Distribution of Pearson's r
Chapter 10: Confidence Intervals
Learning Objectives
1. State why the z’ transformation is necessary
2. Compute the standard error of z'
3. Compute a confidence interval on ρ
The computation of a confidence interval on the population value of Pearson's 
correlation (ρ) is complicated by the fact that the sampling distribution of r is not 
normally distributed. The solution lies with Fisher's z' transformation described in 
the section on the sampling distribution of Pearson's r. The steps in computing a 
confidence interval for p are:
1. Convert r to z'
2. Compute a confidence interval in terms of z'
3. Convert the confidence interval back to r.
Let's take the data from the case study Animal Research as an example. In this 
study, students were asked to rate the degree to which they thought animal research 
is wrong and the degree to which they thought it is necessary. As you might have 
expected, there was a negative relationship between these two variables: the more 
that students thought animal research is wrong, the less they thought it is necessary. 
The correlation based on 34 observations is -0.654. The problem is to compute a 
95% confidence interval on ρ based on this r of -0.654.
The conversion of r to z' can be done using a calculator
. This calculator 
shows that the z' associated with an r of -0.654 is -0.78.
The sampling distribution of z' is approximately normally distributed and 
has a standard error of
1
3
357
For this example, N = 34 and therefore the standard error is 0.180. The Z for a 95% 
confidence interval (Z.95) is 1.96, as can be found using the normal distribution 
calculator (setting the shaded area to .95 and clicking on the “Between” button). 
The confidence interval is therefore computed as:
Lower limit = -0.78 - (1.96)(0.18)= -1.13
Upper limit = -0.78 + (1.96)(0.18)= -0.43
The final step is to convert the endpoints of the interval back to r using a table or 
the calculator. The r associated with a z' of -1.13 is -0.81 and the r associated with 
a z' of -0.43 is -0.40. Therefore, the population correlation (p) is likely to be 
between -0.81 and -0.40. The 95% confidence interval is:
-0.81 ≤ ρ ≤ -0.40
To calculate the 99% confidence interval, you use the Z for a 99% confidence 
interval of 2.58 as follows:
Lower limit = -0.775 - (2.58)(0.18) = -1.24
Upper limit = -0.775 + (2.58)(0.18) = -0.32
Converting back to r, the confidence interval is:
-0.84 ≤ ρ ≤ -0.31
Naturally, the 99% confidence interval is wider than the 95% confidence interval.
358
Proportion
by David M. Lane
Prerequisites
Chapter 7: Introduction to the Normal Distribution
Chapter 7: Normal Approximation to the Binomial
Chapter 9: Sampling Distribution of the Mean 
Chapter 9: Sampling Distribution of a Proportion
Chapter 10: Confidence Intervals
Chapter 10: Confidence Interval on the Mean
Learning Objectives
1. Estimate the population proportion from sample proportions
2. Apply the correction for continuity
3. Compute a confidence interval
A candidate in a two-person election commissions a poll to determine who is 
ahead. The pollster randomly chooses 500 registered voters and determines that 
260 out of the 500 favor the candidate. In other words, 0.52 of the sample favors 
the candidate. Although this point estimate of the proportion is informative, it is 
important to also compute a confidence interval. The confidence interval is 
computed based on the mean and standard deviation of the sampling distribution of 
a proportion. The formulas for these two parameters are shown below:
µ
p
= π
=

(1 )
Since we do not know the population parameter π, we use the sample proportion p 
as an estimate. The estimated standard error of p is therefore
=
 
(1 )
359
We start by taking our statistic (p) and creating an interval that ranges (Z
.95
)(s
p
) in 
both directions where Z
.95
is the number of standard deviations extending from the 
mean of a normal distribution required to contain 0.95 of the area. (See the section 
on the confidence interval for the mean). The value of Z
.95
is computed with the 
normal calculator and is equal to 1.96. We then make a slight adjustment to correct 
for the fact that the distribution is discrete rather than continuous.
s
p
is calculated as shown below:
=
 
.52
(
1 .52
)
500
=0.0223 
To correct for the fact that we are approximating a discrete distribution with a 
continuous distribution (the normal distribution), we subtract 0.5/N from the lower 
limit and add 0.5/N to the upper limit of the interval. Therefore the confidence 
interval is
±
.
 
(1 )
±
0.5
Lower: 0.52 - (1.96)(0.0223) - 0.001 = 0.475
Upper: 0.52 + (1.96)(0.0223) + 0.001 = 0.565
.475 ≤ π ≤ .565
Since the interval extends 0.045 in both directions, the margin of error is 0.045. In 
terms of percent, between 47.5% and 56.5% of the voters favor the candidate and 
the margin of error is 4.5%. Keep in mind that the margin of error of 4.5% is the 
margin of error for the percent favoring the candidate and not the margin of error 
for the difference between the percent favoring the candidate and the percent 
favoring the opponent. The margin of error for the difference is 9%, twice the 
margin of error for the individual percent. Keep this in mind when you hear reports 
in the media; the media often get this wrong.
360
Documents you may be interested
Documents you may be interested