c# pdf reader dll : Delete page pdf file reader control application system azure html .net console solution_manual_of_advanced_engineering_mathematics_by_erwin_kreyszig_9th_edition-120-part219

4.
1
0
√y
y
(1 - 2xy) dx dy =
1
0
[
x- x
2
y
]
j
y
√y
dy
=
1
0
[
√y
-y
2
-(y - y
3
)
]
dy =
_
1
12
6.
3
0
3
x
cosh (x + y) dy dx =
3
0
[sinh (x + y)]j
x
3
dx
=
3
0
(sinh (x + 3) - sinh 2x) dx
=
[
cosh (x + 3) -
1
_
2
cosh 2x
]
j
3
x=0
=
1
_
2
cosh 6 - cosh 3 +
1
_
2
8.
1
0
1
_
2
x
2
y
2
j
1x
1x2
dx =
1
0
1
_
2
x
2
[
(1 - x
2
)
2
-(1 - x)
2
]
dx
=
1
0
1
_
2
x
2
(x
4
-3x
2
+2x) dx =
_
3
140
10. Integrating first over y and  then  over  x is simpler than  integrating  in the opposite
order, because of the form of the region of integration, which is the same triangle as
in Prob. 2. We obtain
1
0
2x
x
xye
x
2
y
2
dy dx =
1
0
[
x(-
1
_
2
)e
x2y2
]
j
2x
x
dx
=
1
0
(-
1
_
2
x)(x
3x
2
-1) dx =
_
1
12
e
3
+
1
_
6
.
12. For z = 0 we have 3x + 4y = 12, thus y = 3 -
3
_
4
x; this is the upper limit of the 
y-integration. We then integrate over x from 0 to 4. The main point of the problem
is to see how one can determine limits of integration from the given data. The integral
of z = 6 -
3
_
2
x- 2y is now as follows.
4
0
33x/4
0
(6 -
3
_
2
x- 2y) dy dx =
4
0
[
6y -
3
_
2
xy - y
2
]
j
0
33x/4
dx
=
4
0
[
(6 -
3
_
2
x)(3 -
3
_
4
x) - (3 -
3
_
4
x)
2
]
dx
=
4
0
(9 -
9
_
2
x+
_
9
16
x
2
) dx
=36 - 36 + 12
=12.
We confirm this by the scalar triple product of the edge vectors,
1
_
6
k
k
=12.
0
0
6
0
3
0
4
0
0
194
Instructor’s Manual
im10.qxd  9/21/05  12:49 PM  Page 194
Delete page pdf file reader - remove PDF pages in C#.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
Provides Users with Mature Document Manipulating Function for Deleting PDF Pages
delete pages on pdf; delete pdf page acrobat
Delete page pdf file reader - VB.NET PDF Page Delete Library: remove PDF pages in vb.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
Visual Basic Sample Codes to Delete PDF Document Page in .NET
delete pages of pdf; delete a page from a pdf acrobat
14. x
=0 because of symmetry. M =
1
_
2
π
a
2
. For y
, using polar coordinates defined by 
x= r cos
θ
, y = r sin
θ
, we obtain
y
=
π
0
a
0
(r sin
θ
) r dr d
θ
=
π
0
sin
θ
d
θ
=
2
=
=0.4244a.
For a = 1 we get 4/(3
π
), as in Example 2. It is obvious that the present semidisk and
the quarterdisk in the example have the same y
.
16. x
=b/2 for reasons of symmetry. Since the given R and its left half (the triangle with
vertices (0, 0), (b/2, 0), (b/2, h)) have the same y
, we can consider that half, for which
M=
1
_
4
bh. We obtain
y
=
b/2
0
2hx/b
0
ydy dx =
b/2
0
(
)
2
dx
=
(
)
2
( )
3
=
.
This is the same value as in Prob. 15. This equality of the y
-values seems obvious.
18. We obtain
I
x
=
b/2
0
2hx/b
0
y
2
dy dx +
b
b/2
2h2hx/b
0
y
2
dy dx
=
b/2
0
(
)
3
dx +
b
b/2
[2h(1 -
)]
3
dx
=
bh
3
+
bh
3
=
bh
3
.
Each of those  two halves of R contributes  half to the moment I
x
about the x-axis.
Hence we could have simplified our calculation and saved half the work. Of course,
this does not hold for I
y
. We obtain
I
y
=
b/2
0
2hx/b
0
x
2
dy dx +
b
b/2
2h2hx/b
0
x
2
dy dx
=
b/2
0
x
2
(
)dx +
b
b/2
x
2
(2h -
)dx
=
b
3
h+
b
3
h=
b
3
h.
20. We denote the right half of R by R
1
R
2
, where R
1
is the rectangular part and R
2
the triangular. The moment of inertia I
x1
of R
1
with respect to the x-axis is
I
x1
=
b/2
0
h
0
y
2
dy dx =
b/2
0
dx =
bh
3
.
1
6
h
3
3
7
48
11
96
1
32
2hx
b
2hx
b
1
12
1
24
1
24
x
b
1
3
2hx
b
1
3
h
3
b
2
1
3
2h
b
1
2
4
bh
2hx
b
1
2
4
bh
4
bh
4a
3
π
a
3
3
2
π
a
2
a
3
3
1
M
1
M
Instructor’s Manual
195
im10.qxd  9/21/05  12:49 PM  Page 195
C# PDF File & Page Process Library SDK for C#.net, ASP.NET, MVC
VB.NET File: Merge PDF; VB.NET File: Split PDF; VB.NET Page: Insert PDF pages; VB.NET Page: Delete PDF pages; VB.NET Annotate: PDF Markup & Drawing. XDoc.Word for
delete page from pdf; copy pages from pdf to new pdf
VB.NET PDF File & Page Process Library SDK for vb.net, ASP.NET
your PDF document is unnecessary, you may want to delete this page adding a page into PDF document, deleting unnecessary page from PDF file and changing
delete pages from pdf in reader; add remove pages from pdf
Similarly for the triangle R
2
we obtain
I
x2
=
a/2
b/2
h(2xa)/(ba)
0
y
2
dy dx
=
a/2
b/2
dx
=
h
3
(a - b).
Together,
I
x
=
(3b + a)
and
I
x
=
h
3
(3b + a).
I
y
is the same as in Prob. 19; that is,
I
y
=
.
This can be derived as follows, where we integrate first over x and then over y, which
is simpler than integrating in the opposite order, where we would have to add the two
contributions, one over the square and the other over the triangle, which would be
somewhat cumbersome. Solving the equation for the right boundary
y=
(a - 2x)
for x, we have
x=
(ah - (a - b)y)
and thus
I
y
=
h
0
(ah(ab)y)/2h
0
x
2
dx dy
=
h
0
(ah - (a - b)y)
3
dy
=
(a
3
+a
2
b+ ab
2
+b
3
) =
.
Now we multiply by 2, because we considered only the right half of the profile.
SECTION 10.4. Green’s Theorem in the Plane, page 439
Purpose. To state, prove, and apply Green’s theorem in the plane, relating line and double
integrals.
Comment on the Role of Green’s Theorem in the Plane
This theorem is a special case of each of the two “big” integral theorems in this chapter,
Gauss’s and Stokes’s theorems (Secs. 10.7, 10.9), but we need it as the essential tool in
the proof of Stokes’s theorem.
The present theorem must not be confused with Green’s first and second theorems in
Sec. 10.8.
h(a
4
-b
4
)

96(a - b)
h
96
1
24h
3
1
2
1
2h
h
a- b
h(a
4
-b
4
)

48(a - b)
1
12
h
3
24
1
2
1
24
h
3
(2x - a)
3

(b - a)
3
1
3
196
Instructor’s Manual
im10.qxd  9/21/05  12:49 PM  Page 196
C# PDF Page Insert Library: insert pages into PDF file in C#.net
page processing functions, such as how to merge PDF document files by C# code, how to rotate PDF document page, how to delete PDF page using C#
delete pdf pages reader; best pdf editor delete pages
C# PDF File Split Library: Split, seperate PDF into multiple files
Besides, in the process of splitting PDF document, developers can also remove certain PDF page from target PDF file using C#.NET PDF page deletion API.
delete pdf pages; delete a page from a pdf without acrobat
SOLUTIONS TO PROBLEM SET 10.4, page 444
2.
π
/2
0
π
/2
0
(2 cos y- sin x) dx dy = 2 
1
_
2
π
1 -
1
_
2
π
1 =
1
_
2
π
4.
2
0
x/2
0
(e
x
+e
y
) dy dx =
2
0
(
1
_
2
xe
x
+e
x/2
-1) dx = -
7
_
2
+2e +
1
_
2
e
2
6.
1
0
x
x
2
xsinh y dy dx =
1
0
[x cosh y]j
x
x2
dx
=
1
0
(x cosh x - x cosh x
2
) dx.
Integration over x now gives 
1
_
2
sinh 1 - cosh 1 + 1.
8. F = grad (e
x
cos y),  so  that the integral  around  a  closed  curve  is  zero.  Also  the
integrand in (1) on the left is identically zero.
10.
3
0
2
1
(ye
x
-
)dy dx =
3
0
[
y
2
e
x
-x ln y]
2
1
dx =
3
0
(
e
x
-x ln 2) dx.
Integration over x gives
[
3
_
2
e
x
-
1
_
2
x
2
ln 2
]
0
3
=
3
_
2
e
3
-
3
_
2
-
9
_
2
ln 2 = 25.51.
12. This is a portion of a circular ring (annulus) bounded by the circles of radii 1 and 2
centered  at the origin, in  the first quadrant bounded by y = x and  the y-axis. The
integrand is -1/y
2
-2x
2
y. We use polar coordinates, obtaining
π
/2
π
/4
2
1
(-
-2r
3
cos
2
θ
sin
θ
)r dr d
θ
=
π
/2
π
/4
[-
-
(32 - 1) cos
2
θ
sin
θ
]d
θ
=(ln 2) (cot
-cot ) +
(cos
3
-cos
2
)
=-ln 2 -
=-2.155.
14. ∇
2
w= 2 + 2 = 4. Answer: 4
π
. Confirmation. r = [cos s, sin s],
r
=[-sin s, cos s]. Outer unit normal vector n = [cos s, sin s],
grad w = [2x, 2y] = [2 cos s, 2 sin s], (grad w)•n = 2 cos s cos s + 2 sin s sin s.
Integration gives 2
π
2 = 4
π
.
16. ∇
2
w= 30(x
4
y+ xy
4
) = 30r
5
(cos
4
θ
sin
θ
+cos
θ
sin
4
θ
). Integration gives
π
0
2
0
2
wr dr d
θ
=30
j
2
0
π
0
(cos
4
θ
sin
θ
+cos
θ
sin
4
θ
) d
θ
=30 
[-
cos
5
θ
+
sin
5
θ
]
π
0
=6 
2 =
=219.43.
1536
7
128
7
1
5
1
5
128
7
r
7
7
31
15√2
π
4
π
2
62
15
π
4
π
2
2
5
ln 2
sin
2
θ
1
r
2
sin
2
θ
3
2
1
2
x
y
Instructor’s Manual
197
im10.qxd  9/21/05  12:49 PM  Page 197
VB.NET PDF File Compress Library: Compress reduce PDF size in vb.
Since images are usually or large size, images size reducing can help to reduce PDF file size effectively. Delete unimportant contents Embedded page thumbnails.
delete pages out of a pdf file; delete blank pages in pdf files
VB.NET PDF Page Insert Library: insert pages into PDF file in vb.
using RasterEdge.XDoc.PDF; Add and Insert a Page to PDF File Using VB. doc2.Save( outPutFilePath). Add and Insert Blank Page to PDF File Using VB.
copy pages from pdf to word; delete page in pdf preview
18. Set F
1
=-ww
y
and F
2
=ww
x
in Green’s theorem, where subscripts x and y denote
partial derivatives. Then (F
2
)
x
-(F
1
)
y
=w
x
2
+w
y
2
because ∇
2
w= 0, and
F
1
dx + F
2
dy = (
-
ww
y
x
+ww
x
y
)ds
=w(grad w)•(y
i- x
j) ds
=w(grad w)•n ds = w
ds
where primes denote derivatives with respect to s.
20. Project. We obtain div F in (11) from (1) if we take F =
[
F
2
, -F
1
]
. Taking n =
[
y
, -x
]
as in Example 4, we get from (1) the right side in (11),
(F•n) ds = (F
2
+F
1
)ds = F
2
dy + F
1
dx.
Formula (12) follows from the explanation of (1
).
Furthermore, div F = 7 - 3 = 4 times the area of the disk of radius 2 gives 16
π
.
For the line integral in (11) we need
r= [2 cos
, 2 sin ] ,
r
=[-sin
, cos ] ,
n= [y
, -x
]
where s varies from 0 to 4
π
.This gives
C
F•n ds =
C
(7xy
+3yx
)ds =
4
π
0
(14 cos
2
-6 sin
2
)ds = 16
π
.
In (12) we have curl F = 0 and
F•r
=-14 cos
sin
-6 cos
sin
=-10 sin s
which gives zero upon integration from 0 to 4
π
.
SECTION 10.5. Surfaces for Surface Integrals, page 445
Purpose. The section heading indicates that we are dealing with a tool in surface integrals,
and we concentrate our discussion accordingly.
Main Content, Important Concepts
Parametric surface representation (2) (see also Fig. 239)
Tangent plane
Surface normal vector N, unit surface normal vector n
Short Courses. Discuss (2) and (4) and a simple example.
Comments on Text and Problems
The student should realize and understand that the present parametric representations are
the two-dimensional analog of parametric curve representations.
Examples  1–3  and  Probs.  1–10  concern  some  standard  surfaces  of  interest  in
applications. We shall need only a few of these surfaces, but these problems should help
students grasp the idea of a parametric representation and see the relation to representations
(1). Moreover, it may  be good to collect surfaces of practical interest in one place for
possible reference.
s
2
s
2
s
2
s
2
s
2
s
2
s
2
s
2
s
2
s
2
dx
ds
dy
ds
w
n
198
Instructor’s Manual
im10.qxd  9/21/05  12:49 PM  Page 198
VB.NET PDF File Split Library: Split, seperate PDF into multiple
The VB.NET PDF document splitter control provides VB.NET developers an easy to use solution that they can split target multi-page PDF document file to one-page
acrobat extract pages from pdf; delete pages pdf online
C# PDF File Compress Library: Compress reduce PDF size in C#.net
Since images are usually or large size, images size reducing can help to reduce PDF file size effectively. Delete unimportant contents Embedded page thumbnails.
delete pages in pdf; delete pages from pdf reader
SOLUTIONS TO PROBLEM SET 10.5, page 448
2. Circles, straight lines through the origin. A normal vector is
N=
k
k
=[0, 0, u] = uk.
At the origin this normal vector is the zero vector, so that (4) is violated at (0, 0).
This can also be seen from the fact that all the lines v = constpass through the origin,
and  the  curves  u = const (the  circles)  shrink  to  a  point  at  the  origin.  This  is  a
consequence of the choice of the representation, not of the geometric shape of the
present surface (in contrast with the cone, where the apex has a similar property, but
for geometric reasons).
4. x
2
+y
2
=z, circles, parabolas with the z-axis as axis; a normal vector is
[-2u
2
cos v, -2u
2
sin v, u].
6.
1
_
4
x
2
-y
2
=z, hyperbolas, parabolas. A normal vector is
[
-2u
2
cosh v, 8u
2
sinh v, 4u
]
.
8. z = arctan (y/x), helices (hence the name!), horizontal straight lines. This surface is
similar to a spiral staircase, without steps (as in the Guggenheim Museum in New
York). A normal vector is
[sin v, -cos v, u].
10. x
2
/a
2
+y
2
/b
2
+z
2
/c
2
=1. Both families of parameter curves consist of ellipses.
A normal vector is
[
bc cos
2
vcos u, ac cos
2
vsin u, ab sin v cos v
]
.
12. z =
5
_
3
x+
1
_
3
y- 10; hence 
[
u, v,
5
_
3
u+
1
_
3
v- 10
]
, or if we multiply by 3,
r(u, v) = [3u, 3v, 5u + v - 30].
A normal vector is
N=
k
k
=[-15, -3, 9].
More simply, [5, 1, -3] by applying grad to the given representation. The two
vectors are proportional, as expected.
14. In (3) the center is (0, 0, 0). Here it is (1, -2, 0). Hence we obtain
r(u, v) = [1 + 5 cos v cos u, -2 + 5 cos v sin u, 5 sin v].
From this and (4) we obtain the normal vector
N=
[
25 cos
2
vcos u, 25 cos
2
vsin u, 25 cos v sin v
]
.
16. A parametric representation is
r(u, v) =
[
ucos v, 2u sin v, 4u
2
]
.
A normal vector is
N=
[
-16u
2
cos v, -8u
2
sin v, 2u
]
.
k
5
1
j
0
3
i
3
0
k
0
0
j
sin v
ucos v
i
cos v
-u sin v
Instructor’s Manual
199
im10.qxd  9/21/05  12:49 PM  Page 199
Another one is
grad (z - 4x
2
-y
2
) = [-8x, -2y, 1]
=[-8u cos v, -4u sin v, 1].
Multiplication by 2u gives the previous normal vector.
18. A representation is
r(u, v) = [2 cosh u, 3 sinh u, v].
A normal vector is
N= [3 cosh u, -2 sinh u, 0].
Note that N is parallel to the xy-plane. Another normal vector is
grad (9x
2
-4y
2
) = [18x, -8y, 0] = [36 cosh u, -24 sinh u, 0].
Division by 12 gives the previous normal vector.
20. Set x = u and y = v.
22. N(0, 0) = 0 in Prob. 2 (polar coordinates); see the answer to Prob. 2. In Probs. 4 and
7 (paraboloids) the situation is similar to that of the polar coordinates. In Prob. 6 the
origin is a saddle point. In each of these cases one can find a representation for which
N(0, 0)  0; see Prob. 23 for the paraboloid. In Prob. 5 the reason is the form of the
surface (the apex of the cone, where no tangent plane and hence no normal exists).
24. Project. (a) r
u
(P) and r
v
(P) span T(P). r* varies over T(P). The vanishing of the
scalar triple product implies that r* - r(P) lies in the tangent plane T(P).
(b) Geometrically, the vanishing of the dot product means that r* - r(P) must be
perpendicular to ∇g, which is a normal vector of S at P.
(c) Geometrically, ƒ
x
(P) and ƒ
y
(P) span T(P), so that for any choice of x*, y* the
point (x*, y*, z*) lies in T(P). Also, x* = x, y* = y gives z* = z, so that T(P)
passes through P, as it should.
SECTION 10.6. Surface Integrals, page 449
Purpose. We define and discuss surface integrals with and without taking into account
surface orientations.
Main Content
Surface integrals (3)  (4)  (5)
Change of orientation (Theorem 1)
Integrals (6) without regard to orientation; also (11)
Comments on Content
The right side of (3) shows that we need only N but not the corresponding unit vector n.
An orientation results automatically from the choice of a surface representation, which
determines r
u
and r
v
and thus N.
The existence of nonorientable surfaces is interesting but is not needed in our further work.
SOLUTIONS TO PROBLEM SET 10.6, page 456
2. r = [u, v, 4 - u - v], 0  u  4 - v, 0  v  4,
F= [u
2
, v
2
, (4 - u - v)
2
], N = [1, 1, 1]. From this we obtain
4
0
4v
0
F•N du dv =
4
0
[
1
_
3
u
3
+v
2
u-
1
_
3
(4 - u - v)
3
]
j
0
4v
dv = 64.
200
Instructor’s Manual
im10.qxd  9/21/05  12:49 PM  Page 200
4. Quarter of a circular cylinder of radius 3 and height 2 in the first octant with the
z-axis as axis. A parametric representation is
r= [3 cos u, 3 sin u, v],
0  u 
1
_
2
π
, 0  v  2.
From this we obtain
N= [3 cos u, 3 sin u, 0]
F•N = 3e
3 sin u
cos u - 3e
v
sin u.
Integration over u from 0 to 
1
_
2
π
gives e
3
-1 - 3e
v
. Integration of this over v from
0 to 2 gives the answer
2(e
3
-1) - 3(e
2
-1) = 2e
3
-3e
2
+1 = 19.0039.
6. r = [u, cos v, sin v], 0  u  20, 0  v 
π
, N = [0, -cos v, -sin v]; 
hence
F•N = -cos
4
vsin v.
Integration over v from 0 to 
π
gives -2/5. Integration of this over u from 0 to 20
gives the answer -8.
8. r = [u, cos v, 3 sin v], N = [0, -3 cos v, -sin v]; hence
F= [tan(u cos v), u
2
cos v, -3 sin v].
This gives
F•n = -3u
2
cos
2
v+ 3 sin
2
v.
Integration over u from 1 to 4 gives
-63 cos
2
v+ 9 sin
2
v.
Integration of this over v from 0 to 2
π
gives the answer
-63
π
+9
π
=-54
π
.
10. Portion of a circular cone with the z-axis as axis. A parametric representation is
r= [u cos v, u sin v, 4u]
(0  u  2, 0  v 
π
).
From this,
N= [-4u cos v, -4u sin v, u],
F=
[
u
2
sin
2
v, u
2
cos
2
v, 256u
4
]
.
The integrand is
F•n = -4u
3
sin
2
vcos v - 4u
3
cos
2
vsin v + 256u
5
.
Integration over u from 0 to 2 gives
-16 sin
2
vcos v - 16 cos
2
vsin v +
.
Integration of this over v from 0 to 
π
gives
[-
sin
3
v+
cos
3
v+
v]
π
0
=-
+
π
=8568.
12. r =
[
u, v, u + v
2
]
, N = [-1, -2v, 1], F = [cosh v, 0, sinh u]. Hence
the integrand is
F•N = -cosh v + sinh u.
8192
3
32
3
8192
3
16
3
16
3
8192
3
Instructor’s Manual
201
im10.qxd  9/21/05  12:49 PM  Page 201
Integration over v from 0 to u gives -sinh u + u sinh u. Integration of this over u
from 0 to 1 gives
[-cosh u + u cosh u - sinh u]j
0
1
=1 - sinh 1.
14. r = [u, v, 2  - u - v],  0   u  2,  0   v  2  - u, N = [1, 1, 1],
N = √3
, G = cos v + sin u; hence
2u
0
GN dv = √3
[sin v + v sin u]j
0
2u
=√3
[sin (2 - u) + (2 - u) sin u].
Integration over u from 0 to 2 gives
√3
[cos (2 - u) - 2 cos u - sin u + u cos u] j
0
2
=√3
[3 - cos 2 - sin 2] = 4.342.
16. r = [4 cos u, 4 sin u, v], N = [4 cos u, 4 sin u, 0], N = 4. Furthermore,
G= 4 sin u e
4 cos u
+4 cos u e
4 sin u
+e
v
.
Also, GN is the same times 4. Integration over u from 0 to 
π
gives
4[-e
4 cos u
+e
4 sin u
+ue
v
]j
0
π
=4(-e
4
+e
4
+e
0
-e
0
+
π
e
v
).
Integration of this over v from 0 to 4 gives
16(-e
4
+e
4
) + 4
π
(e
4
-1) = 1547.
18. r = [cos v cos u, cos v sin u, sin v], 0  u 
π
, 0  v 
π
/2.  A normal
vector is
N=
[
cos
2
vcos u, cos
2
vsin u, cos v sin v
]
and
N = cos v.
On S,
G= a cos v cos u + b cos v sin u + c sin v.
The integrand is this expression times cos v. Integration over u from 0 to 
π
gives
0 + 2b cos
2
v+
π
csin v cos v.
Integration of this over v from 0 to 
π
/2 gives the answer
1
_
2
π
(b + c).
20. r = [u, v, uv], 0  u  1, 0  v  1, N = [-v, -u, 1], so that
N =
u
2
+v
2
+1
.
On S we have
G= 3uv,
GN = 3uv
u
2
+v
2
+1
.
Integration over u from 0 to 1 gives
[
v(v
2
+u
2
+1)
3/2
]
j
0
1
=v(v
2
+2)
3/2
-v(v
2
+1)
3/2
.
Integration of this over v from 0 to 1 gives
1
_
5
[(v
2
+2)
5/2
-(v
2
+1)
5/2
]j
0
1
=
1
_
5
(3
5/2
-2
5/2
-(2
5/2
-1)) = 1.055.
202
Instructor’s Manual
im10.qxd  9/21/05  12:49 PM  Page 202
24. I
x=y
=
S
[
(x - y)
2
+z
2
]
σ
dA
26. h
π
(1 + h
2
/6)
28. Proof for a lamina S of density 
σ
. Choose coordinates so that A is the z-axis and B
is the line x = k in the xz-plane. Then
I
B
=
S
[
(x - k)
2
+y
2
]
σ
dA =
S
(x
2
-2kx + k
2
+y
2
)
σ
dA
=
S
(x
2
+y
2
)
σ
dA - 2k
S
x
σ
dA + k
2
S
σ
dA
=I
A
-2k  0 + k
2
M,
the second integral being zero because it is the first moment of the mass about an
axis through the center of gravity.
For a mass distributed in a region in space the idea of proof is the same.
30. Team Project. (a) Use dr = r
u
du + r
v
dv. This gives (13) and (14) because
dr•dr = r
u
•r
u
du
2
+2r
u
•r
v
du dv + r
v
•r
v
dv
2
.
(b) E, F, Gappear if you express everything in terms of dot products. In the numerator,
a•b = (r
u
g
+r
v
h
)•(r
u
p
+r
v
q
) = Eg
p
+F(g
q
+h
p
) + Gh
q
and similarly in the denominator.
(c) This follows by Lagrange’s identity (Problem Set 9.3),
r
u
r
v
2
=(r
u
r
v
)•(r
u
r
v
) = (r
u
•r
u
)(r
v
•r
v
) - (r
u
•r
v
)
2
=EG - F
2
.
(d) r = [ucos v, usinv], r
u
=[cos v, sin v], r
u
•r
u
=cos
2
v+ sin
2
v= 1, etc.
(e) By straightforward calculation, E = (a + b cos v)
2
, and F = 0 (the coordinate
curves on the torus are orthogonal!), and G = b
2
. Hence, as expected,
EG -
F
2
=b(a + b cos v).
SECTION 10.7. Triple Integrals. Divergence Theorem of Gauss, page 458
Purpose, Content
Proof and application of the first “big” integral theorem in this chapter, Gauss’s theorem,
preceded by a short discussion of triple integrals (probably known to most students from
calculus).
Comment on Proof
The proof is simple:
1. Cut (2) into three components. Take the third, (5).
2. On the left, integrate 

dz dx dy over z to get
(8)

[
F
3
(upper surface) - F
3
(lower surface)
]
dx dy
integrated over the projection R of the region in the xy-plane (Fig. 250).
F
3
z
1
2
Instructor’s Manual
203
im10.qxd  9/21/05  12:49 PM  Page 203
Documents you may be interested
Documents you may be interested