c# pdf reader dll : Cut pages from pdf preview software control dll windows web page html web forms solution_manual_of_advanced_engineering_mathematics_by_erwin_kreyszig_9th_edition-129-part228

SECTION 17.4. Conformal Mapping by Other Functions, page 742
Purpose. So far we have discussed mapping properties of z
n
, e
z
, and linear fractional
transformations. We now add to this a discussion of trigonometric and hyperbolic functions.
SOLUTIONS TO PROBLEM SET 17.4, page 745
2. Quarter-annulus 1/e  w  1 in the first quadrant 0  arg w 
π
/2
4. e
3
<w < e
3
π
/4 < arg w < 3
π
/4
6. Right half of the interior of the unit circle w < 1, -
π
/2 < arg w <
π
/2, without the
segment on the v-axis
10. The  region  in  the  right  half-plane  bounded  by  the  v-axis  and  the  hyperbola 
4u
2
-
4
_
3
v
2
=1 because
sin z = u + iv = sin x cosh y + i cos x sinh y
reduces to
sin iy = i sinh y
when x = 0; thus u = 0 (the v-axis) is the left boundary of that region. For x =
π
/6
we obtain
sin (
π
/6 + iy) = sin (
π
/6) cosh y + i cos (
π
/6) sinh y;
thus
u=
1
_
2
cosh y,
v=
1
_
2
√3
sinh y
and we obtain the right boundary curve of that region from
1 = cosh
2
y- sinh
2
y= 4u
2
-
4
_
3
v
2
,
as asserted.
12. The region in the upper half-plane bounded by portions of the u-axis, the ellipse
u
2
/cosh
2
3 + v
2
/sinh
2
3 = 1 and the hyperbola u
2
-v
2
=
1
_
2
.
Indeed, for x = ±
π
/4 we get (see the formula for sin z in the solution to Prob. 10)
sin (±
1
_
4
π
+iy) = sin (±
1
_
4
π
)cosh y + i cos (±
1
_
4
π
)sinh y
=±(1/√2
)cosh y + i(1/√2
)sinh y
and from this
1 = cosh
2
y- sinh
2
y= 2u
2
-2v
2
,
thus
u
2
-v
2
=
1
_
2
.
For y = 0 we get v = 0 (the u-axis).
For y = 3 we get
u= sin x cosh 3,
v= cos x sinh 3;
hence
1 = sin
2
x+ cos
2
x=
+
.
14. If x = c, then (see the formula for sin z in the solution to Prob. 10)
u= sin c cosh y,
v= cos c sinh y.
Hence if c = 0, then u = 0, so that the y-axis maps onto the v-axis.
If c =
1
_
2
π
, then v = 0, u  1. If c = -
1
_
2
π
, then v = 0, u  -1.
If c  0, ±
1
_
2
π
, ±
π
, • •• , then we obtain hyperbolas
-
=1.
v
2
cos
2
c
u
2
sin
2
c
v
2
sinh
2
3
u
2
cosh
2
3
284
Instructor’s Manual
im17.qxd  9/21/05  1:08 PM  Page 284
Cut pages from pdf preview - remove PDF pages in C#.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
Provides Users with Mature Document Manipulating Function for Deleting PDF Pages
delete blank page from pdf; pdf delete page
Cut pages from pdf preview - VB.NET PDF Page Delete Library: remove PDF pages in vb.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
Visual Basic Sample Codes to Delete PDF Document Page in .NET
delete page from pdf online; delete page in pdf reader
16. cosh z = cos (iz) = sin (iz +
1
_
2
π
)
18. Interior of the ellipse u
2
/cosh
2
2 + v
2
/sinh
2
2 = 1 in the fourth quadrant (which looks
almost like a quarter of a circular disk because the curves of the cosh and the sinh
eventually come close together).
20. The lower boundary segment maps onto cos 1  u  1 (v = 0). The left and right
boundary segments map onto portions of the hyperbola
-
=1.
The upper boundary segment maps onto a portion of the ellipse
+
=1.
22. The upper boundary maps onto the ellipse
+
=1
and the lower boundary onto the ellipse
+
=1.
Since 0 < x < 2
π
, we get the entire ellipses as boundaries of the image of the given
domain, which therefore is an elliptical ring.
Now the vertical boundaries x = 0 and x = 2
π
map onto the same segment
sinh
1
_
2
u  sinh 1
of the u-axis because for x = 0 and x = 2
π
we have
u= cosh y,
v= 0.
Answer: Elliptical annulus between those two ellipses and cut along that segment.
See the figure.
Section 17.4. Problem 22
24. The images of the five points in the figure in the text can be obtained directly from
the given function w.
v
2
sinh
21
_
2
u
2
cosh
21
_
2
v
2
sinh
2
1
u
2
cosh
2
1
v
2
sinh
2
1
u
2
cosh
2
1
v
2
sin
2
1
u
2
cos
2
1
Instructor’s Manual
285
im17.qxd  9/21/05  1:08 PM  Page 285
VB.NET PDF copy, paste image library: copy, paste, cut PDF images
Copy, paste and cut PDF image while preview without adobe reader component installed. Image resize function allows VB.NET users to zoom and crop image.
delete page in pdf online; delete page from pdf document
VB.NET PDF File Compress Library: Compress reduce PDF size in vb.
Remove bookmarks, annotations, watermark, page labels and article threads from PDF while compressing. Also a preview component enables compressing and
delete a page in a pdf file; delete pages pdf files
SECTION 17.5. Riemann Surfaces. Optional, page 746
Purpose. To introduce the idea and some of the simplest examples of Riemann surfaces,
on which multivalued relations become single-valued, that is, functions in the usual sense.
Short Courses. This section may be omitted.
SOLUTIONS TO PROBLEM SET 17.5, page 747
4. By the hint we have
w= √r
1
e
i
θ
1
/2
√r
2
e
i
θ
2
/2
=√r
1
r
2
e
i(
θ
1
+
θ
2
)/2
.
If we move from A in the first sheet (see the figure), we get into the second sheet at
B(dashed curve) and get back to A after two loops around the branch point 1 (of first
order).
Similarly for a loop around z = 2 (without encircling z = 1); this curve is not
shown in the figure.
If we move from C and back to C as shown, we do not cross the cut, we stay in
the same sheet, and we increase 
θ
1
and 
θ
2
by 2
π
each. Hence (
θ
1
+
θ
2
)/2 is increased
by 2
π
, and we have completed one loop in the w-plane. This makes it plausible that
two sheets will be sufficient for the present w and that the cut along which the two
sheets are joined crosswise is properly chosen.
Section 17.5. Problem 4
6. Branch points at ±1 and ±2, as shown in the figure, together with the cuts. If we
pass a single cut, we get into the other sheet. If we cross two cuts, we are back in the
sheet in which it started. The figure shows one path (A) that encircles two branch
points and stays entirely in one sheet. The path from B and back to B also encloses
two branch points, and since it crosses two cuts, part of it is in one sheet and part of
it is in the other.
A discussion in terms of coordinates as in Prob. 4 would be similar to the previous
one. Various other paths can be drawn and discussed in the figure.
Section 17.5. Problem 6
x
A
B
2
1
–1
0
–2
x
C
A
B
1
2
θ
2
θ
1
286
Instructor’s Manual
im17.qxd  9/21/05  1:08 PM  Page 286
C# PDF Page Insert Library: insert pages into PDF file in C#.net
applications. Support adding and inserting one or multiple pages to existing PDF document. Forms. Ability to add PDF page number in preview. Offer
delete pages from a pdf document; delete pages from pdf document
C# PDF remove image library: remove, delete images from PDF in C#.
VB.NET comment annotate PDF, VB.NET delete PDF pages, VB.NET Able to cut and paste image into another PDF Remove PDF image in preview without adobe PDF reader
delete pages from pdf acrobat reader; delete page in pdf document
8. 4i/3, infinitely many sheets
10. No branch points because e
z
is never zero; thus the two sheets are nowhere connected
with each other. Thus √e
z
represents two different functions, namely e
z/2
and -e
z/2
.
SOLUTIONS TO CHAP. 17 REVIEW QUESTIONS AND PROBLEMS, 
page 747
12. v = 2xy = -8
14. y = 0 maps onto the nonnegative real axis u = x
2
, v = 0. The other boundary y = 2
gives u = x
2
-4, v = 4x. Elimination of x gives the parabola
u= v
2
/16 - 4,
with apex at u = -4 and opening to the right.
Answer: The  domain to the  right of that  parabola  except for the  nonnegative 
u-axis.
16. The w-plane except for the positive real axis, as follows from the fact that angles are
doubled at the origin.
18. The image of the straight line y = 1 must lie inside the unit circle; hence it must be
a circle. The latter must pass through the image -i of i and through the image 0 of
∞. Hence the image must be the circle
w +
1
_
2
i =
1
_
2
.
By calculation this can be shown as follows. On the line y = 1 we have z = x + i,
hence
=
,
thus,
u=
,
v= -
.
From this we obtain
(v +
)
2
=(
-
)
2
=
.
It follows that
(v +
)
2
+u
2
=
=
,
in agreement with (1).
20. w > 2, v > 0 because the lower half-plane (y < 0) maps onto the upper half-plane
(v > 0).
22. u < 0, v < 0, w > 1 because the interior of the unit circle maps onto the exterior,
the left half-plane onto the left half-plane, and the upper half-plane onto the lower
half-plane.
24. ƒ
(z) = 2 sinh 2z = -2i sin 2iz = 0 if 2iz = ±n
π
, hence the answer is z = ±n
π
i/2,
n= 0, 1, 2, • • •.
26. z = ±√n
, ±i√n
, n = 0, 1, 2, •• •
28. ƒ
(z) = 1 - z
2
=0 at z = ±1. Applications of this function were considered in
Sec. 17.1, where z = ±1 played a basic role in the construction of an airfoil.
30. w = (z + 1)/z
1
4
(x
2
+1)
2

4(x
2
+1)
2
1
2
(x
2
-1)
2

4(x
2
+1)
2
1
x
2
+1
1
2
1
2
1
x
2
+1
x
x
2
+1
x- i
x
2
+1
1
x+ i
Instructor’s Manual
287
im17.qxd  9/21/05  1:08 PM  Page 287
VB.NET PDF url edit library: insert, remove PDF links in vb.net
Able to embed link to specific PDF pages in VB.NET Copy, cut and paste PDF link to another PDF file in Edit PDF url in preview without adobe PDF reader control.
delete pdf pages ipad; delete page from pdf preview
C# PDF File Split Library: Split, seperate PDF into multiple files
Separate PDF file into single ones with defined pages. Advanced component for splitting PDF document in preview without any third-party plug-ins
delete page on pdf reader; cut pages from pdf file
32. w = 1 + iz, a translation combined with a rotation
34. w = iz/(z - i)
36. ±i
38. ±1
40. ±3, ±3i
42. w = 5/z maps z = 1 onto w = 5 and the interior onto the exterior. Hence 
w+ 1 = 5/z will give the answer
w= -1 +
=
.
44. To map a semidisk onto a disk, we have to double angles; thus w = z
2
maps the given
semidisk onto the  unit disk  w  1,  and the exterior  is obtained by taking  the
reciprocal.
Answer: w = 1/z
2
.
5 - z
z
5
z
288
Instructor’s Manual
im17.qxd  9/21/05  1:08 PM  Page 288
VB.NET PDF File Split Library: Split, seperate PDF into multiple
Independent component for splitting PDF document in preview without using separate source PDF file to smaller PDF documents by every given number of pages.
delete page on pdf; delete pdf pages in preview
C# PDF insert image Library: insert images into PDF in C#.net, ASP
An independent .NET framework viewer component supports inserting image to PDF in preview without adobe PDF reader installed. Able
copy pages from pdf to word; delete page from pdf acrobat
CHAPTER 18 Complex Analysis and Potential Theory
This is perhaps the most important justification for teaching complex analysis to engineers,
and it also provides for nice applications of conformal mapping.
SECTION 18.1. Electrostatic Fields, page 750
Purpose.To show how complex analysis can be used to discuss and solve two-dimensional
electrostatic problems and to demonstrate the usefulness of complex potential, a major
concept in this chapter.
Main Content, Important Concepts
Equipotential lines
Complex potential (2)
Combination of potentials by superposition
The main reason for using complex methods in two-dimensional potential problems is the
possibility of using the complex potential, whose real and imaginary parts both have a
physical meaning, as explained in the text. This fact should be emphasized in teaching
from this chapter.
SOLUTIONS TO PROBLEM SET 18.1, page 753
2.  = 0.4x + 6.0 kV, F = 0.4z + 6.0
4.  is expected to be linear because of the boundary (two parallel straight lines). From
the boundary conditions and by inspection,
(x, y) = 100(y - x)/k.
This is the real part of the complex potential
F(z) = -100(1 + i)z/k.
The real potential can also be obtained systematically, starting from
(x, y) = ax + by + c.
By the first boundary condition, for y = x this is zero:
(1)
ax + bx + c = 0.
By the second boundary condition, for y = x + k this equals 100:
(2)
ax + b(x + k) + c = 100.
Subtract (1) from (2) to get
bk = 100,
b= 100/k.
Substitute this into (1) to get
ax +
x+ c = (a +
)x + c = 0.
100
k
100
k
289
im18.qxd  9/21/05  1:09 PM  Page 289
VB.NET PDF insert image library: insert images into PDF in vb.net
NET. An independent .NET framework component supports inserting image to PDF in preview without adobe PDF control installed. Access
delete pages from pdf file online; delete pages pdf online
C# Create PDF Library SDK to convert PDF from other file formats
Preview PDF documents without other plug-ins. The following example will tell you how to create a PDF document with 2 empty pages.
delete pages from a pdf; delete pages from pdf in preview
Since this is an identity in x, the coefficients must vanish, a = -100/k and c = 0.
This gives the above result.
6. We have
(r) = a ln r + b
and get from this and the two boundary conditions
(1) = b = 100
(10) = a ln 10 + b = a ln 10 + 100 = 1000.
Hence a = 900/ln 10, so that the answer is
(r) = (900 ln r)/ln 10 + 100.
8. (r) = 100 - (50/ln 10) ln r, F(z) = 100 - (50/ln 10) Ln z
10. w =
. w = 0 gives z = z
0
=-1 + i, Arg z
0
=3
π
/4. Hence at z
0
the
potential is (1/
π
)3
π
/4 = 3/4.
By considering the three given points and their images we see that the potential on
the unit circle in the w-plane is 0 for the quarter-circle in the first quadrant and 1 for
the other portion of the circle. This corresponds to a conductor consisting of two
portions of a cylinder separated by small slits of insulation at w = 1 and w = i, where
the potential jumps.
12. CAS Experiment. (a) x
2
-y
2
=c, xy = k
(b) xy = c, x
2
-y
2
=k; the rotation caused by the multiplication by i leads to the
interchange of the roles of the two families of curves.
(c) x/(x
2
+y
2
) = c gives (x - 1/(2c))
2
+y
2
=1/(4c
2
). Also, -y/(x
2
+y
2
) = k
gives the circles x
2
+(y+ 1/(2k))
2
=1/(4k
2
). All circles of both families pass through
the origin.
(d) Another interchange of the families, compared to (c), (y - 1/(2c))
2
+x
2
=1/(4c
2
),
(x - 1/(2k))
2
+y
2
=1/(4k
2
).
14.  = 110(x
3
-3xy
2
) = Re (110z
3
)
SECTION 18.2. Use of Conformal Mapping, page 754
Purpose. To show how  conformal  mapping helps in  solving  potential  problems  by
mapping given domains onto simpler ones or onto domains for which the solution of the
problem (subject to the transformed boundary conditions) is known.
The theoretical basis of this application of conformal mapping is given by Theorem 1,
characterizing the behavior of harmonic functions under conformal mapping.
Problem 10 gives a hint on possibilities of generalizing potential problems for which the
solution is known or can be easily obtained. The idea extends to more sophisticated situations.
SOLUTIONS TO PROBLEM SET 18.2, page 757
2. Figure 383 in Sec. 17.1 shows D (a semi-infinite horizontal strip) and D* (the upper
half of the unit circular disk); and  = e
x
cos y e
x
siny =
1
_
2
e
2x
sin 2y = 0 on y = 0
and y =
π
,and 
1
_
2
sin 2y on the vertical boundary x = 0 of D.
iz + 1 + i

z+ 1 + i
290
Instructor’s Manual
im18.qxd  9/21/05  1:09 PM  Page 290
6.  = 2 sin x cos x cosh y sinh y =
1
_
2
sin 2x sinh 2y = 0 if x = 0 or x =
1
_
2
π
or y = 0,
and 
1
_
2
sin 2x sinh 2 if y = 1.
8. Team Project. We map 0  r
0
, 2c  -r
0
, obtaining from (2) with b = z
0
the
conditions
r
0
=-
=z
0
,
-r
0
=
=
,
hence
r
0
=
(1 -
1 - 4c
2
).
r
0
is real for positive c
1
_
2
. Note that with increasing c the image (an annulus) becomes
slimmer and slimmer.
10. z = (2Z - i)/(-iZ - 2) by (3) in Sec. 17.3
12. ±i are fixed points, and straight lines are mapped onto circles (or straight lines). From
this the assertion follows. (Alternatively, it also follows very simply by setting x = 0
and calculating w.)
14. Apply w = z
2
.
SECTION 18.3. Heat Problems, page 757
Purpose. To show that previous examples and new ones can be interpreted as potential
problems in time-independent heat flow.
Comment on Interpretation Change
Boundary conditions of importance in one interpretation may be of no interest in another;
this is about the only handicap in a change of interpretation. Hence one should emphasize
that, in other words, whereas the unifying underlying theory remains the same, problems
of interest will change from field to field of application. This can be seen most distinctly
by comparing the problem sets in this chapter.
SOLUTIONS TO PROBLEM SET 18.3, page 760
2. By inspection,
T(x, y) = 5 + 7.5(y - x).
This is the real part of the complex potential
F(z) = 5 - 7.5(1 + i)z.
A systematic derivation is as follows. The boundary and boundary values suggest that
T(x, y) is linear in x and y,
T(x, y) = ax + by + c.
From the boundary conditions,
(1)
T(x, x - 2) = ax + b(x - 2) + c = -10
(2)
T(x, x + 2) = ax + b(x + 2) + c =
20.
By addition,
2ax + 2bx + 2c = 10.
1
2c
2c - r
0

2r
0
c- 1
2c - z
0

2z
0
c- 1
-z
0
-1
Instructor’s Manual
291
im18.qxd  9/21/05  1:09 PM  Page 291
Since this is an identity in x, we must have a = -b and c = 5. From this and (1),
-bx + bx - 2b + 5 = -10.
Hence b = 7.5. This agrees with our result obtained by inspection.
4. T(x, y) = 20 + (90/
π
)Arg z. This is quite similar to Example 3.
6. The lines of heat flow are perpendicular to the isotherms, and heat flows from higher
to lower temperatures. Accordingly, heat flows from the portion of higher temperature
of the unit circle Z = 1 to that kept at a lower temperature, along the circular arcs
that intersect the isotherms at right angles.
Of  course,  as  temperatures  on the  boundary  we  must  choose  values  that  are
physically possible, for example, 20°C and 300°C.
8. Team Project. (a) Arg z or Arg w is a basic building block when we have jumps in
the boundary values. To obtain Arg z or Arg w as the real part of an analytic function
(a logarithm), we have to multiply the logarithm by -i. Otherwise we just incorporate
the real constants that appear in T(x, y). Answer:
F*(w) = T
1
-i
Ln (w - a),
T*(u, v) = Re F*(w) = T
1
+
Arg (w - a).
(b) w - a = z
2
. Hence Arg (w - a) = Arg z
2
=2 Arg z. Thus (a) gives
T
1
+
(T
2
-T
1
)Arg z
and we see that T = T
1
on the x-axis and T = T
2
on the y-axis are the boundary
data.
Geometrically, the a in w = a + z
2
is a translation, and z
2
opens the quadrant up
onto the upper half-plane, so that the result of (a) becomes applicable and gives the
potential in the quadrant.
(c) T* =
Arg (w - 1) -
Arg (w + 1). This is the real part of
F*(w) = -i
[Ln (w - 1) - Ln (w + 1)].
On the u-axis both arguments are 0 for u > 1, one equals 
π
if -1 < u < 1, and both
equal 
π
, giving 
π
-
π
=0 if u < -1.
(d) The temperature is
T(x, y) =
Arg 
.
The boundary in Fig. 409 is mapped onto the u-axis; cosh x, 0  x < ∞, gives
u 1; cosh (x +
π
i) = -cosh x, 0  x < ∞, gives u < -1; the vertical segment
(x = 0) is mapped onto -1 < u < 1.
10. (200/
π
) Arg z. This is similar to Example 3.
12. T(x, y) satisfying the boundary conditions is obtained by adding 1 to the answer to
Team Project 8(d) and choosing T
0
=-1; thus
cosh z - 1

cosh z + 1
T
0
π
T
0
π
T
0
π
T
0
π
2
π
T
2
-T
1
π
T
2
-T
1
π
292
Instructor’s Manual
im18.qxd  9/21/05  1:09 PM  Page 292
T(x, y) = 100 -
Arg 
=100 -
Arg 
=100 -
Arg (tanh
)
=100 -
arctan 
.
In calculating these real and imaginary parts we use the abbreviations
Cx = cosh (x/2),
Sx = sinh (x/2)
and
cy = cos (y/2),
sy = sin (y/2).
Then
tanh  =
.
We  now  multiply  both  numerator  and  denominator  by  the  conjugate  of  the
denominator. The numerator of the resulting expression is
N= (Sx cy + i Cx sy)(Cx cy - i Sx sy).
Its real part is
Re N = Sx cy Cx cy + Cx Sx sy
2
=Cx Sx =
1
_
2
sinh x.
Its imaginary part is
Im N = -Sx
2
cy sy + Cx
2
sy cy = cy sy =
1
_
2
sin y.
Hence the answer in its simplest form is
T(x, y) = 100 -
arctan
.
14. The answer is
[
Arg (z
2
-1) - Arg (z
2
+1)
]
because w = z
2
maps the first quadrant onto the upper half-plane with 1  1 and
i -1. The figure shows the transformed boundary conditions. The temperature is
[Arg (w - 1) - Arg (w + 1)] =
[
Arg (z
2
-1) - Arg (z
2
+1)
]
,
in agreement with Team Project 8(c) with T
0
=100.
Section 18.3. Problem 14
–1
1
T = 0°C
T = 0°C
T = 100°C
100
π
100
π
100
π
sin y
sinh x
200
π
Sx cy + i Cx sy

Cx cy + i Sx sy
z
2
Im tanh (z/2)

Re tanh (z/2)
200
π
z
2
200
π
(e
z/2
-e
z/2
)
2

(e
z/2
+e
z/2
)
2
100
π
cosh z - 1

cosh z + 1
100
π
Instructor’s Manual
293
im18.qxd  9/21/05  1:09 PM  Page 293
Documents you may be interested
Documents you may be interested