c# pdf reader dll : Delete pdf pages in preview software SDK project winforms windows .net UWP solution_manual_of_advanced_engineering_mathematics_by_erwin_kreyszig_9th_edition-116-part214

Taking v
2
=-
2
_
3
and v
4
=0, we obtain the basis vector
[
1 -
2
_
3
3
0
]
.
Taking v
2
=0 and v
4
=1, we get
[2
0
6
1].
Instead of the second vector we could also use
[
0
4
_
3
0
1
]
obtained by taking the second vector minus twice the first.
SECTION 7.5. Solutions of Linear Systems: Existence, Uniqueness, 
page 302
Purpose. The student should see that the totality of solutions (including the existence and
uniqueness) can be characterized in terms of the ranks of the coefficient matrix and the
augmented matrix.
Main Content, Important Concepts
Augmented matrix
Necessary and sufficient conditions for the existence of solutions
Implications for homogeneous systems
rank A + nullity A = n
Background Material. Rank (Sec. 7.4)
Short Courses. Brief  discussion  of the  first  two theorems,  illustrated by some  simple
examples.
Comments on Content
This section should make the student aware of the great importance of rank. It may be
good to have students memorize the condition
rank A = rank A
for the existence of solutions.
Students  familiar  with  ODEs  may  be  reminded  of  the  analog  of  Theorem  4  (see 
Sec. 2.7).
This section may also provide a good opportunity to point to the roles of existence and
uniqueness problems throughout mathematics (and to the distinction between the two).
SECTION 7.7. Determinants. Cramer’s Rule, page 308
Second- and third-order determinants see in the reference Sec. 7.6.
Main Content of This Section
nth-order determinants
General properties of determinants
Rank in terms of determinants (Theorem 3)
Cramer’s rule for solving linear systems by determinants (Theorem 4)
154
Instructor’s Manual
im07.qxd  9/21/05  12:09 PM  Page 154
Delete pdf pages in preview - remove PDF pages in C#.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
Provides Users with Mature Document Manipulating Function for Deleting PDF Pages
delete page pdf online; delete a page from a pdf file
Delete pdf pages in preview - VB.NET PDF Page Delete Library: remove PDF pages in vb.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
Visual Basic Sample Codes to Delete PDF Document Page in .NET
delete pages pdf preview; delete pages from pdf online
General Comments on Determinants
Our definition of a determinant seems more practical than that in terms of permutations
(because it immediately gives those general properties), at the expense of the proof that
our definition is unambiguous (see the proof in App. 4).
General properties are given for order n, from which they can be easily seen for n = 3
when needed.
The importance of determinants has decreased with time, but determinants will remain
in  eigenvalue problems  (characteristic  determinants),  ODEs (Wronskians!), integration
and transformations (Jacobians!), and other areas of practical interest.
SOLUTIONS TO PROBLEM SET 7.7, page 314
6. 1
8. -728
10. -27
12. 0. Together with Prob. 11 this illustrates the theorem that for odd n the determinant
of an n × n skew-symmetric matrix has the value 0. This is not generally true for
even n, as Prob. 16 proves.
14. 158
16. 36
18. x = 4, y = -3
20. w = 2, x = 5, y = -1, z = -6
22. 2
24. Team Project. (a) Use row operation (subtraction of rows) on D to transform the
last column of D into the form [0 0 1]
T
and then develop D = 0 by this column.
(b) For  a  plane  the  equation  is  ax + by + cz + d • 1  = 0,  so  that  we  get  the
determinantal equation
l
l
=0.
The plane is 3x + 4y - 2z = 5.
(c) For a circle the equation is
a(x
2
+y
2
) + bx + cy + d • 1 = 0,
so that we get
l
l
=0.
The circle is x
2
+y
2
-4x 
-
2y = 20.
(d) For a sphere the equation is
a(x
2
+y
2
+z
2
) + bx + cy + dz + e • 1 = 0,
1
1
1
1
y
y
1
y
2
y
3
x
x
1
x
2
x
3
x
2
+y
2
x
1
2
+y
1
2
x
2
2
+y
2
2
x
3
2
+y
3
2
1
1
1
1
z
z
1
z
2
z
3
y
y
1
y
2
y
3
x
x
1
x
2
x
3
Instructor’s Manual
155
im07.qxd  9/21/05  12:09 PM  Page 155
How to C#: Preview Document Content Using XDoc.Word
How to C#: Preview Document Content Using XDoc.Word. Get Preview From File. You may get document preview image from an existing Word file in C#.net.
delete page from pdf file; add and delete pages from pdf
How to C#: Preview Document Content Using XDoc.PowerPoint
How to C#: Preview Document Content Using XDoc.PowerPoint. Get Preview From File. You may get document preview image from an existing PowerPoint file in C#.net.
delete pages in pdf reader; delete page in pdf file
so that we obtain
l
l
=0.
The sphere through the given points is x
2
+y
2
+(z - 1)
2
=16.
(e) For a general conic section the equation is
ax
2
+bxy + cy
2
+dx + ey + ƒ • 1 = 0,
so that we get
l
l
=0.
26. det A
n
=(-1)
n1
(n - 1). True for n = 2, a 2-simplex on R
1
, that is, a segment (an
interval), because
det A
2
=(-1)
21
(2 - 1) = -1.
Assume true for n as just given. Consider A
n+1
. To get the first row with all entries
0, except for the first entry, subtract from Row 1 the expression
(Row 2 + • • • + Row (n + 1)).
The first component of the new row is -n/(n - 1), whereas the other components
are all 0. Develop det A
n+1
by this new first row and notice that you can then apply
the above induction hypothesis,
det A
n+1
=-
(-1)
n1
(n - 1) = (-1)
n
n,
as had to be shown.
SECTION 7.8. Inverse of a Matrix. Gauss–Jordan Elimination, page 315
Purpose. To familiarize the student with the concept of the inverse A
1
of a square matrix
A, its conditions for existence, and its computation.
Main Content, Important Concepts
AA
1
=A
1
A= I
Nonsingular and singular matrices
Existence of A
1
and rank
n
n- 1
1
n- 1
1
1
1
1
1
1
y
y
1
y
2
y
3
y
4
y
5
x
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
y
2
y
1
2
y
2
2
y
3
2
y
4
2
y
5
2
xy
x
1
y
1
x
2
y
2
x
3
y
3
x
4
y
4
x
5
y
5
x
2
x
1
2
x
2
2
x
3
2
x
4
2
x
5
2
1
1
1
1
1
z
z
1
z
2
z
3
z
4
y
y
1
y
2
y
3
y
4
x
x
1
x
2
x
3
x
4
x
2
+y
2
+z
2
x
1
2
+y
1
2
+z
1
2
x
2
2
+y
2
2
+z
2
2
x
3
2
+y
3
2
+z
3
2
x
4
2
+y
4
2
+z
4
2
156
Instructor’s Manual
im07.qxd  9/21/05  12:09 PM  Page 156
C# WinForms Viewer: Load, View, Convert, Annotate and Edit PDF
box to PDF file in preview. • Draw PDF markups. PDF Protection. • Sign PDF document with signature. • Erase PDF text. • Erase PDF images. • Erase PDF pages.
best pdf editor delete pages; delete pages from pdf in reader
C# WPF Viewer: Load, View, Convert, Annotate and Edit PDF
Erase PDF images. • Erase PDF pages. Miscellaneous. • Select PDF text on viewer. • Search PDF text in preview. • View PDF outlines. Related Resources.
acrobat export pages from pdf; delete pdf pages online
Gauss–Jordan elimination
(AC)
1
=C
1
A
1
Cancellation laws (Theorem 3)
det (AB) = det (BA) = det A det B
Short Courses. Theorem 1 without proof, Gauss–Jordan elimination, formulas (4*) and (7).
Comments on Content
Although in this chapter we are not concerned with operations count (Chap. 20), it would
make no sense to first blindfold the student by using Gauss–Jordan for solving Ax = b
and  then  later  in  numerics  correct  the  false  impression  by  explaining  why  Gauss
elimination  is  better  because  back  substitution  needs  fewer  operations  than  the
diagonalization of a triangular matrix. Thus Gauss–Jordan should be applied only when
A
1
is wanted.
The “unusual” properties of matrix multiplication, briefly mentioned in Sec. 7.2 can
now be explored systematically by the use of rank and inverse.
Formula (4*) is worth memorizing.
SOLUTIONS TO PROBLEM SET 7.8, page 322
2. [
]. This is a symmetric orthogonal matrix. Orthogonal matrices will be 
discussed in Sec. 8.3, where they will fit much better into the material.
4. The inverse equals the transpose. This is the defining property of orthogonal matrices
to be discussed in Sec. 8.3.
6.
Y
Z
8.
Y
Z
10.
Y
Z
12.
Y
Z
14. Rotation through 2
θ
. The inverse represents the rotation through -2
θ
. Replacement
of 2
θ
by -2
θ
in the matrix gives the inverse.
16. I = (A
2
)
1
A
2
. Multiply this by A
1
from the right on both sides of the equation. This
gives A
1
=(A
2
)
1
A. Do the same operation once more to get the formula to be proved.
2
-1
0
5
2
1
11
4
2
1
_
2
0
0
0
0
1
_
4
0
1
_
8
0
-9
2
1
2
-1
0
19
-4
-2
-5
-5
9
-1
1
4
4
15
5
0.8
-0.6
0.6
0.8
Instructor’s Manual
157
im07.qxd  9/21/05  12:09 PM  Page 157
C# PDF Page Insert Library: insert pages into PDF file in C#.net
document files by C# code, how to rotate PDF document page, how to delete PDF page using C# .NET, how to reorganize PDF document pages and how
delete pages from a pdf in preview; delete page pdf file reader
VB.NET PDF File Compress Library: Compress reduce PDF size in vb.
a preview component enables compressing and decompressing in preview in ASP images size reducing can help to reduce PDF file size Delete unimportant contents:
cut pages out of pdf online; add and remove pages from a pdf
18. I = I
T
=(A
1
A)
T
=A
T
(A
1
)
T
. Now multiply the first and the last expression by
(A
T
)
1
from the left, obtaining (A
T
)
1
=(A
1
)
T
.
20. Multiplication by  A from the right interchanges  Row 1 and  Row 2 of  A, and  the
inverse of this interchange is the interchange that gives the original matrix back. Hence
the inverse of the given matrix should equal the matrix itself, as is the case.
22. For such a matrix (see the solution to Prob. 4) the determinant has either the value 1
or -1. In the present case it equals -1. The values of the cofactors (determinants of
2 × 2 matrices times 1 or -1) are obtained by straightforward calculation.
SECTION 7.9. Vector Spaces, Inner Product Spaces, Linear
Transformations, Optional, page 323
Purpose. In this optional section we extend our earlier discussion of vector spaces R
n
and  C
n
 define  inner  product  spaces,  and  explain  the  role  of  matrices  in  linear
transformations of R
n
into R
m
.
Main Content, Important Concepts
Real vector space, complex vector space
Linear independence, dimension, basis
Inner product space
Linear transformation of R
n
into R
m
Background Material. Vector spaces R
n
(Sec. 7.4)
Comments on Content
The student is supposed to see and comprehend how concrete models (R
n
and C
n
, the
inner  product for  vectors) lead  to  abstract  concepts, defined by axioms resulting from
basic properties of those models. Because of the level and general objective of this chapter,
we have to restrict our discussion to the illustration and explanation of the abstract concepts
in terms of some simple typical examples.
Most  essential  from  the  viewpoint  of  matrices  is  our  discussion  of  linear
transformations, which in a more theoretically oriented course of a higher level would
occupy a more prominent position.
Comment on Footnote 4
Hilbert’s work was fundamental to various areas in mathematics; roughly speaking, he
worked  on  number  theory  1893–1898,  foundations  of  geometry  1898–1902,  integral
equations  1902–1912,  physics  1910–1922,  and  logic  and  foundations  of  mathematics
1922–1930.  Closest to  our interests  here  is  the  development  in  integral  equations,  as
follows. In 1870 Carl Neumann (Sec. 5.6) had the idea of solving the Dirichlet problem
for the Laplace  equation by converting  it to an  integral  equation. This created general
interest  in  integral  equations.  In 1896  Vito  Volterra  (1860–1940) developed a  general
theory of these equations, followed by Ivar Fredholm (1866–1927) in 1900–1903 (whose
papers caused great excitement), and Hilbert since 1902. This gave the impetus to the
development of inner product and Hilbert spaces and operators defined on them. These
spaces and operators and their spectral theory have found basic applications in quantum
mechanics since 1927. Hilbert’s great interest in mathematical physics is documented by
Ref. [GR3], a classic full of ideas that are of importance to the mathematical work of the
engineer.  For  more  details,  see  G.  Birkhoff  and  E.  Kreyszig.  The  establishment  of
functional analysis. Historia Mathematica 11 (1984), pp. 258-321.
158
Instructor’s Manual
im07.qxd  9/21/05  12:09 PM  Page 158
How to C#: Preview Document Content Using XDoc.excel
How to C#: Preview Document Content Using XDoc.Excel. Get Preview From File. You may get document preview image from an existing Excel file in C#.net.
delete page pdf acrobat reader; delete pages of pdf
VB.NET PDF delete text library: delete, remove text from PDF file
Visual Studio .NET application. Delete text from PDF file in preview without adobe PDF reader component installed. Able to pull text
delete pages in pdf online; delete pages from a pdf online
SOLUTIONS TO PROBLEM SET 7.9, page 329
2. Yes,  dimension  1.  A  basis  vector  is  obtained  by  solving  the  given  linear  system
consisting of the two given conditions. The solution is [v
1
3v
1
11v
1
], v
1
arbitrary.
v
1
=1 gives the basis vector [1 3 11]
T
.
4. Yes, dimension 6, basis
Y
Z
,
Y
Z
,
Y
Z
,
Y
Z
,
Y
Z
,
Y
Z
.
6. No, because of the second condition
8. No because det (A + B)  det A + det B in general
10. Yes, dimension 2, basis cos x, sin x
12. Yes, dimension 4, basis
[
], [
], [
], [
].
14. If another such representation with coefficients k
j
would also hold, subtraction would
give (c
j
-k
j
)a
j
=0; hence c
j
-k
j
=0 because of the linear independence of the
basis vectors. This proves the uniqueness.
16.
18.
20.
22. √44
24.
1
_
8
√285
=2.110 243
26.
1
28. 2v
1
+ v
3
= 0,  v
3
= -2v
1
; hence [v
1
v
2
-2v
1
]
T
with arbitrary v
1
and  v
2
.
These vectors lie in a plane through the origin whose normal vector is the given
vector.
30. a = [4 2 -6]
T
, b = [16 -32 0]
T
, a + b = [20 -30 -6]
T
. For the norms
we thus obtain
éa + bé = √1336
=36.55 < éaé + ébé = √56 + 16√5
=43.26.
-0.25y
3
+0.25y
3
0.50y
2
0.25y
2
0.50y
1
-0.25y
1
+
x
1
=
x
2
=
x
3
=
+2y
3
y
2
+4y
3
5y
3
x
1
=4y
1
x
2
=
x
3
=
x
1
=0.5y
1
-0.5y
2
x
2
=1.5y
1
-2.5y
2
0
-9
0
0
0
4
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
Instructor’s Manual
159
im07.qxd  9/21/05  12:09 PM  Page 159
C# Word - Delete Word Document Page in C#.NET
doc.Save(outPutFilePath); Delete Consecutive Pages from Word in C#. int[] detelePageindexes = new int[] { 1, 3, 5, 7, 9 }; // Delete pages.
delete page in pdf online; cut pages from pdf file
C# PowerPoint - Delete PowerPoint Document Page in C#.NET
doc.Save(outPutFilePath); Delete Consecutive Pages from PowerPoint in C#. int[] detelePageindexes = new int[] { 1, 3, 5, 7, 9 }; // Delete pages.
delete pages out of a pdf file; delete pages from pdf acrobat
SOLUTIONS TO CHAP. 7 REVIEW QUESTIONS AND PROBLEMS, page 330
12. x = 3 - 2y, y arbitrary, z = 0
14. No solution
16. x = 1, y = -3, z = 5
18. x = -2z, y =
1
_
4
, z arbitrary
20. AB =
Y
Z
, BA =
Y
Z
=-(AB)
T
22. A
2
+B
2
=
Y
Z
+
Y
Z
=
Y
Z
24. AA
T
=A
T
A=
Y
Z
26. Aa =
Y
Z
, a
T
A= [49 142 109], a
T
Aa = 1250
28. 0
30.
Y
Z
32. 2, 2. Hence one unknown remains arbitrary.
34. 2, 3. Hence the system has no solution, by Theorem 1 in Sec. 7.5.
36. 2, 2. Hence one unknown remains arbitrary.
38.
Y
Z
40. Singular, rank 2
42. diag (
1
_
3
, -1,
1
_
5
)
44. The equations obtained by Kirchhoff’s laws are
This gives the solution I
1
=20 A, I
2
=15 A, I
3
=35 A.
(Left node)
(Upper loop)
(Lower loop).
0
3800
3400
I
3
=
80I
3
=
80I
3
=
-I
2
+
+
40I
2
+
-I
1
50I
1
3
-8
12
-1
6
-4
2
-12
18
1
20
19.2
-16.8
7.2
16.8
13.6
24.4
-20.8
-38.4
-44.0
49
142
109
212
346
389
134
428
346
149
134
212
206
334
344
152
415
334
109
152
206
-6
-12
-45
18
-13
-12
-40
18
-6
212
346
389
134
428
346
149
134
212
110
-61
-18
96
-34
42
52
-42
-48
48
-42
18
42
34
61
-52
-96
-110
160
Instructor’s Manual
im07.qxd  9/21/05  12:09 PM  Page 160
CHAPTER 8 Linear Algebra: Matrix Eigenvalue Problems
Prerequisite for this chapter is some familiarity with the notion of a matrix and with the
two algebraic operations for matrices. Otherwise the chapter is independent of Chap. 7,
so that it can be used for teaching eigenvalue problems and their applications, without
first going through the material in Chap. 7.
SECTION 8.1. Eigenvalues, Eigenvectors, page 334
Purpose. To familiarize the student with the determination of eigenvalues and eigenvectors
of real matrices and to give a first impression of what one can expect (multiple eigenvalues,
complex eigenvalues, etc.).
Main Content, Important Concepts
Eigenvalue, eigenvector
Determination of eigenvalues from the characteristic equation
Determination of eigenvectors
Algebraic and geometric multiplicity, defect
Comments on Content
To maintain undivided attention on the basic concepts and techniques, all the examples in
this section are formal, and typical applications are put into a separate section (Sec. 8.2).
The distinction between the algebraic and geometric multiplicity is mentioned in this
early section, and the idea of a  basis of eigenvectors (“eigenbasis”) could  perhaps be
mentioned  briefly  in  class,  whereas  a  thorough  discussion  of  this  in  a  later  section 
(Sec. 8.4) will profit from the increased experience with eigenvalue problems, which the
student will have gained at that later time.
The possibility of normalizing any eigenvector is mentioned in connection with Theorem
2, but this will be of greater interest to us only in connection with orthonormal or unitary
systems (Secs. 8.4 and 8.5).
In our present work we find eigenvalues first and are then left with the much simpler task
of determining corresponding eigenvectors. Numeric work (Secs. 20.6-20.9) may proceed
in the opposite order, but to mention this here would perhaps just confuse the student.
SOLUTIONS TO PROBLEM SET 8.1, page 338
2. The characteristic equation is
D(
) = (a -
)(c -
) = 0.
Hence 
1
= a, 
2
= c. Components of eigenvectors can  now be  determined  for 
1
=a from
0x
1
+bx
2
=0,
say,
x
1
=1,
x
2
=0
so that an eigenvector is [1 0]
T
, and for 
2
=c from
(a - c)x
1
+bx
2
=0,
say,
x
1
=1,
x
2
=(c - a)/b,
so that an eigenvector is
[1
]
T
.
c- a
b
161
im08.qxd  9/21/05  12:12 PM  Page 161
Here we must assume that b  0. If b = 0, we have a diagonal matrix with the same
eigenvalues as before and eigenvectors [1 0]
T
and [0 1]
T
.
4. This zero matrix, like any square zero matrix, has the eigenvalue 0, whose algebraic
multiplicity and geometric multiplicity are both equal to 2, and we can choose any
basis, for instance [1 0]
T
and [0 1]
T
.
6. The characteristic equation is
(a -
)
2
+b
2
=0.
Solutions are
=a ± ib.
Eigenvectors are obtained from
(a -
)x
1
+bx
2
=ibx
1
+bx
2
=0.
Hence  we  can  take  x
1
= 1  and  x
2
= ±i.  Note  that  b has  dropped  out,  and  the
eigenvectors are the same as in Example 4 of the text.
8. (
-1)
2
=0, 
=1, any vector is an eigenvector, and [1 0]
T
, [0 1]
T
is a basis
of the eigenspace (the x
1
x
2
-plane).
10. The characteristic equation is
(cos
θ
-
)
2
+sin
2
θ
=0.
Solutions (eigenvalues) are 
=cos
θ
±i sin
θ
. Eigenvectors are obtained from
(
-cos
θ
)x
1
+(sin
θ
)x
2
=(sin
θ
)(±ix
1
+x
2
) = 0,
say, x
1
=1, x
2
=i.
Note  that  this  matrix  represents  a  rotation  through  an  angle 
θ
,  and  this  linear
transformation preserves no real direction in the x
1
x
2
-plane, as would be the case if
the eigenvectors were positive real. This explains why these vectors must be complex.
12. -(
2
-72
-2673)
=0; 0, [0 1 -1]
T
; -27, [1 2 2]
T
; 99, [-22 1 10]
T
14. -(
3
- 3
2
- 6
+ 8)/(
- 1)  = -(
2
- 2
- 8);  4,  [2 1 -2]
T
 1, 
[2 -2 1]
T
; -2, [1 2 2]
T
16. 0.5, [1 0 0]
T
; 1.0, [0.4 1.0 0]
T
; 3.5, [0.22 1.80 3.00]
T
18. -(
3
-9
2
-81
+729)/(
-9) = -
2
+81; 9, [2 -2 1]
T
, defect 1; -9, 
[2 1 -2]
T
20. The characteristic equation is
2
(
2
-38
+360) = 0.
Eigenvalues and eigenvectors are
1
=0,
[0 1 0 0]
T
,
[1 0 0 0]
T
2
=18,
[1 1 9 9]
T
3
=20,
[-3 3 5 -5]
T
.
22. The indicated division of the characteristic polynomial gives
(
4
-22
2
+24
+45)/(
-3)
2
=
2
+6
+5.
The eigenvalues and eigenvectors are
1
=3,
[1 1 1 1]
T
with a defect of 1
2
=-1
[3 -1 1 1]
T
3
=-5,
[-11 1 5 1]
T
.
162
Instructor’s Manual
im08.qxd  9/21/05  12:12 PM  Page 162
24. Using the given eigenvectors, we obtain
(
4
-118
2
-168
+1485)/[(
-3)(
+5)] =
2
-2
-99.
The eigenvalues and eigenvectors are
30. By Theorem 1 in Sec. 7.8 the inverse exists if and only if det A  0. On the other
hand, from the product representation
D(
) = det (A -
I) = (-1)
n
(
-
1
)(
-
2
) • • • (
-
n
)
of the characteristic polynomial we obtain
det A = (-1)
n
(-
1
)(-
2
) • • • (-
n
) =
1
2
•• •
n
.
Hence A
1
exists if and only if 0 is not an eigenvalue of A.
Furthermore, let 
0 be an eigenvalue of A. Then
Ax =
x.
Multiply this by A
1
from the left:
A
1
Ax =
A
1
x.
Now divide by 
:
x= A
1
x.
SECTION 8.2. Some Applications of Eigenvalue Problems, page 340
Purpose. Matrix eigenvalue problems are of greatest importance in physics, engineering,
geometry, etc., and the applications in this section and in the problem set are supposed to
give the student at least some impression of this fact.
Main Content
Applications of eigenvalue problems in
Elasticity theory (Example 1),
Probability theory (Example 2),
Biology (Example 3),
Mechanical vibrations (Example 4).
Short Courses. Of course, this section can be omitted, for reasons of time, or one or two
of the examples can be considered quite briefly.
Comments on Content
The  examples  in  this  section  have  been  selected  from  the  viewpoint  of  modest
prerequisites, so that not too much time will be needed to set the scene.
Example 4 illustrates why real matrices can have complex eigenvalues (as mentioned
before, in Sec. 8.1), and why these eigenvalues are physically meaningful. (For students
familiar with systems of ODEs, one can easily pick further examples from Chap. 4.)
1
[-9 7 11 -13]
T
[1 1 1 1]
T
[-7 -7 13 5]
T
[2 -1 2 -1]
T
11,
3,
-5,
-9,
1
=
2
=
3
=
4
=
Instructor’s Manual
163
im08.qxd  9/21/05  12:12 PM  Page 163
Documents you may be interested
Documents you may be interested