Of these 70 ways of dividing the data, how many result in a difference between 
means of 10 or larger? From Table 1 you can see that there are two rearrangements 
that would lead to a bigger difference than 10: (a) the score of 7 could have been in 
the Control Group with the score of 9 in the Experimental Group and (b) the score 
of 8 could have been in the Control Group with the score of 9 in the Experimental 
Group. Therefore, including the actual data, there are 3 ways to produce a 
difference as large or larger than the one obtained. This means that if assignments 
to groups were made randomly, the probability of this large or a larger advantage 
of the Experimental Group is 3/70 = 0.0429. Since only one direction of difference 
is considered (Experimental larger than Control), this is a one-tailed probability. 
The two-tailed probability is 0.0857 since there are 6/70 ways to arrange the data 
so that the absolute value of the difference between groups is as large or larger than 
the one obtained.
Clearly, this type of analysis would be very time consuming for even 
moderate sample sizes. Therefore, it is most useful for very small sample sizes.
An alternate approach made practical by computer software is to randomly 
divide the data into groups thousands of times and count the proportion of times 
the difference is as big or bigger than that found with the actual data. If the number 
of times the data are divided randomly is very large, then this proportion will be 
very close to the proportion you would get if you listed all possible ways the data 
could be divided.
621
Pdf thumbnails in - Draw thumbnail images for PDF in C#.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
Support Thumbnail Generation with Various Options for Quick PDF Navigation
pdf preview thumbnail; pdf files thumbnails
Pdf thumbnails in - VB.NET PDF Thumbnail Create SDK: Draw thumbnail images for PDF in vb.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
Support Thumbnail Generation with Various Options for Quick PDF Navigation
cannot view pdf thumbnails in; enable pdf thumbnail preview
Randomization Tests: Two or More Conditions
by David M. Lane
Prerequisites
Chapter 18: Randomization Tests (two conditions)
Learning Objectives
1. Compute a randomization test for differences among more than two conditions.
The method of randomization for testing differences among more than two means 
is essentially very similar to the method when there are exactly two means. Table 1 
shows the data from a fictitious experiment with three groups.
Table 1. Fictitious data.
T1
T2
Control
7
8
11
12
14
19
21
122
0
2
5
9
The first step in a randomization test is to decide on a test statistic. Then we 
compute the proportion of the possible arrangements of the data for which that test 
statistic is as large as or larger than the arrangement of the actual data. When 
comparing several means, it is convenient to use the F ratio. The F ratio is 
computed not to test for significance directly, but as a measure of how different the 
groups are. For these data, the F ratio for a one-way ANOVA is 2.06.
The next step is to determine how many arrangements of the data result in as 
large or larger F ratios. There are 6 arrangements that lead to the same F of 2.06: 
the six arrangements of the three columns. One such arrangement is shown in 
Table 2. The six are:
(1) T1, T2, Control
(2) T1, Control, T2
(3) T2, T1, Control
(4) T2, Control, T1
(5) Control, T1, T2
(6) Control, T2, T1 
622
C# HTML5 PDF Viewer SDK to view PDF document online in C#.NET
Ability to show PDF page thumbnails for quick navigation. Easy to search PDF text in whole PDF document. Navigate PDF document with thumbnails. 14. Text Search.
create thumbnail from pdf; view pdf thumbnails
VB.NET PDF- View PDF Online with VB.NET HTML5 PDF Viewer
Ability to show PDF page thumbnails for quick navigation. Easy to search PDF text in whole PDF document. Navigate PDF document with thumbnails. 14. Text Search.
program to create thumbnail from pdf; show pdf thumbnail in html
For each of the 6 arrangements there are two changes that lead to a higher F ratio: 
swapping the 7 for the 9 (which gives an F of 2.08) and swapping the 8 for the 9 
(which gives an F of 2.07). The former of these two is shown in Table 3.
Table 2. Fictitious data with data for T1 and T2 swapped
T1
Control
T2
7
8
11
12
14
19
21
122
0
2
5
9
Table 3. Data from Table 1 with the 7 and the 9 swapped.
T1
T2
Control
9
8
11
12
14
19
21
122
0
2
5
7
Thus, there are six arrangements, each with two swaps that lead to a larger F ratio. 
Therefore, the number of arrangements with an F as large or larger than the actual 
arrangement is 6 (for the arrangements with the same F) + 12 (for the arrangements 
with a larger F), which makes 18 in all.
The next step is to determine the total number of possible arrangements. 
This can be computed from the following formula:
!""#$%&'&$()=(!!)
!
=
4!
!
=13,824!
where n is the number of observations in each group (assumed to be the same for 
all groups), and k is the number of groups. Therefore, the proportion of 
arrangements with an F as large or larger than the F of 2.06 obtained with the data 
is
18/13,824 = 0.0013.
Thus, if there were no treatment effect, it is very unlikely that an F as large or 
larger than the one obtained would be found.
623
VB.NET PDF File Compress Library: Compress reduce PDF size in vb.
Reduce image resources: Since images are usually or large size, images size reducing can help to reduce PDF file size effectively. Embedded page thumbnails.
pdf file thumbnail preview; html display pdf thumbnail
C# PDF Convert to Jpeg SDK: Convert PDF to JPEG images in C#.net
Support of converting from any single one PDF page and multiple pages. Thumbnails can be created from PDF pages. Support for customizing image size.
pdf thumbnail generator online; pdf thumbnails in
Randomization Tests: Association (Pearson's r)
by David M. Lane
Prerequisites
Chapter 14: Inferential Statistics for b and r
Learning Objectives
1. Compute a randomization test for Pearson's r.
A significance test for Pearson's r is described in the section inferential statistics 
for b and r. The significance test described in that section assumes normality. This 
section describes a method for testing the significance of r that makes no 
distributional assumptions.
Table 1. Example data.
X
Y
1.0
1.0
2.4
2.0
3.8
2.3
4.0
3.7
11.0
2.5
The approach is to consider the X variable fixed and compare the correlation 
obtained in the actual data to the correlations that could be obtained by rearranging 
the Y variable. For the data shown in Table 1, the correlation between X and Y is 
0.385. There is only one arrangement of Y that would produce a higher correlation. 
This arrangement is shown in Table 2 and the r is 0.945. Therefore, there are two 
arrangements of Y that lead to correlations as high or higher than the actual data.
Table 2. The example data arranged to give the highest r.
X
Y
1.0
1.0
2.4
2.0
3.8
2.3
624
C# PDF File Compress Library: Compress reduce PDF size in C#.net
Reduce image resources: Since images are usually or large size, images size reducing can help to reduce PDF file size effectively. Embedded page thumbnails.
show pdf thumbnails in; create thumbnail jpg from pdf
VB.NET PDF - View PDF with WPF PDF Viewer for VB.NET
File: Compress PDF. Page: Create Thumbnails. Page: Insert PDF Pages. Page: Delete Existing PDF Pages. PDF thumbnails for navigation in .NET project.
create pdf thumbnail; enable pdf thumbnails in
4.0
2.5
11.0
3.7
The next step is to calculate the number of possible arrangements of Y. The number 
is simply N! where N is the number of pairs of scores. Here, the number of 
arrangements is 5! = 120. Therefore, the probability value is 2/120 = 0.017. Note 
that this is a one-tailed probability since it is the proportion of arrangements that 
give an r as large or larger. For the two-tailed probability, you would also count 
arrangements for which the value of r were less than or equal to -0.385. In 
randomization tests, the two-tailed probability is not necessarily double the one-
tailed probability.
625
C# PDF Convert to Images SDK: Convert PDF to png, gif images in C#
Converter control easy to create thumbnails from PDF pages. Selection for compressing to multiple image formats. Cut and paste any areas in PDF pages to images.
create pdf thumbnail image; how to make a thumbnail from pdf
C# WPF PDF Viewer SDK to view PDF document in C#.NET
File: Compress PDF. Page: Create Thumbnails. Page: Insert PDF Pages. Page: Delete Existing PDF Pages. PDF thumbnails for navigation in .NET WPF Console application
pdf no thumbnail; create thumbnail from pdf c#
Randomization Tests: Contingency Tables: (Fisher's 
Exact Test)
by David M. Lane
Prerequisites
Chapter 17: Contingency Tables
Learning Objectives
1. State the situation when Fisher's exact test can be used
2. Calculate Fisher's exact test
3. Describe how conservative the Fisher exact test is relative to a Chi Square test
The chapter on Chi Square showed one way to test the relationship between two 
nominal variables. A special case of this kind of relationship is the difference 
between proportions. This section shows how to compute a significance test for a 
difference in proportions using a randomization test. Suppose, in a fictitious 
experiment, 4 subjects in an Experimental Group and 4 subjects in a Control Group 
are asked to solve an anagram problem. Three of the 4 subjects in the Experimental 
Group and none of the subjects in the Control Group solved the problem. Table 1 
shows the results in a contingency table.
Table 1. Anagram Problem Data.
Experimental
Control
Total
Solved
3
0
3
Did not 
Solve
1
4
5
Total
4
4
8
The significance test we are going to perform is called the Fisher Exact Test. The 
basic idea is to take the row totals and column totals as “given” and add the 
probability of obtaining the pattern of frequencies obtained in the experiment and 
the probabilities of all other patterns that reflect a greater difference between 
conditions. The formula for obtaining any given pattern of frequencies is:
626
!!
!−!
!!!
!−!
!
!!
!−!
!
!−!
!
!−!−!+!
!!!
!
where N is the total sample size (8), n is the sample size for the first group (4), r is 
the number of successes in the first group (3), and R is the total number of 
successes (3). For this example, the probability is
4!
8−4
!3!
8−3
!
3!
4−3
!
3−3
!
8−4−3+3
!8!
=0.0714!
Since more extreme outcomes do not exist given the row and column totals, the p 
value is 0.0714. This is a one-tailed probability since it only considers outcomes as 
extreme or more extreme favoring the Experimental Group. An equally extreme 
outcome favoring the Control Group is shown in Table 2, which also has a 
probability of 0.0714. Therefore, the two-tailed probability is 0.1428. Note that in 
the Fisher Exact Test, the two-tailed probability is not necessarily double the one-
tailed probability.
Table 2. Anagram Problem Favoring Control Group.
Experimental
Control
Total
Solved
0
3
3
Did not 
Solve
4
1
5
Total
4
4
8
The Fisher Exact Test is “exact” in the sense that it is not based on a statistic that is 
approximately distributed as, for example, Chi Square. However, because it 
assumes that both marginal totals are fixed, it can be considerably less powerful 
than the Chi Square test. Even though the Chi Square test is an approximate test, 
the approximation is quite good in most cases and tends to have too low a Type I 
error rate more often than too high a Type I error rate.
627
Rank Randomization: Two Conditions (Mann-Whitney 
U, Wilcoxon Rank Sum)
by David M. Lane
Prerequisites
Chapter 5: Permutations and Combinations
Chapter 17: Randomization Tests for Two Conditions
Learning Objectives
1. State the difference between a randomization test and a rank randomization test
2. Describe why rank randomization tests are more common
3. Be able to compute a Mann-Whitney U test
The major problem with randomization tests is that they are very difficult to 
compute. Rank randomization tests are performed by first converting the scores to 
ranks and then computing a randomization test. The primary advantage of rank 
randomization tests is that there are tables that can be used to determine 
significance. The disadvantage is that some information is lost when the numbers 
are converted to ranks. Therefore, rank randomization tests are generally less 
powerful than randomization tests based on the original numbers.
There are several names for rank randomization tests for differences in 
central tendency. The two most common are the Mann-Whitney U test and the 
Wilcoxon Rank Sum Test
Consider the data shown in Table that were used as an example in the section 
on randomization tests.
Table 1. Fictitious data.
Experimental
Control
7
8
11
30
0
2
5
9
A rank randomization test on these data begins by converting the numbers to ranks.
628
Table 2. Fictitious data converted to ranks. Rank sum = 24.
Experimental
Control
4
5
7
8
1
2
3
6
The probability value is determined by computing the proportion of the possible 
arrangements of these ranks that result in a difference between ranks of as large or 
larger than those in the actual data (Table 2). Since the sum of the ranks (the 
numbers 1-8) is a constant (36 in this case), we can use the computational shortcut 
of finding the proportion of arrangements for which the sum of the ranks in the 
Experimental Group is as high or higher than the sum here (4 + 5 + 7 + 8) = 24.
First, consider how many ways the 8 values could be divided into two sets of 
4. We can apply the formula from the section on Permutations and Combinations 
for the number of combinations of n items taken r at a time (n = the total number of 
observations; r = the number of observations in the first group) and find that there 
are 70 ways.
!
!
!
=
!!
!−!
!!!
=
8!
8−4
!4!
=70!
Of these 70 ways of dividing the data, how many result in a sum of ranks of 24 or 
more? Tables 3-5 show three rearrangements that would lead to a rank sum of 24 
or larger.
Table 3. Rearrangement of data converted to ranks. Rank sum = 26.
Experimental
Control
6
5
7
8
1
2
3
4
629
Table 4. Rearrangement of data converted to ranks. Rank sum = 25.
Experimental
Control
4
6
7
8
1
2
3
5
Therefore, the actual data represent 1 arrangement with a rank sum of 24 or more 
and the 3 arrangements represent three others. Therefore, there are 4 arrangements 
with a rank sum of 24 or more. This makes the probability equal to 4/70 = 0.057. 
Since only one direction of difference is considered (Experimental larger than 
Control), this is a one-tailed probability. The two-tailed probability is (2)(0.057) = 
0.114, since there are 8/70 ways to arrange the data so that the sum of the ranks is 
either (a) as large or larger or (b) as small or smaller than the sum found for the 
actual data.
The beginning of this section stated that rank randomization tests were easier 
to compute than randomization tests because tables are available for rank 
randomization tests. Table 6 can be used to obtain the critical values for equal 
sample sizes of 4-10.
For the present data, both n
1
and n
2
= 4 so, as can be determined from the 
table, the rank sum for the Experimental Group must be at least 25 for the 
difference to be significant at the 0.05 level (one-tailed). Since the sum of ranks 
equals 24, the probability value is somewhat above 0.05. In fact, by counting the 
arrangements with the sum of ranks greater than or equal to 24, we found that the 
probability value is 0.057. Naturally a table can only give the critical value rather 
than the p value itself. However, with a larger sample size, such as 10 subjects per 
group, it becomes very time consuming to count all arrangements equalling or 
exceeding the rank sum of the data. Therefore, for practical reasons, the critical 
value sometimes suffices.
630
Documents you may be interested
Documents you may be interested