c# pdf reader dll : Delete pages on pdf online software Library dll windows asp.net .net web forms solution_manual_of_advanced_engineering_mathematics_by_erwin_kreyszig_9th_edition-115-part213

The subsidiary equations are
2sI
1
+I
1
-I
2
=
sI
2
-2 - sI
1
+2I
2
=0.
The solution is
I
1
=
=-
-
+
I
2
=
=
+
-
.
The inverse transform is
i
1
=-(59t + 140)e
t
+140e
t/4
i
2
=(59t + 22)e
t
-20e
t/4
.
20
s+ 1/4
22
s+ 1
59
(s + 1)
2
8s
2
+186s + 1

4s
3
+9s
2
+6s + 1
140
s+ 1/4
140
s+ 1
59
(s + 1)
2
184s + 361

4s
3
+9s
2
+6s + 1
90
s+ 1/4
144
Instructor’s Manual
im06.qxd  9/21/05  12:05 PM  Page 144
Delete pages on pdf online - remove PDF pages in C#.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
Provides Users with Mature Document Manipulating Function for Deleting PDF Pages
cut pages from pdf preview; delete page from pdf reader
Delete pages on pdf online - VB.NET PDF Page Delete Library: remove PDF pages in vb.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
Visual Basic Sample Codes to Delete PDF Document Page in .NET
delete pages of pdf reader; delete page in pdf document
Part B LINEAR ALGEBRA. 
VECTOR CALCULUS
Part B consists of
Chap. 7 Linear Algebra: Matrices, Vectors, Determinants. Linear Systems
Chap. 8 Linear Algebra: Matrix Eigenvalue Problems
Chap. 9 Vector Differential Calculus. Grad, Div, Curl
Chap. 10 Vector Integral Calculus. Integral Theorems.
Hence we have retained the previous subdivision of Part B into four chapters.
Chapter 9 is self-contained and completely independent of Chaps. 7 and 8. Thus, Part B
consists of two large independent units, namely, Linear Algebra (Chaps. 7, 8) and Vector
Calculus (Chaps. 9, 10). Chapter 10 depends on Chap. 9, mainly because of the occurrence
of div and curl (defined in Chap. 9) in the Gauss and Stokes theorems in Chap. 10.
CHAPTER 7 Linear Algebra: Matrices, Vectors,
Determinants. Linear Systems
Changes
The order of the material in this chapter and its subdivision into sections has been retained,
but various local changes have been made to increase the usefulness of this chapter for
applications, in particular:
1. The  beginning,  which  was  somewhat  slow  by  modern  standards,  has  been
streamlined, so that the student will see applications to linear systems of equations
much earlier.
2. A reference section  (Sec. 7.6)  on  second-  and  third-order determinants  has  been
included for easier access from other parts of the book.
SECTION 7.1. Matrices, Vectors: Addition and Scalar Multiplication, 
page 272
Purpose. Explanation  of  the  basic  concepts.  Explanation  of  the  two  basic  matrix
operations. The latter derive their importance from their use in defining vector spaces, a
fact that should perhaps not be mentioned at this early stage. Its systematic  discussion
follows in Sec. 7.4, where it will fit nicely into the flow of thoughts and ideas.
Main Content, Important Concepts
Matrix, square matrix, main diagonal
Double subscript notation
Row vector, column vector, transposition
Equality of matrices
Matrix addition
Scalar multiplication (multiplication of a matrix by a scalar)
145
im07.qxd  9/21/05  12:09 PM  Page 145
C# PDF File & Page Process Library SDK for C#.net, ASP.NET, MVC
C# view PDF online, C# convert PDF to tiff, C# read PDF, C# convert PDF to text, C# extract PDF pages, C# comment annotate PDF, C# delete PDF pages, C# convert
delete blank pages from pdf file; delete blank pages in pdf files
C# PDF Page Insert Library: insert pages into PDF file in C#.net
document files by C# code, how to rotate PDF document page, how to delete PDF page using C# .NET, how to reorganize PDF document pages and how
delete pages on pdf online; cut pages out of pdf file
Comments on Important Facts
One should emphasize that vectors are always included as special cases of matrices and
that those two operations have properties [formulas (3), (4)] similar to those of operations
for numbers, which is a great practical advantage.
SOLUTIONS TO PROBLEM SET 7.1, page 277
2.
Y
Z
Y
Z
Y
Z
Y
Z
4.
Y
Z
, same, 
Y
Z
, undefined
6. Undefined, undefined, 
Y
Z
, same
8. Undefined, 
Y
Z
, undefined, undefined
10.
1
_
5
A,
_
1
10
A. Similar (and more important) instances are the scaling of equations in linear
systems, the formation of linear combinations, and the like, as will be shown later.
12. 3, 2, -4 and 0, 2, 0. The concept of a main diagonal is restricted to square matrices.
14. No, no, no. Transposition, which relates row and column vectors, will be discussed
in the next section.
16. (b). The incidence matrices are as  follows, with nodes corresponding to rows and
branches to columns, as in Fig. 152.
Y
Z
,
W
X
,
W
X
From a figure we may more easily grasp the kind of network. However, in the present
context, matrices have two advantages over figures, namely, the computer can handle
-1
0
1
0
1
0
-1
0
-1
0
0
1
0
0
1
-1
0
1
-1
0
-1
1
0
0
0
0
1
-1
0
0
-1
1
1
0
0
-1
0
1
0
-1
1
-1
0
0
1
-1
0
-1
1
0
0
1
-1
1
0
-1
-21
8
0
-108
-32
96
-20
-40
-104
-72
4
-156
21.5
8
-20
2.5
9
23
15
-2.5
31.5
2
12
-8
-10
8
18
6
-12
6
16
32
24
0
16
8
10
30
18
12
0
-12
2
14
6
12
-8
-16
8
16
12
0
8
4
146
Instructor’s Manual
im07.qxd  9/21/05  12:09 PM  Page 146
VB.NET PDF Page Insert Library: insert pages into PDF file in vb.
add and insert one or multiple pages to existing adobe PDF document in VB.NET. Ability to create a blank PDF page with related by using following online VB.NET
cut pages from pdf; delete pages on pdf file
C# HTML5 PDF Viewer SDK to view PDF document online in C#.NET
C# view PDF online, C# convert PDF to tiff, C# read PDF, C# convert PDF to text, C# extract PDF pages, C# comment annotate PDF, C# delete PDF pages, C# convert
delete pages from pdf acrobat reader; delete a page from a pdf without acrobat
them without great difficulties, and a matrix determines a network uniquely, whereas
a  given network  can  be  drawn as  a  figure  in various ways,  so that  one  does  not
immediately see that two different figures represent the same network. A nice example
is given in Sec. 23.1.
(c) The networks corresponding to the given matrices may be drawn as follows:
(e) The nodal incidence matrix is
A=
W
X
.
SECTION 7.2. Matrix Multiplication, page 278
Purpose. Matrix  multiplication,  the  third  and  last  algebraic  operation,  is  defined  and
discussed, with emphasis on its “unusual” properties; this also includes its representation
by inner products of row and column vectors.
Main Content, Important Facts
Definition of matrix multiplication (“rows times columns”)
Properties of matrix multiplication
Matrix products in terms of inner products of vectors
Linear transformations motivating the definition of matrix multiplication
AB  BA in general, so the order of factors is important.
AB = 0 does not imply A = 0 or B = 0 or BA = 0.
(AB)
T
=B
T
A
T
Short Courses. Products in terms of row and column vectors and the discussion of linear
transformations could be omitted.
Comment on Notation
For transposition, T seems preferable over a prime, which is often used in the literature
but will be needed to indicate differentiation in Chap. 9.
Comments on Content
Most important for the next sections on systems of equations are the multiplication of a
matrix times a vector.
Examples 1, 2, and 4 emphasize that matrix multiplication is not commutative and make
the student aware of the restrictions of matrix multiplication.
Formula (10d) for the transposition of a product should be memorized.
In motivating matrix multiplication by linear transformations, one may also illustrate
the geometric significance of noncommutativity by combining a rotation with a stretch in
0
0
-1
1
0
1
-1
0
0
1
0
-1
-1
0
1
0
-1
1
0
0
1
0
0
-1
1
3
2
1
4
3
2
4
1
2
3
1
2
3
4
4
1
3
5
2
6
1
3
2
Instructor’s Manual
147
im07.qxd  9/21/05  12:09 PM  Page 147
VB.NET PDF- View PDF Online with VB.NET HTML5 PDF Viewer
RasterEdge. PRODUCTS: ONLINE DEMOS: Online HTML5 Document Viewer; Online XDoc.PDF C# File: Split PDF; C# Page: Insert PDF pages; C# Page: Delete PDF pages;
delete blank pages in pdf online; delete page from pdf online
VB.NET PDF - Convert PDF Online with VB.NET HTML5 PDF Viewer
C# view PDF online, C# convert PDF to tiff, C# read PDF, C# convert PDF to text, C# extract PDF pages, C# comment annotate PDF, C# delete PDF pages, C# convert
delete pdf page acrobat; delete pages from pdf reader
x-direction in both orders and show that a circle transforms into an ellipse with main axes
in the direction of the coordinate axes or rotated, respectively.
SOLUTIONS TO PROBLEM SET 7.2, page 286
2.
Y
Z
, same, [-62 34 2], 0 (the 3 × 3 zero matrix)
4.
Y
Z
Y
Z
Y
Z
, same
6. Undefined, undefined, 
Y
Z
, [-22 -63 -25]
8. Undefined, -868, 868, 
Y
Z
10.
Y
Z
, same, 
Y
Z
12.
Y
Z
Y
Z
, undefined, 
Y
Z
14. 538, undefined, undefined, 1690
16. M = AB - BA must be the 2 × 2 zero matrix. It has the form
M=
[
][
]
-
[
][
]
=
[
]
.
a
21
=a
12
from m
11
=0 (also from m
22
=0). a
22
=a
11
+
2
_
3
a
12
from m
12
=0 (also
from m
21
=0). Answer:
A=
[
]
.
a
12
a
11
+
2
_
3
a
12
a
11
a
12
3a
11
+4a
12
-2a
12
-3a
22
3a
21
+4a
22
-3a
12
-4a
22
2a
11
+3a
12
-2a
11
-3a
21
2a
21
+3a
22
-3a
11
-4a
21
a
12
a
22
a
11
a
21
3
4
2
3
3
4
2
3
a
12
a
22
a
11
a
21
348
424
1040
122
244
424
122
122
348
1
-10
-4
11
12
32
-1332
-432
1827
900
711
-432
1593
900
-1332
64
-6
-111
-80
-71
26
-77
-44
60
92
22
-143
-140
-119
94
3
-24
0
1900
380
760
300
60
120
-125
-25
-50
-22
-63
-25
-20
10
26
20
-6
-22
36
-16
-16
-80
-16
137
64
65
-16
113
64
-80
-16
-22
26
-16
-6
10
36
20
-20
-3
50
54
148
Instructor’s Manual
im07.qxd  9/21/05  12:09 PM  Page 148
VB.NET PDF - Annotate PDF Online with VB.NET HTML5 PDF Viewer
VB.NET PDF - Annotate PDF Online with VB.NET HTML5 PDF Viewer. Explanation about transparency. VB.NET HTML5 PDF Viewer: Annotate PDF Online. This
delete a page from a pdf online; delete pages from pdf preview
C# HTML5 PDF Viewer SDK to convert and export PDF document to
C# view PDF online, C# convert PDF to tiff, C# read PDF, C# convert PDF to text, C# extract PDF pages, C# comment annotate PDF, C# delete PDF pages, C# convert
delete pages from pdf document; delete pages out of a pdf
18. The calculation for the first column is
Y
ZY
Z
=
Y
Z
,
and similarly for the other two columns; see the answer to Prob. 1, last matrix given.
20. Idempotent are [
], [
], etc.; nilpotent are [
], [
], 
etc., and A
2
=I is true for
[
], [
], [
], [
], [
]
where a, b, and c  0 are arbitrary.
22. The entry c
kj
of (AB)
T
is c
jk
of AB, which is Row j of A times Column k of B. On
the right, c
kj
is Row k of B
T
, hence Column k of B, times Column j of A
T
, hence
Row j of A.
24. An annual increase of about 4-5% because the matrix of this Markov process is
A=
[
]
and the initial state is [2000 298000]
T
, so that multiplication by A gives the further
states (rounded) [2098 297902]
T
, [2186 297814]
T
, [2265 297735]
T
.
26. The transition probabilities can be given in a matrix
From N
From T
A= [
]
and  multiplication  of  [1 0]
T
by  A,  A
2
 A
3
gives  [0.9 0.1]
T
 [0.86 0.14]
T
[0.844 0.156]
T
. Answer: 0.86, 0.844.
28. Team Project. (b) Use induction on n. True if n =1. Take the formula in the problem
as the induction hypothesis, multiply by A, and simplify the entries in the product by
the addition formulas for the cosine and sine to get A
n+1
.
(c) These formulas follow directly from the definition of matrix multiplication.
(d) A scalar matrix would correspond to a stretch or contraction by the same factor
in all directions.
(e) Rotations about the x
1
-, x
2
-, x
3
-axes through 
θ
ψ
, respectively.
SECTION 7.3. Linear Systems of Equations. Gauss Elimination, page 287
Purpose. This  simple  section  centers  around the  Gauss  elimination for  solving  linear
systems  of  m equations  in  n unknowns  x
1
,• • • ,  x
n
 its  practical  use  as  well  as  its
mathematical justification (leaving  the—more demanding—general existence theory  to
the next sections).
To N
To T
0.5
0.5
0.9
0.1
0.001
0.999
0.9
0.1
c
0
0
1/c
b
1
-1
0
0
-1
1
a
0
-1
-1
0
0
1
1
0
0
0
0
b
a
0
0
0
1
0
1
0
0
0
1
0
54
74
-74
9
4
-4
-2
1
1
-2
-3
5
6
10
-10
Instructor’s Manual
149
im07.qxd  9/21/05  12:09 PM  Page 149
Main Content, Important Concepts
Nonhomogeneous, homogeneous, coefficient matrix, augmented matrix
Gauss elimination in the case of the existence of
I. a unique solution (Example 2)
II. infinitely many solutions (Example 3)
III. no solutions (Example 4).
Pivoting
Elementary row operations, echelon form
Background Material. All one needs here is the multiplication of a matrix and a vector.
Comments on Content
The student should become aware of the following facts:
1. Linear  systems  of  equations  provide  a  major  application  of  matrix  algebra  and
justification of the definitions of its concepts.
2. The Gauss elimination (with pivoting) gives meaningful results in each of the Cases
I-III.
3. This  method  is  a  systematic elimination  that  does  not  look  for  unsystematic
“shortcuts” (depending on the size of the numbers involved and still advocated in some
older precomputer-age books).
Algorithms for programs of Gauss’s and related methods are discussed in Sec. 20.1,
which is independent of the rest of Chap.  20 and can thus be taken up along with the
present section in case of time and interest.
SOLUTIONS TO PROBLEM SET 7.3, page 295
2. x = -2, y = 1
4. x = 5, y arbitrary, z = 2y - 1. Unknowns that remain arbitrary are sometimes denoted
by other letters, such as t
1
, t
2
, etc. In the present case we could thus write the solutions
as x = 5, y = t
1
, z = 2t
1
-1.
6. x = t
1
arbitrary, y = 3x = 3t
1
, z = 2x = 2t
1
8. No solution
10. x = t
1
arbitrary, y = 2x - 5 = 2t
1
-5, z = 3x + 1 = 3t
1
+1
12. x = 3z - 1 = 3t
1
-1, y = -z + 4 = -t
1
+4, z = t
1
arbitrary
14. w = 2x + 1 = 2t
1
+1, x = t
1
arbitrary, y = 1, z = 2
16. w = 1, x = t
1
arbitrary, y = 2x - 1 = 2t
1
-1, z = 3x + 2 = 3t
1
+2
18. Currents at the lower node:
-I
1
+I
2
+I
3
=0
(minus because I
1
flows out). Voltage in the left circuit:
R
1
I
1
+R
2
I
2
=E
1
+E
2
and in the right circuit:
R
2
I
2
-R
3
I
3
=E
2
150
Instructor’s Manual
im07.qxd  9/21/05  12:09 PM  Page 150
(minus because I
3
flows against the arrow of E
2
). Answer:
I
1
=
[(R
2
+R
3
)E
1
+R
3
E
2
]
I
2
=
[R
3
E
1
+(R
3
+R
1
)E
2
]
I
3
=
[R
2
E
1
-R
1
E
2
]
where D = R
1
R
2
+R
2
R
3
+R
3
R
1
.
22. P
1
=9, P
2
=8, D
1
=S
1
=34, D
2
=S
2
=38
24. Project. (a) B and C are different. For instance, it makes a difference whether we
first multiply a row and then interchange, and then do these operations in reverse order.
B=
W
X
,
C=
W
X
(b) Premultiplying A by E (that is, multiplying Aby E from the left) makes E operate
on rows of A. The assertions then follow almost immediately from the definition of
matrix multiplication.
SECTION 7.4. Linear Independence. Rank of a Matrix. Vector Space, 
page 296
Purpose. This section introduces some theory centered around linear independence and
rank, in preparation for the discussion of the existence and uniqueness problem for linear
systems of equations (Sec. 7.7).
Main Content, Important Concepts
Linear independence
Real vector space R
n
, dimension, basis
Rank defined in terms of row vectors
Rank in terms of column vectors
Invariance of rank under elementary row operations
Short Courses. For the further discussion in the next sections, it suffices to define linear
independence and rank.
Comments on Rank and Vector Spaces
Of the three possible equivalent definitions of rank,
(i) By row vectors (our definition),
(ii) By column vectors (our Theorem 3),
(iii) By submatrices with nonzero determinant (Sec. 7.7),
the first seems to be most practical in our context.
a
12
a
32
-5a
12
a
22
8a
42
a
11
a
31
-5a
11
a
21
8a
41
a
12
a
32
a
22
-5a
12
8a
42
a
11
a
31
a
21
-5a
11
8a
41
1
D
1
D
1
D
Instructor’s Manual
151
im07.qxd  9/21/05  12:09 PM  Page 151
Introducing vector spaces here, rather than in Sec. 7.1, we have the advantage that the
student immediately sees an application (row and column spaces). Vector spaces in full
generality follow in Sec. 7.9.
SOLUTIONS TO PROBLEM SET 7.4, page 301
2. Row reduction of the matrix and of its transpose gives
Y
Z
and
Y
Z
.
Hence  the  rank  is  2,  and  bases  are  [8 2 5],  [0 2 19]  and  [8 16 4]
T
[0 2 -1]
T
.
4. Row reduction as in Prob. 2 gives the matrices
Y
Z
and
W
X
.
Hence for general a, b, c the rank is 2. Bases are [a
b
c],
[0
a
2
-b
2
c(a - b)] and [a
b]
T
, [0
c(a - b)]
T
.
6. The matrix is symmetric. The reduction gives
Y
Z
.
Hence a basis is [1
1
a], [0
a- 1
1 - a], [0
0
2 - a
2
-a]
and the transposed vectors (column vectors) for the column space. Hence the rank is
1 (if a = 1), 2 (if a = -2), and 3 if a  1, -2.
8. The row reductions as in Prob. 2 give
W
X
and
W
X
.
The rank is 4, and bases are
[1
0
0
0], [0
1
0
0], [0
0
1
0], [0
0
0
1]
and the same vectors written as column vectors.
4
7
4
-40
3
2
-4
0
2
1
0
0
1
0
0
0
-4
7
-4
-40
3
-2
-4
0
-2
1
0
0
1
0
0
0
a
1 - a
2 - a
2
-a
1
a- 1
0
1
0
0
b
c(a
a
-b)
0
a
0
0
c
c(a
a
-b)
b
a
2
-
a
b
2
a
0
4
-1
0
16
2
0
8
0
0
5
19
0
2
2
0
8
0
0
152
Instructor’s Manual
im07.qxd  9/21/05  12:09 PM  Page 152
10. The matrix is symmetric. Row reduction gives
W
X
.
Hence the rank is 2, and bases are [1
2
3
4], [0
1
2
3] and
the same vectors transposed (as column vectors).
12. The matrix is symmetric. Row reduction gives
W
X
.
Hence the ranks is 4, and bases are
[1
0
0
0], [0
1
0
0], [0
0
1
0], [0
0
0
1]
and the same vectors written as column vectors.
14. Yes
16. No, by Theorem 4
18. No. Quite generally, if one of the vectors v
(1)
, • • • , v
(m)
is 0, say, v
(1)
=0, then (1)
holds with any c
1
0 and c
2
, • • • , c
m
all zero.
20. No. It is remarkable that A = [a
jk
] with a
jk
=j + k - 1 has rank 2 for any size n
of the matrix.
22. AB and its transpose (AB)
T
=B
T
A
T
have the same rank.
24. This follows directly from Theorem 3.
26. A proof is given in Ref. [B3], Vol. 1, p. 12.
28. Yes if and  only  if k = 0.  Then the dimension is 3,  and a  basis  is [1 0 0 0], 
[0 3 0 2], [0 0 1 0].
30. No. If v = [v
1
v
2
] satisfies the inequality, v does not. Draw a sketch to see the
geometric meaning of the inequality characterizing the “half-plane” above the sloping
straight line v
2
=v
1
.
32. Yes, dimension 1, basis [1 1 5 0]
34. No, because of the positivity assumption
36. Yes, dimension 2. The two given equations form a homogeneous linear system with the
augmented matrix
[
]
.
The solution is
v
1
=-
3
_
2
v
2
+2v
4
,
v
2
arbitrary,
v
3
=-
9
_
2
v
2
+6v
4
,
v
4
arbitrary.
0
0
0
-4
-1
0
0
3
3
2
2
2/7
1
5/7
0
2
-7
0
5
5/7
0
0
-7
0
0
0
4
-3
0
0
3
-2
0
0
2
-1
0
0
1
0
0
0
Instructor’s Manual
153
im07.qxd  9/21/05  12:09 PM  Page 153
Documents you may be interested
Documents you may be interested