Table 3. Example data. The last row contains column sums.
X
Y
y
y
2
Y'
y'
y'
2
Y-Y'
(Y-Y')
2
1.00
1.00
-1.06 1.1236
1.210
-0.850
0.7225
-0.210
0.044
2.00
2.00
-0.06 0.0036
1.635
-0.425
0.1806
0.365
0.133
3.00
1.30
-0.76 0.5776
2.060
0.000
0.000
-0.760
0.578
4.00
3.75
1.69
2.8561
2.485
0.425
0.1806
1.265
1.600
5.00
2.25
0.19
0.0361
2.910
0.850
0.7225
-0.660
0.436
15.00 10.30
0.00
4.597
10.300
0.000
1.806
0.000
2.791
The fourth column, y
2
, is simply the square of the y column. The column Y' 
contains the predicted values of Y. In the introductory section, it was shown that 
the equation for the regression line for these data is
Y' = 0.425X + 0.785.
The values of Y' were computed according to this equation. The column y' contains 
deviations of Y' from the mean of Y' and y'
is the square of this column. The next-
to-last column, Y-Y', contains the actual scores (Y) minus the predicted scores (Y'). 
The last column contains the squares of these errors of prediction.
We are now in a position to see how the SSY is partitioned. Recall that SSY 
is the sum of the squared deviations from the mean. It is therefore the sum of the y
2
column and is equal to 4.597. SSY can be partitioned into two parts: the sum of 
squares predicted (SSY') and the sum of squares error (SSE). The sum of squares 
predicted is the sum of the squared deviations of the predicted scores from the 
mean predicted score. In other words, it is the sum of the y'
2
column and is equal to 
1.806. The sum of squares error is the sum of the squared errors of prediction. It is 
therefore the sum of the (Y-Y')
2
column and is equal to 2.791. This can be summed 
up as:
SSY = SSY' + SSE
4.597 = 1.806 + 2.791
471
Pdf preview thumbnail - Draw thumbnail images for PDF in C#.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
Support Thumbnail Generation with Various Options for Quick PDF Navigation
view pdf thumbnails; enable thumbnail preview for pdf files
Pdf preview thumbnail - VB.NET PDF Thumbnail Create SDK: Draw thumbnail images for PDF in vb.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
Support Thumbnail Generation with Various Options for Quick PDF Navigation
create pdf thumbnail image; pdf thumbnails
There are several other notable features about Table 3. First, notice that the sum of 
y and the sum of y' are both zero. This will always be the case because these 
variables were created by subtracting their respective means from each value. Also, 
notice that the mean of Y-Y' is 0. This indicates that although some Y values are 
higher than their respective predicted Y values and some are lower, the average 
difference is zero.
The SSY is the total variation, the SSY' is the variation explained, and the 
SSE is the variation unexplained. Therefore, the proportion of variation explained 
can be computed as:
    -       =
Similarly, the proportion not explained is:
   -  -       =
There is an important relationship between the proportion of variation explained 
and Pearson's correlation: r
2
is the proportion of variation explained. Therefore, if r 
= 1, then, naturally, the proportion of variation explained is 1; if r = 0, then the 
proportion explained is 0. One last example: for r = 0.4, the proportion of variation 
explained is 0.16.
Since the variance is computed by dividing the variation by N (for a 
population) or N-1 (for a sample), the relationships spelled out above in terms of 
variation also hold for variance. For example,


=

!

+


where the first term is the variance total, the second term is the variance of Y', and 
the last term is the variance of the errors of prediction (Y-Y'). Similarly, r
2
is the 
proportion of variance explained as well as the proportion of variation explained.
Summary Table
It is often convenient to summarize the partitioning of the data in a table such as 
Table 4. The degrees of freedom column (df) shows the degrees of freedom for 
each source of variation. The degrees of freedom for the sum of squares explained 
472
How to C#: Preview Document Content Using XDoc.Word
With the SDK, you can preview the document content according to the preview thumbnail by the ways as following. C# DLLs for Word File Preview. Add references:
show pdf thumbnail in; can't see pdf thumbnails
How to C#: Preview Document Content Using XDoc.PowerPoint
With the SDK, you can preview the document content according to the preview thumbnail by the ways as following. C# DLLs: Preview PowerPoint Document.
pdf thumbnail generator online; thumbnail pdf preview
is equal to the number of predictor variables. This will always be 1 in simple 
regression. The error degrees of freedom is equal to the total number of 
observations minus 2. In this example, it is 5 - 2 = 3. The total degrees of freedom 
is the total number of observations minus 1. 
Table 4. Summary Table for Example Data
Source
Sum of Squares
df
Mean Square
Explained
1.806
1
1.806
Error
2.791
3
0.930
Total
4.597
4
473
How to C#: Set Image Thumbnail in C#.NET
VB.NET How-to, VB.NET PDF, VB.NET Word, VB.NET Excel, VB.NET PowerPoint, VB How to C#: Set Image Thumbnail in C#.NET. To Preview Images in WinForm Application.
how to create a thumbnail of a pdf document; cannot view pdf thumbnails in
How to C#: Preview Document Content Using XDoc.excel
document in memory. With the SDK, you can preview the document content according to the preview thumbnail by the ways as following.
enable pdf thumbnail preview; view pdf image thumbnail
Standard Error of the Estimate
by David M. Lane
Prerequisites
Chapter 3: Measures of Variability
Chapter 14: Introduction to Linear Regression
Chapter 14: Partitioning Sums of Squares 
Learning Objectives
1. Make judgments about the size of the standard error of the estimate from a 
scatter plot
2. Compute the standard error of the estimate based on errors of prediction
3. Compute the standard error using Pearson's correlation
4. Estimate the standard error of the estimate based on a sample
Figure 1 shows two regression examples. You can see that in Graph A, the points 
are closer to the line than they are in Graph B. Therefore, the predictions in Graph 
A are more accurate than in Graph B.
-10
0
10
20
30
40
50
60
Y1
20
30
40
50
60
70
80
X
-10
0
10
20
30
40
50
60
Y2
20
30
40
50
60
70
80
X
B
A
Figure 1. Regressions differing in accuracy of prediction. 
The standard error of the estimate is a measure of the accuracy of predictions. 
Recall that the regression line is the line that minimizes the sum of squared 
deviations of prediction (also called the sum of squares error). The standard error 
of the estimate is closely related to this quantity and is defined below:
474
How to C#: Generate Thumbnail for Word
Preview Document. Conversion. Convert Word to PDF. Convert Word Convert Word to ODT. Convert PDF to Word. Text Search. Insert Image. Thumbnail Create. Thumbnail Create
enable pdf thumbnails; pdf files thumbnails
How to C#: Generate Thumbnail for PowerPoint
Preview Document. Conversion. Convert PowerPoint to PDF. Convert PowerPoint to Pages. Annotate PowerPoint. Text Search. Insert Image. Thumbnail Create.
show pdf thumbnails; create thumbnails from pdf files
where σ
est
is the standard error of the estimate, Y is an actual score, Y' is a 
predicted score, and N is the number of pairs of scores. The numerator is the sum 
of squared differences between the actual scores and the predicted scores. 
Note the similarity of the formula for σ
est
to the formula for σ:
In fact, σ
est
is the standard deviation of the errors of prediction (each Y - Y’ is an 
error of prediction). 
Assume the data in Table 1 are the data from a population of five X, Y pairs.
Table 1. Example data.
X
Y
Y'
Y-Y'
(Y-Y')2
1.00
1.00
1.210
-0.210
0.044
2.00
2.00
1.635
0.365
0.133
3.00
1.30
2.060
-0.760
0.578
4.00
3.75
2.485
1.265
1.600
5.00
2.25
2.910
-0.660
0.436
Sum
15.00
10.30
10.30
0.000
2.791
The last column shows that the sum of the squared errors of prediction is 2.791. 
Therefore, the standard error of the estimate is
=

2.791
5
=0.747 
There is a version of the formula for the standard error in terms of Pearson's 
correlation:
475
How to C#: Generate Thumbnail for Excel
Preview Document. Conversion. Convert Excel to PDF. Convert Excel to Insert Image. Thumbnail Create. Thumbnail Create. |. Home ›› XDoc.Excel ›› C# Excel
create thumbnail from pdf c#; pdf files thumbnail preview
How to C#: Overview of Using XDoc.PowerPoint
document (ODP). Empower to navigate PowerPoint document content quickly via thumbnail. Able to you want. Create Thumbnail. See this
enable pdf thumbnails in; pdf first page thumbnail
=

(1
 
)
where ρ is the population value of Pearson's correlation and SSY is
=( 
)
 
For the data in Table 1, m
y
= 10.30, SSY = 4.597 and r = 0.6268. Therefore,
=

(
10.6268
 
)
(4.597)
5
=

2.791
5
=0.747 
which is the same value computed previously.
Similar formulas are used when the standard error of the estimate is 
computed from a sample rather than a population. The only difference is that the 
denominator is N-2 rather than N. The reason N-2 is used rather than N-1 is that 
two parameters (the slope and the intercept) were estimated in order to estimate the 
sum of squares. Formulas for a sample comparable to the ones for a population are 
shown below:
=

(   )
 
2

=
!
2.791
3
=0.964 

=
!
(1 

)
2
476
How to C#: Overview of Using XDoc.Word
Tell C# users how to: create a new Word file and load Word from pdf; merge, append, and split Word files; insert, delete, move, rotate, copy Create Thumbnail.
pdf reader thumbnails; pdf thumbnail
How to C#: Overview of Using XDoc.Excel
Empower to navigate Excel document content quickly via thumbnail. Able to support text search in Excel document, as well as text extraction. Create Thumbnail.
generate thumbnail from pdf; thumbnail view in for pdf files
Inferential Statistics for b and r
by David M. Lane
Prerequisites
Chapter 9: Sampling Distribution of r
Chapter 9: Confidence Interval for r
Learning Objectives
1. State the assumptions that inferential statistics in regression are based upon
2. Identify heteroscedasticity in a scatter plot
3. Compute the standard error of a slope
4. Test a slope for significance
5. Construct a confidence interval on a slope
6. Test a correlation for significance
7. Construct a confidence interval on a correlation
This section shows how to conduct significance tests and compute confidence 
intervals for the regression slope and Pearson's correlation. As you will see, if the 
regression slope is significantly different from zero, then the correlation coefficient 
is also significantly different from zero.
Assumptions
Although no assumptions were needed to determine the best-fitting straight line, 
assumptions are made in the calculation of inferential statistics. Naturally, these 
assumptions refer to the population, not the sample.
1. Linearity: The relationship between the two variables is linear.
2. Homoscedasticity: The variance around the regression line is the same for all 
values of X. A clear violation of this assumption is shown in Figure 1. Notice 
that the predictions for students with high high-school GPAs are very good, 
whereas the predictions for students with low high-school GPAs are not very 
good. In other words, the points for students with high high-school GPAs are 
close to the regression line, whereas the points for low high-school GPA 
students are not.
477
2
2.2
2.4
2.6
2.8
3
3.2
3.4
3.6
3.8
2
2.2
2.4
2.6
2.8
3
3.2
3.4
3.6
3.8
Univ_GPA
High_GPA
Figure 1. University GPA as a function of High School GPA. 
3. The errors of prediction are distributed normally. This means that the 
distributions of deviations from the regression line are normally distributed. It does 
not mean that X or Y is normally distributed.
Significance Test for the Slope (b)
Recall the general formula for a t test:
=
                    -  
      - -     -
-  - - -       
As applied here, the statistic is the sample value of the slope (b) and the 
hypothesized value is 0. The degrees of freedom for this test are:
df = N-2
where N is the number of pairs of scores.
478
The estimated standard error of b is computed using the following formula:

=

where s
b
is the estimated standard error of b, s
est
is the standard error of the 
estimate, and SSX is the sum of squared deviations of X from the mean of X. SSX 
is calculated as
="(  

)

where M
x
is the mean of X. As shown previously, the standard error of the estimate 
can be calculated as

=
!
(1 

)
2
These formulas are illustrated with the data shown in Table 1. These data are 
reproduced from the introductory section. The column X has the values of the 
predictor variable and the column Y has the values of the criterion variable. The 
third column, x, contains the differences between the values of column X and the 
mean of X. The fourth column, x
2
, is the square of the x column. The fifth column, 
y, contains the differences between the values of column Y and the mean of Y. The 
last column, y
2
, is simply the square of the y column. 
479
Table 1. Example data.
X
Y
x
x2
y
y2
1.00
1.00
-2.00
4
-1.06
1.1236
2.00
2.00
-1.00
1
-0.06
0.0036
3.00
1.30
0.00
0
-0.76
0.5776
4.00
3.75
1.00
1
1.69
2.8561
5.00
2.25
2.00
4
0.19
0.0361
Sum
15.00
10.30
0.00
10.00
0.00
4.5970
The computation of the standard error of the estimate (s
est
) for these data is shown 
in the section on the standard error of the estimate. It is equal to 0.964.
s
est
= 0.964
SSX is the sum of squared deviations from the mean of X. It is, therefore, equal to 
the sum of the x
2
column and is equal to 10.
SSX = 10.00
We now have all the information to compute the standard error of b:

=
0.964
10
=0.305 
As shown previously, the slope (b) is 0.425. Therefore,
=
0.425
0.305
=1.39 
df = N-2 = 5-2 = 3.
The p value for a two-tailed t test is 0.26. Therefore, the slope is not significantly 
different from 0.
480
Documents you may be interested
Documents you may be interested