c# pdf reader dll : Copy pages from pdf to word SDK software service wpf winforms .net dnn solution_manual_of_advanced_engineering_mathematics_by_erwin_kreyszig_9th_edition-13-part229

8. (A) The student should gain an understanding  for the “intermediate”  position of a
Lipschitz condition: it is more than continuity but less than partial differentiability.
(B) Here the student should realize that the linear ODE is basically simpler than a
nonlinear ODE. The calculation is straightforward because
ƒ(x, y) = r(x) - p(x)y
and implies that
ƒ(x, y
2
) - ƒ(x, y
1
) = p(x) y
2
-y
1
 My
2
-y
1
where the boundedness p(x)  M for x - x
0
 a follows from the continuity of p
in this closed interval.
10. (B) y
n
=
+
+• • • +
, y = e
x
-x - 1
(C) y
0
=1, y
1
=1 + 2x, y
2
=1 + 2x + 4x
2
+
, • • •
y(x) =
=1 + 2x + 4x
2
+8x
3
+• • •
(D) y = (x - 1)
2
, y = 0. It approximates y = 0. General solution y = (x + c)
2
.
(E) y
=y would be a good candidate to begin with. Perhaps you write the initial
choice as y
0
+a; then a = 0 corresponds to the choice in the text, and you see how
the expressions in a are involved in the approximations. The conjecture is true for
any choice of a constant (or even of a continuous function of x).
It was mentioned in footnote 9 that Picard used his iteration for proving his existence
and uniqueness theorems. Since the integrations involved in the method can be handled
on the computer quite efficiently, the method has gained in importance in numerics.
SOLUTIONS TO CHAP. 1 REVIEW QUESTIONS AND PROBLEMS, page 42
12. Linear ODE. Formula (4) in Sec. 1.5 gives, since p = -3, h = -3x,
y= e
3x
(
e
3x
(-2x) dx + c) = e
3x
(e
3x
(
2
_
3
x+
2
_
9
) + c) = ce
3x
+
2
_
3
x+
2
_
9
.
14. Separate variables. y dy = 16x dx, 
1
_
2
y
2
=8x
2
+c*, y
2
-16x
2
=c. Hyperbolas.
16. Linear ODE. Standard form y
-xy = -x
3
+x. Use (4), Sec. 1.5, with p = -x, 
h= -x
2
/2, obtaining the general solution
y= e
x2/2
(
e
x2/2
(-x
3
+x) dx + c) = e
x2/2
[e
x2/2
(x
2
+1) + c]
=ce
x2/2
+x
2
+1.
18. Exact;  the  exactness  test  gives  -3
π
sin
π
x sinh 3y on  both  sides.  Integrate  the
coefficient function of dx with respect to x, obtaining
u=
Mdx = cos 
π
xcosh 3y + k(y).
Differentiate this with respect to y and equate the result to the coefficient function 
of dy:
u
y
=3 cos 
π
xsinh 3y + k
(y) = N.
Hence k
=0.
1
1 - 2x
8x
3
3
x
n+1
(n + 1)!
x
3
3!
x
2
2!
24
Instructor’s Manual
im01.qxd  9/21/05  10:17 AM  Page 24
Copy pages from pdf to word - remove PDF pages in C#.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
Provides Users with Mature Document Manipulating Function for Deleting PDF Pages
add and remove pages from a pdf; delete a page from a pdf file
Copy pages from pdf to word - VB.NET PDF Page Delete Library: remove PDF pages in vb.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
Visual Basic Sample Codes to Delete PDF Document Page in .NET
cut pages out of pdf; copy pages from pdf to new pdf
The implicit general solution is
cos 
π
xcosh 3y = c.
20. Solvable (A) as a Bernoulli equation or (B) by separating variables.
(A) Set y
2
=u since a = -1; hence 1 - a = 2. Differentiate u = y
2
, substitute y
from the given ODE, and express the resulting equation in terms of u; that is,
u
=2yy
=2y(y + 1/y) = 2u + 2.
This is a linear ODE with unknown u. Its standard form is u
-2u = 2. Solve it by
(4) in Sec. 1.5 or by noting that the homogeneous ODE has the general solution ce
2x
,
and a particular solution of the nonhomogeneous ODE is -1. Hence u = ce
2x
-1,
and u = y
2
.
(B) y
=y + 1/y = (y
2
+1)/y, y dy/(y
2
+1) = dx. Integrate and take exponents
on both sides:
1
_
2
ln (y
2
+1) = x + c*,
y
2
+1 = ce
2x
.
22. The argument of the tangent suggests to set y/x =u. Then y= xu, and by differentiation
and use of the given ODE divided by x,
y
=u + xu
=tan u + u;
hence
xu
=tan u.
Separation of variables gives
cot u du = dx/x,
ln sin u = ln x + c*,
sin u = cx.
This yields the general solution
y= xu = x arcsin cx.
24. We set y - 2x = z as indicated. Then y = z + 2x, y
=z
+2 and by substitution
into the given ODE,
xy
=xz
+2x = z
2
+z + 2x.
Subtraction of 2x on both sides gives xz
=z
2
+z. By separation of variables and
integration we obtain
=(
-
)dz =
,
ln j
j= ln x + c*.
We now take exponents and simplify algebraically. This yields
=
=cx,
y= 2x + cx(y - 2x + 1).
Solving for y, we finally have
(1 - cx)y = 2x(1 - cx) + cx,
y= 2x - 1 + 1/(1 - cx).
26. The first term on the right suggests the substitution u = y/x. Then y = xu, and from
the ODE, xy
=x(u + xu
) = u
3
+xu. Subtract xu on both sides to get x
2
u
=u
3
.
Separate variables and integrate:
u
3
du = x
2
dx,
-
1
_
2
u
2
=-x
1
+c*;
hence
u
2
=
.
This gives the general solution
y= ±xu = ±
.
x

√c + 2/
x
1
c+ 2/x
y- 2x

y- 2x + 1
z
z+ 1
z
z+ 1
dx
x
1
z+ 1
1
z
dz
z
2
+z
Instructor’s Manual
25
im01.qxd  9/21/05  10:17 AM  Page 25
C# PDF Page Extract Library: copy, paste, cut PDF pages in C#.net
Ability to copy selected PDF pages and paste The portable document format, known as PDF document, is a widely-used form of file that allows users to
delete a page from a pdf reader; delete pages of pdf
VB.NET PDF Page Extract Library: copy, paste, cut PDF pages in vb.
VB.NET: Copy and Paste PDF Pages. VB.NET programming example below will show you how to copy pages from a PDF file and paste into another one.
delete blank page in pdf online; delete pages from pdf preview
28. Logistic equation. y = 1/u, y
=-u
/u
2
=3/u - 12/u
2
. Multiplication by -u
2
gives
the linear ODE
u
=-3u + 12.
Solution:
u= ce
3x
+4.
Hence the general solution of the given ODE is
y= 1/u = 1/(ce
3x
+4).
From the given initial condition we obtain y(0) = 1/(c + 4) = 2; hence c = -3.5.
The answer is
y=
.
30. Linear  ODE.  The  corresponding  homogeneous  ODE  has  the  general  solution 
y = ce
π
x
.  A  solution  of  the  nonhomogeneous  equation  can  be  found  without
integration by parts and recursion if we substitute
y= A cos 
π
x+ B sin 
π
x
and
y
=-A
π
sin 
π
x+ B
π
cos 
π
x
and equate the result to the right side; that is,
y
+
π
y= (B + A)
π
cos 
π
x+ (-A + B)
π
sin 
π
x= 2b cos 
π
x.
This gives A = B = b/
π
. The general solution is
y= ce
π
x
+
(cos 
π
x+ sin 
π
x).
Thus
y(0) = c + b/
π
=0, c = -b/
π
.
32. Not exact; in the test we get 2 + 2y/x on the left but 1 on the right. Theorem 1 in
Sec. 1.4 gives an integrating factor depending only on x, namely, F(x) = x; this follows
from
R=
(2 +
-1) =
by integrating R and taking exponents. The resulting exact equation is
[2xy + y
2
+e
x
(1 + x)] dx + (x
2
+2xy) dy = 0.
From it we calculate by integration with respect to y
u=
Ndy = x
2
y+ xy
2
+l(x).
We differentiate this with respect to x and equate the result to the coefficient of dx
in the exact ODE. This gives
u
x
=2xy + y
2
+l
=2xy + y
2
+e
x
(x + 1);
hence
l
=e
x
(x + 1)
and by integration, l = xe
x
. The general implicit solution is
u(x, y) = x
2
y+ xy
2
+xe
x
=c.
From the initial condition, u(1, 1) = 1 + 1 + e = 2 + e. The particular solution of
the initial value problem is
u(x, y) = x
2
y+ xy
2
+xe
x
=2 + e.
1
x
2y
x
1
x+ 2y
b
π
1

-3.5e
3x
+4
26
Instructor’s Manual
im01.qxd  9/21/05  10:17 AM  Page 26
C# Word - Extract or Copy Pages from Word File in C#.NET
C#.NET PDF file & pages edit, C#.NET PDF pages extract, copy, paste, C#.NET rotate PDF pages, C#.NET VB.NET How-to, VB.NET PDF, VB.NET Word, VB.NET Excel, VB
delete page in pdf file; add or remove pages from pdf
VB.NET PDF Convert to Word SDK: Convert PDF to Word library in vb.
NET code. All PDF pages can be converted to separate Word files within a short time in VB.NET class application. In addition, texts
delete pages pdf preview; delete page from pdf file online
34. In  problems of  this  sort we  need two  conditions, because we must  determine  the
arbitrary  constant c in  the general solution and the  constant k in  the exponent. In 
the present  case,  these  are  the  initial  temperature  T(0)  = 10 and the temperature 
T(5) = 20 after 5 minutes. Newton’s law of cooling gives the model
T
=k(T - 25).
By separation of variables and integration we obtain
T= ce
kt
+25.
The initial condition gives T(0) = c + 25 = 10; hence c = -15. From the second
given condition we obtain
T(5) = -15e
5k
+25 = 20,
15e
5k
=5,
k= (ln 
1
_
3
)/5 = -0.2197.
We can now determine the time when T reaches 24.9, namely, from
-15e
kt
+25 = 24.9,
e
kt
=0.1/15.
Hence
t= [ln (0.1/15)]/k = -5.011/(-0.2197) = 23 [min].
36. This  will  give  a  general  formula for  determining  the  half-life  H from  two
measurements y
1
and y
2
at times t
1
and t
2
, respectively. Accordingly, we use letters
and insert the given numeric data only at the end of the derivation. We have
y
=ky,
y= y
0
e
kt
and from this
y
1
=y(t
1
) = y
0
e
kt
1
,
y
2
=y(t
2
) = y
0
e
kt
2
.
Taking  the  quotient  of  the  two  measurements  y
1
and  y
2
eliminates y
0
(the  initial
amount)  and  gives  a  formula  for  k in  terms  of  these  measurements  and  the
corresponding times, namely,
y
2
/y
1
=exp 
[
k(t
2
-t
1
)
]
,
k=
.
Knowing k, we can now readily determine the half-life H directly from its definition
e
kH
=0.5.
This gives
H=
=(ln 0.5) 
.
For the given data we obtain from this formula
H= -0.69315 
=12.05.
Thus the half-life of the substance is about 12 days and 1 hour.
38. Let y denote the amount of fresh air measured in cubic feet. Then the model is obtained
from the balance equation
“Inflow minus Outflow equals the rate of change”;
that is,
y
=600 -
y= 600 - 0.03y.
600
20000
10 - 5

ln (0.015/0.02)
t
2
-t
1

ln (y
2
/y
1
)
ln 0.5
k
ln (y
2
/y
1
)

t
2
-t
1
Instructor’s Manual
27
im01.qxd  9/21/05  10:17 AM  Page 27
C# PDF Image Extract Library: Select, copy, paste PDF images in C#
PDF ›› C# PDF: Extract PDF Image. How to C#: Extract Image from PDF Document. Support PDF Image Extraction from a Page, a Region on a Page, and PDF Document.
delete a page from a pdf without acrobat; cut pages out of pdf file
VB.NET PDF Page Insert Library: insert pages into PDF file in vb.
Page: Insert PDF Pages. |. Home ›› XDoc.PDF ›› VB.NET PDF: Insert PDF Page. Add and Insert Multiple PDF Pages to PDF Document Using VB.
delete page from pdf file; delete a page from a pdf online
The general solution of this linear ODE is
y= ce
0.03t
+20000.
The initial condition is y(0) = 0 (initially no fresh air) and gives
y(0) = c + 20000 = 0;
hence
c= -20000.
The particular solution of our problem is
y= 20000(1 - e
0.03t
).
This equals 90% if t is such that
e
0.03t
=0.1
thus if t = (ln 0.1)/(-0.03) = 77 [min].
40. We use separation of variables. To evaluate the integral, we apply reduction by partial
fractions. This yields
=[
+
]dy = k dx,
where
A=
and
B=
=-A.
By integration,
A[ln y - a - ln y - b] = A ln j
j= kt + c*.
We multiply this on both sides by 1/A = a - b, obtaining
ln j
j= (kt + c*)(a - b).
We now take exponents. In doing so, we can set c = e
c
*
and have
=ce
(ab)kt
.
We denote the right side by E and solve algebraically for y; then
y- a = (y - b)E,
y(1 - E) = a - bE
and from the last expression we finally have
y=
.
42. Let the tangent of such a curve y(x) at (x, y) intersect the x-axis at M and the y-axis
at N, as shown in the figure. Then because of the bisection we have
OM = 2x,
ON = 2y,
where O is the origin. Since the slope of the tangent is the slope y
(x) of the curve,
by the definition of a tangent, we obtain
y
=-ON/OM = -y/x.
a- bE
1 - E
y- a
y- b
y- a
y- b
y- a
y- b
1
b- a
1
a- b
B
y- b
A
y- a
dy

(a - y)(b - y)
28
Instructor’s Manual
im01.qxd  9/21/05  10:17 AM  Page 28
VB.NET PDF Image Extract Library: Select, copy, paste PDF images
VB.NET PDF - Extract Image from PDF Document in VB.NET. Support PDF Image Extraction from a Page, a Region on a Page, and PDF Document in VB.NET Project.
delete pages from pdf acrobat; delete pages of pdf online
C# Create PDF from Word Library to convert docx, doc to PDF in C#.
Convert multiple pages Word to fillable and editable PDF documents in both .NET WinForms and ASP.NET. Able to get word count in PDF pages.
delete pages from a pdf online; delete page in pdf preview
By separation of variables, integration, and taking exponents, we see that
=-
,
ln y = - ln x + c*,
xy = c.
This is a family of hyperbolas.
Section 1.7. Problem 42
x
0
y
N
M
(x, y)
dx
x
dy
y
Instructor’s Manual
29
im01.qxd  9/21/05  10:17 AM  Page 29
CHAPTER 2 Second-Order Linear ODEs
Major Changes
Among linear ODEs those of second order are by far the most important ones from the
viewpoint of applications, and from a theoretical standpoint they illustrate the theory of
linear ODEs of any order (except for the role of the Wronskian). For these reasons we
consider linear ODEs of third and higher order in a separate chapter, Chap. 3.
The new Sec. 2.2 combines all three cases of the roots of the characteristic equation of
a homogeneous linear ODE with constant coefficients. (In the last edition the complex
case was discussed in a separate section.)
Modeling  applications of  the method  of undetermined coefficients (Sec.  2.7) follow
immediately after the derivation of the method (mass–spring systems in Sec. 2.8, electric
circuits in Sec. 2.9), before the discussion of variation of parameters (Sec. 2.10).
The new Sec. 2.9 combines the old Sec. 1.7 on modeling electric circuits by first-order
ODEs and the old Sec. 2.12 on electric circuits modeled  by second-order ODEs. This
avoids discussing the physical aspects and foundations twice.
SECTION 2.1. Homogeneous Linear ODEs of Second-Order, page 45
Purpose. To  extend the  basic  concepts from  first-order to second-order  ODEs  and  to
present the basic properties of linear ODEs.
Comment on the Standard Form (1)
The form (1), with 1 as the coefficient of y
, is practical, because if one starts from
ƒ(x)y
+g(x)y
+h(x)y = r
(x),
one usually considers the equation in an interval I in which ƒ(x) is nowhere zero, so that
in  I one  can  divide by  ƒ(x)  and  obtain an  equation  of  the  form  (1).  Points  at which 
ƒ(x) = 0 require a special study, which we present in Chap. 5.
Main Content, Important Concepts
Linear and nonlinear ODEs
Homogeneous linear ODEs (to be discussed in Secs. 2.1-2.6)
Superposition principle for homogeneous ODEs
General solution, basis, linear independence
Initial value problem (2), (4), particular solution
Reduction to first order (text and Probs. 15-22)
Comment on the Three ODEs after (2)
These are for illustration, not for solution, but should a student ask, answers are that the
first  will be solved  by methods in  Sec.  2.7 and  2.10,  the  second is a  Bessel equation 
(Sec. 5.5) and the third has the solutions ±√c
1
x+
c
2
with any c
1
and c
2
.
Comment on Footnote 1
In 1760, Lagrange gave the first methodical treatment of the calculus of variations. The
book mentioned in the footnote includes all major contributions of others in the field and
made him the founder of analytical mechanics.
30
im02.qxd  9/21/05  10:57 AM  Page 30
Comment on Terminology
pand q are called the coefficients of (1) and (2). The function r on the right is not called
a coefficient, to avoid the misunderstanding that r must be constant when we talk about
an ODE with constant coefficients.
SOLUTIONS TO PROBLEM SET 2.1, page 52
2. cos 5x and  sin 5x are  linearly independent on any interval  because  their  quotient, 
cot 5x, is not constant. General solution:
y= a cos 5x + b sin 5x.
We also need the derivative
y
=-5a sin 5x + 5b cos 5x.
At x = 0 we have from this and the initial conditions
y(0) = a = 0.8,
y
(0) = 5b = -6.5,
b= -1.3.
Hence the solution of the initial value problem is
y= 0.8 cos 5x - 1.3 sin 5x.
4. e
3x
and xe
3x
form a linearly independent set on any interval because xe
3x
/e
3x
=x is
not constant. The corresponding general solution is
y= (c
1
x+ c
2
)e
3x
and has the derivative
y
=(c
1
+3c
1
x+ 3c
2
)e
3x
.
From this and the initial conditions we obtain
y(0) = c
2
=-1.4,
y
(0) = c
1
+3c
2
=c
1
-4.2 = 4.6,
c
1
=8.8.
The answer is the particular solution
y= (8.8x - 1.4)e
3x
.
6. This  is  an  example  of  an  Euler–Cauchy  equation  x
2
y
+ axy
+ by = 0,  which 
we  shall consider systematically  in Sec. 2.5. Substitution shows that x
3
and x
5
are
solutions of the given ODE, and they are linearly independent on any interval because
their quotient x
5
/x
3
=x
2
is not constant. Hence the corresponding general solution is
y= c
1
x
3
+c
2
x
5
.
Its derivative is
y
=3c
1
x
2
+5c
2
x
4
.
From this and the initial conditions we have
y(1) = c
1
+c
2
=0.4,
y
(1) = 3c
1
+5c
2
=1.0.
Hence c
1
=0.5 and c
2
=-0.1, so that the solution (the particular solution satisfying
the initial conditions) is (see the figure)
y= 0.5x
3
-0.1x
5
.
Instructor’s Manual
31
im02.qxd  9/21/05  10:57 AM  Page 31
Section 2.1. Problem 6
8. Yes when n  2. Emphasize that we also have linear independence when n = 0.
The intervals given in Probs. 7-14 serve as reminder that linear independence and
dependence always refer to an interval, never just to a single point, and they also help
exclude points at which one of the functions is not defined.
Linear independence is important in connection with general solutions, and these
problems are such that the computer is of no great help.
The functions are selected as they will occur in some of the later work. They also
encourage the student to think of functional relations between those functions. For
instance, ln x
2
=2 ln x in Prob. 11 and the formula for sin 2x in Prob. 13 help in
obtaining the right answer (linear dependence).
10. Yes. The relation cos
2
x+ sin
2
x= 1 is irrelevant here.
12. Yes. Consider the quotient.
14. No. Once and for all, we have linear dependence of two (or more) functions if one
of them is identically 0. This problem is important.
16. y
=
=
=
z
18. z
=1 + z
2
, dz/(1 + z
2
) = dx, arctan z = x + c
1
, z = tan (x + c
1
),
y= -ln cos (x + c
1
) + c
2
This is an obvious use of problems from Chap. 1 in setting up problems for this
section. The only difficulty may be an unpleasant additional integration.
20. The formula in the text was derived under the assumption that the ODE is in standard
form; in the present case,
y
+
y
+y = 0.
Hence p = 2/x, so that e
∫p dx
=x
2
. It follows from (9) in the text that
U=
=
.
The integral of U is tan x; we need no constants of integration because we merely
want to obtain a particular solution. The answer is
y
2
=y
1
tan x =
.
22. The standard form is
y
-
y
+
y= 0.
2
1 - x
2
2x
1 - x
2
sin x
x
1
cos
2
x
1
x
2
x
2
cos
2
x
2
x
dz
dy
dy
dx
dy
dy
dy
dx
x
1
0.5
0
–0.5
–1
–1.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
y
32
Instructor’s Manual
im02.qxd  9/21/05  10:57 AM  Page 32
Hence in (9) we have
-
pdx =
dx = -ln 1 - x
2
= ln j
j.
This gives, in terms of partial fractions,
U=
=
+
-
.
By integration we get the answer
y
2
=y
1
u= y
1
Udx = -1 +
1
_
2
xln j
j.
The equation is  Legendre’s equation with parameter n = 1  (as, of course, need not
be mentioned to the student), and the solution is essentially a Legendre function. This
problem shows the usefulness of the reduction method because it is not difficult to see
that y
1
=x is a solution. In contrast, the power series method (the standard method)
would give the second solution as an infinite series, whereas by our present method we
get the solution directly, bypassing infinite series in the present special case n = 1.
Also note that the transition to n = 2, 3, • • • is not very complicated because U
depends only on the coefficient p of the ODE, which remains the same for all n, since
nappears only in the last term of the ODE. Hence if we want the answer for other
n, all we have to do is insert another Legendre polynomial for y
1
instead of the present
y
1
=x.
24. z
=(1 + z
2
)
1/2
, (1 + z
2
)
1/2
dz = dx, arcsinhz = x + c
1
. From this,
z= sinh (x + c
1
), y = cosh (x + c
1
) + c
2
. From the boundary conditions y(1) = 0,
y(-1) = 0 we get
cosh (1 + c
1
) + c
2
=0 = cosh (-1 + c
1
) + c
2
.
Hence c
1
=0 and then c
2
=-cosh 1. The answer is (see the figure)
y= cosh x - cosh 1.
Section 2.1. Problem 24
SECTION 2.2. Homogeneous Linear ODEs with Constant Coefficients,
page 53
Purpose. To show that homogeneous linear ODEs with constant coefficients can be solved
by algebra, namely, by solving the quadratic characteristics equation (3). The roots may be:
(Case I) Real distinct roots
(Case II) A real double root (“Critical case”)
(Case III) Complex conjugate roots.
In Case III the roots are conjugate because the coefficients of the ODE, and thus of (3),
are real, a fact the student should remember.
–1
–0.5
0.5
1
x
–0.54
y
x+ 1
x- 1
1/2
x- 1
1/2
x+ 1
1
x
2
1
1 - x
2
1
x
2
1
1 - x
2
2x
1 - x
2
Instructor’s Manual
33
im02.qxd  9/21/05  10:57 AM  Page 33
Documents you may be interested
Documents you may be interested