c# pdf reader dll : Delete blank pages in pdf files application SDK tool html wpf asp.net online solution_manual_of_advanced_engineering_mathematics_by_erwin_kreyszig_9th_edition-113-part211

Main Content, Important Concepts
Unit step function (1), its transform (2)
Second shifting theorem (Theorem 1)
Comment on the Unit Step Function
Problem Set 6.3 shows that u(t - a) is the basic function for representing discontinuous
functions.
SOLUTIONS TO PROBLEM SET 6.3, page 240
2. t(1 - u(t - 1)) = t - [(t - 1) + 1]u(t - 1). Hence the transform is
-
-
.
4. (sin 3t)(1 - u(t -
π
)) = sin 3t + u(t -
π
) sin 3(t -
π
). Hence the transform is
(1 + e
π
s
).
6. We obtain
t
2
u(t - 3) = [(t - 3)
2
+6(t - 3) + 9]u(t - 3).
Hence the transform is
(
+
+
)e
3s
.
8. (1  - e
t
)(1  - u(t -
π
))  = 1  - e
t
- (1  - e
(t
π
)
π
)u(t -
π
).  Hence  the 
transform is
-
-
+e
π
e
π
s
.
10. u(t - 6
π
/
) sin
t= u(t - 6
π
/
) sin (
t- 6
π
). Hence the transform is
e
6
π
s/
.
12.
1
_
2
(e
t
-e
t
)(1 - u(t - 2)) =
1
_
2
(e
t
-e
t
) -
1
_
2
(e
(t2)+2
-e
(t+2)2
)u(t - 2). Hence
the transform is
-
-
(
-
)e
2s
.
Alternatively, by using the addition formula (22) in App. 3.1 we obtain the transform
in the form
-(
+
)e
2s
.
14. s/(s
2
+
2
) has the inverse cos
t. Hence ƒ(t) = 0 if t < 1 and cos
(t - 1) if t > 1.
16. t - [(t - 1) + 1]u(t - 1) = t - t u(t - 1); hence ƒ(t) = t if 0 < t < 1 and 0 if t > 1.
18. 1/(s
2
+2s+ 2) = 1/[(s + 1)
2
+1] has the inverse e
t
sin t. Hence the given transform
has the inverse
e
(t
π
)
sin (t -
π
)u(t -
π
) = -e
π
t
sin t u(t -
π
)
which is 0 if t <
π
and -e
π
t
sin t if t >
π
.
ssinh 2
s
2
-1
cosh 2
s
2
-1
1
s
2
-1
e
2
s+ 1
e
2
s- 1
1
2
1
s+ 1
1
2
1
s- 1
1
2
s
2
+
2
1
s+ 1
e
π
s
s
1
s+ 1
1
s
9
s
6
s
2
2
s
3
3
s
2
+9
e
s
s
e
s
s
2
1
s
2
124
Instructor’s Manual
im06.qxd  9/21/05  12:05 PM  Page 124
Delete blank pages in pdf files - remove PDF pages in C#.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
Provides Users with Mature Document Manipulating Function for Deleting PDF Pages
delete page from pdf preview; add and delete pages in pdf online
Delete blank pages in pdf files - VB.NET PDF Page Delete Library: remove PDF pages in vb.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
Visual Basic Sample Codes to Delete PDF Document Page in .NET
acrobat export pages from pdf; delete pages pdf
20. The inverse transform is
e
kt
-e
k(t1)
e
k
u(t - 1) =
{
22. The inverse transform is 2.5(u(t - 2.6) - u(t - 3.8)), that is, 2.5 if 2.6 < t < 3.8
and 0 elsewhere.
24. (9s
2
-6s + 1)Y = 27s + 9 - 18 = 27s - 9. Hence
Y=
=
=
.
Hence the answer is y = 3e
t/3
.
26. (s
2
+10s + 24)Y = (s + 4)(s + 6)Y =
+
s- 5 +
. Division by
s
2
+10s + 24 and expansion in terms of partial fractions gives
Y=
-
+
.
Hence the answer is y = 6t
2
-5t +
_
19
12
. Note that it does not contain a contribution
from the general solution of the homogeneous ODE.
28. The subsidiary equation is
(s
2
+3s + 2)Y =
-
.
It has the solution
Y=
=(
+
-
)(1 - e
s
).
This gives the answer
y=
1
_
2
+
1
_
2
e
2t
-e
t
-(
1
_
2
+
1
_
2
e
2(t1)
-e
(t1)
)u(t - 1);
that is,
y=
{
30. The subsidiary equation is
(s
2
-16)Y =
(1 - e
45 + 8
) + 3s - 4.
Now
=
+
-
has  the  inverse  transform  y
1
= 3e
4t
+ 4e
4t
- 4e
2t
 This  is  the  solution  for 
0 < t < 4. The solution for t > 4 is
y= y
2
=e
4t
(3 - e
24
) + e
4t
(4 - 3e
8
).
4
s- 2
4
s- 4
3
s+ 4
s
4
-
8
2
+3s - 4

s
2
-16
48
s- 2
t< 1
t> 1.
if 0 <
if
1
_
2
+
1
_
2
e
2t
-e
t
1
_
2
e
2t
(1 - e
2
) - e
t
(1 - e)
1
s+ 1
1
2(s + 2)
1
2s
1 - e
s

s(s
2
+3s + 2)
e
s
s
1
s
19/12
s
5
s
2
12
s
3
190
12
19
12
288
s
3
3
s-
1
_
3
3s - 1
(s -
1
_
3
)
2
27s - 9

9s
2
-6s + 1
t< 1.
t> 1.
if 0 <
if
e
kt
0
Instructor’s Manual
125
im06.qxd  9/21/05  12:05 PM  Page 125
C# PDF Page Insert Library: insert pages into PDF file in C#.net
such as how to merge PDF document files by C# code, how to rotate PDF document page, how to delete PDF page using Add and Insert Blank Pages to PDF File in
delete pages on pdf online; copy pages from pdf to word
C# Create PDF Library SDK to convert PDF from other file formats
Create PDF from Open Office files. Program.RootPath + "\\" output.pdf"; // Create a new PDF Document object with 2 blank pages PDFDocument doc
delete page pdf acrobat reader; delete blank pages in pdf online
In y
2
the e
2t
-term has dropped out. The result can be confirmed classically by noting
that we must have
y
2
(4) = y
1
(4) = 3e
16
+4e
16
-4e
8
y
2
(4) = y
1
(4) = -12e
16
+16e
16
-8e
8
.
32. r = 35e
2t
(1 - u(t - 2)). The subsidiary equation is
(s
2
+8s + 15)Y =
(1 - e
2(s2)
) + 3s - 8 + 24.
Its solution is
Y=
.
The inverse transform of Y is
y= e
2t
+2e
5t
+u(t - 2)(-e
2t
-
5
_
2
e
5t+14
+
7
_
2
e
3t+10
).
Thus,
y=
{
34. t =
π
+ t
 y
+ 2y
+ 5y
= r
 r
= 10[-1  + u(t
-
π
)]  sin t
 y
(0)  = 1, 
y
(0) = -2 + 2e
π
. The solution in terms of t
is
y
(t
) = e
t
π
sin 2t
+cos t
-2 sin t
+u(t
-
π
)[e
t
+
π
(-cos 2t
+
1
_
2
sin 2t
) - cos t
+2 sin t
].
In terms of t,
y(t) = e
t
sin 2t - cos t + 2 sin t
+u(t - 2
π
)[e
t+2
π
(-cos 2t +
1
_
2
sin 2t) + cos t - 2 sin t].
36. 10i + 100 
t
0
i(
) d
=100(u(t - 0.5) - u(t - 0.6)). Divide  by 10 and take the
transform, using Theorem 3 in Sec. 6.2,
I+
I=
(e
0.5s
-e
0.6s
).
Solving for I = (i) gives
I=
(e
0.5s
-e
0.6s
).
The inverse transform is
i(t) = 10(e
10(t0.5) 
u(t - 0.5) - e
10(t0.6) 
u(t - 0.6)).
Hence
t< 0.5
t< 0.6
t> 0.6.
if
if
0.5 <
if
=0
=10e
10(t0.5)
=10(e
10(t0.5)
-e
10(t0.6)
)
=10e
10t
(e
5
-e
6
)
=-2550e
10t
i(t)
i(t)
i(t)
10
s+ 10
10
s
10
s
t< 2
t> 2.
if 0 <
if
e
2t
+2e
5t
e
5t
(2 -
5
_
2
e
14
) +
7
_
2
e
3t+10
3s
2
+10s + 3 - 35e
2s+4

s
3
+6s
2
-s - 30
35
s- 2
126
Instructor’s Manual
im06.qxd  9/21/05  12:05 PM  Page 126
VB.NET PDF File & Page Process Library SDK for vb.net, ASP.NET
PDF document is unnecessary, you may want to delete this page instance may consist of newly created blank pages or image VB.NET: Edit and Manipulate PDF Pages.
delete pages on pdf file; delete page from pdf file online
VB.NET PDF Page Insert Library: insert pages into PDF file in vb.
Able to add and insert one or multiple pages to existing adobe PDF document in VB.NET. Ability to create a blank PDF page with related by using following online
copy page from pdf; cut pages out of pdf
Jumps occur at t = 0.5 (upward) and at t = 0.6 (downward) because the right side
has those jumps and the term involving the integral (representing the charge on the
capacitor)  cannot  change  abruptly;  hence  the  first  term,  Ri(t),  must  jump  by  the
amounts of the jumps on the right, which have size 100, and since R = 10, the current
has jumps of size 10.
38. We obtain
I= 14  10
5
=(
-
)e
4s12
hence
i= u(t - 4) [2  10
6
e
10(t4)12
-6  10
5
e
3(t4)12
].
40. i
+1000i = 40 sin t u(t -
π
). The subsidiary equation is
sI + 1000I = -40 
.
Its solution is
I=
=
(
-
).
The inverse transform is
i= u(t -
π
)[-
(cos t + e
1000(t
π
)
) +
sin t] ;
hence i = 0 if t <
π
, and i
0.04 sin t if t >
π
.
42. i
+4i = 200(1 - t
2
)(1 - u(t - 1)). Observing that
t
2
=(t - 1)
2
+2(t - 1) + 1,
we obtain the subsidiary equation
(s
2
+4)I = 200(
-
)+ 200e
s
(
+
).
Its solution is
I= 200 
=25 (
-
-
)
+25e
s
(-
+
+
+
).
Its inverse transform is
i= 75 - 50t
2
-75 cos 2t
+u(t - 1)[-75 + 50t
2
+25 cos (2t - 2) - 50 sin (2t - 2)].
44. 0.5i
+20i = 78 cos t (1 - u(t -
π
)). The subsidiary equation is
(0.5s
2
+20)I =
(1 + e
π
s
).
Its solution is
I=
=4s (
-
)(1 + e
π
s
).
1
s
2
+40
1
s
2
+1
156s(1 + e
π
s
)

(s
2
+1)(s
2
+40)
78s
s
2
+1
s- 4
s
2
+4
4
s
3
4
s
2
1
s
3s
s
2
+4
4
s
3
3
s
s
2
-2 + e
s
(2s + 2)

s
3
(s
2
+4)
2
s
3
2
s
2
2
s
3
1
s
40 000

1000 001
40

1000 001
s- 1000

s
2
+1
1

s+ 1000
-40e
π
s

1000 001
-40e
π
s

(s
2
+1) (s + 1000)
e
π
s
s
2
+1
6 10
5
s+ 3
2 10
6
s+ 10
se
4s12

(s + 10)(s + 3)
Instructor’s Manual
127
im06.qxd  9/21/05  12:05 PM  Page 127
C# Word - Insert Blank Word Page in C#.NET
specify where they want to insert (blank) Word document rotate Word document page, how to delete Word page NET, how to reorganize Word document pages and how
acrobat remove pages from pdf; add and delete pages from pdf
C# PowerPoint - Insert Blank PowerPoint Page in C#.NET
where they want to insert (blank) PowerPoint document PowerPoint document page, how to delete PowerPoint page to reorganize PowerPoint document pages and how
delete pages pdf file; delete page from pdf file
Its inverse transform is
i= 4 cos t - 4 cos √40t - 4u(t -
π
) [cos t + cos (√40(t -
π
))].
46. i
+4i + 20 
t
0
i(
) d
=34e
t
(1 - u(t - 4)). The subsidiary equation is
(s + 4 +
)I =
(1 - e
4s4
).
Its solution is
I=
(1 - e
4s4
).
The inverse transform is
i= -2e
t
+e
2t
(2 cos 4t + 9 sin 4t)
+u(t - 4) [2e
t+4
+e
2(t2)
(2e
t
-2 cos 4(t - 4) -9 sin 4(t - 4)].
SECTION 6.4. Short Impulses. Dirac’s Delta Function. Partial Fractions,
page 241
Purpose. Modeling of short  impulses  by  Dirac’s  delta function (also  known  as  unit
impulse function). The text includes a remark that this is not a function in the usual sense
of calculus but a “generalized function” or “distribution.” Details cannot be discussed on
the level of this book; they can be found in books on functional analysis or on PDEs. See,
e.g., L.  Schwartz,  Mathematics  for  the  Physical  Sciences, Paris:  Hermann,  1966. The
French mathematician LAURENT SCHWARTZ (1915–2002) created and popularized the
theory of distributions. See also footnote 2.
Main Content
Definition of Dirac’s delta (3)
Sifting property (4)
Transform of delta (5)
Application to mass–spring systems and electric networks
More on partial fractions (Example 4)
For the beginning of the discussion of partial fractions in the present context, see Sec. 6.2.
SOLUTIONS TO PROBLEM SET 6.4, page 247
2. The subsidiary equation is
(s
2
+2s + 2)Y = 1 +
+5e
2s
where the 1 comes from y
(0). The solution in terms of partial fractions is
Y=
+
-
+
.
Hence the inverse transform (the solution of the problem) is
y= e
t
sin t + e
t
-e
t
cos t + 5e
(t2)
sin (t - 2) u(t - 2).
4. The subsidiary equation is
(s
2
+3s + 2)Y = s - 1 + 3 +
+10e
s
.
10
s
2
+1
5e
2s

(s + 1)
2
+1
s+ 1

(s + 1)
2
+1
1
1 + s
1

(s + 1)
2
+1
1
1+ s
34s

(s + 1)(s
2
+4s + 20)
34
s+ 1
20
s
128
Instructor’s Manual
im06.qxd  9/21/05  12:05 PM  Page 128
How to C#: Cleanup Images
returned. Delete Blank Pages. Set property BlankPageDelete to true , blank pages in the document will be deleted. Remove Edges or Borders.
delete page pdf; delete page in pdf preview
VB.NET Create PDF Library SDK to convert PDF from other file
Dim outputFile As String = Program.RootPath + "\\" output.pdf" ' Create a new PDF Document object with 2 blank pages Dim doc As PDFDocument = PDFDocument
delete a page from a pdf without acrobat; delete pages of pdf online
In terms of partial fractions, its solution is
Y=
+
-
+10 (
-
)e
s
.
Its inverse transform is
y= -2e
2t
+6e
t
-3 cos t + sin t + 10u(t - 1) 
[
e
t+1
-e
2(t1)
]
.
Without the 
-term, the solution is -3 cos t + sin t - 2e
2t
+6e
t
and approaches
a harmonic oscillation fairly soon. With the 
-term the first half-wave has a maximum
amplitude of about 5, but from about t = 8 or 10 on its graph coincides practically
with the graph of that harmonic oscillation (whose maximum amplitude is √10). This
is physically understandable, since the system has damping that eventually consumes
the additional energy due to the 
-term.
6. The subsidiary equation is
(s
2
+2s - 3)Y = s + 2 + 100(e
2s
+e
3s
).
The solution is
Y=
.
Its inverse transform gives the solution of the problem,
y=
1
_
4
(e
3t
+3e
t
) - 25u(t - 2) (e
3t+6
-e
t2
)
+25u(t - 3) (-e
3t+9
+e
t3
).
Without the factor 100 the cusps of the curve at t = 2 and t = 3 caused by the delta
functions  would  hardly  be  visible  in  the  graph,  because  the  solution  increases
exponentially. Solve the problem without the factor 100.
8. The subsidiary equation is
(s
2
+5s + 6)Y = e
π
s/2
-
e
π
s
.
Its solution is
Y= (
-
)e
π
s/2
-(-
+
+
)e
π
s
.
The inverse transform of Y is
y= u(t -
1
_
2
π
[
e
2t+
π
-e
3t+3
π
/2
]
-0.1u(t -
π
[
-4e
2t+2
π
+3e
3t+3
π
-cos t - sin t
]
.
This  solution  is  zero  from  0  to 
1
_
2
π
and  then  increases  rapidly.  Its  first  negative
half-wave has a smaller maximum amplitude (about 0.1) than the continuation as a
harmonic oscillation with maximum amplitude of about 0.15.
10. This is Prob. 9 without the damping term. The subsidiary equation is
(s
2
+5)Y = -2s + 5 +
-100e
π
s
.
Its solution is
Y=
+
-
e
π
s
.
100
s
2
+5
25

s
2
(s
2
+5)
-2s + 5
s
2
+5
25
s
2
0.1(s + 1)

s
2
+1
0.3
s+ 3
0.4
s+ 2
1
s+ 3
1
s+ 2
s
s
2
+1
s+ 2 + 100(e
2s
+e
3s
)

(s - 1)(s + 3)
1
s + 2
1
s + 1
3s - 1
s
2
+1
6
s+ 1
-2
s+ 2
Instructor’s Manual
129
im06.qxd  9/21/05  12:05 PM  Page 129
VB.NET PDF: Get Started with PDF Library
Auto Fill-in Field Data. Field: Insert, Delete, Update Field. RootPath + "\\" output.pdf" ' Create a new PDF Document object with 2 blank pages Dim doc
delete pages out of a pdf file; delete page from pdf preview
The partial fraction reduction of the second term on the right is
5(
-
).
The inverse transform of Y is (note that the sine terms cancel)
y= -2 cos t√5
+5t - 20√5
 
u(t -
π
) sin (√5
(t -
π
)).
The graph begins at t = 0 according to 5t - 2 cos t√5
(the solution without the
-term)  and  then  starts  oscillating  with  maximum  amplitude  of  about  40  about 
the straight line given by 5t. Since there is no damping, the energy corresponding
to the 
-term imposed at t =
π
will not disappear from the system; hence we obtain
the indicated oscillations. See the figure.
Section 6.4. Problem 10
12. The subsidiary equation is
(s
2
+1)Y = 1 -
+10e
π
s
.
Its solution is
Y=
-
+
e
π
s
.
The inverse transform of Y is
y= sin t - (sin t - t cos t) - 10u(t -
π
) sin t
=t cos t - 10u(t -
π
) sin t.
We see that we have a resonance term, t cos t. At t =
π
the graph has a sharp cusp
and then shows the oscillations with increasing maximum amplitude to be expected
in the case of resonance. See the figure.
14. CAS Project. Students should become aware that careful observation of graphs may
lead to discoveries or to more information about conjectures that they may want to
prove or disprove. The curves branch from the solution of the homogeneous ODE at
the instant at which the impulse is applied, which by choosing, say, a = 1, 2, 3, • • • ,
gives an interesting joint graph.
16. Team Project. (a) If ƒ(t) is piecewise continuous on an interval of length p, then its
Laplace transform exists, and we can write the integral from zero to infinity as the
series of integrals over successive periods:
(ƒ) =
0
e
st
ƒ(t) dt =
p
0
e
st
ƒdt +
2p
p
e
st
ƒdt +
3p
2p
e
st
ƒdt + • • • .
10
s
2
+1
2

(s
2
+1)
2
1
s
2
+1
2
s
2
+1
80
60
40
20
–20
2
4
6
8
10
0
t
1
s
2
+5
1
s
2
130
Instructor’s Manual
im06.qxd  9/21/05  12:05 PM  Page 130
Section 6.4. Problem 12
If we substitute t =
+p in the second integral, t =
+2p in the third integral,
•• • , t =
+(n - 1)p in the nth integral, • • • , then the new limits in every integral
are 0 and p. Since
ƒ(
+p) = ƒ(
),
ƒ(
+2p) = ƒ(
),
etc., we thus obtain
(ƒ) =
p
0
e
s
ƒ(
)d
+
p
0
e
s(
+p)
ƒ(
)d
+
p
0
e
s(
+2p)
ƒ(
)d
+• • • .
The factors that do not depend on 
can be taken out from under the integral signs;
this gives
(ƒ) = [1 + e
sp
+e
2sp
+• • •] 
p
0
e
s
ƒ(
)d
.
The series in brackets [• • •] is a geometric series whose sum is 1/(1 - e
ps
). The
theorem now follows.
(b) From (11) we obtain
(ƒ) =
π
/
0
e
st
sin
tdt.
Using 1 - e
2
π
s/
=(1 + e
π
s/
)(1 - e
π
s/
) and integrating by parts or noting that
the integral is the imaginary part of the integral
π
/
0
e
(s+i
)t
dt =
e
(s+i
)t
j
π
/
0
=
(-e
s
π
/
-1)
we obtain the result.
(c) From (11) we obtain the following equation by using sin
tfrom 0 to 
π
/
and
-sin
tfrom 
π
/
to 2
π
/
:
=
=
.
This gives the result.
(d) The sawtooth wave has the representation
ƒ(t) =
t
if 0 < t < p,
ƒ(t + p) = ƒ(t).
k
p
cosh (
π
s/2
)

sinh (
π
s/2
)
s
2
+
2
e
π
s/2
+e
π
s/2

e
π
s/2
-e
π
s/2
s
2
+
2
1 + e
π
s/

e
π
s/
-1
s
2
+
2
-s - i
s
2
+
2
1
-s + i
1

1 - e
2
π
s/
2
4
6
8 10 12 14 16 18 20
10
20
0
–10
–20
t
Instructor’s Manual
131
im06.qxd  9/21/05  12:05 PM  Page 131
Integration by parts gives
p
0
e
st
tdt = -
e
st
j
p
0
+
p
0
e
st
dt
=-
e
sp
-
(e
sp
-1)
and thus from (11) we obtain the result
(ƒ) =
-
(s > 0).
(e) Since kt/p has the transform k/ps
2
, from (d) we have the result
(s > 0).
SECTION 6.5. Convolution. Integral Equations, page 248
Purpose. To  find the inverse h(t) of  a  product  H(s) = F(s)G(s)  of transforms  whose
inverses are known.
Main Content, Important Concepts
Convolution ƒ  g, its properties
Convolution theorem
Application to ODEs and integral equations
Comment on Occurrence
In an ODE the transform R(s) of the right side r(t) is known from Step 1. Solving the
subsidiary equation algebraically for Y(s) causes the transform R(s) to be multiplied by
the reciprocal of the factor of Y(s) on the left (the transfer function Q(s); see Sec. 6.2).
This calls for the convolution theorem, unless one sees some other way or shortcut.
Very Short Courses. This section can be omitted.
SOLUTIONS TO PROBLEM SET 6.5, page 253
2. t  t =
t
0
(t -
) d
=
-
=
4.
t
0
e
a
e
b(t
)
d
=e
bt
t
0
e
(ab)
d
=
(e
(ab)t
-1) =
(e
at
-e
bt
)
6. 1  ƒ(t) =
t
0
ƒ(
) d
8. By the definition and by (11) in App. 3.1 we obtain
t
0
sin
cos (t -
) d
=
1
_
2
t
0
sin t d
+
1
_
2
t
0
sin (2
-t) d
.
Integration of this gives
1
_
2
tsin t +
[
1
_
4
(-cos (2
-t))
]
j
t
0
=
1
_
2
tsin t -
1
_
4
[cos t - cos (-t)].
Hence the answer is 
1
_
2
tsin t.
1
a- b
e
bt
a- b
t
3
6
t
3
3
t
3
2
ke
ps

s(1 - e
ps
)
ke
ps

s(1 - e
ps
)
k
ps
2
1
s
2
p
s
1
s
t
s
132
Instructor’s Manual
im06.qxd  9/21/05  12:05 PM  Page 132
10. (1)(e
t
), 1  e
t
=
t
0
e
d
=e
t
-1
12. t  e
2t
=
t
0
e
2
(t -
) d
=
(e
2t
-1) -
e
2t
+
e
2t
-
=-
+
e
2t
-
14.
1
_
4
(cos 4t)  (sin 4t) =
1
_
4
t
0
cos 4
sin 4(t -
) d
. Use (11) in App. 3.1 to convert the
product in the integrand to a sum and integrate. This gives
t
0
(sin 4t + sin (4t - 8
)) d
=
sin 4t +
(cos 4t - cos (-4t)).
Hence the answer is  sin 4t, in agreement with formula 22 in Sec. 6.9.
16. (sin t)  (sin 5t) =
t
0
sin
sin 5(t -
) d
. Using formula (11) in App. 3.1, convert
the product in the integrand to a sum and integrate, obtaining
1
_
2
t
0
[-cos (5t - 4
) + cos (
-5t + 5
)] d
=
1
_
2
[
-
1
_
4
sin (-5t + 4
) +
1
_
6
sin (6
-5t)
]
j
t
0
=
1
_
8
(sin t - sin 5t) +
_
1
12
(sin t + sin 5t)
=
_
5
24
sin t -
_
1
24
sin 5t.
18. The subsidiary equation is
(s
2
+1)Y =
and has the solution
Y=
.
Since the inverse of 1/(s
2
+1) is sin t, the convolution theorem gives the answer
y= (sin t)  (sin t) =
t
0
sin
sin (t -
) d
=-
1
_
2
tcos t +
1
_
2
sin t.
20. The subsidiary equation is
(s + 1)(s + 4)Y =
.
Its solution is
Y=
.
2

(s + 1)(s + 2)(s + 4)
2
s+ 2
1

(s
2
+1)
2
1
s
2
+1
t
8
1
64
t
8
1
2
1
4
1
4
1
4
t
2
1
4
1
4
t
2
t
2
Instructor’s Manual
133
im06.qxd  9/21/05  12:05 PM  Page 133
Documents you may be interested
Documents you may be interested