c# pdf reader dll : Add and remove pages from a pdf control Library platform web page asp.net html web browser solution_manual_of_advanced_engineering_mathematics_by_erwin_kreyszig_9th_edition-112-part210

Comment on Notation
(y
m
, y
n
) is not a must, but has become standard; perhaps if it is written out a few times,
poorer students will no longer be irritated by it.
SOLUTIONS TO PROBLEM SET 5.8, page 216
2.
2
_
3
P
2
(x) + 2P
1
(x) +
4
_
3
P
0
(x). This is probably most simply obtained by the method of
undetermined coefficients, beginning with the highest power, x
2
and P
2
(x). The point
of these problems is to make the student aware that these developments look totally
different from the usual expansions in terms of powers of x.
4. P
0
(x), P
1
(x), 
2
_
3
P
2
(x) +
1
_
3
P
0
(x), 
2
_
5
P
3
(x) +
3
_
5
P
1
(x)
6. m
0
=5. The size of m
0
, that is, the rapidity of convergence seems to depend on the
variability  of  ƒ(x).  A  discontinuous  derivative  (e.g.,  as  for  sin x occurring  in
connection with rectifiers) makes it virtually impossible to reach the goal. Let alone
when ƒ(x) itself is discontinuous. In the present case the series is
ƒ(x) = 0.95493P
1
(x) - 1.15824P
3
(x) + 0.21429P
5
(x) - + • • • .
Rounding seems to have considerable influence in all of these problems.
8. ƒ(x) = -1.520P
2
(x) + 0.5825P
4
(x) - 0.0653P
6
(x) + • • • , m
0
=6
10. ƒ(x) = -0.1689P
2
(x) - 0.8933P
4
(x) - 1.190P
6
(x) + • • • , m
0
=12
12. ƒ(x) = 0.7470P
0
(x) - 0.4458P
2
(x) + 0.0765P
4
(x) - • • • , m
0
=4
14. ƒ(x) = 0.6116P
0
(x) - 0.7032P
2
(x) + 0.0999P
4
(x) + • • • , m
0
=4
16. ƒ(x) = 0.5385P
1
(x) - 0.6880P
3
(x) + 0.1644P
5
(x) + • • • , m
0
=5 or 7
18. Team  Project. (b) A  Maclaurin  series  ƒ(t)  =
`
n=0
a
n
t
n
has  the  coefficients 
a
n
(n)
(0)/n!. We thus obtain
ƒ
(n)
(0) =
(e
txt2/2
) j
t=0
=e
x2/2
(e
(xt)2/2
) j
t=0
.
If we set x - t = z, this becomes
ƒ
(n)
(0) = e
x2/2
(-1)
n
(e
z2/2
) j
z=x
=(-1)
n
e
x2/2
(e
x2/2
) = He
n
(x).
(c) G
x
=
a
n
(x)t
n
=
He
n
(x)t
n
/n! = tG =
He
n1
(x)t
n
/(n - 1)!, etc.
(d) We write e
x2/2
=v, v
(n)
=d
n
v/dx
n
, etc., and use (21). By integrations by parts,
for n > m,
vHe
m
He
n
dx = (-1)
n
He
m
v
(n)
dx = (-1)
n1
He
m
v
(n1)
dx
=(-1)
n1
m
He
m1
v
(n1)
dx = • • •
=(-1)
nm
m!
He
0
v
(nm)
dx = 0.
(e) nHe
n
=nxHe
n1
-nHe
n1
from (22) with n - 1 instead of n. In this equation,
the first term on the right equals xHe
n
by (21). The last term equals -He
n
, as follows
by differentiation of (21).
d
n
dx
n
d
n
dz
n
d
n
dt
n
d
n
dt
n
114
Instructor’s Manual
im05.qxd  9/21/05  11:10 AM  Page 114
Add and remove pages from a pdf - remove PDF pages in C#.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
Provides Users with Mature Document Manipulating Function for Deleting PDF Pages
delete pages from pdf; add and remove pages from pdf file online
Add and remove pages from a pdf - VB.NET PDF Page Delete Library: remove PDF pages in vb.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
Visual Basic Sample Codes to Delete PDF Document Page in .NET
delete pages from pdf document; copy pages from pdf to word
We write y = Ew, where E = e
x2/4
. Then
y
=
1
_
2
xEw + Ew
y
=
1
_
2
Ew +
1
_
4
x
2
Ew + xEw
+Ew
.
If we substitute this into the ODE (23) and divide by E, we obtain the result. The
point is that the new ODE does not contain a first derivative; hence our transformation
is precisely that for eliminating the first derivative from (23).
SOLUTIONS TO CHAP. 5 REVIEW QUESTIONS AND PROBLEMS, page 217
12. 1/(1 - x), (1 - x)
3
. An Euler–Cauchy equation in t = x - 1.
14. x
2
, x
2
ln x. An Euler–Cauchy equation with a double root.
16. x
2
cos x, x
2
sin x
18. We take the term -1  y
to the right and substitute the usual power series and its
derivatives into the ODE. The general term on the right is m(m - 1)a
m
x
m2
. To get
the same general power x
m
throughout, we replace in this term m - 2 with m; then
the right side has the general term (m + 2)(m + 1)a
m+2
x
m
.
On the left we collect terms, obtaining
(m(m - 1) - 2m + 2)a
m
x
m
=(m - 2)(m - 1)a
m
x
m
.
This gives the recursion formula
a
m+2
=
a
m
(m = 0, 1, • • •)
a
0
and a
1
remain arbitrary. If we set a
0
=1, a
1
=0, we obtain a
2
=a
0
=1, a
3
=0,
a
4
=0, etc., and y
1
=1 + x
2
. If we set a
0
=0, a
1
=1, we obtain y
2
=x. This is a
basis of solutions.
To make sure that we did not make a mistake at the beginning, we could write the
first few terms explicitly, namely, the constant, linear, and quadratic terms of each
series and check our result. This gives
(2a
2
x
2
+• • •) - 2a
1
x- 4a
2
x
2
+2a
0
+2a
1
x+ 2a
2
x
2
+• • •
=2a
2
+6a
3
x+ 12a
4
x
2
+• • • .
We take a
0
=1, a
1
=1. We then get a
2
=a
0
=1 from the constant terms, a
3
=0
from the linear terms, a
4
=0 from the quadratic terms, etc., as before.
20. Indicial equation r(r - 1) + r - 1 = 0. Hence r
1
=1, r
2
=-1. These roots differ
by an integer; this is Case 3. It turns out that no logarithm will appear. A basis of
solutions is
y
1
=x -
+
-
+• • •
y
2
=
-
+
-
+
-• • • .
We see that y
1
=x
1
sin x
2
and y
2
=x
1
cos x
2
. The coefficients a
0
, • • • , a
3
and
A
0
, • • • , A
3
were arbitrary, and the two solutions were obtained by the choices a
0
=1
and the others zero, and A
0
=1 and the other A
j
(j = 1, 2, 3) zero.
22. y = x
2
[c
1
J
4
(x) + c
2
Y
4
(x)]
x
15
8!
x
11
6!
x
7
4!
x
3
2!
1
x
x
13
7!
x
9
5!
x
5
3!
(m - 2)(m - 1)

(m + 2)(m + 1)
Instructor’s Manual
115
im05.qxd  9/21/05  11:10 AM  Page 115
VB.NET PDF Password Library: add, remove, edit PDF file password
manipulations. Open password protected PDF. Add password to PDF. Change PDF original password. Remove password from PDF. Set PDF security level. VB
delete pages of pdf preview; delete a page from a pdf in preview
C# PDF Password Library: add, remove, edit PDF file password in C#
String outputFilePath = Program.RootPath + "\\" Output.pdf"; // Remove the password. doc.Save(outputFilePath); C# Sample Code: Add Password to Plain PDF
delete page on pdf document; delete pages from pdf in preview
24. y = x
5/2
(c
1
cos x + c
2
sin x). This is the case in which the Bessel functions reduce
to cosine and sine divided or multiplied by a power of x.
26. y = A cos kx + B sin kx, where k = √
. y(0) = A = 0 from the first  boundary
condition. From this and the second boundary condition,
y= B sin kx,
y
=Bk cos kx,
cos k
π
=0,
k
π
=(2m + 1)
π
/2.
Hence k
m
=(2m + 1)/2, 
=k
m
2
, y
m
=sin k
m
x, m = 0, 1, • • • .
28. x = e
t
, t = ln x, y(x)  y
(t), y
=y
.
/x, y
¨
+
y
=0. For t the boundary conditions
are y
(0) = 0, y
(1) = 0. A general solution is y
=A cos kt + B sin kt, k = √
. Now
A= 0 from the first boundary condition, and k = k
m
=m
π
from the second. Hence the
eigenvalues are 
m
=(m
π
)
2
and eigenfunctions are y
m
=sinm
π
t= sin (m
π
lnx),
m= 1, 2, • • • .
30. y = A cos kx + B sin kx, y
=-Ak sin kx + Bk cos kx. From the first  boundary
condition, A + Bk = 0; hence A = -Bk. From the second boundary condition, with
Areplaced by -Bk,
-Bk cos 2k
π
+B sin 2k
π
=0,
k= tan 2k
π
,
m
=k
m
2
where the k
m
’s are the infinitely many solutions of k = tan 2k
π
. Eigenfunctions:
y
m
=cos k
m
x,
sin k
m
x.
32. 0.505P
0
(x) + 0.377P
2
(x) - 0.920P
4
(x) + • • •
34. 0.637P
0
(x) + 0.154P
2
(x) + 0.672P
4
(x) - 0.663P
6
(x) + • • • . The approximation by
partial sums is poor near the points of discontinuity of the derivative. This is typical.
116
Instructor’s Manual
im05.qxd  9/21/05  11:10 AM  Page 116
C# PDF Digital Signature Library: add, remove, update PDF digital
Image: Insert Image to PDF. Image: Remove Image from Redact Text Content. Redact Images. Redact Pages. Annotation & Highlight Text. Add Text. Add Text Box. Drawing
delete a page from a pdf file; delete pdf page acrobat
C# PDF remove image library: remove, delete images from PDF in C#.
Image: Insert Image to PDF. Image: Remove Image from Redact Text Content. Redact Images. Redact Pages. Annotation & Highlight Text. Add Text. Add Text Box. Drawing
delete a page in a pdf file; acrobat extract pages from pdf
CHAPTER 6 Laplace Transform
Major Changes
This chapter underwent some major changes regarding the order of the material and the
emphasis placed on the various topics.
In particular, Dirac’s delta was placed in a separate section. Partial fractions are now
considered earlier.  Their importance in  this chapter  has been diminished, and  they are
explained in terms of practical problems when they are needed, rather than in terms of
impractical theoretical formulas. Convolution and nonhomogeneous linear ODEs are now
considered earlier, whereas differentiation and integration of transforms (not of functions!)
appears later and in a lesser role.
SECTION 6.1. Laplace Transform. Inverse Transform. Linearity. s-Shifting,
page 221
Purpose. To explain the basic concepts, to present a short list of basic transforms, and to
show how these are derived from the definition.
Main Content, Important Concepts
Transform, inverse transform, linearity
First shifting theorem
Table 6.1
Existence and its practical significance
Comment on Table 6.1
After working for a while in this chapter, the student should be able to memorize these
transforms. Further transforms in Sec. 6.9 are derived as we go along, many of them from
Table 6.1.
SOLUTIONS TO PROBLEM SET 6.1, page 226
2. (t
2
-3)
2
=t
4
-6t
2
+9; transform 
-
+
4. sin
2
4t =
-
cos 8t; transform 
-
=
6. e
t
sinh 5t =
(e
4t
-e
6t
); transform  (
-
)=
.
This can be checked by the first shifting theorem.
8. sin (3t -
1
_
2
) = cos
1
_
2
sin 3t - sin
1
_
2
cos 3t; transform
10.
12. (t + 1)
3
=t
3
+3t
2
+3t + 1; transform 
+
+
+
1
s
3
s
2
6
s
3
6
s
4
-1.6

s
2
+0.04
3 cos
1
_
2
-s sin
1
_
2

s
2
+9
5

(s + 1)
2
-25
1
s+ 6
1
s- 4
1
2
1
2
32

s(s
2
+64)
s

2(s
2
+64)
1
2s
1
2
1
2
9
s
12
s
3
24
s
5
117
im06.qxd  9/21/05  12:05 PM  Page 117
C# PDF bookmark Library: add, remove, update PDF bookmarks in C#.
Help to add or insert bookmark and outline into PDF file in .NET framework. Ability to remove and delete bookmark and outline from PDF document.
delete pages pdf file; delete a page from a pdf
C# PDF metadata Library: add, remove, update PDF metadata in C#.
Add metadata to PDF document in C# .NET framework program. Remove and delete metadata from PDF file. Also a PDF metadata extraction control.
delete page in pdf; cut pages from pdf online
14. k
b
a
e
st
dt =
(e
as
-e
bs
)
16. k(1 - t/b); transform
k
b
0
e
st
(1 -
)dt = -
e
st
(1 -
)j
b
0
+
b
0
(-
)e
st
dt
=
(bs + e
bs
-1)
18.
b
0
e
st
t dt =
(
-
)
20.
1
0
e
st
t dt +
2
1
e
st
(2 - t) dt. Integration by parts gives
-
j
1
0
+
1
0
e
st
dt -
j
2
1
-
2
1
e
st
dt
=-
-
(e
s
-1) +
+
(e
2s
-e
s
)
=
(-e
s
+1 + e
2s
-e
s
) =
.
22. Let st =
, t =
/s, dt = d
/s. Then
(1/√t
) =
0
e
st
t
1/2
dt
=
0
e
(
/s)
1/2
d
=s
1/2
0
e
1/2
d
=s
1/2
(
1
_
2
) = √
π
/s
.
24. No matter how large we choose M and k, we have e
t2
>Me
kt
for all t greater than some
t
0
because t
2
>lnM + kt for all sufficiently large t (and fixed positive M and k).
26. Use e
at
=cosh at + sinh at.
28. Let ƒ = 
1
(F), g = 
1
(G). Since the transform is linear, we obtain
aF + bG = a(ƒ) + b(g) = (aƒ + bg).
Now apply 
1
on both sides to get the desired result,
1
(aF + bG) = 
1
(aƒ + bg) = aƒ + bg = a
1
(F) + b
1
(G).
Note that we have proved much more than just the claim, namely, the following.
Theorem. If a linear transformation has an inverse, the inverse is linear.
30. 2 cosh 4t + 4 sinh 4t = 3e
4t
-e
4t
32.
=
. Answer 5e
t/√2
5

s+ 1/√2
10

2s + √2
1
s
(1 - e
s
)
2

s
2
1
s
2
1
s
2
e
s
s
1
s
2
e
s
s
1
s
e
st
(2 - t)

s
1
s
e
st
t
s
be
bs
s
1 - e
bs
s
2
k
b
k
b
k
bs
2
1
b
k
s
t
b
k
s
t
b
k
s
118
Instructor’s Manual
im06.qxd  9/21/05  12:05 PM  Page 118
VB.NET PDF remove image library: remove, delete images from PDF in
Image: Insert Image to PDF. Image: Remove Image from Redact Text Content. Redact Images. Redact Pages. Annotation & Highlight Text. Add Text. Add Text Box. Drawing
delete pages of pdf; delete pages on pdf online
VB.NET PDF metadata library: add, remove, update PDF metadata in
Add permanent metadata to PDF document in VB .NET framework program. Remove and delete metadata content from PDF file in Visual Basic .NET application.
delete page from pdf preview; delete pages from a pdf document
34.
=4(
-
). Answer 4(e
t
-e
4t
)
36. 4e
t
+9e
4t
+16e
9t
+25e
16t
38.
=
. Answer 2 cosh 
1
_
3
t- 4 sinh
1
_
3
t
40. If a  b, then 
(e
at
-e
bt
). If a = b, then te
bt
by the shifting theorem (or
from the first result by l’Hôpital’s rule, taking derivatives with respect to a).
42.
44.
46. a
0
/(s + 1) + a
1
/(s + 1)
2
+• • • + n!a
n
/(s + 1)
n+1
48.
π
te
π
t
50. e
t
(cos 2t -
5
_
2
sin 2t)
52. e
3t
(4 cos 3t +
_
10
3
sin 3t)
54.
=
. Answer
e
2t
(2 cosh 4t - 13 sinh 4t) = -
_
11
2
e
6t
+
_
15
2
e
2t
SECTION 6.2. Transforms of Derivatives and Integrals. ODEs, page 227
Purpose. To get a first impression of how the Laplace transform solves ODEs and initial
value problems, the task for which it is designed.
Main Content, Important Concepts
(1) (ƒ
) = s(ƒ) - ƒ(0)
Extension of (1) to higher derivatives [(2), (3)]
Solution of an ODE, subsidiary equation
Transform of the integral of a function (Theorem 3)
Transfer function (6)
Shifted data problems (Example 6)
Comment on ODEs
The last of the three steps of solution is the hardest, but we shall derive many general
properties  of  the  Laplace  transform  (collected  in  Sec.  6.8)  that  will  help,  along  with
formulas in Table 6.1 and those in Sec. 6.9, so that we can proceed to ODEs for which
the present method is superior to the classical one.
SOLUTIONS TO PROBLEM SET 6.2, page 232
Purpose of Probs. 1–8. 1. To familiarize students with (1) and (2) before they apply
these formulas to ODEs. 2. Students should become aware that transforms can often
be obtained by several methods.
2(s - 2) - 52

(s - 2)
2
-16
2s - 56

s
2
-4s - 12
s+ 3

(s + 3)
2
+
π
2
-72

(s + 0.5)
5
1
b- a
2s - 4/3
s
2
-1/9
18s - 12

9s
2
-1
1
s+ 4
1
s- 1
20

(s - 1)(s + 4)
Instructor’s Manual
119
im06.qxd  9/21/05  12:05 PM  Page 119
2. ƒ = t cos 5t, ƒ
=cos 5t - 5t sin 5t, ƒ
=-10 sin 5t - 25t cos 5t. Hence
(ƒ
) =
-25(ƒ) = s
2
(ƒ) - s  0 - 1
and thus
(s
2
+25)(ƒ) =
+1 =
.
Answer
(ƒ) =
.
4. ƒ = cos
2
π
t, ƒ
=-2
π
cos
π
tsin
π
t= -
π
sin 2
π
t. Hence
(ƒ
) =
=s(ƒ) - 1,
s(ƒ) =
.
This gives the answer
(ƒ) =
.
6. ƒ = cosh
21
_
2
t, ƒ
=cosh
1
_
2
tsinh
1
_
2
t=
1
_
2
sinh t. Hence
(ƒ
) = s(ƒ) - 1 =
,
s(ƒ) =
.
This gives the answer
(ƒ) =
.
8. ƒ = sin
4
t, ƒ
=4 sin
3
tcos t, ƒ
=12 sin
2
tcos
2
t- 4 sin
4
t. From this and (2) it
follows that
(ƒ
) = 12(sin
2
tcos
2
t) - 4(ƒ) = s
2
(ƒ).
Collecting terms and using Prob. 3 with 
=2 and sin 2
α
=2 sin
α
cos
α
, we obtain
(s
2
+4)(ƒ) = 3(sin
2
2t) =
.
Answer
(ƒ) =
.
10. sY - 2.8 + 4Y = 0, (s + 4)Y = 2.8, Y = 2.8/(s + 4), y = 2.8e
4t
12. (s
2
-s - 6)Y = (s - 3)(s + 2)Y = 6s + 13 - 6 = 6s + 7. Hence
Y=
=
+
and
y= 5e
3t
+e
2t
.
14. (s - 2)
2
Y= 2.1s + 3.9 - 4  2.1. Hence
Y=
=
.
2.1(s - 2) + 4.2 - 4.5

(s - 2)
2
2.1s - 4.5

(s - 2)
2
1
s+ 2
5
s- 3
6s + 7

(s - 3)(s + 2)
24

s(s
2
+4)(s
2
+16)
3 8

s(s
2
+16)
s
2
-
1
_
2

s(s
2
-1)
1
_
2
+s
2
-1

s
2
-1
1/2
s
2
-1
s
2
+2
π
2

s(s
2
+4
π
2
)
s
2
+4
π
2
-2
π
2

s
2
+4
π
2
-2
π
2

s
2
+4
π
2
s
2
-25

(s
2
+25)
2
s
2
-25
s
2
+25
-50
s
2
+25
-50
s
2
+25
120
Instructor’s Manual
im06.qxd  9/21/05  12:05 PM  Page 120
This gives the solution
y= 2.1e
2t
-0.3te
2t
as expected in the case of a double root of the characteristic equation.
16. (s
2
+ks - 2k
2
)Y = 2s + 2k + 2k, Y = (2s + 4k)/[(s - k)(s + 2k)] = 2/(s - k), 
y= 2e
kt
18. We obtain
(s
2
+9)Y =
.
The solution of this subsidiary equation is
Y=
=
-
.
This gives the solution y = e
t
-cos 3t +
1
_
3
sin 3t.
20. The subsidiary equation is
(s
2
-6s + 5)Y = 3.2s + 6.2 - 6  3.2 + 29s/(s
2
+4).
The solution Y is
Y=
.
In terms of partial fractions, this becomes
Y=
+
+
.
The inverse transform of this gives the solution
y= e
t
+2e
5t
+0.2 cos 2t - 2.4 sin 2t.
22. t = t
+1, so that the “shifted problem” is
y
-2y
-3y
=0,
y
(0) = -3,
y
(0) = -17.
Hence the corresponding subsidiary equation is
(s
2
-2s - 3)Y
=-3s - 17 + 6.
Its solution is
Y
=
=
-
.
Inversion gives
y
=2e
t
-5e
3t
.
This is the solution of the “shifted problem,” and the solution of the given problem is
y= 2e
(t1)
-5e
3(t1)
.
24. t = t
+3, so that the “shifted equation” is
y
+2y
+5y
=50t
.
The corresponding subsidiary equation is
[(s + 1)
2
+4]Y
=-4s + 14 - 2  4 + 50/s
2
.
5
s- 3
2
s+ 1
-3s - 11

(s + 1)(s - 3)
0.2s - 2.4  2

s
2
+4
2
s- 5
1
s- 1
(3.2s - 13)(s
2
+4) + 29s

(s - 1)(s - 5)(s
2
+4)
s- 1
s
2
+9
1
s+ 1
10

(s + 1)(s
2
+9)
10
s+ 1
Instructor’s Manual
121
im06.qxd  9/21/05  12:05 PM  Page 121
Its solution is
Y
=
-
+
.
The inverse transform is
y
=10t
-4 + 2e
t
sin 2t
.
Hence the given problem has the solution
y= 10(t - 3) - 4 + 2e
(t3)
sin 2(t - 3).
26. Project. We derive (a). We have ƒ(0) = 0 and
ƒ
(t) = cos
t-
tsin
t,
ƒ
(0) = 1
ƒ
(t) = -2
sin
t-
2
ƒ(t).
By (2),
(ƒ
) = -2
-
2
(ƒ) = s
2
(ƒ) - 1.
Collecting (ƒ)-terms, we obtain
(ƒ)(s
2
+
2
) =
+1 =
.
Division by s
2
+
2
on both sides gives (a).
In (b) on the right we get from (a)
(sin
t-
tcos
t) =
-
.
Taking the common denominator and simplifying the numerator,
(s
2
+
2
) -
(s
2
-
2
) = 2
3
we get (b).
(c) is shown in Example 1.
(d) is derived the same way as (b), with + instead of -, so that the numerator is
(s
2
+
2
) +
(s
2
-
2
) = 2
s
2
,
which gives (d).
(e) is similar to (a). We have ƒ(0) = 0 and obtain
ƒ
(t) = cosh at + at sinh at,
ƒ
(0) = 1
ƒ
(t) = 2a sinh at + a
2
ƒ(t).
By (2) we obtain
(ƒ
) =
+a
2
(ƒ) = s
2
(ƒ) - 1.
Hence
(ƒ)(s
2
-a
2
) =
+1 =
.
Division by s
2
-a
2
gives (e).
s
2
+a
2
s
2
-a
2
2a
2
s
2
-a
2
2a
2
s
2
-a
2
s
2
-
2

(s
2
+
2
)
2
s
2
+
2
s
2
-
2
s
2
+
2
-2
2
s
2
+
2
s
2
+
2
4

(s + 1)
2
+4
4
s
10
s
2
122
Instructor’s Manual
im06.qxd  9/21/05  12:05 PM  Page 122
(f) follows similarly. We have ƒ(0) = 0 and, furthermore,
ƒ
(t) = sinh at + at cosh at,
ƒ
(0) = 0
ƒ
(t) = 2a cosh at + a
2
ƒ(t)
(ƒ
(t)) = 2a
+a
2
(ƒ) = s
2
(ƒ)
(ƒ)(s
2
-a
2
) =
.
Division by s
2
-a
2
gives formula (f).
28. We start from
1
(
)= e
π
t
and integrate twice. The first integration gives
(e
π
t
-1).
Multiplication by 10 and another integration from 0 to t gives the answer
(e
π
t
-1) -
.
30. The inverse of 1/(s
2
+1) is sin t. A first integration from 0 to t gives 1 - cos t, and
another integration yields t - sin t.
32. The inverse of 2/(s
2
+9) is 
2
_
3
sin 3t. Integration from 0 to t gives the answer
2
_
9
(1 - cos 3t) =
4
_
9
sin
23
_
2
t.
34. The inverse of 1/(s
2
+
π
2
) is 
sin
π
t. A first integration from 0 to t gives
(1 - cos
π
t).
Another integration gives the answer
(t -
sin
π
t) .
SECTION 6.3. Unit Step Function. t-Shifting, page 233
Purpose
1. To introduce the unit step  function u(t - a), which together with Dirac’s  delta
(Sec. 6.4) greatly increases the usefulness of the Laplace transform.
2. To find the transform of
0 (t < a),
ƒ(t - a) (t > a)
if that of ƒ(t) is known (“t-shifting”). (“s-shifting” was considered in Sec. 6.1.)
1
π
1
π
2
1
π
2
1
π
10t
π
10
π
2
1
π
1
s-
π
2as
s
2
-a
2
s
s
2
-a
2
Instructor’s Manual
123
im06.qxd  9/21/05  12:05 PM  Page 123
Documents you may be interested
Documents you may be interested