﻿

# c# pdf reader dll : Delete pages from pdf reader software Library cloud windows asp.net web page class solution_manual_of_advanced_engineering_mathematics_by_erwin_kreyszig_9th_edition-118-part216

CHAPTER 9 Vector Differential Calculus. Grad, Div, Curl
This chapter is independent of the previous two chapters (7 and 8).
Changes
The differential–geometric theory of curves in space and in the plane, which in the previous
edition was distributed over three consecutive sections, along with its application in
mechanics, is now streamlined and shortened and presented in a single section, with a
discussion of tangential and normal acceleration in a more concrete fashion.
Formulas for grad, div, and curl in curvilinear coordinatesare placed for reference in
App. A3.4.
SECTION 9.1. Vector in 2-Space and 3-Space, page 364
Purpose. We introduce vectors in 3-space given geometrically by (families of parallel)
directed segments or algebraically by ordered triples of real numbers, and we define
addition of vectors and scalar multiplication (multiplication of vectors by numbers).
Main Content, Important Concepts
Vector, norm (length), unit vector, components
Vector space R
3
, linear independence, basis
Our discussions in the whole chapter will be independent of Chaps. 7 and 8, and there
will be no more need for writing vectors as columns and for distinguishing between row
and column vectors. Our notation a = [a
1
, a
2
, a
3
] is compatible with that in Chap. 7.
Engineers seem to like both notations
a=[a
1
, a
2
, a
3
] =a
1
i+a
2
j+a
3
k,
preferring the first for “short” components and the second in the case of longer expressions.
The student is supposed to understand that the whole vector algebra (and vector calculus)
has resulted from applications, with concepts that are practical, that is, they are “made to
measure” for standard needs and situations; thus, in this section, the two algebraic
operations resulted from forces (forming resultants and changing magnitudes of forces);
similarly in the next sections. The restriction to three dimensions (as opposed to n
dimensions in the previous two chapters) allows us to “visualize” concepts, relations, and
results and to give geometrical explanations and interpretations.
On a higher level, the equivalence of the geometric and the algebraic approach
(Theorem 1) would require a consideration of how the various triples of numbers for
the  various choices of coordinate systems must be related (in terms of coordinate
transformations) for a vector to have a norm and direction independent of the choice of
coordinate systems.
Teaching experience makes it advisable to cover the material in this first section rather
slowly and to assign relatively many problems, so that the student gets a feel for vectors
in R
3
(and R
2
) and the interrelation between algebraic and geometric aspects.
174
im09.qxd  9/21/05  12:15 PM  Page 174
Delete pages from pdf reader - remove PDF pages in C#.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
Provides Users with Mature Document Manipulating Function for Deleting PDF Pages
delete page pdf file; delete page pdf
Delete pages from pdf reader - VB.NET PDF Page Delete Library: remove PDF pages in vb.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
Visual Basic Sample Codes to Delete PDF Document Page in .NET
delete pdf pages ipad; delete page from pdf document
SOLUTION TO PROBLEM SET 9.1, page 370
2. The components are -5, -5, -5. The length is 5√3
. Hence the unit vector in the
direction of v is
[
-1/√3
, -1/√3
, -1/√3
]
.
4. v
1
=-2, v
2
=6, v
3
=6; v = √76. Hence the unit vector in the direction of v is
[-1/√19, 3/√19, 3/√19].
6. Components 6, 8, 10; length 10√2
. Unit vector [0.6/√2
, 0.8/√2
, 1/√2
].
8. Q: (0, 0, 0); v =√84
10. Q: (3, 2, 6), v =7. Note that the given vector is the position vector of Q.
12. Q: (4, 0, 0); v =3√3
14. [-6, 3, 10]. This illustrates (4a).
16. [26, -13, -19]. This illustrates (4b).
18.
[
2/√5
, -1/√5
, 0
]
, [0, 0, 1]. These are unit vectors.
20. 5.48
√30 <√5
+√45
8.94
24. [11, 8, 0] is the resultant, √185
=13.6 its magnitude
26. The resultant is 0. The forces are in equilibrium.
28. Resultant [13, 25, 3], magnitude √803
=28.3
30. The z-component of the resultant is 0 for c =-12.
32. 1 p +q 3, nothing about the direction. If this were the arm of some machine
or robot, it could not reach the origin but could reach every point of the annulus (ring)
indicated. In the next problem the origin can be reached.
34. v
B
-v
A
=
[
-400/√2
, 400/√2
]
-
[
-500/√2
, -500/√2
]
=
[
100/√2
, 900/√2
]
36. Choose a coordinate system whose axes contain the mirrors. Let u = [u
1
, u
2
] be
incident. Then the first  reflection gives,  say, v = [u
1
-u
2
],  and  the  second
w= [-u
1
, -u
2
] = u. The reflected ray is parallel to the incoming ray, with the
direction reversed.
38. Team Project. (a) The idea is to write the position vector of the point of intersection
Pin two ways and then to compare them, using that a and bare linearly independent
vectors. Thus
(a +b) =a +
μ
(b- a).
=1 -
μ
are the coefficients of a and
=
μ
those of b. Together,
=
μ
=
1
_
2
,
expressing bisection.
(b) The idea is similar to that in part (a). It gives
(a+ b) =
1
_
2
a+
μ
1
_
2
(b -a).
=
1
_
2
-
1
_
2
μ
from a and
=
1
_
2
μ
from b, resulting in
=
1
_
4
, thus giving a ratio
(3/4)(1/4) =3:1.
(c) Partition the parallelogram into four congruent parallelograms. Part (a) gives 11
for a small parallelogram, hence 1(1 +2) for the large parallelogram.
(d) v(P) =
1
_
2
a+
(b -
1
_
2
a) =
1
_
2
b+
μ
(a -
1
_
2
b) has the solution
=
μ
=
1
_
3
, which
gives by substitution v(P) =
1
_
3
(a + b) and shows that the third median OQ passes
through Pand OP equals
2
_
3
of v(Q) =
1
_
2
a +b, dividing OQ in the ratio 21, too.
(e) In the figure in the problem set, a +b+c+d =0;hence c +d=-(a +b).
Also, AB=
1
_
2
(a+b), CD =
1
_
2
(c+d) =-
1
_
2
(a +b), and for DC we get +
1
_
2
(a +b),
which shows that one pair of sides is parallel and of the same length. Similarly for
the other pair.
Instructor’s Manual
175
im09.qxd  9/21/05  12:15 PM  Page 175
C# PDF File & Page Process Library SDK for C#.net, ASP.NET, MVC
VB.NET Page: Insert PDF pages; VB.NET Page: Delete PDF pages; VB.NET Annotate: PDF Markup & Drawing. XDoc.Word for XImage.OCR for C#; XImage.Barcode Reader for C#
delete pdf pages reader; delete pages from pdf file online
C# PDF Page Insert Library: insert pages into PDF file in C#.net
how to merge PDF document files by C# code, how to rotate PDF document page, how to delete PDF page using C# .NET, how to reorganize PDF document pages and how
add remove pages from pdf; delete blank page from pdf
(f) Let a, b, cbe edge vectors with a common initial point (see the figure). Then the
four (space) diagonals have the midpoints
AG:
1
_
2
(a +b +c)
BH: a +
1
_
2
(b +c -a)
EC: c +
1
_
2
(a +b -c)
DF: b+
1
_
2
(a +c -b),
and these four position vectors are equal.
Section 9.1. Parallelepiped in Team Project 38(f)
(g) Let v
1
,•••,v
n
be the vectors. Their angle is
α
=2
π
/n. The interior angle at
each vertex is
β
=
π
-(2
π
/n). Put v
2
at the terminal point of v
1
, then v
3
at the
terminal point of v
2
, etc. Then the figure thus obtained is an n-sided regular polygon,
because the angle between two sides equals
π
-
α
=
β
. Hence
v
1
+v
2
+•••+v
n
=0.
(Of course, for even nthe truth of the statement is immediately obvious.)
SECTION 9.2. Inner Product (Dot Product), page 371
Purpose.We define, explain, and apply a first kind of product of vectors, the dot product
a•b,whose value is a scalar.
Main Content, Important Concepts
Definition (1)
Dot product in terms of components
Orthogonality
Length and angle between vectors in terms of dot products
Cauchy–Schwarz and triangle inequalities
Comment on Dot Product
This product is motivated by work done by a force (Example 2), by the calculation of
components of forces (Example 3), and by geometric applications such as those given in
Examples 5 and 6.
“Inner product” is more modern than “dot product” and is also used in more general
settings (see Sec. 7.9).
E
b
c
a
A
H
G
D
F
B
C
176
Instructor’s Manual
im09.qxd  9/21/05  12:15 PM  Page 176
VB.NET PDF Page Insert Library: insert pages into PDF file in vb.
Page: Insert PDF Pages. |. Home ›› XDoc.PDF ›› VB.NET PDF: Insert PDF Page. Add and Insert Multiple PDF Pages to PDF Document Using VB.
delete pages from a pdf document; delete page from pdf online
VB.NET PDF delete text library: delete, remove text from PDF file
Visual Studio .NET application. Delete text from PDF file in preview without adobe PDF reader component installed. Able to pull text
acrobat export pages from pdf; delete pdf pages in reader
SOLUTIONS TO PROBLEM SET 9.2, page 376
2. √21, 5, √14
4. 12
6. 3
8. 96
10. √21 <5 +√14
12. 8 <√21√14 =7√6
=17.15
14. u•(v -w) =0; that is, v -w is orthogonal to u. So it does not imply that v -w
=0, that is, v =w.
16. a•b=4 <5√21, √54= 7.35 <√21 +5 = 9.58, 54 +38 =2(21 +25) =92
18. a +b
2
=(a +b)•(a +b) a
2
+2ab + b
2
=(a +b)
2
20. [2, 7, -4]•[-3, 1, 0] =1
22. [4, 3, 6]•[-4, 1, -9] =-67
24. Let AB
=a.Then W=(p+ q)•a =p•a +q•a.
26. 6/√42=0.9258 = cos
γ
γ
=22.2°
28. 7/√70 =0.837 = cos
γ
γ
=33.2°
30. 6/√54=0.6165 = cos
γ
γ
=35.26°
32. c
2
=a -b
2
=(a -b)•(a -b) =a
2
+b
2
-2ab cos
γ
34.
β
-
α
is the angle between the unit vectors a and b. Hence (2) gives the result.
36. Hesse’s normal form gives 10/[5, 2, 1] = 10/√30= √10/3
.
38. 0. The vectors are orthogonal.
40. -√5
42. Team Project. (b) a
1
=-8/3
(c) [4, 2]•[5, -10] =0
(d) ±[0.6, -0.8]
(e) v•a= 2v
1
+v
2
=0; hence v =[v
1
, -2v
1
, v
3
]. Yes, of dimension 2.
(f) c = -11.5
(g) (a+ b)•(a -b) =a
2
-b
2
=0, a =b. A square
(h) Let the mirrors correspond to the coordinate planes. If the ray [v
1
, v
2
, v
3
]
first hits the yz-plane, then the xz-plane, and then the xy-plane, it will be reflected to
[-v
1
, v
2
, v
3
], [-v
1
, -v
2
, v
3
], [-v
1
, -v
2
, -v
3
]; hence the angle is 180°, the reflected
ray will be parallel to the incident ray but will have the opposite direction.
Corner reflectors have been used in connection with missiles; their aperture
changes if the axis of the missile deviates from the tangent direction of the path. See
E. Kreyszig, On the theory of corner reflectors with unequal faces. Ohio State
University: Antenna Lab Report 601/19, 1957.
SECTION 9.3. Vector Product (Cross Product), page 377
Purpose. We define and explain a second kind of product of vectors, the cross product
a b, which is a vector perpendicular to both given vectors (or the zero vector in some
cases).
Main Content, Important Concepts
Definition of cross product, its components (2), (2**)
Right- and left-handed coordinate systems
Properties (anticommutative, not associative)
Scalar triple product
Instructor’s Manual
177
im09.qxd  9/21/05  12:15 PM  Page 177
C# PDF Page Rotate Library: rotate PDF page permanently in C#.net
batch changing PDF page orientation without other PDF reader control. NET, add new PDF page, delete certain PDF page, reorder existing PDF pages and split
delete page pdf file; delete page pdf
C# PDF delete text Library: delete, remove text from PDF file in
Delete text from PDF file in preview without adobe PDF reader component installed in ASP.NET. C#.NET PDF: Delete Text from Consecutive PDF Pages.
add and delete pages from pdf; delete pages from pdf file online
Prerequisites.Elementary use of second- and third-order determinants (see Sec. 7.6)
Comment on Motivations
Cross  products were suggested by the observation that  in certain  applications,  one
associates with two given vectors a third vector perpendicular to the given vectors
(illustrations in Examples 4–6). Scalar triple products can be motivated by volumes and
linear independence (Theorem 2 and Example 6).
SOLUTIONS TO PROBLEM SET 9.3, page 383
2. [4, -2, -1], √21, 13
4. [-19, 21, -24], since d d =0,[-19, 21, -24]
6. 0 because of anticommutativity
8. 0 because the two factors are parallel, even equal.
10. [50, -30, 0] [54, -27, 10], illustrating nonassociativity
12. [2, 4, 46]
14. 1, -1
16. -141
18. -108
20. -480, -480
22. Straightforward calculation. In the first formula, each of the three components is
multiplied by .
24. Team Project. (12) is obtained by noting that
a b
2
=a
2
b
2
sin
2
γ
=a
2
b
2
(1 -cos
2
γ
) =(a•a)(b•b) - (a•b)
2
.
To prove (13), we choose a right-handed Cartesian coordinate system such that the
x-axis has the direction of dand the xy-plane contains c.Then the vectors in (13) are
of the form
b=
[
b
1
, b
2
, b
3
]
,
c=
[
c
1
, c
2
, 0
]
,
d=
[
d
1
, 0, 0
]
.
Hence by (2**),
c  d=
k
k
=-c
2
d
1
k,
b(c d) =
k
k
.
The “determinant” on the right equals
[
-b
2
c
2
d
1
, b
1
c
2
d
1
, 0
]
. Also,
(b•d)c - (b•c)d =b
1
d
1
[
c
1
, c
2
, 0
]
-(b
1
c
1
+b
2
c
2
)
[
d
1
, 0, 0
]
=
[
-b
2
c
2
d
1
, b
1
d
1
c
2
, 0
]
.
This proves (13) for our special coordinate system. Now the length and direction of
a vector and a vector product, and the value of an inner product, are independent of
the choice of the coordinates. Furthermore, the representation of b (c d) in terms
of i, j, k will be the same for right-handed and left-handed systems, because of the
double cross multiplication. Hence, (13) holds in any Cartesian coordinate system,
and the proof is complete.
(14) follows from (13) with breplaced by a b.
k
b
3
-c
2
d
1
j
b
2
0
i
b
1
0
k
0
0
j
c
2
0
i
c
1
d
1
178
Instructor’s Manual
im09.qxd  9/21/05  12:15 PM  Page 178
VB.NET PDF Page Extract Library: copy, paste, cut PDF pages in vb.
C:\test1.pdf") Dim pdf2 As PDFDocument = New PDFDocument("C:\test2.pdf") Dim pageindexes = New Integer() {1, 2, 4} Dim pages = pdf.DuplicatePage(pageindexes
add and delete pages in pdf; delete pages on pdf file
C# PDF Page Extract Library: copy, paste, cut PDF pages in C#.net
C#.NET PDF Library - Copy and Paste PDF Pages in C#.NET. Easy to C#.NET Sample Code: Copy and Paste PDF Pages Using C#.NET. C# programming
delete pages pdf document; delete page in pdf document
To prove (15), we note that a•[b (c d)] equals
(a b [c  d]) =(a b)•(c d)
by the definition of the triple product, as well as (a•c)(b•d) - (a•d)(b•c) by (13)
(take the dot product by a).
The last formula, (16), follows from familiar rules of interchanging the rows of a
determinant.
26. [-3, -3, 0] [0, 0, 5] =[-15, 15, 0]; 15√2
28. 0, 0. Qlies on the line of action of p.
30. w r = [5/√2
, 5/√2
, 0] [4, 2, -2] =[-5√2
, 5√2
, -5√2
], v =√150
32. [-3, -4, -7] [-1, -8, -4] =[-40, -5, 20] =45
34.
1
_
2
[0, 3, 0] [4, 0, 2] =
1
_
2
[6, 0, -12] =√45
36. [2, 3, 2]  [-1, 5, -3] =[-19, 4, 13],
hence
-19x + 4y + 13z =c =-19 2 + 41 +133 =5.
38. From the given points we get three edge vectors whose scalar triple product is
k
k
=-8.
Hence the answer is 8/6 =4/3.
SECTION 9.4. Vector and Scalar Functions and Fields. Derivatives,
page 384
Purpose. To get started on vector differential calculus, we discuss vector functions and
their continuity and differentiability.
Main Content, Important Concepts
Vector and scalar functions and fields
Continuity, derivative of vector functions (9), (10)
Differentiation of dot, cross, and triple products, (11)–(13)
Partial derivatives
Comment on Content
This parallels calculus of functions of one variable and can be surveyed quickly.
SOLUTIONS TO PROBLEM SET 9.4, page 389
2. Parallel straight lines
4. Circles (x -
)
2
+y
2
=
passing through the origin
6. Hyperbolas x
2
-(y -4)
2
=const
1
4c
2
1
2c
-1
4
7
1
4
5
4
6
4
Instructor’s Manual
179
im09.qxd  9/21/05  12:15 PM  Page 179
8. CAS Project. A CAS can graphically handle these more complicated functions,
whereas the paper-and-pencil method is relatively limited. This is the point of the
project.
Note that all these functions occur in connection with Laplace’s equation, so they
are real or imaginary parts of complex analytic functions.
10. Elliptic cylinders with vertical generating straight lines
12. Cylinders with cross section z=4y
2
+c and generating straight lines parallel to the
x-axis
14. Elliptic paraboloids z= x
2
+4y
2
+c
16. On horizontal lines y =const the i-component of v is constant, and on vertical lines
x= const the j-component of v is constant.
18. At each point the vector vequals the corresponding position vector, so that sketching
is easy.
20. On y =x the vector v is vertical and on y =-x it is horizontal.
22. As a curve this is a helix. The first derivative [-4 sint, 4 cost, 2] is tangent to this
curve,  as  we  shall  discuss  in  the  next  section,  and  the  second  derivative
[-4 cost, -4 sint, 0] is parallel to the xy-plane and perpendicular to that tangent.
24. [cosx coshy, -sinx sinhy], [sinx sinhy, cosx coshy]; [e
x
cosy, e
x
siny],
[-e
x
siny, e
x
cosy]
SECTION 9.5. Curves. Arc Length. Curvature. Torsion, page 389
Purpose.Discussion of space curves as an application of vector functions of one variable,
the use of curves as paths in mechanics (and as paths of integration of line integrals in
Chapter  10).  Role  of  parametric  representations,  interpretation  of  derivatives  in
mechanics, completion of the discussion of the foundations of differential–geometric
curve theory.
Main Content, Important Concepts
Parametric representation (1)
Orientation of a curve
Circle, ellipse, straight line, helix
Tangent vector (7), unit tangent vector (8), tangent (9)
Length (10), arc length (11)
Arc length as parameter [cf. (14)]
Velocity, acceleration (16)–(19)
Centripetal acceleration, Coriolis acceleration
Curvature, torsion, Frenet formulas (Prob. 50)
Short Courses.This section can be omitted.
Comment on Problems 26–28
These involve only integrals that are simple (which is generally not the case in connection
with lengths of curves).
180
Instructor’s Manual
im09.qxd  9/21/05  12:15 PM  Page 180
SOLUTIONS TO PROBLEM SET 9.5, page 398
2. r(t) =[5 +3t, 1 +t, 2 -t]
4. r(t) =[t, 3 +2t, 7t]
6. r(t) =[cost, sint, sint]
8. Direction of the line of intersection [1, 1, -1] [2, -5, 1] =[-4, -3, -7]. Point
of intersection with the xy-plane z=0 from x +y =2, 2x -5y =3; thus x=13/7,
y= 1/7. Hence a parametric representation is
r(t) =
[
_
13
7
-4t,
1
_
7
-3t, -7t
]
.
10. Helix [3 cost, 3 sint, 4t]
12. Straight line through (4, 0, -3) in the direction of [-2, 8, 5]
14. Space curve with projections y = x
2
, z =x
3
into the xy- and xz-coordinate planes,
similar to the curve in Fig. 210.
16. Hyperbola x
2
-y
2
=1, z =0
18. x = 1, (y - 5)(z +5) =1; hyperbola
20. No, because the exponential function e
t
is nonnegative.
22. r
=[1, 2t, 0], u =(1 +4t
2
)
1/2
[1, 2t, 0], q =[2 + w, 4 +4w, 0]
24. r
(t) = [-3 sint, 3 cost, 4], u =[-0.6 sint, 0.6 cost, 0.8],
q=[3, 3w, 8
π
+4w]
26. t =4
π
, r
=[-2 sint, 2 cost, 6],
r
•r
=√40,  =4
π
√40
28. r
= [-3a cos
2
t sint, 3a sin
2
t cost]. Taking the dot product and applying
trigonometric simplification gives
r
•r
=9a
2
cos
4
tsin
2
t+9a
2
sin
4
tcos
2
t
=9a
2
cos
2
tsin
2
t
=
sin
2
2t.
From this we obtain as the length in the first quadrant
=
a
π
/2
0
sin2tdt =-
(cos
π
-cos0) =
.
30. We obtain
ds
2
=dx
2
+dy
2
=(d
cos
θ
-
sin
θ
d
θ
)
2
+(d
sin
θ
+
cos
θ
d
θ
)
2
=d
2
+
2
d
θ
2
=(
2
+
2
) d
θ
2
.
For the cardioid,
2
+
2
=a
2
(1 -cos
θ
)
2
+a
2
sin
2
θ
=2a
2
(1 -cos
θ
)
=4a
2
sin
21
_
2
θ
so that
=2a
2
π
0
sin
1
_
2
θ
d
θ
=8a.
3a
2
3a
4
3
2
9a
2
4
Instructor’s Manual
181
im09.qxd  9/21/05  12:15 PM  Page 181
32. v =r
=[4, -3, 0], v =5, a =0
34. v =r
=[-sint, 2 cost, 0], v =(sin
2
t+ 4 cos
2
t)
1/2
a=[-cost, -2 sint, 0]. Hence the tangential acceleration is
a
tan
=
[-sint, 2 cost, 0]
and has the magnitude a
tan
, where
a
tan
2
=
.
36. CAS Project. (a) v=[-2sint-2sin2t, 2cost-2cos2t]. From this we obtain
v
2
=v•v=(-2 sint -2 sin2t)
2
+(2 cost -2 cos2t)
2
. Performing the squares
and simplifying gives
v
2
=8(1 +sint sin2t -cost cos2t)
=8(1 -cos3t)
=16 sin
2
.
Hence
v =4 sin
.
a=[-2 cost - 4 cos2t, -2 sint + 4 sin2t].
We use (18*). By straightforward simplification (four terms cancel),
a•v =12(cost sin2t + sint cos2t)
=12 sin3t.
Hence (18*) gives
a
tan
=
v
a
norm
=a- a
tan
.
(b) v =[-sint -2sin2t, cost -2cos2t]
v
2
=5 -4cos3t
a= [-cost -4cos2t, -sint+ 4sin2t]
a
tan
=
[-sint -2sin2t, cost -2cos2t]
a
norm
=a- a
tan
(c) v =[-sint, 2cos2t, -2sin2t]
v
2
=4 + sin
2
t
a=[-cost, -4sin2t, -4cos2t]
a
tan
=
[-sint, 2cos2t, -2sin2t]
a
norm
=a -a
tan
1
_
2
sin2t

4 + sin
2
t
6sin3t

5 -4cos3t
12 sin3t

16 sin
2
(3t/2)
3t
2
3t
2
9 sin
2
tcos
2
t

sin
2
t+4 cos
2
t
-3 sint cost

sin
2
t+4 cos
2
t
182
Instructor’s Manual
im09.qxd  9/21/05  12:15 PM  Page 182