asp.net pdf viewer user control : View pdf thumbnails control Library utility azure asp.net html visual studio Online_Statistics_Education58-part70

which is the geometric mean:
(1 x 10 x 100)
.3333
= 10.
Table 1. Logarithms.
X
Log
10
(X)
1
10
100
0
1
2
Therefore, if the arithmetic means of two sets of log-transformed data are equal 
then the geometric means are equal.
581
View pdf thumbnails - Draw thumbnail images for PDF in C#.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
Support Thumbnail Generation with Various Options for Quick PDF Navigation
pdf files thumbnail preview; pdf no thumbnail
View pdf thumbnails - VB.NET PDF Thumbnail Create SDK: Draw thumbnail images for PDF in vb.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
Support Thumbnail Generation with Various Options for Quick PDF Navigation
how to show pdf thumbnails in; create thumbnail jpeg from pdf
Tukey Ladder of Powers
by David W. Scott
Prerequisites
Chapter 1: Logarithms 
Chapter 4: Bivariate Data
Chapter 4: Values of Pearson Correlation 
Chapter 12: Independent Groups t Test
Chapter 13: Introduction to Power
Chapter 16: Tukey Ladder of Powers
Learning Objectives
1. Give the Tukey ladder of transformations
2. Find a transformation that reveals a linear relationship
3. Find a transformation to approximate a normal distribution
Introduction
We assume we have a collection of bivariate data
(x
1
,y
1
),(x
2
,y
2
),...,(x
n
,y
n
)
and that we are interested in the relationship between variables x and y. Plotting the 
data on a scatter diagram is the first step. As an example, consider the population of 
the United States for the 200 years before the Civil War. Of course, the decennial 
census began in 1790. These data are plotted two ways in Figure 1. Malthus 
predicted that geometric growth of populations coupled with arithmetic growth of 
grain production would have catastrophic results. Indeed the US population 
followed an exponential curve during this period.
582
C# HTML5 PDF Viewer SDK to view PDF document online in C#.NET
Ability to show PDF page thumbnails for quick navigation. Easy to search PDF text in whole PDF document. C# HTML5 PDF Viewer: View PDF Online.
can't view pdf thumbnails; .pdf printing in thumbnail size
VB.NET PDF- View PDF Online with VB.NET HTML5 PDF Viewer
Ability to show PDF page thumbnails for quick navigation. Easy to search PDF text in whole PDF document. VB.NET HTML5 PDF Viewer: View PDF Online.
enable thumbnail preview for pdf files; create pdf thumbnails
●●
●●
Year
1700
1750
1800
1850
0
5
10
15
20
25
30
       US population (millions)
Year
1700
1750
1800
1850
0.1
0.2
0.5
1.0
2.0
5.0
10.0
20.0
Figure 1. The US population from 1670 - 1860. The Y-axis on the right panel 
is on a log scale.
Tukey's Transformation Ladder
Tukey (1977) describes an orderly way of re-expressing variables using a power 
transformation. You may be familiar with polynomial regression (a form of 
multiple regression) in which the simple linear model y = b
0
+ b
1
X is extended 
with terms such as b
2
x
+
b
3
x
+ b
4
x
4
. Alternatively, Tukey suggests exploring 
simple relationships such as
y = b
0
+ b
1
X
λ
or y
λ
= b
0
+ b
1
X (Equation 1)
where λ is a parameter chosen to make the relationship as close to a straight line as 
possible. Linear relationships are special, and if a transformation of the type x
λ
or 
y
λ
works as in Equation (1), then we should consider changing our measurement 
scale for the rest of the statistical analysis.
There is no constraint on values of λ that we may consider. Obviously 
choosing λ = 1 leaves the data unchanged. Negative values of λ are also 
reasonable. For example, the relationship
y = b
0
+ b
1
/x
would be represented by λ = −1. The value λ = 0 has no special value, since X
0
= 1, 
which is just a constant. Tukey (1977) suggests that it is convenient to simply 
define the transformation when λ = 0 to be the logarithm function rather than the 
583
VB.NET PDF - View PDF with WPF PDF Viewer for VB.NET
Easy to search PDF text in whole PDF document in VB.NET WPF program. PDF thumbnails for navigation in .NET project. VB.NET WPF PDF Viewer: View PDF Document.
print pdf thumbnails; pdf preview thumbnail
C# WPF PDF Viewer SDK to view PDF document in C#.NET
Users can view any page by using view page button. Easy to search PDF text in whole PDF document. PDF thumbnails for navigation in .NET WPF Console application.
create pdf thumbnail; create thumbnail jpg from pdf
constant 1. We shall revisit this convention shortly. The following table gives 
examples of the Tukey ladder of transformations.
Table 1. Tukey's Ladder of Transformations
-2 -1 1 -1/2
0
1/2 1
2
Xfm
1
x2
1
x
1
p
x
logx
p
x x x x
2
If x takes on negative values, then special care must be taken so that the 
transformations make sense, if possible. We generally limit ourselves to variables 
where x > 0 to avoid these considerations. For some dependent variables such as 
the number of errors, it is convenient to add 1 to x before applying the 
transformation.
Also, if the transformation parameter λ is negative, then the transformed 
variable x
λ
is reversed. For example, if x is increasing, then 1/x is decreasing. We 
choose to redefine the Tukey transformation to be -(x
λ
) if λ < 0 in order to preserve 
the order of the variable after transformation. Formally, the Tukey transformation 
is defined as
˜x
=
8
<
:
x
if >0
logx
if =0
(x
)
if <0
(2)
In Table 2 we reproduce Table 1 but using the modified definition when λ < 0.
Table 2. Modified Tukey's Ladder of Transformations 
-2
-1 -1/2
0
1/2 1
2
Xfm
1
x2
1
x
1
p
x
logx
p
x x x x
2
584
C# PDF Convert to Jpeg SDK: Convert PDF to JPEG images in C#.net
Support of converting from any single one PDF page and multiple pages. Thumbnails can be created from PDF pages. Support for customizing image size.
generate pdf thumbnail c#; pdf thumbnail preview
VB.NET PDF File Compress Library: Compress reduce PDF size in vb.
Reduce image resources: Since images are usually or large size, images size reducing can help to reduce PDF file size effectively. Embedded page thumbnails.
no pdf thumbnails in; how to view pdf thumbnails in
The Best Transformation for Linearity
The goal is to find a value of λ that makes the scatter diagram as linear as possible. 
For the US population, the logarithmic transformation applied to y makes the 
relationship almost perfectly linear. The red dashed line in the right frame of Figure 
1 has a slope of about 1.35; that is, the US population grew at a rate of about 35% 
per decade.
The logarithmic transformation corresponds to the choice λ = 0 by Tukey's 
convention. In Figure 2, we display the scatter diagram of the US population data 
for λ = 0 as well as for other choices of λ.
●●●●
λ=−1
λ=−0.5
λ=−0.25
λ=0
λ=0.25
λ=0.5
●●
●●
λ=0.75
●●●●
●●
λ=1
Figure 2. The US population from 1670 to 1860 for various values of λ.
The raw data are plotted in the bottom right frame of Figure 2 when λ = 1. The 
logarithmic fit is in the upper right frame when λ = 0. Notice how the scatter 
diagram smoothly morphs from convex to concave as λ increases. Thus intuitively 
there is a unique best choice of λ corresponding to the “most linear” graph.
One way to make this choice objective is to use an objective function for this 
purpose. One approach might be to fit a straight line to the transformed points and 
try to minimize the residuals. However, an easier approach is based on the fact that 
the correlation coefficient, r, is a measure of the linearity of a scatter diagram. In 
particular, if the points fall on a straight line then their correlation will be r = 1. 
(We need not worry about the case when r = −1 since we have defined the Tukey 
transformed variable x
λ
to be positively correlated with x itself.)
585
C# PDF File Compress Library: Compress reduce PDF size in C#.net
by large enterprises and organizations to distribute and view documents. size, images size reducing can help to reduce PDF file size Embedded page thumbnails.
enable pdf thumbnail preview; pdf first page thumbnail
C# PDF Convert to Images SDK: Convert PDF to png, gif images in C#
Converter control easy to create thumbnails from PDF pages. Selection for compressing to multiple image formats. Cut and paste any areas in PDF pages to images.
show pdf thumbnail in; pdf thumbnail creator
In Figure 3, we plot the correlation coefficient of the scatter diagram 
(x,˜y
)as a function of  . . It t is clear that the logarithmic transformation
( =0)isnearlyoptimalbythiscriterion.
as a function of λ. It is clear that the logarithmic transformation (λ = 0) is nearly 
optimal by this criterion.
λ
−1
−.5
0
.5
1
.75
.8
.85
.9
.95
1
Correlation coefficient
λ
−.04 −.02
0
.02
.04
.9990
.9995
1
Figure 3. Graph of US population correlation coefficient as function of λ.
Is the US population still on the same exponential growth pattern? In Figure 4 we 
display the US population from 1630 to 2000 using the transformation and fit used 
in the right frame of Figure 1. Fortunately, the exponential growth (or at least its 
rate) was not sustained into the Twentieth Century. If it had, the US population in 
the year 2000 would have been over 2 billion (2.07 to be exact), larger than the 
population of China.
586
Year
1700
1800
1900
2000
.001
.1
10
1000
US population (millions)
Figure 4. Graph of US population 1630-2000 with λ = 0.
We can examine the decennial census population figures of individual states as 
well. In Figure 5 we display the population data for the state of New York from 
1790 to 2000, together with an estimate of the population in 2008. Clearly 
something unusual happened starting in 1970. (This began the period of mass 
migration to the West and South as the rust belt industries began to shut down.) 
Thus, we compute the best λ value using the data from 1790-1960 in the middle 
frame of Figure 5. The right frame displays the transformed data, together with the 
linear fit for the 1790-1960 period. The value of λ = 0.41 is not obvious and one 
might reasonably choose to use λ = 0.50 for practical reasons.
Year
1800 1850 1900 1950 2000
0
5
10
15
20
Population of
New York State
(millions)
λ
−.5
0
.5
1
1.5
.75
.8
.85
.9
.95
1
λ = 0.41
Year
1800 1850 1900 1950 2000
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
Transformed
Population of
New York State
Figure 5. Graphs related to the New York state population 1790-2008.
587
If we look at one of the younger states in the West, the picture is different. Arizona 
has attracted many retirees and immigrants. Figure 6 summarizes our findings. 
Indeed, the growth of population in Arizona is logarithmic, and appears to still be 
logarithmic through 2005.
Year
1920 1940 1960 1980 0 2000
0
1
2
3
4
5
6
Population of
Arizona State
(millions)
λ
−1
−.5
0
.5
1
.85
.9
.95
1
λ = −0.02
Year
1920 1940 0 1960 1980 2000
−1.5
−1.0
−0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
log−Transformed
Population of
Arizona State
Figure 6. Graphs related to the Arizona state population 1910-2005.
Reducing Skew
Many statistical methods such as t tests and the analysis of variance assume normal 
distributions. Although these methods are relatively robust to violations of 
normality, transforming the distributions to reduce skew can markedly increase 
their power.
As an example, the data in the “Stereograms” case study is very skewed. A t 
test of the difference between the two conditions using the raw data results in a p 
value of 0.056, a value not conventionally considered significant. However, after a 
log transformation (λ = 0) that reduces the skew greatly, the p value is 0.023 which 
is conventionally considered significant.
The demonstration in Figure 7 shows distributions of the data from the 
Stereograms case study as transformed with various values of λ. Decreasing λ 
makes the distribution less positively skewed. Keep in mind that λ = 1 is the raw 
data. Notice that there is a slight positive skew for λ = 0 but much less skew than 
found in the raw data (λ = 1). Values of below 0 result in negative skew.
588
Figure 7. Distribution of data from the Stereogram case study for various 
values of λ.
589
Box-Cox Transformations
by David Scott
Prerequisites
This section assumes a higher level of mathematics background than most other 
sections of this work. 
Chapter 1: Logarithms 
Chapter 3: Additional Measures of Central Tendency (Geometic Mean)
Chapter 4: Bivariate Data
Chapter 4: Values of Pearson Correlation 
Chapter 16: Tukey Ladder of Powers
George Box and Sir David Cox collaborated on one paper (Box, 1964). The story 
is that while Cox was visiting Box at Wisconsin, they decided they should write a 
paper together because of the similarity of their names (and that both are British). 
In fact, Professor Box is married to the daughter of Sir Ronald Fisher.
The Box-Cox transformation of the variable x is also indexed by λ, and is 
defined as
x
0
=
x
1
.
(Equation 1)
At first glance, although the formula in Equation (1) is a scaled version of the 
Tukey transformation x
λ
, this transformation does not appear to be the same as the 
Tukey formula in Equation (2). However, a closer look shows that when λ < 0, 
both x
λ
and x′
λ 
change the sign of x
λ
to preserve the ordering. Of more interest is 
the fact that when λ = 0, then the Box-Cox variable is the indeterminate form 0/0. 
Rewriting the Box-Cox formula as
x
0
=
e
log(x)
1
1+ log(x)+
1
2
2
log(x)
2
+···
1
!log(x)
as λ → 0. This same result may also be obtained using l'Hôpital's rule from your 
calculus course. This gives a rigorous explanation for Tukey's suggestion that the 
590
Documents you may be interested
Documents you may be interested