c# pdf reader dll : Delete page on pdf software control project winforms azure asp.net UWP solution_manual_of_advanced_engineering_mathematics_by_erwin_kreyszig_9th_edition-110-part208

Setting A = c
1
+c
2
, B = i(c
1
-c
2
) and using Euler’s formula, we obtain, in terms
of components,
y
1
=(c
1
+c
2
) cos 4t + i(c
1
-c
2
) sin 4t
=A cos 4t + B sin 4t
y
2
=(-0.6c
1
+0.8c
1
i- 0.6c
2
-0.8c
2
i) cos 4t
+(-i  0.6c
1
+i  0.6c
2
-0.8c
1
-0.8c
2
) sin 4t
=(-0.6A + 0.8B) cos 4t + (-0.6B - 0.8A) sin 4t.
Since p = 0 and q = -9 + 25 > 0, the critical point is a center.
20. The matrix of the homogeneous system
[
]
has the eigenvalues 6 and -6 with eigenvectors [1 2]
T
and [1 -2]
T
, respectively.
A particular solution of the nonhomogeneous system is obtained by the method of
undetermined coefficients. We set
y
1
(p)
=a
1
t+ b
1
,
y
2
(p)
=a
2
t+ b
2
.
Differentiation and substitution gives
a
1
=3a
2
t+ 3b
2
+6t,
a
2
=12a
1
t+ 12b
1
+1.
Hence a
1
=0, b
1
=-
1
_
4
, a
2
=-2, b
2
=0. The answer is
y
1
=c
1
e
6t
+c
2
e
6t
-
1
_
4
y
2
=2c
1
e
6t
-2c
2
e
6t
-2t.
22. The matrix
[
]
has the eigenvalues 3 and -1 with eigenvectors [1 2]
T
and [1 -2]
T
, respectively.
A particular solution of the nonhomogeneous system is obtained by the method of
undetermined coefficients. We set
y
1
(p)
=a
1
cos t + b
1
sin t,
y
2
(p)
=a
2
cos t + b
2
sin t.
Differentiation and substitution gives the following two equations, where c = cos t
and s = sin t,
(1)
-a
1
s+ b
1
c= a
1
c+ b
1
s+ a
2
c+ b
2
s+ s
(2)
-a
2
s+ b
2
c= 4a
1
c+ 4b
1
s+ a
2
c+ b
2
s.
From the cosine terms and the sine terms in (1) we obtain
b
1
=a
1
+a
2
,
-a
1
=b
1
+b
2
+1.
Similarly from (2),
b
2
=4a
1
+a
2
,
-a
2
=4b
1
+b
2
.
Hence a
1
=-0.3, a
2
=0.4, b
1
=0.1, b
2
=-0.8. This gives the answer
y
1
=c
1
e
3t
+c
2
e
t
-0.3 cos t + 0.1 sin t
y
2
=2c
1
e
3t
-2c
2
e
t
+0.4 cos t - 0.8 sin t.
1
1
1
4
3
0
0
12
94
Instructor’s Manual
im04.qxd  9/21/05  11:08 AM  Page 94
Delete page on pdf - remove PDF pages in C#.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
Provides Users with Mature Document Manipulating Function for Deleting PDF Pages
delete page from pdf preview; acrobat extract pages from pdf
Delete page on pdf - VB.NET PDF Page Delete Library: remove PDF pages in vb.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
Visual Basic Sample Codes to Delete PDF Document Page in .NET
delete page from pdf document; delete pages in pdf
24. The matrix of the homogeneous system
[
]
has the eigenvalues -2 and -1 with eigenvectors [1 1.5]
T
and [1 1]
T
, respectively.
A particular  solution is obtained by the method  of undetermined  coefficients. The
answer is
y
1
=c
1
e
2t
+c
2
e
t
+1.3 cos t - 0.1 sin t
y
2
=1.5c
1
e
2t
+c
2
e
t
+0.7 cos t + 0.1 sin t.
26. The balance equations are
y
1
=-
_
16
200
y
1
+
_
6
100
y
2
y
2
=
_
16
200
y
1
-
_
16
100
y
2
.
Note that the denominators differ. Note further that the outflow to the right must be
included in the balance equation for T
2
. The matrix is
[
].
It has the eigenvalues -0.2 and -0.04 with eigenvectors [1 -2]
T
and [1.5 1]
T
,
respectively. The initial condition is y
1
(0) = 160, y
2
(0) = 0. This gives the answer
y
1
=
40e
0.2t
+120e
0.04t
y
2
=-80e
0.2t
+ 80e
0.04t
.
28. From the figure we obtain by Kirchhoff’s voltage law for the left loop
0.4I
1
+0.5(I
1
-I
2
) + 0.7I
1
=1000
and for the right loop
0.5I
2
+0.5(I
2
-I
1
) = 0.
Written in the usual form, we obtain
I
1
=-3I
1
+1.25I
2
+2500
I
2
=
I
1
-
I
2
.
The matrix of the homogeneous system is
[
].
It  has  the  eigenvalues  -3.5  and  -0.5  with  eigenvectors  [5 -2]
T
and  [1 2]
T
,
respectively. From this and the initial conditions we obtain the solution
I
1
=-
_
125
21
00
e
3.5t
-
_
25
3
00
e
0.5t
+
_
100
7
00
I
2
=
_
50
21
00
e
3.5t
-
_
50
3
00
e
0.5t
+
_
100
7
00.
30. The second ODE may be written
y
1
=y
2
=y
1
(2 - y
1
)(2 + y
1
).
1.25
-1
-3
1
0.06
-0.16
-0.08
0.08
-2
-4
1
3
Instructor’s Manual
95
im04.qxd  9/21/05  11:08 AM  Page 95
C# PDF File & Page Process Library SDK for C#.net, ASP.NET, MVC
C# File: Merge PDF; C# File: Split PDF; C# Page: Insert PDF pages; C# Page: Delete PDF pages; C# Read: PDF Text Extract; C# Read: PDF
cut pages from pdf; delete pages from pdf without acrobat
C# PDF Page Insert Library: insert pages into PDF file in C#.net
page processing functions, such as how to merge PDF document files by C# code, how to rotate PDF document page, how to delete PDF page using C# .NET, how to
delete a page from a pdf file; delete page from pdf
Hence the critical points are (0, 0), (2, 0), (-2, 0).
Linearization at (0, 0) gives the system
y
1
=y
2
y
2
=4y
1
.
Since q = -4, this is a saddle point.
At (2, 0) the transformation is y
1
=2 + y
1
. Hence the right side of the second
ODE becomes (2 + y
1
)(-y
1
)(4 + y
1
), so that the linearized system is
y
1
=y
2
y
2
=-8y
1
.
Since p
=0 and q
=8 > 0, this is a center.
Similarly at (-2, 0), the transformation is y
1
= -2 + y
1
, so that the right side
becomes (-2 + y
1
)(4 - y

1
)y
1
, and the linearized system is the same and thus has a
center as its critical point.
32. cos y
2
=0 when y
2
=(2n + 1)
π
/2, where n is any integer. This gives the location
of the critical points, which lie on the y
2
-axis y
1
=0 in the phase plane.
For (0, 
1
_
2
π
) the transformation is y
2
=
1
_
2
π
+y
2
. Now
cos y
2
=cos (
1
_
2
π
+y
2
) = -sin y
2
≈-y
2
.
Hence the linearized system is
y
1
=-y
2
y
2
=3y
1
.
For its matrix
[
]
we obtain p
=0, q
=3 > 0, so that this is a center. Similarly, by periodicity, the
critical points at (4n + 1)
π
/2 are centers.
For (0, -
1
_
2
π
) the transformation is y
2
=-
1
_
2
π
+y

2
.From
cos y
2
=cos (-
1
_
2
π
+y

2
) = sin y
2
≈y
2
we obtain the linearized system
y
1
=y
2
y
2
=3y
1
with matrix
[
]
for which q
=-3 < 0, so that this point and the points with y
2
=(4n - 1)
π
/2 on
the y
2
-axis are saddle points.
1
0
0
3
-1
0
0
3
96
Instructor’s Manual
im04.qxd  9/21/05  11:08 AM  Page 96
VB.NET PDF Page Insert Library: insert pages into PDF file in vb.
PDF: Insert PDF Page. VB.NET PDF - How to Insert a New Page to PDF in VB.NET. Easy to Use VB.NET APIs to Add a New Blank Page to PDF Document in VB.NET Program.
delete page in pdf file; cut pages from pdf reader
C# PDF remove image library: remove, delete images from PDF in C#.
C# File: Merge PDF; C# File: Split PDF; C# Page: Insert PDF pages; C# Page: Delete PDF pages; C# Read: PDF Text Extract; C# Read: PDF
delete pages out of a pdf; add and remove pages from a pdf
CHAPTER 5 Series Solutions of ODEs. Special Functions
Changes of Text
Minor  changes,  streamlining  the  text to make  it  more  teachable,  retaining  the  general
structure of the chapter and the opportunity to familiarize the student with an overview
of  some  of  the  techniques  used  in connection  with higher  special  functions, also  in
connection with a CAS.
SECTION 5.1. Power Series Method, page 167
Purpose. A simple introduction to the technique of the power series method in terms of
simple examples whose solution the student knows very well.
SOLUTIONS TO PROBLEM SET 5.1, page 170
2. y = a
0
(1 -
1
_
2
x
2
+
1
_
8
x
4
-+ • • •) = a
0
e
x2/2
4. A general solution is y = c
1
e
x
+c
2
e
x
. Both functions of the basis contain every
power of x. The power series method automatically gives a general solution in which
one function of the basis is even and the other is odd,
y= a
0
(1 +
1
_
2
x
2
+
_
1
24
x
4
+• • •) + a
1
(x +
1
_
6
x
3
+
_
1
120
x
5
+• • •) = a
0
coshx + a
1
sinh x.
6. y = a
0
(1 - 3x +
9
_
2
x
2
-
_
11
2
x
3
+
_
51
8
x
4
-+ • • •). Even if the solution turns out to be
a known function, as in the present case,
y= a
0
exp (-3x - x
3
)
as obtained by separating variables, it is generally not easy to recognize this from a
power series obtained. Of course, this is generally not essential, because the method
is primarily designed for ODEs whose solutions define new functions. The task of
recognizing a power series as a known function does however occur in practice, for
instance, in proving that certain Bessel functions or hypergeometric functions reduce
to familiar known functions (see Secs. 5.4, 5.5).
8. Substitution of the power series for y and y
gives
(x
5
+4x
3
)(a
1
+ 2a
2
x+3a
3
x
2
+• • •)
=
4a
1
x
3
+ 8a
2
x
4
+(12a
3
+a
1
)x
5
+• • •)
=
(5x
4
+12x
2
)(a
0
+ a
1
x+ a
2
x
2
+• • •)
=12a
0
x
2
+12a
1
x
3
+(12a
2
+5a
0
)x
4
+(12a
3
+5a
1
)x
5
+• • •)
Comparing coefficients of each power of x, we obtain
x
2
:
a
0
=0
x
3
:
4a
1
=12a
1
,
a
1
=0
x
4
:
8a
2
=12a
2
+5a
0
,
a
2
=0
x
5
:
12a
3
+a
1
=12a
3
+5a
1
,
a
3
arbitrary
x
6
:
16a
4
+2a
2
=12a
4
+5a
2
,
a
4
=0
x
7
:
3a
3
+20a
5
=5a
3
+12a
5
,
a
5
=
1
_
4
a
3
x
8
:
4a
4
+24a
6
=5a
4
+12a
6
,
24a
6
=12a
6
,
a
6
=0,
etc.
97
im05.qxd  9/21/05  11:10 AM  Page 97
VB.NET PDF delete text library: delete, remove text from PDF file
VB.NET: Delete a Character in PDF Page. It demonstrates how to delete a character in the first page of sample PDF file with the location of (123F, 187F).
reader extract pages from pdf; delete a page from a pdf acrobat
VB.NET PDF remove image library: remove, delete images from PDF in
C# File: Split PDF; C# Page: Insert PDF pages; C# Page: Delete PDF pages; C# Read: PDF Text Extract; Delete image objects in selected PDF page in ASPX webpage.
copy page from pdf; delete page pdf file
Here we see why a power series may terminate in some cases. The answer is
y= a
3
(x
3
+
1
_
4
x
5
).
10. y = a
0
(1 -
x
2
-
x
4
-
x
6
-
x
8
-• • •) + a
1
x
12. s = x +
1
_
3
x
3
+
_
2
15
x
5
, s(
1
_
4
π
) = 0.98674, a good approximation of the exact value
1 = tan
1
_
4
π
.
Through these calculations of values the student should realize that a series can be
used for numeric work just like a solution  formula, with proper caution regarding
convergence and accuracy.
14. s = 4 - x
2
-
1
_
3
x
3
+
_
1
30
x
5
, s(2) = -
8
_
5
. This x is too large to give useful values. The
exact solution
y= (x - 2)
2
e
x
shows that the value should be 0.
16. s =
_
15
8
x-
_
35
4
x
3
+
_
63
8
x
5
. This is the Legendre polynomial P
5
, a solution of this Legendre
equation with parameter  n = 5, to be discussed in  Sec. 5.3. The initial conditions
were chosen accordingly, so that a second linearly independent solution (a Legendre
function) does not appear in the answer. s(0.5) = 0.089844.
18. This should encourage the student to use the library or to browse the Web, to learn
where  to  find  relevant  information,  to see  in passing  that  there  are  various  other
expansions of functions (other series, products, continued fractions, etc.), and to take
a look into various standard books. The limited task at hand should beware the student
of getting lost in the flood of books. Lists such as the one required can be very helpful;
similarly in connection with Fourier series.
SECTION 5.2. Theory of the Power Series Method, page 170
Purpose. Review of power series and a statement of the basic existence theorem for power
series solutions (without proof, which would exceed the level of our presentation).
Main Content, Important Concepts
Radius of convergence (7)
Differentiation, multiplication of power series
Technique of index shift
Real analytic function (needed again in Sec. 5.4)
Comment
Depending on the preparation of the class, skip the section or discuss just a few less known
facts.
SOLUTIONS TO PROBLEM SET 5.2, page 176
2. j
j=
*
. Hence the convergence radius of the series,
considered as a function of t = (x + 1)
2
, is 3. This gives the answer √3
. (In Probs.
3 and 6 the situation is similar.)
4. 1
1
3
1/(3
m+1
(m + 2)
2
)

1/(3
m
(m + 1)
2
)
a
m+1
a
m
3 5
8!
3
6!
1
4!
1
2!
98
Instructor’s Manual
im05.qxd  9/21/05  11:10 AM  Page 98
C# PDF delete text Library: delete, remove text from PDF file in
C#.NET Sample Code: Delete Text from Specified PDF Page. The following demo code will show how to delete text in specified PDF page. // Open a document.
cut pages from pdf file; add and delete pages in pdf online
C# PDF metadata Library: add, remove, update PDF metadata in C#.
Allow C# Developers to Read, Add, Edit, Update and Delete PDF Metadata in .NET Project. Remove and delete metadata from PDF file.
delete a page from a pdf without acrobat; delete pdf pages
6. ∞, as is obvious from the occurrence of the factorial.
8. The quotient whose limit will give the reciprocal of the convergence radius is
=
.
The limit as m * ∞ is 4
4
=256. Hence the convergence radius is fairly small, 1/256.
10. 0
12. ∞
14. m - 3 = s, m = s + 3, 
`
s=0
x
s
; R = 4. Of course, (-1)
s+4
=(-1)
s
.
16. a
0
(1 -
1
_
6
x
3
+
_
1
180
x
6
-
129
_
1
60
x
9
+- • • •) + a
1
(x -
_
1
12
x
4
+
_
1
504
x
7
-+ • • •). This
solution can be expressed in terms of Airy or Bessel functions, but in a somewhat
complicated fashion, so that in many cases for numeric and other purposes it will be
practical to use the power series (a partial sum with sufficiently many terms) directly.
18. We obtain
a
0
(1 -
1
_
6
x
3
-
_
1
24
x
4
-
_
1
120
x
5
+• • •) + a
1
(x +
1
_
2
x
2
+
1
_
6
x
3
-
_
1
24
x
4
-
_
1
30
x
5
-• • •).
The solution has a (complicated) representation in terms of Airy functions, and the
remark  in  the  solution of  Prob.  16  applies equally  well,  even  more.  The students
should also be told that many ODEs can  be reduced to  the standard  ones that  we
discuss in the text, so that in this way they can save work in deriving formulas for
the various solutions.
20. We obtain
a
0
(1 -
1
_
2
x
2
+
_
5
24
x
4
-
_
1
16
x
6
+- • • •) + a
1
(x -
1
_
2
x
3
+
_
7
40
x
5
-
_
11
240
x
7
+- • • •).
This solution can be expressed in terms of Bessel and exponential functions.
22. We obtain
a
0
(1 + x
2
+
1
_
2
x
4
+
1
_
6
x
6
+
_
1
24
x
8
+• • •) + a
1
(x + x
3
+
1
_
2
x
5
+
1
_
6
x
7
+• • •).
This  can  be  written as  (a
0
+ a
1
x)  times  the  same  power  series, which obviously
represents e
x2
.
24. Team Project. The student should see that power series reveal many basic properties
of the functions they represent. Familiarity with the functions considered should help
students in understanding the basic idea without being irritated by unfamiliar notions
or notations and more involved formulas. (d) illustrates that not all properties become
visible directly from the series. For instance, the periodicity of cos x and sin x, the
boundedness, and the location of the zeros are properties of this kind.
SECTION 5.3. Legendre’s Equation. Legendre Polynomials P
n
(x), page 177
Purpose. This section on Legendre’s equation, one of the most important ODEs, and its
solutions is more than just  an exercise on  the power  series method.  It should  give the
student a feel for the usefulness of power series in exploring properties of special functions
and  for  the  wealth  of  relations  between  functions  of  a  one-parameter  family  (with
parameter n).
Legendre’s equation occurs again in Secs. 5.7 and 5.8.
Comment on Literature and History
For literature on Legendre’s equation and its solutions, see Refs. [GR1] and [GR10].
(-1)
s+4
4
s+3
(4m + 4)(4m + 3)(4m + 2)(4m + 1)

(m + 1)
4
(4m + 4)!/(m + 1)!
4

(4m)!/(m!)
4
Instructor’s Manual
99
im05.qxd  9/21/05  11:10 AM  Page 99
Legendre’s work on the subject appeared in  1785 and Rodrigues’s contribution  (see
Prob. 8), in 1816.
SOLUTIONS TO PROBLEM SET 5.3, page 180
4. This follows from (4), giving the limit 1 as s * ∞ (note that n is fixed):
j
j=
*1.
8. We have
(x
2
-1)
n
=
n
m=0
(-1)
m
( )
(x
2
)
nm
.
Differentiating  n times,  we  can  express  the  product  of  occurring  factors 
(2n - 2m)(2n - 2m - 1) • • • as a quotient of factorials and get
[(x
2
-1)
n
] =
M
m=0
(-1)
m
x
n2m
with Mas in (11). Divide by n!2
n
. Then the left side equals the right side in Rodrigues’s
formula, and the right side equals the right side of (11).
10. We  know  that  at  the  endpoints  of  the  interval  -1   x  1  all  the  Legendre 
polynomials have the values ±1. It is interesting that in between they are strictly less
than 1 in absolute value (P
0
excluded). Furthermore, absolute values between 
1
_
2
and
1 are taken only near the endpoints, so that in an interval, say -0.8  x  0.8, they
are less than 
1
_
2
in absolute value (P
0
, P
1
, P
2
excluded).
14. Team Project. (a) Following the hint, we obtain
(A)
(1 - 2xu + u
2
)
1/2
=1 +
(2xu - u
2
)
+• • • +
(2xu - u
2
)
n
+• • •
and for the general term on the right,
(B)
(2xu - u
2
)
m
=(2x)
m
u
m
-m(2x)
m1
u
m+1
+
(2x)
m2
u
m+2
+• • • .
Now u
n
occurs in the first term of the expansion (B) of (2xu - u
2
)
n
, in the second
term of the expansion (B) of (2xu - u
2
)
n1
, and so on. From (A) and (B) we see that
the coefficients of u
n
in those terms are
(2x)
n
=a
n
x
n
[see (8)],
-
(n - 1)(2x)
n2
=-
a
n
x
n2
=a
n2
x
n2
and so on. This proves the assertion.
(b) Set u = r
1
/r
2
and x = cos
θ
.
n- 1
4
2n
2n - 1
1• 3 • • • (2n - 3)

2• 4 • • • (2n - 2)
1• 3 • • • (2n - 1)

2• 4 • • • (2n)
m(m - 1)

2!
1 3 • • • (2n - 1)

2 4 • • • (2n)
1
2
(2n - 2m)!

(n - 2m)!
n!

m!(n - m)!
d
n
dx
n
n
m
n - s(n + s + 1)

(s + 2)(s + 1)
a
s+2
a
s
100
Instructor’s Manual
im05.qxd  9/21/05  11:10 AM  Page 100
(c) Use the formula for the sum of the geometric series and set x = 1 and x = -1.
Then set x = 0 and use
(1 + u
2
)
1/2
=
(
)u
2m
.
(d) Abbreviate 1 - 2xu + u
2
=U. Differentiation of (13) with respect to u gives
-
U
3/2
(-2x + 2u) =
`
n=0
nP
n
(x)u
n1
.
Multiply this equation by U and represent U
1/2
by (13):
(x - u)
`
n=0
P
n
(x)u
n
=(1 - 2xu + u
2
)
`
n=0
nP
n
(x)u
n1
.
In this equation, u
n
has the coefficients
xP
n
(x) - P
n1
(x) = (n + 1)P
n+1
(x) - 2nxP
n
(x) + (n - 1)P
n1
(x).
Simplifying gives the asserted Bonnet recursion.
SECTION 5.4. Frobenius Method, page 182
Purpose. To introduce the student to the Frobenius method (an extension of the power
series method), which is important for ODEs  with coefficients that have singularities,
notably Bessel’s equation, so that the power series method can no longer handle them.
This extended method requires more patience and care.
Main Content, Important Concepts
Regular and singular points
Indicial equation, three cases of roots (one unexpected)
Frobenius theorem, forms of bases in those cases
Short Courses. Take a quick look at those bases in Frobenius’s theorem, say how it fits
with the Euler–Cauchy equation, and omit everything else.
Comment on “Regular Singular” and “Irregular Singular”
These terms are used in some books and papers, but there is hardly any need for confusing
the student by using them, simply because we cannot do (and don’t do) anything about
“irregular  singular  points.”  A  simple  use  of  “regular”  and  “singular”  (as  in  complex
analysis,  where holomorphic functions  are also known as “regular  analytic functions”)
may thus be the best terminology.
Comment on Footnote 5
Gauss was born in Braunschweig (Brunswick) in 1777.  At  the age  of 16, in 1793 he
discovered the method of least squares (Secs. 20.5, 25.9). From 1795 to 1798 he studied
at Göttingen. In 1799 he obtained his doctor’s degree at Helmstedt. In 1801 he published
his first masterpiece, Disquisitiones arithmeticae (Arithmetical Investigations, begun in
1795), thereby initiating modern number theory. In 1801 he became generally known when
his calculations enabled astronomers (Zach, Olbers) to rediscover the planet Ceres, which
had been discovered in 1801 by Piazzi at Palermo but had been visible only very briefly.
He became the director of the Göttingen observatory in 1807 and remained there until his
1
2
-1/2
m
Instructor’s Manual
101
im05.qxd  9/21/05  11:10 AM  Page 101
death. In 1809 he published his famous Theoria motus corporum coelestium in sectionibus
conicis solem ambientium(Theory of the Heavenly Bodies Moving About the Sun in Conic
Sections; Dover Publications, 1963), resulting from his further work in astronomy. In 1814
he developed his method of numeric integration (Sec. 19.5). His Disquisitiones generales
circa  superficies  curvas (General  Investigations  Regarding  Curved  Surfaces, 1828)
represents  the  foundation  of  the  differential  geometry  of  surfaces  and  contributes  to
conformal mapping (Sec. 17.1). His clear conception of the complex plane dates back to
his thesis, whereas his first publication on this topic was not before 1831. This is typical:
Gauss left many of his most outstanding results (non-Euclidean geometry, elliptic functions,
etc.) unpublished. His paper on the hypergeometric series published in 1812 is the first
systematic  investigation  into  the  convergence  of a  series.  This  series,  generalizing  the
geometric series, allows a study of many special functions from a common point of view.
SOLUTIONS TO PROBLEM SET 5.4, page 187
2. The indicial equation is r(r - 1) - 2 = (r - 2)(r + 1) = 0. The roots are r
1
=2,
r
2
=-1. This is Case 3. y
1
=(x + 2)
2
, y
2
=1/(x + 2). Check: Set x + 2 = t to get
an Euler–Cauchy equation, t
2
y
¨
-2y = 0.
4. To determine r
1
, r
2
from (4), we write the ODE in the form (1
),
x
2
y
+(
3
_
2
x- 2x
2
)y
+(x
2
-
3
_
2
x)y = 0.
Then we see that b =
3
_
2
-2x, b
0
=
3
_
2
, c
0
=0, hence
r(r - 1) +
3
_
2
r= r(r +
1
_
2
) = 0,
r
1
=0, r
2
=-
1
_
2
.
We obtain the first solution by substituting (2) with r = 0 into the ODE (which we
can take in the given form):
m=0
[2m(m - 1)a
m
x
m1
+3ma
m
x
m1
-4ma
m
x
m
+2a
m
x
m+1
-3a
m
x
m
] = 0.
Hence equating the sum of the coefficients of the power x
s
to zero, we have
2(s + 1)sa
s+1
+3(s + 1)a
s+1
-4sa
s
+2a
s1
-3a
s
=0.
Combining terms, we can write this in the form
(2s
2
+5s + 3)a
s+1
-(4s + 3)a
s
+2a
s1
=0.
For  s = 0,  since  there  is  no  coefficient  a
1
,  we  obtain  3a
1
- 3a
0
= 0.  Hence 
a
1
=a
0
. For s = 1 we obtain
10a
2
-7a
1
+2a
0
=0,
10a
2
=5a
0
,
a
2
=
1
_
2
a
0
.
This already  was a special  case  of the recurrence  formula obtained by solving the
previous equation for a
s+1
, namely,
a
s+1
=
[(4s + 3)a
s
-2a
s1
].
For s = 2, taking a
0
=1 this gives after simplification a
3
= 1/3!  and in general 
a
s+1
=1/(s + 1)!. Hence a first solution is y
1
(x) = e
x
.
Second Solution. Since r
1
=0, r
2
=-
1
_
2
, we are in Case 1 and have to substitute
y
2
(x) = x
1/2
(A
0
+A
1
x+ • • •)
1

(s + 1)(2s + 3)
102
Instructor’s Manual
im05.qxd  9/21/05  11:10 AM  Page 102
and determine these coefficients. We first have, using m as the summation letter, as
before,
m=0
[2(m -
1
_
2
)(m -
3
_
2
)A
m
x
m3/2
+3(m -
1
_
2
)A
m
x
m3/2
-4(m -
1
_
2
)A
m
x
m1/2
+2A
m
x
m+1/2
-3A
m
x
m1/2
] = 0.
Hence equating the sum of the coefficients of the power x
s1/2
to zero, we obtain
2(s +
1
_
2
)(s -
1
_
2
)A
s+1
+3(s +
1
_
2
)A
s+1
-4(s -
1
_
2
)A
s
+2A
s1
-3A
s
=0.
Solving for A
s+1
in terms of A
s
and A
s1
, we obtain
A
s+1
=
[(4s + 1)A
s
-2A
s1
].
Noting that there is no A
1
, we successively get, taking A
0
=1,
A
1
=A
0
=1 (s = 0),
A
2
=
[5A
1
-2A
0
] =
(s = 1)
A
3
=1/3!,
A
4
=1/4!
etc. This gives as a second linearly independent solution y
2
=e
x
/√x
.
6. Substitution of (2) and the derivatives (2*) gives
(A)
4
m=0
(m + r)(m + r - 1)a
m
x
m+r1
+2
m=0
(m + r)a
m
x
m+r1
+
m=0
a
m
x
m+r
=0.
Writing this out, we have
By equating the sum of the coefficients of x
r1
to zero we obtain the indicial equation
4r(r - 1) + 2r = 0;
thus
r
2
-
1
_
2
r= 0.
The roots are r
1
=
1
_
2
and r
2
=0. This is Case 1.
By  equating the sum  of the coefficients  of  x
r+s
in  (A) to  zero we  obtain (take 
m+ r - 1 = r + s, thus m = s + 1 in the first two series and m = s in the last
series)
4(s + r + 1)(s + r)a
s+1
+2(s + r + 1)a
s+1
+a
s
=0.
By simplification we find that this can be written
4(s + r + 1)(s + r +
1
_
2
)a
s+1
+a
s
=0.
We solve this for a
s+1
in terms of a
s
:
(B)
a
s+1
=-
(s = 0, 1, • • •).
a
s

(2s + 2r + 2)(2s + 2r + 1)
•• •
•• •
•• • = 0.
4(r + 2)(r + 1)a
2
x
r+1
+
2(r + 2)a
2
x
r+1
+
a
1
x
r+1
+
4(r + 1)ra
1
x
r
+
2(r + 1) a
1
x
r
+
a
0
x
r
+
4r(r - 1)a
0
x
r1
+
+2ra
0
x
r1
+
+
1
2!
1
2 3
1

(s + 1)(2s + 1)
Instructor’s Manual
103
im05.qxd  9/21/05  11:10 AM  Page 103
Documents you may be interested
Documents you may be interested