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Lenght in which one wave lags behind other is called  path difference (Δ). It is equal
to difference between paths of the waves from their sources to any point where both waves
are  present.  Path  difference  is  equal  to  the  wavelength  for  constructive  interference.
Constructive interference also occurs when path difference is equal to zero, or when it is equal
to integer number of wavelengths. For destructive interference it is equal to half of the
wavelength multiplied with an odd number.
Imag  5: Constructive interference of two equal harmonic waves when path difference is
equal to wavelength
Path difference in constructive interference:
െ
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Image 6: Destructive interference of two equal harmonic waves when path
difference is equal to half of the wavelength
Path difference for destructive interference:
Δ
െ
5.  Standing wave
When two waves move in opposite directions, through each other, interference takes
place. If the two waves have the same frequency and wavelength then a specific type of
constructive  interference  can  occur:  standing  waves  can  form.  Standing  waves  are
disturbances which don't appear to move, they look like they stay in the same place even
though the waves that from them are moving. Peaks and troughs of a standing wave don't
move, it doesn't propagate through the medium, it is standing in place and that is why it is
called standing wave. Spots where particles oscillate with highest amplitude are called anti-
nodes and places where particles don’t oscillate are called nodes. In other words, a node is a
place where the two waves cancel out completely as two waves destructively interfere in the
same place. An anti-node is a place where the two waves constructively interfere. Length
between two nodes or two anti-nodes is equal to half of the wavelength because it is the
distance from a peak to a trough in one of the waves forming the standing wave. It is the same
as the distance between two adjacent nodes.
If  we  have  two  identical  point  sources  from  which  waves  propagate  in  every
directions, standing wave will be formed by interference. Nodes and anti-nodes of that wave
are hyperboloids. Standing wave can be formed by two identical point sources of the sound.
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6.  Doppler Effect
The Doppler shift is an effect which becomes apparent when the source of sound
waves or the person hearing the sound waves is moving. In this case the frequency of the
sounds waves can be different. The height of the tone we hear while,  for example, car
approaches us is higher than the height of the tone we hear when a car is distancing from us.
This might seem strange but you have probably experienced the Doppler Effect in everyday
life. The effect depends on whether the source of the sound is moving away from the listener
or if it is moving towards the listener.
The car itself is source of the sound and it emits the tone with constant frequency, but
observer registers higher or lower frequency. The observer will also register higher or lower
frequency if the source of sound is still, but observer is moving and when both observer and
source are moving.
We will discuss three cases: when source is still and observer is moving, when source
is moving and observer is still, and when both observer and source are moving.
1.
The source is still and the observer is moving
Image 7: The source is still and the observer is moving
Wave is propagating with the speed v from the point source I. If we say that observer
is moving towards the source with the speed v
0
, then the speed of the wave for the observer is
v+v
0
, and the frequency is:
f’=
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If observer were still, he would register frequency:
f=
From the last two equations we get:
f’=f
.
If observer moves away from the source, his speed has negative sign:
f’=f
2.
The observer is still and the source is moving
Image 8: The observer is still and the source is moving
When source moves, it emits waves from different points. Wavelength is lower in
the direction in which source moves (
λ’
) than it would be when source would be still. Since
the speed of the wave does not change, by changing wavelength, frequency also changes
(v=f
λ
). How does the frequency that observer registers (
f’
) depends on speed of the source?
In direction in which source moves wavelength decreases for amount of the path
that wave crosses in one period (T). If speed of the source is v
i
, that path is v
i
T, and decreased
wavelength is:
λ’=λ
- v
i
T.
If we include corresponding frequencies, we get:
=
-
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That means that frequency that observer registers is:
f’=
f
.
If the source moves away from the observer, the speed of the source has positive
sign:
f’=f
.
3.
Both source and observer move
Formula for the frequency that observer registers while both him and source move
contains both previous cases:
f’=f
േ
േ
Numerator  has  positive  sign  if  observer  moves  towards  the  source  and
denominator has positive sign if source moves away from the observer. Negative sign is for
the situations where observer moves away from the source and when source moves towards
the observer.
It is known that bats use ultrasonic Doppler Effect for orientation and hunting. Bat
emits ultrasonic waves and receives reflected ones. Based on the time that passed between
emitting and receiving the signal, bat gets information about the distance of the object that
reflects waves, and based on the difference between frequencies of emitted and received
signal it gets information about the speed of the object.
7.  Frontal wave
While studying Doppler Effect we saw that wave fronts thicken in direction of wave
propagation. They are thicker as speed of the source is higher. If speed of source is higher
than the speed of the wave, wave with front in shape of cone will be formed. That kind of
wave front is called Mach cone. It is envelope of wave fronts that source emitted from
different points. On the front of the wave is source, therefore that kind of wave is called
frontal wave. Frontal sound wave is also called shock wave.
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Image 9: Mach cone
If the source moves in the speed of v
i
, in some time (t) it will cross the path lI
1
I
5
l=v
i
t.
In the same time wave moves with the speed v and crosses distance lI
1
Al= vt. From thr right
triangle I
1
I
5
A we can conclude:
Ratio between speed of source and speed of wave is called Mach number (Ma):
Ma=
Moving at the speed of sound is called Mach one. When we say that plane has Mach
two speed, it means that it moves at twice the speed of sound.
If the plane moves at the speed of sound, wave fronts that it emits are thicken right in
front of it in one wave front. Pressure, density and energy of the particles of the air have high
values at that place. That kind of wave front acts like barrier, so when plane speeds up with
additional energy and crosses that barrier, we say that it broke the sound barrier. After
breaking the sound barrier wave front in form of the cone is formed. Here energy, pressure
and density of the particles are as big as at the place in front of the plane before breaking the
sound barrier. That is why wave front in the form of cone of shock wave can cause breaking
of the window glass or some other damage.
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Observer at the ground registers the breaking of the sound barrier when coned wave
front comes to him.
Image 10: Observers on the ground register breaking of the sound barrier
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2.  Geometrical Optics
Geometrical optics describes propagation, reflection and refraction of the light, and
waves of light are shown with rays. Rays of the wave are lines along which wave is spreading
and they are vertical on the wave surfaces. Using the laws of geometrical optics we can
explain how does the human eye work, but also how do the optical devices work, such as
microscope, binocular, devices for projection, camera.
1.  Propagation and reflection of light
Light propagates rectilinear in homogenous medium. This fact is known as the law of
rectilinear propagation of the light. Proof that light propagates rectilinear is the shadow we
see on the screen when we lighten an object with the light from point source. The shadow is
geometrical projection of the object on the screen.
By using the law of rectilinear propagation of the light we can explain how the
picture of the object is formed in camera obscura, forerunner of the photo camera. Picture that
occurs in camera obscura is real and reverse. Its size can be equal to the size of the object, but
it can also be bigger or smaller.
Light reflects from the surface of the object. Angle that is closed by incident ray of
light and perpendicular on surface of the object in the point of incidence is called angle of
incidence (α), and the angle that is closed by perpendicular and the ray of reflected light is
called ang
le of refection (ß). Angle of incidence is equal to the angle of reflection and incident
and reflected rays and perpendicular lay in the same level that is vertical to the surface that
reflects light. This is the law of reflection and it is valid for all the waves, not just light.
Image 11:Reflection of the light
There  is  a  difference  between  regular  and  diffuse  reflection.  After  the  regular
reflection parallel beam of light rays stays parallel. It occurs on smooth surfaces like mirrors.
Diffuse reflection occurs on rough surfaces, like surface of the wall. After reflection on that