c# pdf reader dll : Delete pages pdf file application SDK tool html wpf windows online solution_manual_of_advanced_engineering_mathematics_by_erwin_kreyszig_9th_edition-127-part226

10. 1, by applying Theorem 3 to z
n+m
14. Set ƒ = √
n
n
and apply l’Hôpital’s rule to ln ƒ,
lim
n*
ln ƒ = lim
n*
=lim
n*
=0.
Hence
lim
n*
ƒ = 1.
16. This is a useful formula for binomial coefficients. It follows from
(1 + z)
p
(1 + z)
q
=
p
n=0
( )z
n
q
m=0
( )z
m
=(1 + z)
p+q
=
p+q
r=0
(
)z
r
by equating the coefficients of z
r
on both sides. To get z
n
z
m
=z
r
on the left, we
must have n + m = r; thus m = r - n, and this gives the formula in the problem.
18. The odd-numbered coefficients are zero because ƒ(-z) = ƒ(z) implies
a
2m+1
(-z)
2m+1
=-a
2m+1
z
2m+1
=a
2m+1
z
2m+1
.
20. Team Project. (a) Division of the recursion relation by a
n
gives
=l +
.
Take the limit on both sides, denoting it by L:
L= 1 +
.
Thus L
2
-L - 1 = 0, L = (1 + √5
)/2 = 1.618, an approximate value reached after
just ten terms.
(b) The list is
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233.
In the recursion, a
n
is the number of pairs of rabbits present and a
n1
is the number
of pairs of offsprings from the pairs of rabbits present at the end of the preceding
month.
(c) Using the hint, we calculate
(1 - z - z
2
n=0
a
n
z
n
=
n=0
(a
n
-a
n1
-a
n2
)z
n
=1
where a
1
=a
2
=0, and Theorem 2 gives a
0
=1, a
1
-a
0
=0,
a
n
-a
n1
-a
n2
=0 for n = 2, 3, • • • . The converse follows from the uniqueness
of a power series representation (see Theorem 2).
SECTION 15.4. Taylor and Maclaurin Series, page 683
Purpose. To derive and explain Taylor  series,  which include those for  real functions
known from calculus as special cases.
Main Content
Taylor series (1), integral formula (2) for the coefficients
Singularity, radius of convergence
1
L
a
n-1
a
n
a
n+1
a
n
p+ q
r
q
m
p
n
1/n
1
ln n
n
264
Instructor’s Manual
im15.qxd  9/21/05  12:56 PM  Page 264
Delete pages pdf file - remove PDF pages in C#.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
Provides Users with Mature Document Manipulating Function for Deleting PDF Pages
delete page pdf acrobat reader; delete pages on pdf online
Delete pages pdf file - VB.NET PDF Page Delete Library: remove PDF pages in vb.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
Visual Basic Sample Codes to Delete PDF Document Page in .NET
delete page on pdf file; delete blank pages in pdf
Maclaurin series for e
z
, cos z, sin z, cosh z, sinh z, Ln (1 + z)
Theorem 2 connecting Taylor series to the last section
Comment
The series just mentioned, with z = x, are familiar from calculus.
SOLUTIONS TO PROBLEM SET 15.4, page 690
2. 1 + z
3
+z
6
+z
9
+• • • , R = 1, geometric series
4. cos
2
z=
1
_
2
+
1
_
2
cos 2z = 1 - z
2
+
1
_
3
z
4
-
_
2
45
z
6
+
_
1
315
z
8
-+ • • • , R = ∞
6. 1 - (z - 1) + (z - 1)
2
-(z - 1)
3
+- • • • , R = 1
8. Ln (1 - i) - (
1
_
2
+
1
_
2
i)(z - i) -
1
_
4
i(z - i)
2
+(
_
1
12
-
_
1
12
i)(z - i)
3
+• • • , R = √2
.
This series is similar to that mentioned in the text preceding Theorem 2.
10. The series is
ƒ = z +
z
3
+
z
5
+
z
7
+• • • , R = ∞.
It can be obtained in several ways. (a) Integrate the Maclaurin series of the integrand
termwise  and  form  the  Cauchy  product  with  the  series  of  e
z2
 (b)  ƒ  satisfies 
the differential equation ƒ
=2zƒ + 1. Use  this, its derivatives ƒ
=2(ƒ + zƒ
), 
etc., ƒ(0)  = 0,  ƒ
(0) = 1, etc.,  and  the  coefficient formulas in  (1). (c)  Substitute
ƒ  =
n=0
a
n
z
n
and  ƒ
=
n=0
na
n
z
n1
into  the  differential  equation  and  compare
coefficients; that is, apply the power series method (Sec. 5.1).
12. (z - 2i) +
(z - 2i)
3
+
(z - 2i)
5
+• • • , R = ∞
14. z -
+
-
+- • • • ; R = ∞
16. z -
+
-
+- • • • ; R = ∞
18. First of all, since sin (w + 2
π
) = sin w and sin (
π
-w) = sin w, we obtain all values
of sin w by letting w vary in a suitable vertical strip of width 
π
, for example, in the
strip -
π
/2  u 
π
/2. Now since
sin (
-iy) = sin (
+iy) = cosh y
and
sin (-
-iy) = sin (-
+iy) = -cosh y,
we have to exclude a part of the boundary of that strip, so we exclude the boundary
in the lower half-plane. To solve our problem we have to show that the value of the
series lies in that strip. This follows from z < 1 and
jRe (z +
+• • •)j  jz +
+• • •j  z +
+• • •
=arcsin z <
.
π
2
z
3
3
1
2
z
3
3
1
2
z
3
3
1
2
π
2
π
2
π
2
π
2
z
13
6!13
z
9
4!9
z
5
2!5
z
7
7!7
z
5
5!5
z
3
3!3
1
5!
1
3!
2
3

1• 3 • 5 • 7
2
2
1• 3 • 5
2
1• 3
Instructor’s Manual
265
im15.qxd  9/21/05  12:56 PM  Page 265
C# PDF File & Page Process Library SDK for C#.net, ASP.NET, MVC
Deleting Pages. You may feel free to define some continuous PDF pages and delete. Certainly, random pages can be deleted from PDF file as well. Sorting Pages.
delete pdf pages online; reader extract pages from pdf
C# PDF Page Insert Library: insert pages into PDF file in C#.net
document files by C# code, how to rotate PDF document page, how to delete PDF page using C# .NET, how to reorganize PDF document pages and how
delete page pdf online; delete pages on pdf
20. Team Project. (a) (Ln (1 + z))
=1 - z + z
2
-z
3
+- • • • =
.
(c) For y  0 the series
=
n=0
(iy)
2n
=
n=0
y
2n
has positive terms; hence its sum cannot be 0.
SECTION 15.5. Uniform Convergence. Optional, page 691
Purpose. To explain the concept of uniform convergence. To show that power series have
the advantage that they converge uniformly (exact formulation in Theorem 1). To discuss
properties of general uniformly convergent series.
Main Content
Uniform convergence of power series (Theorem 1)
Continuous sum (Theorem 2)
Termwise integration (Theorem 3) and differentiation (Theorem 4)
Weierstrass test for uniform convergence (Theorem 5)
The test in Theorem 5 is very simple, conceptually and technically in its application.
SOLUTIONS TO PROBLEM SET 15.5, page 697
2. This Maclaurin series of sinh z converges uniformly on every bounded set.
4. sin
n
π
z  1, 1/(n(n + 1))  < 1/n
2
,  and  ∑ 1/n
2
converges. Use  the  Weierstrass 
M-test.
6. z
n
 1, 1/(n
2
cosh nz)  1/n
2
, and ∑ 1/n
2
converges.
8. cos nz  1 and ∑ 1/n
2
converges.
10. This Taylor series of cosh z with center i converges uniformly on every bounded set.
12. z -
1
_
2
i 
1
_
2
-
(
>0)
14. z  1/√3
-
(
>0)
16. This Maclaurin series of cos z converges uniformly on every bounded set.
18. Team Project. (a) Convergence follows from the comparison test (Sec. 15.1). Let
R
n
(z) and R
n
* be the remainders of (1) and (5), respectively. Since (5) converges, for
given 
>0 we can find an N(
) such that R
n
* <
for all n > N(
). Since ƒ
m
(z)  M
m
for all z in the region G, we also have R
n
(z)  R
n
* and therefore R
n
(z) <
for all
n> N(
) and all z in the region G. This proves that the convergence of (1) in G is
uniform.
(b) Since ƒ
0
1
+• • • converges uniformly, we may integrate term by term, and
the resulting series has the sum F(z), the integral of the sum of that series. Therefore,
the latter sum must be F
(z).
(c) The converse is not true.
(d) Noting  that this  is a geometric series  in  powers  of q = (1 + z
2
)
1
,  we  have 
q= 1 + z
2
1
<1, 1 < 1 + z
2
2
=(1 + x
2
-y
2
)
2
+ 4x
2
y
2
, the exterior of a
lemniscate. The series converges also at z = 0.
1

(2n + 1)!
(-1)
n

(2n + 1)!
sin iy
iy
1
1 + z
266
Instructor’s Manual
im15.qxd  9/21/05  12:56 PM  Page 266
VB.NET PDF Page Insert Library: insert pages into PDF file in vb.
Moreover, you may use the following VB.NET demo code to insert multiple pages of a PDF file to a PDFDocument object at user-defined position.
cut pages from pdf; delete page numbers in pdf
C# PDF File Split Library: Split, seperate PDF into multiple files
note, PDF file will be divided from the previous page of your defined page number which starts from 0. For example, your original PDF file contains 4 pages.
delete page pdf file reader; delete pdf pages reader
(e) We obtain (add and subtract 1)
x
2
m=1
=x
2
(-1 +
m=0
)
=-x
2
+
=-x
2
+1 + x
2
=1.
20. We obtain
B
n
=
j
L
0
ƒ(x) sin
dxj <
ML
where M is such that ƒ(x) < M on the interval of integration. Thus
B
n
< K (= 2M).
Now when t  t
0
>0,
u
n
= jB
n
sin
e
n
2t
j< Ke
n
2t
0
because jsin
j 1 and the exponential function decreases in a monotone fashion
as t increases. From this,
j
j= -
n
2
u
n
=
n
2
u
n
<
n
2
Ke
n
2t
0
when t  t
0
.
Consider
n=1
n
2
Ke
n
2t
0
.
Since 
n
=
, for the test ratio we have
=(
)
2
exp [-(2n + 1)(
)
2
t
0
]
*
0
as n * ∞, and the series converges. From this and the Weierstrass test it follows that
converges uniformly and, by Theorem 4, has the sum 
, etc.
SOLUTIONS TO CHAP. 15 REVIEW QUESTIONS AND PROBLEMS, page 698
12.
1
_
2
, Ln (1 + 2z)
14. ∞, cos √z
16. ∞, sin (z - 2)
18. ∞, cosh 2z
20. 5, (1 -
)
1
22. Ln 2 +
-
+
-+ • • • , R = 2
(z - 2)
3
8• 3
(z - 2)
2
4• 2
z- 2
2• 1
z- i
3 + 4i
u
t
u
n
t
c
π
L
n+ 1
n
2
n+1
Kexp (-
2
n+1
t
0
)

n
2
Kexp (-
n
2
t
0
)
cn
π
L
u
n
t
n
π
x
L
n
π
x
L
2
L
n
π
x
L
2
L
x
2

1 -
1+
1
x
2
1

(1 + x
2
)
m
1

(1 + x
2
)
m
Instructor’s Manual
267
im15.qxd  9/21/05  12:56 PM  Page 267
VB.NET PDF File Compress Library: Compress reduce PDF size in vb.
size, images size reducing can help to reduce PDF file size effectively will also take up too much space, glyph file unreferenced can Delete unimportant contents
copy pages from pdf to another pdf; delete pages out of a pdf file
C# PDF File Compress Library: Compress reduce PDF size in C#.net
Compress large-size PDF document of 1000+ pages to smaller one in a Delete unimportant contents: C# Demo Code to Optimize An Exist PDF File in Visual C#.NET
delete pdf page acrobat; delete pages pdf file
24. k + 3k
2
(z - 1 - i) + 3
2
k
3
(z - 1 - i)
2
+• • • , k = (1 + 3i)/10, R =
1
_
3
√10
26. -1 - 2i(z - i) + 3(z - i)
2
+4i(z - i)
3
-5(z - i)
4
-• • • , R = 1
28. The Maclaurin series of the integrand is
1 +
t+
t
2
+
t
3
+• • • , R = ∞.
Termwise integration from 0 to z gives
z+
1
_
4
z
2
+
_
1
18
z
3
+
_
1
96
z
4
+
_
1
600
z
5
+• • • , R = ∞.
30.
-
cos 2z = z
2
-
+
-+ • • • , R = ∞
2
5
z
6
6!
2
3
z
4
4!
1
2
1
2
1
4!
1
3!
1
2!
268
Instructor’s Manual
im15.qxd  9/21/05  12:56 PM  Page 268
VB.NET PDF File Split Library: Split, seperate PDF into multiple
Split PDF File by Number of Pages Demo Code in VB.NET. This is an VB.NET example of splitting a PDF file into multiple ones by number of pages.
delete pdf pages in reader; add and delete pages in pdf online
C# PDF File Merge Library: Merge, append PDF files in C#.net, ASP.
Professional C#.NET PDF SDK for merging PDF file merging in Visual Studio .NET. Free online C#.NET source code for combining multiple PDF pages together in .NET
delete pages in pdf; delete pages from pdf online
269
CHAPTER 16 Laurent Series. Residue Integration
This is another powerful and elegant integration method that has no analog in calculus.
It uses Laurent series (roughly, series of positive and negative powers of z), more precisely,
it  uses  just a single term of such a series (the term in 1/(z - z
0
), whose coefficient is
called the residue of the sum of the series that converges near z
0
).
SECTION 16.1. Laurent Series, page 701
Purpose. To define Laurent series, to investigate their convergence in an annulus (a ring,
in contrast to Taylor series, which converge in a disk), to discuss examples.
Major Content, Important Concepts
Laurent series
Convergence (Theorem 1)
Principal part of a Laurent series
Techniques of development (Examples 1–5)
SOLUTIONS TO PROBLEM SET 16.1, page 707
2. z -
+
-+ • • • , 0 < z < R = ∞
4.
(1 +
+
+
+• • •) =
+2 +
z
2
+
z
4
+• • • ,
0 < z < R = ∞
6. We obtain
e
z
=
m=0
n=0
z
n
=
n=0
(
n
m=0
)z
n
=
+
+
+
z+
z
2
+• • • , 0 < z < R = 1.
8. Successive differentiation and use of cos
1
_
4
π
=sin
1
_
4
π
=1/√2
gives
Y
+
-
-
+
+• • •
Z
,
R= ∞.
This can also be obtained from
sin z = sin [(z -
)+
]=
[sin (z -
)+ cos (z -
)]
and substitution of the usual series on the right.
π
4
π
4
1
√2
π
4
π
4
z-
π
4
4!
1
3!
1

2!(z -
π
4
)
1

(z -
π
4
)
2
1

(z -
π
4
)
3
1
√2
65
24
8
3
5
2
2
z
1
z
2
1
m!
1
z
2
z
m
m!
1
z
2
1
1 - z
1
z
2
4
45
2
3
1
z
2
(2z)
6
6!
(2z)
4
4!
(2z)
2
2!
1
z
2
1
24z
3
1
2z
im16.qxd  9/21/05  1:05 PM  Page 269
270
Instructor’s Manual
10.
n=0
(z -
π
)
2n4
=-
+
-
+
(z -
π
)
2
-+ • • • , 0 < z < R = ∞
12.
-
-3i + (z + i)
14.
n=0
=z +
+
+• • • , 0 < z < R = ∞
16. We obtain
`
n=0
(z - 1)
n1
, 0 < z - 1 < 2,
=
=
=
=
`
n=0
, z - 1 > 2
18.
n=0
(-1)
n
(z - 1)
n
, 0 < z - 1 < 1,
n=0
, z - 1 > 1
20.
n=0
(z - 1)
n4
, a
n
=sinh 1 (n even), a
n
=cosh 1 (n odd), z - 1 > 0
22.
=
=
`
n=0
(
)
, z - i < 1,
=
=
n=0
(
)
, z - i > 1
24. Team Project. (a) Let 
a
n
(z - z
0
)
n
and 
c
n
(z - z
0
)
n
be two Laurent series of
the same function ƒ(z) in the same annulus. We multiply both series by (z - z
0
)
k1
and integrate along a circle with center at z
0
in the interior of the annulus. Since the
series converge uniformly, we may integrate term by term. This yields 2
π
ia
k
=2
π
ic
k
.
Thus, a
k
=c
k
for all k = 0, ±1, • • • .
(b) No, because tan (1/z) is singular at 1/z = ±
π
/2, ±3
π
/2, • • • , hence at z = ±2/
π
,
±2/3
π
,• • • , which accumulate at 0.
(c) These series are obtained by termwise integration of the integrand. The second
function is Si(z)/z
3
, where Si(z) is the sine integral [see (40) in App. A.31]. Answer:
+
+
+
+• • • ,
-
+
-+ • • • .
z
2
5!5
1
3!3
1
z
2
z
2
4!4
z
3!3
1
2!2
1
z
i
n

(z - i)
n+2
-2
n
1

(z - i)
2
(1 +
z-
i
i
)
2
1
z
2
(z - i)
n
i
n+2
-2
n
1

[i + (z - i)]
2
1
z
2
a
n
n!
(-1)
n

(z - 1)
n+1
(-1)
n+1
2
n

(z - 1)
n+2
-1

(z - 1)
2
(1 +
z-
2
1
)
-1

(z - 1)
2
+2(z - 1)
1

1 - (z - 1 + 1)
2
1
1 - z
2
(-1)
n+1
2
n+1
1
120z
3
1
6z
1

(2n + 1)!z
2n1
3
z+ i
i
(z + i)
2
1
6!
1
4!
1

2!(z -
π
)
2
1
(z -
π
)
4
(-1)
n+1
(2n)!
im16.qxd  9/21/05  1:05 PM  Page 270
Instructor’s Manual
271
SECTION 16.2. Singularities and Zeros. Infinity, page 707
Purpose. Singularities just appeared in connection with the convergence of Taylor and
Laurent  series  in  the  last  sections,  and  since  we  now  have  the  instrument  for  their
classification and discussion (i.e., Laurent series), this seems the right time for doing so.
We also consider zeros, whose discussion is somewhat related.
Main Content, Important Concepts
Principal part of a Laurent series convergent near a singularity
Pole, behavior (Theorem 1)
Isolated essential singularity, behavior (Theorem 2)
Zeros are isolated (Theorem 3)
Relation between poles and zeros (Theorem 4)
Point ∞, extended complex plane, behavior at ∞
Riemann sphere
SOLUTIONS TO PROBLEM SET 16.2, page 711
2. 0 (pole of second order), ∞ (simple pole)
4. 1 (essential singularity), ∞ (pole of third order)
6.
π
/4 ± n
π
(simple  poles).  These  are  the  points where  the sine  and  cosine curves
intersect. They have a  different  tangent there,  hence their  difference cos z - sin z
cannot have a zero derivative at those points; accordingly, those zeros are simple and
give simple poles of the given function. To make sure that no further zeros of cos z
-sin z exist, one must calculate
cos z - sin z = (
-
)e
iz
+(
+
)e
iz
=0,
and by simplification,
e
2iz
=i,
z=
±n
π
,
n= 0, 1, • • • ,
so that we get no further solutions beyond those found by inspecting those two curves.
8. 0 (third-order pole). This problem emphasizes that the order of a pole is determined
by the highest negative power, regardless of other terms (which may or may not be
present).
10. 1, ∞ (essential singularities), ±2n
π
i(n = 0, 1, • • • , simple poles)
12. For z small enough we have 1 + z > 1/√2
, 1 - z > 1/√2
; hence
1 - z
2
= 1 + z 1 - z > 1/2
and
j
-
j=
j1 - z
2
j>
*
as
z * 0.
This motivates the proof.
1
2z
3
1
z
3
1
z
1
z
3
π
4
1
2i
1
2
1
2i
1
2
im16.qxd  9/21/05  1:05 PM  Page 271
272
Instructor’s Manual
To prove the theorem, let ƒ(z) have a pole of mth order at some point z = z
0
.
Then
ƒ(z) =
+
+• • •
=
[1 +
(z - z
0
) + • • •] ,
b
m
0.
For given M > 0, no matter how large, we can find a 
>0 so small that
>2M
and
j[1 +
(z - z
0
) + • • •]j >
for all z - z
0
<
. Then
ƒ(z) >
>M.
Hence ƒ(z) * ∞ as z * z
0
.
14. z
4
=16 has the solutions ±2 and ±2i. Because of the other exponent 4 this gives
zeros of fourth order.
16. (
1
_
2
±n)
π
i(second order) because
cosh z =
1
_
2
(e
z
+e
z
) = 0;
hence
e
2z
=-1
and this implies
2z = Ln (-1) ± 2n
π
i= (1 ± 2n)
π
i
so that z has the values given at the beginning.
18. ±1 (second order), (±1 ± i)√n
π
(simple) because
e
z2
=1,
z
2
=Ln 1 ± 2n
π
i= ±2n
π
i;
hence
z= √±2n
π
i
√2n
π
.
20.
1
_
2
π
±2n
π
(n = 0, 1, • • •), sixth order, since
(sin z - 1)
=cos z = 0
at those points.
22. e
z
-e
2z
=e
z
(1 - e
z
) = 0, e
z
=1, z = Ln 1 ± 2n
π
i= ±2n
π
i. These zeros are
simple because (e
z
-1)
=e
z
0 for all z.
24. Team Project. (a) ƒ(z) = (z - z
0
)
n
g(z) gives
ƒ
(z) = n(z - z
0
)
n1
g(z) + (z - z
0
)
n
g
(z)
which implies the assertion because g(z
0
)  0.
(b) ƒ(z) as in (a) implies 1/ƒ(z) = (z - z
0
)
n
h(z), where h(z) = 1/g(z) is analytic at
z
0
because g(z
0
)  0.
(c) ƒ(z) - k = 0 at those points. Apply Theorem 3.
(d) ƒ
1
(z) - ƒ
2
(z) is analytic in D and zero at each z
n
. Hence its zeros are not isolated
because that sequence converges. Thus it must be constant, since otherwise it would
contradict Theorem  3. And  that constant must  be  zero because  it  is zero  at  those
points. Thus ƒ
1
(z) and ƒ
2
(z) are identical in D.
1 ± i
√2
1
2
b
m
m
1
2
b
m1
b
m
b
m
m
b
m1
b
m
b
m

(z - z
0
)
m
b
m1

(z - z
0
)
m1
b
m

(z - z
0
)
m
im16.qxd  9/21/05  1:05 PM  Page 272
Instructor’s Manual
273
SECTION 16.3. Residue Integration Method, page 712
Purpose. To explain and apply this most elegant integration method.
Main Content, Important Concepts
Formulas for the residues at poles (3)–(5)
Residue theorem (several singularities inside the contour)
Comment
The extension from the case of a single singularity to several singularities (residue theorem)
is immediate.
SOLUTIONS TO PROBLEM SET 16.3, page 717
2. -8
4. The residue at z = 0 is 0 because (cos z)/z
6
contains only even powers.
6. z
2
-z = z(z - 1), simple poles at 0 and 1, and (4) gives
Res
z=0
=
j
z=0
=-1,
Res
z=1
=
j
z=1
=2.
8. (-1)
n+1
(at  z = (2n + 1)
π
/2)  because  the  simple  zeros  of  cos z at  the  points
z= z
n
=(2n + 1)
π
/2 give simple poles of sec z, and (4) yields
j
z
n
=
j
z
n
=(-1)
n+1
.
10. Simple poles at ±1 and ±i. In (4) we have p(z)/q
(z) = 1/12z
3
. Hence the values of
the residues are ±1/12 and ±i/12, respectively.
12. Simple poles at ±1 and ±i, residues ±
1
_
4
and 
1
_
4
i, respectively.
14. Third-order pole at z = 0. No further singularities in the finite plane. Multiplying the
Maclaurin series of sin
π
zby 1/z
4
gives the Laurent series
(
π
z-
(
π
z)
3
+- • • •) =
-
π
3
+- • • • .
Hence the residue is -
π
3
/6. Answer: -
π
4
i/3.
16. sinh z = 0  at  0,  ±
π
i,  ±2
π
i,  • • • .  Hence  sinh
1
_
2
π
z = 0  at  0  (inside  C),
±2i, ±4i, • • • (all outside C). These are simple poles, and (4) gives the residue
Res
z=0
=
=
.
Hence the answer is 2
π
i• (2/
π
) = 4i.
18. Simple poles at z
0
= ±
1
_
2
and  ±
3
_
2
inside  C and  infinitely  many others outside  C.
Formula (4) gives the residues (sin z
0
)/(-
π
sin z
0
) = -1/
π
. Hence the answer is
2
π
i• 4 • (-1/
π
) = -8i.
20. Simple pole at 0, residue [by (4)]
=1.
Answer: 2
π
i.
cosh z
(sinh z)
2
π
1

1
_
2
π
cosh 0
1
sinh
1
_
2
π
z
1
6z
π
z
3
1
3!
1
z
4
-1
sin z
1
(cos z)
z
2
+1
2z - 1
z
2
+1
z
2
-z
z
2
+1
2z - 1
z
2
+1
z
2
-z
im16.qxd  9/21/05  1:05 PM  Page 273
Documents you may be interested
Documents you may be interested