c# pdf reader dll : Copy pages from pdf to another pdf control software platform web page windows asp.net web browser solution_manual_of_advanced_engineering_mathematics_by_erwin_kreyszig_9th_edition-111-part209

First  solution. We  determine  a  first  solution  y
1
(x)  corresponding  to  r
1
=
1
_
2
.  For 
r= r
1
, formula (B) becomes
a
s+1
=-
(s = 0, 1, • • •).
From this we get successively
a
1
=-
,
a
2
=-
,
a
3
=-
,
etc.
In many practical situations an explicit formula for a
m
will be rather complicated.
Here it is simple: by successive substitution we get
a
1
=-
,
a
2
=
,
a
3
=-
,
•• •
and in general, taking a
0
=1,
a
m
=
(m = 0, 1, • • •).
Hence the first solution is
y
1
(x) = x
1/2
m=0
x
m
=√x
(1 -
x+
x
2
-+ • • •) = sin √x
.
Second Solution. If you recognize y
1
as a familiar function, apply reduction of order
(see Sec. 2.1). If not, start from (6) with r
2
=0. For r = r
2
=0, formula (B) [with
A
s+1
and A
s
instead of a
s+1
and a
s
] becomes
A
s+1
=-
(s = 0, 1, • • •).
From this we get successively
A
1
=-
,
A
2
=-
,
A
3
=-
,
and by successive substitution we have
A
1
=-
,
A
2
=
,
A
3
=-
,
•• •
and in general, taking A
0
=1,
A
m
=
.
Hence the second solution, of the form (6) with r
2
=0, is
y
2
(x) =
m=0
x
m
=1 -
1
_
2
x+
_
1
24
x
2
-+ • • • = cos √x
.
8. y
1
=x(1 +
+
+
+• • •) . From this and (10) we obtain
y
2
=y
1
ln x + 1 -
3
_
4
x
2
-
_
7
36
x
3
-
_
35
1728
x
4
-• • •.
In the present case, k and A
1
in (10) are at first arbitrary, and our y
2
corresponds to
the choice k = 1 and A
1
=0. Choosing A
1
0, we obtain the above expression for
y
2
plus A
1
y
1
.
x
3
3!4!
x
2
2!3!
x
1!2!
(-1)
m
(2m)!
(-1)
m
(2m)!
A
0
6!
A
0
4!
A
0
2!
A
2
6• 5
A
1
4• 3
A
0
2• 1
A
s

(2s + 2)(2s + 1)
1
120
1
6
(-1)
m

(2m + 1)!
(-1)
m

(2m + 1)!
a
0
7!
a
0
5!
a
0
3!
a
2
7• 6
a
1
5• 4
a
0
3• 2
a
s

(2s + 3)(2s + 2)
104
Instructor’s Manual
im05.qxd  9/21/05  11:10 AM  Page 104
Copy pages from pdf to another pdf - remove PDF pages in C#.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
Provides Users with Mature Document Manipulating Function for Deleting PDF Pages
delete pages from pdf file online; delete page from pdf
Copy pages from pdf to another pdf - VB.NET PDF Page Delete Library: remove PDF pages in vb.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
Visual Basic Sample Codes to Delete PDF Document Page in .NET
delete pdf pages ipad; delete page in pdf document
10. b
0
=0, c
0
=-2, r(r - 1) - 2 = (r - 2)(r + 1), r
1
=2, r
2
=-1,
y
1
=x
2
(1 -
x
2
+
x
4
-
x
6
+• • •)
y
2
=
(12 - 6x
2
+
x
4
-
x
6
+• • •) .
12. b
0
=6, c
0
=6, r
1
=-2, r
2
=-3; the series are
y
1
=
-
+
x
2
-
x
4
+- • • • =
y
2
=
-
+
x-
x
3
+- • • • =
.
14. We obtain
y
1
=1 +
+
+
+• • • ,
y
2
=y
1
ln x -
-
-
-• • • .
16. We obtain
y
1
=
+
+
+
+• • • =
y
2
=
+
+
+
+• • • =
.
18. Team Project. (b) In (7b) of Sec. 5.2,
=
*1,
hence R = 1.
(c) In the third and fourth lines,
arctan x = x -
1
_
3
x
3
+
1
_
5
x
5
-
1
_
7
x
7
+- • • •
(x < 1)
arcsin x = x +
x
3
+
x
5
+
x
7
+• • •
(x < 1).
(d) The roots can be read off from (15), brought to the form (1
) by multiplying it
by x and dividing by 1 - x; then b
0
=c in (4) and c
0
=0.
20. a = 1, b = 1, c = -
1
_
2
, y = AF(1, 1, -
1
_
2
; x) + Bx
3/2
F(
5
_
2
5
_
2
5
_
2
; x)
22. y = c
1
F(-1, 
1
_
3
1
_
3
; t + 1) + c
2
(t + 1)
2/3
F(-
1
_
3
, 1, 
5
_
3
; t + 1)
24. t
2
-3t + 2 = (t - 1)(t - 2) = 0. Hence the transformation is x = t - 1. It gives
the ODE
4(x
2
-x)y
-2y
+y = 0.
To obtain the standard form of the hypergeometric equation, multiply this ODE by
-
1
_
4
.  It is clear that  the factor 4 must be absorbed, but don’t  forget the factor  -1;
otherwise your values for a, b, c will not be correct. The result is
x(1 - x)y
+
1
_
2
y
-
1
_
4
y= 0.
1• 3 • 5

2• 4 • 6 • 7
1• 3
2• 4 • 5
1
2• 3
(a + n)(b + n)

(n + 1)(c + n)
a
n+1
a
n
cosh x
x
2
x
4
720
x
2
24
1
2
1
x
2
sinh x
x
2
x
5
5040
x
3
120
x
6
1
x
11x
6

64  6  36
3x
4
8 16
x
2
4
x
6

(2  4  6)
2
x
4
(2  4)
2
x
2
2
2
cos 2x
x
3
4
45
2
3
2
x
1
x
3
sin 2x
x
3
1
2
4
315
2
15
2
3
1
x
2
7
4
9
2
1
x
13
336
9
56
1
2
Instructor’s Manual
105
im05.qxd  9/21/05  11:10 AM  Page 105
C# PDF Page Extract Library: copy, paste, cut PDF pages in C#.net
PDF Pages Using C#.NET. C# programming example below will show you how to copy pages from a PDF file and paste into another one.
copy pages from pdf to word; delete pages pdf file
VB.NET PDF Page Extract Library: copy, paste, cut PDF pages in vb.
VB.NET: Copy and Paste PDF Pages. VB.NET programming example below will show you how to copy pages from a PDF file and paste into another one.
delete pages pdf files; delete page on pdf file
Hence ab = 1/4, b =
, a + b + 1 = a +
+1 = 0, a = -
1
_
2
, b = -
1
_
2
, c =
1
_
2
.
This gives
y
1
=F(-
1
_
2
, -
1
_
2
1
_
2
; t - 1).
In y
2
we have a - c + 1 = -
1
_
2
-
1
_
2
+1 = 0; hence y
2
terminates after the first term,
and, since 1 - c =
1
_
2
,
y
2
=x
1/2
1 = √t - 1
.
SECTION 5.5. Bessel’s Equation. Bessel Functions J
v
(x), page 189
Purpose. To derive  the Bessel functions of the  first kind J
ν
and J
ν
by the Frobenius
method.  (This  is  a  major  application  of  that  method.)  To  show  that  these  functions
constitute a basis if 
ν
is not an integer but are linearly dependent for integer 
ν
=n (so
that we must look later, in Sec. 5.6, for a second linearly independent solution). To show
that various ODEs can be reduced to Bessel’s equation (see Problem Set 5.5).
Main Content, Important Concepts
Derivation just mentioned
Linear independence of J
ν
and J
ν
if 
ν
is not an integer
Linear dependence of J
ν
and J
ν
if 
ν
=n = 1, 2, • • •
Gamma function as a tool
Short Courses. No derivation of any of the series. Discussion of J
0
and J
1
(which are
similar to cosine and sine). Mention Theorem 2.
Comment on Special Functions
Since various institutions no longer find time to offer a course in special functions, Bessel
functions may give another opportunity (together with Sec. 5.3) for getting at least some
feel  for  the  flavor  of  the  theory  of  special  functions,  which  will  continue  to  be  of
significance to the engineer and physicist. For this reason we have added some material
on basic relations for Bessel functions in this section.
SOLUTIONS TO PROBLEM SET 5.5, page 197
2. We obtain the following values. Note that the error of this very crude approximation
is rather small.
x
Approximation
Exact (4D)
Relative Error
0
1.0000
1.0000
0
0.1
0.9975
0.9975
0
0.2
0.9900
0.9900
0
0.3
0.9775
0.9776
0.0001
0.4
0.9600
0.9604
0.0004
0.5
0.9375
0.9385
0.0010
0.6
0.9100
0.9120
0.0020
0.7
0.8775
0.8812
0.0042
0.8
0.8400
0.8463
0.0074
0.9
0.7975
0.8075
0.0124
1.0
0.7500
0.7652
0.0199
1
4a
1
4a
106
Instructor’s Manual
im05.qxd  9/21/05  11:10 AM  Page 106
C# PDF Page Replace Library: replace PDF pages in C#.net, ASP.NET
PDF Library - Replace PDF Pages in C#.NET. An Excellent PDF Control Allows C# Users to Replace the Original PDF Page with New PDF Page from Another PDF File in
copy pages from pdf to another pdf; acrobat export pages from pdf
VB.NET PDF Page Replace Library: replace PDF pages in C#.net, ASP.
& pages edit, C#.NET PDF pages extract, copy, paste, C# to replace a PDF page with another PDF file page. Support to save multiple PDF pages to anther adobe PDF
delete page in pdf preview; delete blank pages in pdf
4. Zeros of Bessel functions are important, as the student will see in connection with
vibrating  membranes in  Chap. 12, and there are other applications. These numeric
problems (2-4) should give the student a feel for the applicability and accuracy of
the formulas discussed in the text. In the present problem this refers to the asymptotic
formula (14). A corresponding formula for Y is included in the next problem set.
Zeros of J
0
(x)
Approximation (14) Exact Value
Error
2.35619
2.40483
0.04864
5.49779
5.52008
0.02229
8.63938
8.65373
0.01435
11.78097
11.79153
0.01056
Zeros of J
1
(x)
Approximation (14) Exact Value
Error
3.92699
3.83171 -0.09528
7.06858
7.01559 -0.05299
10.21018
10.17347 -0.03671
13.35177
13.32369 -0.02808
6. y = c
1
J
1/4
(x) + c
2
J
1/4
(x)
8. y = c
1
J
1
(2x + 1);  J
1
and  J
1
are  linearly  dependent  by  Theorem  2;  actually, 
J
1
(x) = -J
1
(x).
10. y = c
1
J
1/2
(
1
_
2
x) + c
2
J
1/2
(
1
_
2
x) = x
1/2
(c
1
sin
1
_
2
x+ c
2
cos
1
_
2
x)
12. y = c
1
J
ν
(x
2
) + c
2
J
ν
(x
2
), 
ν
0, ±1, ±2, • • •
14. y = c
1
J
1/3
(e
x
) + c
2
J
1/3
(e
x
)
16. y = x
1/4
(c
1
J
1/4
(x
1/4
) + c
2
J
1/4
(x
1/4
))
18. y = c
1
J
0
(4x
1/4
). Second independent solution not yet available.
20. y = x
ν
(c
1
J
ν
(x
ν
) + c
2
J
ν
(x
ν
)), 
ν
0, ±1, ±2, • • •
22. J
0
=0 at least once between two consecutive zeros of J
0
, by Rolle’s theorem. Now
(24b) with 
ν
=0 is
J
0
=-J
1
.
Together, J
1
has at least one zero between two consecutive zeros of J
0
.
Furthermore, (xJ
1
)
=0 at least once between two consecutive zeros of xJ
1
, hence
of J
1
(also at x = 0 since J
1
(0) = 0), by Rolle’s theorem. Now (24a) with 
ν
=1 is
(xJ
1
)
=xJ
0
.
Together, J
0
has at least one zero between two consecutive zeros of J
1
.
24. (24b) with 
ν
-1 instead of 
ν
is
(x
ν
+1
J
ν
1
)
=-x
ν
+1
J
ν
.
Now use (24a) (x
ν
J
ν
)
=x
ν
J
ν
1
; solve it for J
ν
1
to obtain
J
ν
1
=x
ν
(x
ν
J
ν
)
=x
ν
(
ν
x
ν
1
J
ν
+x
ν
J
ν
) =
ν
x
1
J
ν
+J
ν
.
Instructor’s Manual
107
im05.qxd  9/21/05  11:10 AM  Page 107
C# PDF File & Page Process Library SDK for C#.net, ASP.NET, MVC
You can use specific APIs to copy and get a specific page of PDF file; you can also copy and paste pages from a PDF document into another PDF file.
delete page pdf; delete a page from a pdf without acrobat
VB.NET PDF File Merge Library: Merge, append PDF files in vb.net
Combine multiple specified PDF pages in into single one file. Merge PDF without size limitation. Append one PDF file to the end of another one in VB.NET.
acrobat extract pages from pdf; delete a page from a pdf online
Substitute this into  the  previous  equation on the left. Then perform  the  indicated
differentiation:
(x
ν
+1
(
ν
x
1
J
ν
+J
ν
))
=(
ν
x
ν
J
ν
+x
ν
+1
J
ν
)
=-
ν
2
x
ν
1
J
ν
+
ν
x
ν
J
ν
+(-
ν
+1)x
ν
J
ν
+x
ν
+1
J
ν
.
Equating this to the right side of the first equation and dividing by x
ν
+1
gives
J
ν
+
J
ν
-
J
ν
=-J
ν
.
Taking the term on the right to the  left (with a plus sign) and multiplying  by x
2
gives (1).
26. We obtain
x
1
J
4
(x) dx =
x
2
(x
3
J
4
(x)) dx
(trivial)
=
x
2
(-x
3
J
3
(x))
dx
((24b) with 
ν
=3)
=-x
2
x
3
J
3
(x) +
2xx
3
J
3
(x) dx
(by parts)
=-x
1
J
3
(x) + 2
x
2
J
3
(x) dx
(simplify)
=-x
1
J
3
(x) + 2
(-x
2
J
2
)
dx
((24b) with 
ν
=2)
=-x
1
J
3
(x) - 2x
2
J
2
(x) + c
(trivial).
28. Use (24d) to get
J
5
(x) dx = -2J
4
(x) +
J
3
(x) dx
=-2J
4
(x) - 2J
2
(x) +
J
1
(x) dx
=-2J
4
(x) - 2J
2
(x) - J
0
(x) + c.
30. For 
ν
1
_
2
the ODE (27) in Prob. 29 becomes
u
+u = 0.
Hence for y we obtain the general solution
y= x
1/2
u= x
1/2
(A cos x + B sin x).
We  can  now  obtain  A and  B by  comparing  with  the  first  term  in  (20).  Using 
(
3
_
2
) = 
1
_
2
(
1
_
2
) =
1
_
2
π
(see (26)) we obtain for 
ν
=
1
_
2
the first term
x
1/2
/(2
1/2
1
_
2
(
1
_
2
)) = √2x/
π
.
This gives (25a) because the series of sin x starts with the power x.
For 
ν
=-
1
_
2
the first term is x
1/2
/(2
1/2
1
_
2
(
1
_
2
)) = √2/
π
x
. This gives (25b).
32. Team  Project. (a) Since 
α
is  assumed  to  be  small,  we  can  regard  W(x)  to  be
approximately  equal  to  the  tension  acting  tangentially  in  the  moving  cable.  The
restoring force is the horizontal component of the tension. For the difference in force
we use the mean value theorem of differential calculus. By Newton’s second law this
equals  the  mass 
∆x times  the  acceleration  u
tt
of  this  portion  of  the  cable.  The
substitution of u first gives
-
2
ycos (
t+
) = g[(L - x)y
]
cos (
t+
).
ν
2
x
2
1
x
108
Instructor’s Manual
im05.qxd  9/21/05  11:10 AM  Page 108
C# PDF Page Rotate Library: rotate PDF page permanently in C#.net
Able to save to another PDF file after rotating PDF pages. Copy this demo code to your C# application to rotate C#.NET Demo Code to Rotate All PDF Pages in C#
reader extract pages from pdf; delete pages on pdf online
C# PDF File Merge Library: Merge, append PDF files in C#.net, ASP.
Free online C#.NET source code for combining multiple PDF pages together in .NET framework. Append one PDF file to the end of another and save to a single
delete page from pdf online; delete pages from pdf acrobat
Now drop the cosine factor, perform the differentiation, and order the terms.
(b) dx = -dz and by the chain rule,
z
+
+
2
y= 0.
In the next transformation the chain rule gives
=
z
1/2
,
=
2
z
1
-
z
3/2
.
Substitution gives
2
+(-
z
1/2
+
z
1/2
)
+
2
y= 0.
Now divide by 
2
and remember that s = 2
z
1/2
. This gives Bessel’s equation.
(c) This follows from the fact that the upper end (x = 0) is fixed. The second normal
mode looks  similar to  the portion of  J
0
between the  second positive  zero and  the
origin. Similarly for the third normal mode. The first positive zero is about 2.405.
For the cable of length 2 m this gives the frequency
=
=
=0.424 [sec
1
] = 25.4 [cycles/min].
Similarly, we obtain 11.4 cycles/min for the long cable.
SECTION 5.6. Bessel Functions of the Second Kind Y
v
(x), page 198
Purpose. Derivation of a second independent solution, which is still missing in the case
of 
ν
=n = 0, 1, • • • .
Main Content
Detailed derivation of Y
0
(x)
Cursory derivation of Y
n
(x) for any n
General solution (9) valid for all 
ν
, integer or not
Short Courses. Omit this section.
Comment on Hankel Functions and Modified Bessel Functions
These are included for completeness, but will not be needed in our further work.
SOLUTIONS TO PROBLEM SET 5.6, page 202
2. y = c
1
J
1/3
(3x) + c
2
Y
1/3
(3x). J
1/3
could be used.
4. y = c
1
J
0
(12√x
) + c
2
Y
0
(12√x
)
6. y = c
1
J
1/3
(
1
_
3
x
3
) + c
2
Y
1/3
(
1
_
3
x
3
). J
1/3
could be used.
8. y = √x
(c
1
J
1/4
(x
2
) + c
2
Y
1/4
(x
2
)). J
1/4
could be used.
10. y = x
3
(c
1
J
3
(2x) + c
2
Y
3
(2x))
12. CAS Experiment. (a) Y
0
and Y
1
, similarly as for J
0
and J
1
.
(b) Accuracy is best for Y
0
. x
n
increases with n; actual values will depend on the
scales used for graphing.
2.405

4
π
√2.00/9
.80
2.405

2• 2
π
√L/g
2
π
dy
ds
1
2
d
2
y
ds
2
dy
ds
1
2
d
2
y
ds
2
d
2
y
dz
2
dy
ds
dy
dz
dy
dz
d
2
y
dz
2
Instructor’s Manual
109
im05.qxd  9/21/05  11:10 AM  Page 109
C# PDF Text Extract Library: extract text content from PDF file in
Enable extracting PDF text to another PDF file, TXT and source PDF document file with a copy-and-paste C# example code for text extraction from all PDF pages.
delete pdf pages online; cut pages from pdf reader
VB.NET PDF copy, paste image library: copy, paste, cut PDF images
PDF document images. Allow to copy an image from existing PDF file and paste it into another one. Guarantee high performance image
add and delete pages from pdf; cut pages from pdf preview
(c), (d)
Y
0
Y
1
Y
2
m
By (11)
Exact
By (11)
Exact
By (11)
Exact
1
0.785
0.894
2.356
2.197
3.927
3.384
2
3.9270
3.958
5.498
5.430
7.0686
6.794
3
7.0686
7.086
8.639
8.596
10.210
10.023
4
10.210
10.222
11.781
11.749
13.352
13.210
5
13.352
13.361
14.923
14.897
16.493
16.379
6
16.493
16.501
18.064
18.043
19.635
19.539
7
19.635
19.641
21.206
21.188
22.777
22.694
8
22.777
22.782
24.347
24.332
25.918
25.846
9
25.918
25.923
27.489
27.475
29.060
28.995
10
29.060
29.064
30.631
30.618
32.201
32.143
These values show that the accuracy increases with x (for fixed n), as expected. For
a fixed m (number of zero) it decreases with increasing n (order of Y
n
).
14. For x  0 all the terms of the series are real and positive.
SECTION 5.7. Sturm–Liouville Problems. Orthogonal Functions, page 203
Purpose. Discussion of eigenvalue problems for ordinary second-order ODEs (1) under
boundary conditions (2).
Main Content, Important Concepts
Sturm–Liouville equations, Sturm–Liouville problem
Reality of eigenvalues
Orthogonality of eigenfunctions
Orthogonality of Legendre polynomials and Bessel functions
Short Courses. Omit this section.
Comment on Importance
This theory owes its significance to two factors. On the one hand, boundary value problems
involving  practically  important  ODEs  (Legendre’s,  Bessel’s,  etc.)  can  be  cast  into
Sturm–Liouville  form,  so  that  here  we  have  a  general  theory  with  several  important
particular  cases.  On  the  other  hand,  the  theory  gives  important general results  on  the
spectral theory of those problems.
Comment on Existence of Eigenvalues
This theory is difficult. Quite generally, in problems where we can have infinitely many
eigenvalues, the existence problem becomes nontrivial, in contrast with matrix eigenvalue
problems (Chap. 8), where existence is trivial, a consequence of the fact that a polynomial
equation ƒ(x) = 0 (ƒ not constant) has at least one solution and at most n numerically
different ones (where n is the degree of the polynomial).
SOLUTIONS TO PROBLEM SET 5.7, page 209
2. If  y
m
is  a solution  of  (1), so  is z
m
because  (1)  is linear and homogeneous;  here, 
=
m
is the eigenvalue corresponding to y
m
. Also, multiplying (2) with y = y
m
by
c, we see that z
m
also satisfies the boundary conditions. This proves the assertion.
110
Instructor’s Manual
im05.qxd  9/21/05  11:10 AM  Page 110
4. a = -
π
, b =
π
, c =
π
, k = 0.
6. Perform the differentiations in (1), divide by p, and compare; that is,
py
+p
y
+(q +
r)y = 0,
y
+
y
+(
+
)y = 0.
Hence ƒ = p
/p, p = exp (∫ƒ dx, q/p = g, q = gp, r/p = h, r = hp. A reason for
performing this transformation may be the discovery of the weight function needed
for determining the orthogonality. We see that
r(x) = h(x)p(x) = h(x) exp (
ƒ(x) dx) .
8. We need
y= A cos kx + B sin kx
y
=-Ak sin kx + Bk cos kx
where k = √
. From the first boundary condition, y
(0) = Bk = 0. With B = 0 there
remains
y
=-Ak sin kx.
From this and the second boundary condition,
y
(
π
) = -Ak sin
π
k= 0,
k
π
=m
π
,
k= m = 0, 1, 2, • • • .
Hence
m
=m
2
, m = 0, 1, • • • ; y
0
=1, y
m
=cos mx (m = 1, 2, • • •).
10. y and y
as in Prob. 8. From the boundary conditions,
y(0) = A = y(1) = A cos k + B sin k
y
(0) = Bk = y
(1) = -Ak sin k + Bk cos k.
Ordering gives
(1 - cos k)A - (sin k)B = 0
(k sin k)A + k(1 - cos k)B = 0.
By eliminating A and then letting B  0 (to have y  0, an eigenfunction) or simply
by noting that for this homogeneous system to have a nontrivial solution A, B, the
determinant of its coefficients must be zero; that is,
k(1 - cos k)
2
+k sin
2
k= k(2 - 2 cos k) = 0;
hence cos k = 1, k = 2m
π
, so that the eigenvalues and eigenfunctions are
m
=(2m
π
)
2
, m = 0, 1, • • • ;
y
0
=1, y
m
(x) = cos (2m
π
x), sin (2m
π
x), m = 1, 2, • • • .
12. Use y and y
as given in Prob. 8. The first boundary condition gives
y(0) + y
(0) = A + Bk = 0;
thus
A= -Bk.
From this and the second boundary condition,
y(1) + y
(1) = A cos k + B sin k - Ak sin k + Bk cos k
=-Bk cos k + B sin k + Bk
2
sin k + Bk cos k = 0.
r
p
q
p
p
p
Instructor’s Manual
111
im05.qxd  9/21/05  11:10 AM  Page 111
Canceling two terms, dividing by cos k, and collecting the remaining terms, we obtain
(1 + k
2
) tan k = 0,
k= k
m
=m
π
,
and the eigenvalues and eigenfunctions are
m
=m
2
π
2
;
y
0
=1,
y
m
=cos m
π
x, sin m
π
x, m = 1, 2, • • • .
14. x = e
t
, t = ln x transforms the given ODE into
e
t
(e
t
e
t
)+ e
t
y
=0
that is,
+k
2
y
=0
(k
2
=
).
For the new variable t, the boundary conditions are y
(0) = 0, y
.
(1) = 0. A general
solution and its derivative are
y
=A cos kt + B sin kt,
y
.
=-Ak sin kt + Bk cos kt.
Hence y
(0) = A = 0 and then, with B = 1, y
.
(1) = k cos k = 0. It follows that 
k= k
m
=(2m + 1)
π
/2, m = 0, 1, • • • , 
m
=k
m
2
, and
y
m
=sin k
m
t= sin (k
m
ln x),
m= 0, 1, • • • .
16. A general solution y = e
x
(A cos kx + B sin kx), k = √
, of this ODE with constant
coefficients is obtained as usual. The Sturm–Liouville form of the ODE is obtained
by using the formulas in Prob. 6,
(e
2x
y
)
+e
2x
(k
2
+1)y = 0.
From this and the boundary conditions we expect the eigenfunctions to be orthogonal
on 0  x  1 with respect to the weight function e
2x
. Now from that general solution
and y(0) = A = 0 we see that we are left with
y= e
x
sin kx.
From the second boundary condition y(1) = 0 we now obtain
y(1) = e sin k = 0,
k= m
π
, m = 1, 2, • • • .
Hence the eigenvalues and eigenfunctions are
m
=(m
π
)
2
,
y
m
=e
x
sin m
π
x.
The orthogonality is as expected (because e
x
cancels).
18. From Prob. 6 we obtain the Sturm–Liouville form
(x
2
y
)
+k
2
x
2
y= 0
k
2
=
.
By the indicated transformation or by a CAS we obtain as a general solution
y= A
+B
.
From this and the boundary conditions we obtain
y(
π
) = A
+B
=0
y(2
π
) = A
+B
=0.
sin 2k
π
2k
π
cos 2k
π
2k
π
sin k
π
k
π
cos k
π
k
π
sin kx
x
cos kx
x
d
2
y
dt
2
dy
dt
d
dt
112
Instructor’s Manual
im05.qxd  9/21/05  11:10 AM  Page 112
Eliminate A and divide the resulting  equation  by B (which must be different from
zero to have y  0, as is needed for an eigenfunction). Or equate the determinant of
the coefficients of the two equations to zero, as a condition for obtaining a nontrivial
solution A, B, not both zero; here we can drop the denominators. We obtain
j
j= cos k
π
sin 2k
π
-cos 2k
π
sin k
π
.
By the addition formula for the sine (see App. 3.1 in the book if necessary) the right
side equals sin (2k
π
-k
π
) = sin k
π
. This is  zero for k
π
=m
π
, m = 0, 1, • • • .
Eigenvalues are 
m
=m
2
, m = 1, 2, • • • . Eigenfunctions are y
m
=x
1
sin mx,
m= 1, 2, • • • . These functions are orthogonal on 
π
x  2
π
with respect to the
weight function r = x
2
.
20. Team  Project. (a) We  integrate over  x from  -1  to  1,  hence  over 
θ
defined  by 
x= cos
θ
from 
π
to 0. Using (1 - x
2
)
1/2
dx = -d
θ
, we thus obtain
1
1
cos (m arc cos x) cos (n arc cos x)(1 - x
2
)
1/2
dx
=
π
0
cos m
θ
cos n
θ
d
θ
=
π
0
(cos (m + n)
θ
+cos (m - n)
θ
)d
θ
,
which is zero for integer m  n.
(b) Following the hint, we calculate ∫ e
x
x
k
L
n
dx = 0 for k < n:
0
e
x
x
k
L
n
(x) dx =
0
x
k
(x
n
e
x
)dx = -
0
x
k1
(x
n
e
x
)dx
=• • • = (-1)
k
0
(x
n
e
x
)dx = 0.
SECTION 5.8. Orthogonal Eigenfunction Expansions, page 210
Purpose. To  show  how families  (sequences) of  orthogonal functions,  as they  arise  in
eigenvalue problems and elsewhere, are used in series for representing other functions,
and to show how orthogonality becomes crucial in simplifying the determination of the
coefficients of such a series by integration.
Main Content, Important Concepts
Standard notation (y
m
, y
n
)
Orthogonal expansion (3), eigenfunction expansion
Fourier constants (4)
Fourier series (5), Euler formulas (6)
Short Courses. Omit this section.
Comment on Flexibility on Fourier Series
Since Sec. 5.8, with the definition of orthogonality taken from Sec. 5.7 and Examples 2
and 3 omitted, is independent of other sections in this chapter, it could also be used after
Chap. 11 on Fourier series. We did not put it there for reasons of time and because Chap.
11 is intimately related to the main applications of Fourier series (to partial differential
equations) in Chap. 12.
d
nk
dx
nk
k!
n!
d
n1
dx
n1
k
n!
d
n
dx
n
1
n!
1
2
sin k
π
sin 2k
π
cos k
π
cos 2k
π
Instructor’s Manual
113
im05.qxd  9/21/05  11:10 AM  Page 113
Documents you may be interested
Documents you may be interested