c# pdf reader dll : Delete blank page in pdf software Library project winforms asp.net wpf UWP solution_manual_of_advanced_engineering_mathematics_by_erwin_kreyszig_9th_edition-121-part220

3. Show that the right side of (5) equals (8). Since the third component of n is cos
γ
,
the right side is

F
3
cos
γ
dA =

F
3
dx dy
=

F
3
(upper) dx dy -

F
3
(lower) dx dy,
where minus comes from cos
γ
<0 in Fig. 250, lower surface. This is the proof. Everything
else is (necessary) accessory.
SOLUTIONS TO PROBLEM SET 10.7, page 463
2. Integration over x from 0 to 4 gives 
_
64
3
+4y
2
+4z
2
. Integration of this over y from
0 to 9 gives 1164 + 36z
2
. Integration of this over z from 0 to 1 gives 1176.
Alternatively, integration of x
2
, y
2
, z
2
over T gives
9  1 = 192,
4  1 = 972,
4  9 = 12
respectively. The sum is 1176.
4. Limits of integration 0  x  2 - y - z, 0  y  2 - z, 0  z  2. Integration
over x gives -e
2
+e
yz
. Integration of this over y gives -3e
2
+ze
2
+e
z
.
Integration of this over z gives the answer -5e
2
+1.
6. Integration over y from 0 to 1 - x
2
gives 30z(1 - x
2
). Integration of this over z from
0 to x gives 15(x
2
-x
4
). Integration of this over x from 0 to 1 gives the answer 2.
8. From (3) in Sec. 10.5 with variable r instead of constant a we have
x= r cos v cos u,
y= r cos v sin u,
z= r sin v.
Hence x
2
+y
2
=r
2
cos
2
v. The volume element is dV = r
2
cos v dr du dv. The
limits of integration are 0  r  a, 0  u  2
π
, -
1
_
2
π
v 
1
_
2
π
. The integrand
is r
4
cos
3
v. Integration over r, u, and v gives a
5
/5, 2
π
, and 4/3, respectively. The
product of these is the answer 8
π
a
5
/15.
10. Integration over x, y, and z gives successively
a(y
2
+z
2
),
_
1
12
ab
3
+z
2
ab,
_
1
12
abc(b
2
+c
2
).
12. 8
π
a
5
/15, as follows from Prob. 8.
14. r
2
=y
2
+z
2
. Integration over r from 0 to √x
gives x
2
/4. Integration of this over x
from 0 to h gives h
3
/12. Answer: h
3
π
/6.
16.
π
h
5
/10 =
π
h
3
/6 gives h = √5/3
. For h > √5/3
the moment I
x
is larger for the cone
because the mass of the cone is spread out farther than that of the paraboloid when
x> 1.
18. div F = 4. Answer: 4 times the volume 
π
r
2
h/3 of a cone of base radius r = 2 and
height h = 2. Answer: 4
π
4  2/3 = 32
π
/3.
20. div F = 4x
2
. Set x = r cos u, y = r sin u. The integrand times the volume element
is
(4r
2
cos
2
u)r dr du dz.
Integration over r from 0 to 5 gives 5
4
cos
2
u, integration over u from 0 to 2
π
then
gives 625
π
, and integration over z finally gives 1250
π
.
1
3
3
9
3
3
4
3
3
204
Instructor’s Manual
im10.qxd  9/21/05  12:49 PM  Page 204
Delete blank page in pdf - remove PDF pages in C#.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
Provides Users with Mature Document Manipulating Function for Deleting PDF Pages
add and delete pages in pdf online; delete page from pdf reader
Delete blank page in pdf - VB.NET PDF Page Delete Library: remove PDF pages in vb.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
Visual Basic Sample Codes to Delete PDF Document Page in .NET
delete page from pdf file online; delete blank page in pdf online
22. div F = 3x
2
+3y
2
+3z
2
=3r
2
, dV = r
2
cos v dr du dv. Intervals of integration 
0  r  5, 0  u  2
π
, 0  v 
1
_
2
π
. The integrand is 3r
4
cos v. Integration over
r, v, and u gives successively
1875 cos v, 1875, 3750
π
.
24. div F = 8x + 2y + 2
π
sin
π
z. Integration over z from 0 to 1 - x - y gives
2 + (1 - x - y)(8x + 2y) - 2 cos [
π
(1 - x - y)].
Integration of this over y from 0 to 1 - x gives
+x - 7x
2
+
x
3
-
sin [
π
(1 - x)].
Integration of this over x from 0 to 1 now gives the answer 17/12 - 4/
π
2
.
SECTION 10.8. Further Applications of the Divergence Theorem, page 463
Purpose. To represent the divergence free of coordinates and to show that it measures
the source intensity (Example 1); to use Gauss’s theorem for deriving the heat equation
governing  heat  flow  in  a region  (Example  2);  to  obtain  basic  properties  of  harmonic
functions.
Main Content, Important Concepts
Total flow (1) out of a region
Divergence as the limit of a surface integral; see (2)
Heat equation (5) (to be discussed further in Chap. 12)
Properties of harmonic functions (Theorems 1–3)
Green’s formulas (8), (9)
Short Courses. This section can be omitted.
Comments on (2)
Equation (2) is sometimes used as a definition of the divergence, giving independence of
the choice of coordinates immediately. Also, Gauss’s theorem follows more readily from
this definition, but since its proof is simple (see Sec. 10.7. in this Manual), that savings
is marginal. Also, it seems that to the student our Example 2 in Sec. 9.8 motivates the
divergence at least as well (and without integrals) as (2) in the present section does for a
beginner.
SOLUTIONS TO PROBLEM SET 10.8, page 468
2. r = [cos
θ
, sin
θ
] = N = n, ƒ = sin
2
θ
-cos
2
θ
=-2 cos 2
θ
gives the integral
0.  The  integrals over the disks (z = 0  and z = 5) are  0, too,  because ∇ƒ has  no
component in the z-direction (the normal direction of those disks).
4. ∇
2
g= 4, grad ƒ•grad g = [1, 0, 0] •[0, 2y, 2z] = 0. Integration of 4x over the
box gives 12. Also, ƒg/n for the six surfaces gives
(x = 0)
0[-1, 0, 0] •[0, 2y, 2z],
integral 0
(x = 1)
1[1, 0, 0] •[0, 2y, 2z],
integral 0
(y = 0)
x[0, -1, 0]•[0, 0, 2z],
integral 0
2
π
11
3
7
3
Instructor’s Manual
205
im10.qxd  9/21/05  12:49 PM  Page 205
VB.NET PDF Page Insert Library: insert pages into PDF file in vb.
Easy to Use VB.NET APIs to Add a New Blank Page to PDF Document in VB.NET Program. doc2.Save(outPutFilePath). Add and Insert Blank Page to PDF File Using VB.
pdf delete page; delete page numbers in pdf
C# PDF Page Insert Library: insert pages into PDF file in C#.net
as how to merge PDF document files by C# code, how to rotate PDF document page, how to delete PDF page using C# .NET Add and Insert Blank Page to PDF File in
delete pages of pdf online; delete pages from pdf document
(y = 2)
x[0, 1, 0]•[0, 4, 2z],
integral of 4x gives 2  3 = 6
(z = 0)
x[0, 0, -1]•[0, 2y, 0]
integral 0
(z = 3)
x[0, 0, 1]•[0, 2y, 6]
integral of 6x gives 3  2 = 6.
6. The volume integral of 2x
4
-12x
2
y
2
is 2/5 - 4/3. The surface integral of
x
4
n•[0, 2y, 0] - y
2
n•
[
4x
3
, 0, 0
]
=n •
[
-4y
2
x
3
, 2yx
4
, 0
]
is -4/3 (x = 1) and 2/5 (y = 1) and 0 for the other faces.
8. r = a, cos
=1, V =
1
_
3
a(4
π
a
2
)
10. Team Project. (a) Put ƒ = g in (8).
(b) Use (a).
(c) Use (9).
(d) h = ƒ - g is harmonic and h/n = 0 on S. Thus h = const in T by (b).
(e) Use div (grad ƒ) = ∇
2
ƒ and (2).
SECTION 10.9. Stokes’s Theorem, page 468
Purpose. To prove, explain, and apply Stokes’s theorem, relating line integrals over closed
curves and surface integrals.
Main Content
Formula (2)  (2*)
Further interpretation of the curl (see also Sec. 9.9)
Path independence of line integrals (leftover from Sec. 10.2)
Comment on Orientation
Since  the  choice  of  right-handed  or  left-handed  coordinates  is  essential  to  the  curl 
(Sec. 9.9), surface orientation becomes essential here (Fig. 251).
Comment on Proof
The proof is simple:
1. Cut (2*) into components. Take the first, (3).
2. Using N
1
and N
3
, cast the left side of (3) into the form (7).
3. Transform the right side of (3) by Green’s theorem in the plane into a double integral
and show equality with the integral obtained on the left.
SOLUTIONS TO PROBLEM SET 10.9, page 473
2. r =[2 cos u, 2 sin u, v], curl F=[0, -5 cos z, 0] =[0, -5 cos v, 0]. Also
N= [2 cos u, 2 sin u, 0].
Hence
(curl F)•N = -5(cos v) 2 sin u.
Integretion over u from 0 to 
π
gives -20 cos v. Integration of this over v from 0 to
1
_
2
π
gives -20. Answer: ±20.
4. curl F = [-sinh z, -1, 3 sin y], N = [0, 0, 1]. Hence
(curl F)•N = 3 sin y.
206
Instructor’s Manual
im10.qxd  9/21/05  12:49 PM  Page 206
C# Create PDF Library SDK to convert PDF from other file formats
Create and save editable PDF with a blank page, bookmarks, links, signatures, etc. Create a new PDF Document with one Blank Page in C# Project.
delete page from pdf file; delete pages pdf preview
C# PDF Page Replace Library: replace PDF pages in C#.net, ASP.NET
pageIdx, The page index of the deleted blank page. 0
delete page from pdf document; delete pages pdf
Integration over y from 0 to 2 and then over x from 0 to 2 gives
-3(cos 2 - 1)  2 = -6(cos 2 - 1).
The answer is ±6(cos 2 - 1) = 8.497.
6. r = [u cos v, u sin v, u], curl F = [2y, 2z, 2x] = [2u sin v, 2u, 2u cos v].
Furthermore,
ndA = N du dv = [-u cos v, -u sin v, u] du dv.
Hence the integrand is
-2u
2
cos v sin v - 2u
2
sin v + 2u
2
cos v.
Integration over u from 0 to 2 gives
_
16
3
(-cos v sin v - sin v + cos v).
Integration of this from 0 to 
π
gives 
_
16
3
(-2) = -32/3. The answer is ±32/3.
8. (curl F)•N =
[
0, 0, -3x
2
- 3y
2
]
•[0, 0, 1]  = -3x
2
- 3y
2
= -3r
2
.  The
integral is
-3
S
(x
2
+y
2
) dx dy = -3
S
r
3
dr d
θ
=-
3
_
4
r
4
2
π
j
1
0
=-
3
_
2
π
.
The answer is ±3
π
/2.
10. r = [cos
θ
, sin
θ
], F•r
=[sin
3
θ
, -cos
3
θ
]•[-sin
θ
, cos
θ
]. Integration over
θ
from 0 to 2
π
gives -3
π
/2.
12. r = [u, v, v + 1], N = [0, -1, 1], curl F = [0, 2, -2].  Hence 
(curl F)•N = 0 - 2 - 2 = -4. The area of the projection x
2
+y
2
1 is 
π
. This
gives the answer -4
π
.
14. F =
[
y, xy
3
, -zy
3
]
, curl F =
[
-3zy
2
, 0, y
3
-1
]
, r = [ucos v, u sin v, b],
N= [0, 0, u]; hence
(curl F)•N = (u
3
sin
3
v- 1)u.
Integration over u from 0 to a gives
1
_
5
a
5
sin
3
v-
1
_
2
a
2
.
Integration of this over v from 0 to 2
π
gives the answer
0 -
π
a
2
.
To check this directly, we can take
r= [a cos
, a sin
, b]
r
=[-sin
, cos
, 0]
F= [a sin
, a
4
cos
sin
3
, -a
3
sin
3
]
F•r
=-a sin
2
+a
4
cos
2
sin
3
.
Integration of this over s from 0 to 2
π
agives -
π
a
2
, as before.
s
a
s
a
s
a
s
a
s
a
s
a
s
a
s
a
s
a
s
a
s
a
Instructor’s Manual
207
im10.qxd  9/21/05  12:49 PM  Page 207
C# Word - Insert Blank Word Page in C#.NET
such as how to merge Word document files by C# code, how to rotate Word document page, how to delete Word page Add and Insert a blank Page to Word File in C#.
delete a page from a pdf reader; delete pages from pdf acrobat
C# PowerPoint - Insert Blank PowerPoint Page in C#.NET
document files by C# code, how to rotate PowerPoint document page, how to delete PowerPoint page using C# Add and Insert a blank Page to PowerPoint File in C#.
cut pages from pdf file; delete pages from pdf in preview
16. curl F = 0 gives the answer 0.
18. curl F = [1, 1, 1], N = [0, 0, 1] (curl F)•N = 1. The area of the projection
of the given triangle into the xy-plane is 1/2. This gives the answer 1/2.
SOLUTIONS TO CHAP. 10 REVIEW QUESTIONS AND PROBLEMS, page 473
12. Exact, F = grad ƒ(x, y, z), ƒ(x, y, z) = x cos z - y sin z. Hence the integral has the
value
ƒ(4, 3, 0) - ƒ(-2, 0, 
1
_
2
π
) = 4 - 0 = 4.
14. Not exact. r = [3 cos t, 3 sin t, 1]. Hence
F(r)•r
=[3 sin t, 6 cos t, 9 cos t sin t]•[-3 sin t, 3 cos t, 0]
=-9 sin
2
t+ 18 cos
2
t.
Integration over t from 0 to 2
π
gives -9
π
+18
π
=9
π
.
16. By Stokes’s theorem. r = [u, v, 2u], N = [-2, 0, 1]. Furthermore,
curl F = [0, -
π
cos
π
x, -
π
(sin
π
x+ cos
π
y)]
=[0, -
π
cos
π
u, -
π
(sin
π
u+ cos
π
v)].
The inner product is
(curl F(r))•N = -
π
(sin
π
u+ cos
π
v).
Integration over u from 0 to 1/2 gives -
1
_
2
π
cos
π
v-1. Integration of this over v from
0 to 2 gives -2. Answer: 2.
18. By Stokes’s theorem. curl F = 0. Hence the answer is 0.
20. Not exact. We obtain
r
=[-2 sin t, 2 cos t, 6]
and
F(r) =
[
4 cos
2
t, 4 sin
2
t, 8 sin
2
tcos t
]
.
The inner product is
F•r
=-8 cos
2
tsin t + 56 sin
2
tcos t.
Integration gives
cos
3
t+
sin
3
tj
0
π
/2
=16.
22. x
=0 by symmetry. The total mass is
M=
1
1
(1 - x
2
) dx =
.
Hence
y
=
1
1
1x
2
0
ydy dx =
1
1
(1 - x
2
)
2
dx =
.
24. x
2
+y
2
=r
2
. The total mass is
M=
π
/2
0
1
0
r
2
r dr d
θ
=
.
π
8
2
5
3
8
1
M
4
3
56
3
8
3
208
Instructor’s Manual
im10.qxd  9/21/05  12:49 PM  Page 208
VB.NET PDF: Get Started with PDF Library
Field Data. Data: Auto Fill-in Field Data. Field: Insert, Delete, Update Field. of .NET PDF SDK with Simple Sample Code for Creating Blank Page to PDF in VB
cut pages from pdf reader; delete pdf pages in preview
VB.NET Create PDF Library SDK to convert PDF from other file
Create and save editable PDF with a blank page, bookmarks, links, signatures, etc. VB.NET: Create a New PDF Document with One Blank Page.
delete a page from a pdf; delete a page from a pdf online
This gives
x
=
π
/2
0
1
0
(r cos
θ
)r
2
r dr d
θ
=
and y
=x
by symmetry.
26. N = [1, 1, 1], F•N = 2x
2
+4y. Integration over y from 0 to 1 - x gives
2x
2
(1 - x) + 2(1 - x)
2
.
Integration of this over x from 0 to 1 gives 5/6.
28. By Gauss’s theorem. div F = 3. The volume of the sphere is 
4
_
3
5
3
π
. This gives the
answer 500
π
.
30. By direct integration. We can represent the paraboloid in the form
r=
[
ucos v, u sin v, u
2
]
.
A normal vector is
N= r
u
r
v
=
[
-2u
2
cos v, -2u
2
sin v, u
]
.
On the paraboloid,
F=
[
u
3
sin
3
v, u
3
cos
3
v, 3u
4
]
.
The inner product is
F•N = -2u
5
cos v sin
3
v- 2u
5
cos
3
vsin v + 3u
5
=-2u
5
cos v sin v (sin
2
v+ cos
2
v) + 3u
5
.
Integration of this over v from 0 to 2
π
gives 0 + 6
π
u
5
. Integration of this over u
from 0 to 2 (note that z = u
2
varies from 0 to 4) gives 6
π
2
6
/6 = 64
π
.
32. Direct integration. We have
r= [2 cos u cos v, 2 cos u sin v, sin u]
(0  u 
1
_
2
π
, 0  v  2
π
).
From this,
r
u
=[-2 sin u cos v, -2 sin u sin v, cos u]
r
v
=[-2 cos u sin v, 2 cos u cos v, 0]
N=
[
-2 cos
2
ucos v, -2 cos
2
usin v, -4 cos u sin u
]
.
The inner product is
F•N = (-2 cos
2
u)(cos v + sin v) - 4a cos u sin u.
Integration  of  cos v + sin v over  v from  0  to  2
π
gives  0.  Integration  of 
-4a cos u sin u over u from 0 to 
π
/2 gives -2a. Integration of this constant over v
from 0 to 2
π
gives -4
π
a(or +4
π
aif we change the orientation by interchanging
uand v).
34. By Gauss’s theorem. T can be represented by
r= [r cos u, r sin u, v],
where
0  r  1, 0  u  2
π
, 0  v  h.
The divergence of F is
div F = 1 + x + 1 = 2 + x = 2 + r cos u.
The integrand is (2 + r cos u)r. Integration over r from 0 to 1 gives 1 +
1
_
3
cos u.
Integration of this over u from 0 to 2
π
gives 2
π
. Integration of this over v from 0 to 
hgives the answer 2
π
h. Note that this is the integral of the term 2 in div F, whereas 
rcos u gives 0.
8
5
π
1
M
Instructor’s Manual
209
im10.qxd  9/21/05  12:49 PM  Page 209
C# PDF: PDF Document Viewer & Reader SDK for Windows Forms
page. AddPage: Prior to the currently displayed PDF page to add a blank page. DeletePage: Delete the currently displayed PDF page.
delete pages from a pdf reader; delete a page in a pdf file
To check this against Prob. 33, add to the answer 
π
hof Prob. 33 the contributions
of the disks D
h
: x
2
+y
2
1, z = h, and D
0
: x
2
+y
2
1, z = 0.
For D
h
we have
r= [r cos u, r sin u, h],
N= [0, 0, 1]
and furthermore,
F=
[
rcos u, r
2
cos u sin u, h
]
.
Hence F•N = h. Integration of this constant over x
2
+y
2
1 gives 
π
h. For D
0
we
obtain
r= [r cos u, r sin u, 0],
N= [0, 0, -1].
Hence
F•N =
[
rcos u, r
2
cos u sin u, 0
]
•[0, 0, -1] = 0
and we obtain the contribution 0. Together, 
π
h+
π
h= 2
π
h, in agreement with the
answer to Prob. 34.
210
Instructor’s Manual
im10.qxd  9/21/05  12:49 PM  Page 210
211
Part C. FOURIER ANALYSIS. PARTIAL
DIFFERENTIAL EQUATIONS (PDEs)
CHAPTER 11 Fourier Series, Integrals, and Transforms
Change
The first two sections are now combined into a single section, giving a better and somewhat
faster start, with more emphasis on the essential ideas and facts.
SECTION 11.1. Fourier Series, page 478
Purpose. To derive the Euler formulas (6) for the coefficients of a Fourier series (5) of
 given  function  of  period  2
π
 using  as  the  key  property  the  orthogonality  of  the
trigonometric system.
Main Content, Important Concepts
Periodic function
Trigonometric system, its orthogonality (Theorem 1)
Fourier series (5) with Fourier coefficients (6)
Representation by a Fourier series (Theorem 2)
Comment on Notation
If we write a
0
/2 instead of a
0
in (1), we must do the same in (6a) and see that (6a) then
becomes (6b) with n = 0. This is merely a small notational convenience (but may be a
source of confusion to poorer students).
Comment on Fourier Series
Whereas their theory is quite involved, practical applications are simple, once the student
has become used to evaluating integrals in (6) that depend on n.
Figure 257 should help students understand why and how a series of continuous terms
can have a discontinuous sum.
Comment on the History of Fourier Series
Fourier series were already used in special problems by Daniel Bernoulli (1700–1782) in
1748 (vibrating string, Sec. 12.3) and Euler (Sec. 2.5) in 1754. Fourier’s book of 1822
became  the  source  of  many  mathematical  methods  in  classical  mathematical  physics.
Furthermore, the surprising fact that Fourier series, whose terms are continuous functions,
may represent discontinuous functions led to a reflection on, and generalization of, the
concept of a function in general. Hence the book is a landmark in both pure and applied
mathematics. [That surprising fact also led to a controversy between Euler and D. Bernoulli
over the question  of whether the two  types of solution of the vibrating string problem
(Secs.  12.3  and  12.4)  are  identical;  for  details,  see  E.  T.  Bell,  The  Development  of
Mathematics, New York: McGraw-Hill, 1940, p. 482.] A mathematical theory of Fourier
series was started by Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805–1859) of Berlin in 1829. The
concept of the Riemann integral also resulted from work on Fourier series. Later on, these
series became the model case in the theory of orthogonal functions (Sec. 5.7). An English
translation of Fourier’s book was published by Dover Publications in 1955.
im11.qxd  9/21/05  12:33 PM  Page 211
212
Instructor’s Manual
SOLUTIONS TO PROBLEM SET 11.1, page 485
2. 2
π
, 2
π
π
π
, 2, 2, 1, 1
4. There is no smallest p > 0.
6. ƒ(x + p) = ƒ(x) implies
ƒ(ax + p) = ƒ(a[x + (p/a)]) = ƒ(ax) or g[x + (p/a)] = g(x),
where
g(x) = ƒ(ax).
Thus g(x) has the period p/a. This proves the  first statement. The other statement
follows by setting a = 1/b.
8.–12. These problems should familiarize the student with the kind of periodic functions,
some of them discontinuous, that occur in applications as driving forces in mechanics,
as boundary potentials in electrostatics or heat conduction, in high-frequency problems
in connection with filters, and so on. Functions of this type will occur throughout this
chapter and the next one.
14.
1
_
2
+
(sin x +
1
_
3
sin 3x +
1
_
5
sin 5x + • • •).
ƒ(x) -
1
_
2
is odd.
16.
(sinx -
1
_
9
sin 3x +
_
1
25
sin 5x - + • • •) +
1
_
2
sin2x -
1
_
4
sin 4x +
1
_
6
sin 6x - + • • •
18.
-
(cos x +
1
_
9
cos 3x +
_
1
25
cos 5x + • • •). See also Prob. 15.
20.
[(2 +
π
) sin x +
1
_
9
(-2 + 3
π
) sin 3x +
_
1
25
(2 + 5
π
) sin 5x + • • •]
-
1
_
2
sin 2x -
1
_
4
sin 4x -
1
_
6
sin 6x - • • •
22.
4
_
3
π
2
+4(cos x +
1
_
4
cos 2x +
1
_
9
cos 3x + • • •)
- 4
π
(sin x +
1
_
2
sin 2x +
1
_
3
sin 3x + • • •)
24. 2
π
-
(cos x +
1
_
9
cos 3x +
_
1
25
cos 5x + • • •)
26. CAS Experiment. Experimental approach to Fourier series. This should help the
student obtain a feel for the kind of series to expect in practice, and for the kind and
quality of convergence, depending on continuity properties of the sum of the series.
(a) ƒ(x) = x has discontinuities at ±
π
. The instructor will notice the beginning of
the  Gibbs  phenomenon (to  be  discussed  in  Problem  Set  11.2)  at  the  points  of
discontinuity.
(b) ƒ(x) = 1 + x/
π
if  -
π
< x < 0  and  1  - x/
π
if  0  < x <
π
, is continuous
throughout, and the accuracy is much better than in (a).
(c) ƒ(x) =
π
2
-x
2
has about the same continuity as (b), and the approximation is
good.
The coefficients in (a) involve 1/n, whereas those in (b) and (c) involve 1/n
2
. This
is typical. See also CAS Experiment 27.
28. Project. Integrate  by  parts. a
0
is obtained  as before. The  formulas  extend  to  any
function for which the derivatives are identically zero from some derivative on. Jumps
may occur at points where the representation of ƒ(x) changes, and at the ends ±
π
of
the interval. Accordingly, we write the integral in the Euler formula for a
n
as a sum
of integrals,
π
a
n
=
π
π
ƒ cos nx dx =
x
1
x
0
+
x
2
x
1
+• • • +
x
m
x
m1
=
m
s=1
x
s
x
s1
ƒ cos nx dx
16
π
1
π
4
π
π
2
2
π
2
π
im11.qxd  9/21/05  12:33 PM  Page 212
Instructor’s Manual
213
where x
0
=-
π
and x
m
=
π
. Integration by parts gives
x
s
x
s-1
ƒ cos nx dx =
sin nxj
x
s
x
s1
-
x
s
x
s-1
ƒ
sin nx dx.
Now comes an important point: the evaluation of the first expression on the right.
ƒ(x) may be discontinuous at x
s
and we have to take the left-hand limit ƒ(x
s
-0) of
ƒ at x
s
. Similarly, at x
s1
we have to take the right-hand limit ƒ(x
s1
+0). Hence the
first expression on the right equals
[ƒ(x
s
-0) sin nx
s
-ƒ(x
s1
+0) sin nx
s1
].
Consequently, by inserting this into a
m
and using the short notations S
0
=sin nx
0
,
S
1
=sin nx
1
, etc., we obtain
π
a
n
=
[ƒ(x
1
-0)S
1
-ƒ(x
0
+0)S
0
+ƒ(x
2
-0)S
2
-ƒ(x
1
+0)S
1
+• • • + ƒ(x
m
-0)S
m
-ƒ(x
m1
+0)S
m1
]
-
m
s=1
x
s
x
s1
ƒ
sin nx dx.
Collecting terms with the same S the expression in brackets becomes
-ƒ(x
0
+0)S
0
+[ƒ(x
1
-0) - ƒ(x
1
+0)]S
1
+[ƒ(x
2
-0) - ƒ(x
2
+0)]S
2
+• • • + ƒ(x
m
-0)S
m
.
The expressions in the brackets are the jumps of ƒ, multiplied by -1. Furthermore,
because of periodicity, S
0
=S
m
and ƒ(x
0
) = ƒ(x
m
), so that we may combine the first
and the last term,
-j
1
S
1
-j
2
S
2
-• • • - j
m
S
m
,
and we therefore have the intermediate result
π
a
n
=-
m
s=1
j
s
sin nx
s
-
m
s=1
x
s
x
s1
ƒ
sin nx dx.
By applying the same procedure to the integrals on the right we find
m
s=1
x
s
x
s1
ƒ
sin nx dx =
m
s=1
j
s
cos nx
s
+
m
s=1
x
s
x
s1
ƒ
cos nx dx.
By applying the procedure once more, namely, to the integral on the right, we obtain
the “jump formula” for a
n
. For the b
n
the process is the same. If a derivative of ƒ
higher than the second is not identically zero, we have to do additional steps. The
number of steps is finite as long as ƒ(x) is piecewise polynomial. For other functions,
since  partial  integration  brings  in  increasingly  higher  powers  of  1/n,  it  may  be
worthwhile to investigate  what happens if one terminates the process prematurely,
after finitely many steps.
30. CAS Experiment. The student should recognize the importance of the interval in
connection with orthogonality,  which  is the  basic  concept in the  derivation of  the
Euler formulas.
For instance, for sin 3x sin 4x the integral equals sin a -
1
_
7
sin 7a, and the graph
suggests orthogonality for a =
π
, as expected.
1
n
1
n
1
n
1
n
1
n
1
n
1
n
1
n
ƒ
n
im11.qxd  9/21/05  12:33 PM  Page 213
Documents you may be interested
Documents you may be interested