c# pdf reader dll : Delete pdf pages acrobat application software tool html winforms wpf online solution_manual_of_advanced_engineering_mathematics_by_erwin_kreyszig_9th_edition-135-part235

The solution of this linear system is u =
[5 10 10 16]
T
. From this and 5v/19
=100 (the potential at P
11
) we have v = 380 V as the constant boundary potential 
on the indicated portion of the boundary.
14. Two equations are as usual:
where the right side is due to the fact that we are dealing with the Poisson equation.
The third equation results from (6) with a = p = q = 1 and b = 1/2. We get
2 [
+
+
+
-
u
12
]= 2.
The first two terms are zero and u
02
=-2; these are given boundary values. There
remains
2
_
3
u
11
-3u
12
=1 + 1 = 2.
Our three equations for the three unknowns have the solution
u
11
=-1.5,
u
21
=-1,
u
12
=-1.
SECTION 21.6. Methods for Parabolic PDEs, page 922
Purpose. To show the numerical solution of the heat equation, the prototype of a parabolic
equation, on the region given by 0  x  1, t  0, subject to one initial condition (initial
temperature) and one boundary condition on each of the two vertical boundaries.
Content
Direct method based on (5), convergence condition (6)
Crank–Nicolson method based on (8)
Special case (9) of (8)
Comment on Content
Condition  (6)  restricts  the  size  of  time  steps  too  much,  a  disadvantage  that  the 
Crank–Nicolson method avoids.
SOLUTIONS TO PROBLEM SET 21.6, page 927
4. 0, 0.6625, 1.25, 1.7125, 2, 2.1, 2, 1.7125, 1.25, 0.6625, 0
6. Note that h = 0.2 and k = 0.01 gives r = 0.25. The computation gives
t
x= 0.2
x= 0.4
x= 0.6
x= 0.8
0.00
0.2
0.4
0.4
0.2
0.01
0.2
0.35
0.35
0.2
0.02
0.1875
0.3125
0.3125
0.185
0.03
0.171875
0.281250
0.281250
0.171875
0.04
0.156250
0.253906
0.253906
0.156250
0.05
0.141602
0.229492
0.229492
0.141602
0.06
0.128174
0.207520
0.207520
0.128174
0.07
0.115967
0.187684
0.187684
0.115967
0.08
0.104905
0.169755
0.169755
0.104905
3/2
1/2
u
11
3/2
u
02
2
u
1,5/2
3/4
u
22
2
2 = 2
0.5 = 2
+u
12
-
-
u
21
4u
21
-4u
11
+
u
11
-
v
19
344
Instructor’s Manual
im21.qxd  9/21/05  1:41 PM  Page 344
Delete pdf pages acrobat - remove PDF pages in C#.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
Provides Users with Mature Document Manipulating Function for Deleting PDF Pages
delete page in pdf reader; copy pages from pdf to word
Delete pdf pages acrobat - VB.NET PDF Page Delete Library: remove PDF pages in vb.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
Visual Basic Sample Codes to Delete PDF Document Page in .NET
delete page on pdf file; delete pages from pdf reader
8. We have k = 0.01. The boundary condition on the left is that the normal derivative
is zero. Now if we were at an inner point, we would have, by (5),
u
0,j+1
=
1
_
4
u
1,j
+
1
_
2
u
0j
+
1
_
4
u
1j
.
Here, by the central difference formula for the normal derivative (partial derivative
with respect to x) we get
0 =
=
(u
1j
-u
1,j
)
so that the previous formula gives what we need,
u
0,j+1
=
1
_
2
(u
0j
+u
1j
).
The underlying idea is quite similar to that in Sec. 21.5. The computation gives
t
x= 0
x= 0.2
x= 0.4
x= 0.6
x= 0.8
x= 1
0
0
0
0
0
0
0
0.01
0
0
0
0
0
0.5
0.02
0
0
0
0
0.125
0.866 025
0.03
0
0
0
0.031
0.279
1
0.04
0
0
0.008
0.085
0.397
0.866 025
0.05
0
0.002
0.025
0.144
0.437
0.5
0.06
0.001
0.007
0.049
0.187
0.379
0
0.07
0.004
0.016
0.073
0.201
0.236
-0.5
0.08
0.010
0.027
0.091
0.178
0.043
-0.866 025
0.09
0.019
0.039
0.097
0.122
-0.150
-1
0.10
0.029
0.048
0.089
0.048
-0.295
-0.866 025
0.11
0.039
0.054
0.068
-0.028
-0.352
-0.5
0.12
0.046
0.054
0.041
-0.085
-0.308
0
10. u(x, 0) = u(1 - x, 0) and the boundary conditions imply u(x, t) = u(1 - x, t) for all
t. The calculation gives
(0, 0.2, 0.35, 0.35, 0.2, 0)
(0, 0.1875, 0.3125, 0.3125, 0.1875, 0)
(0, 0.171875, 0.28125, 0.28125, 0.171875, 0)
(0, 0.15625, 0.253906, 0.253906, 0.15625, 0)
(0, 0.141602, 0.229492, 0.229492, 0.141602, 0)
12. CAS Experiment. u(0, t) = u(1, t) = 0, u(0.2, t) = u(0.8, t), u(0.4, t) = u(0.6, t),
where
x= 0.2
x= 0.4
t= 0
0.587785
0.951057
0.393432
0.636586
Explicit
t= 0.04
0.399274
0.646039
CN
0.396065
0.640846
Exact (6D)
0.263342
0.426096
t= 0.08
0.271221
0.438844
0.266878
0.431818
1
2h
u
0j
x
Instructor’s Manual
345
im21.qxd  9/21/05  1:41 PM  Page 345
.NET PDF Document Viewing, Annotation, Conversion & Processing
Redact text content, images, whole pages from PDF file. Annotate & Comment. Edit, update, delete PDF annotations from PDF file. Print.
delete a page from a pdf acrobat; delete pages from pdf
C# PDF Converter Library SDK to convert PDF to other file formats
manipulate & convert standard PDF documents in .NET class applications independently, without using other external third-party dependencies like Adobe Acrobat.
delete page from pdf preview; acrobat export pages from pdf
x= 0.2
x= 0.4
0.176267
0.285206
t= 0.12
0.184236
0.298100
0.179829
0.290970
0.117983
0.190901
t= 0.16
0.125149
0.202495
0.121174
0.196063
0.078972
0.127779
t= 0.2
0.085012
0.137552
0.081650
0.132112
14. We need the matrix
A=
.
3S-values computed by  Crank–Nicolson for x = 0.1 (and 0.9), 0.2 (and 0.8), 0.3
(and 0.7), 0.4 (and 0.6), 0.5 and t = 0.01, 0.02, • • • , 0.05 are
0.0754
0.141
0.190
0.220
0.230
0.0669
0.126
0.172
0.201
0.210
0.0600
0.114
0.156
0.183
0.192
0.0541
0.103
0.141
0.166
0.174
0.0490
0.093
0.128
0.150
0.158
5S-values for t = 0.04 are
0.054120
0.10277
0.14117
0.16568
0.17409.
The corresponding values in Prob. 13 are
0.10182
0.16727.
Exact 5S-values computed by (9) and (10) in Sec. 12.5 (two nonzero terms suffice)
are
0.053947
0.10245
0.14074
0.16519
0.17359.
We see that the present values are better than those in Prob. 13.
0
0
0
0
0
0
0
-1
4
0
0
0
0
0
0
-1
4
-1
0
0
0
0
0
-1
4
-1
0
0
0
0
0
-1
4
-1
0
0
0
0
0
-1
4
-1
0
0
0
0
0
-1
4
-1
0
0
0
0
0
-1
4
-1
0
0
0
0
0
-1
4
-1
0
0
0
0
0
0
4
-1
0
0
0
0
0
0
0
346
Instructor’s Manual
im21.qxd  9/21/05  1:41 PM  Page 346
C# powerpoint - PowerPoint Conversion & Rendering in C#.NET
documents in .NET class applications independently, without using other external third-party dependencies like Adobe Acrobat. PowerPoint to PDF Conversion.
delete pages from a pdf reader; delete pages pdf online
C# Word - Word Conversion in C#.NET
Word documents in .NET class applications independently, without using other external third-party dependencies like Adobe Acrobat. Word to PDF Conversion.
delete pages pdf files; delete pdf pages acrobat
Section 21.6. u(x, t) for constant t = 0.01, • • • , 0.05 as polygons
with the Crank–Nicolson values as vertices in Problem 14
SECTION 21.7. Method for Hyperbolic PDEs, page 928
Purpose. Explanation of the numerical solution of the wave equation, the prototype of a
hyperbolic PDE, on a region of the same type as in the last section, subject to initial and
boundary conditions that guarantee the uniqueness of the solution.
Comments on Content
We now have two initial conditions (given initial displacement and given initial velocity),
in contrast to the heat equation in the last section, where we had only one initial condition.
The computation by (6) is simple. Formula (8) gives the values of the first time-step
in terms of the initial data.
SOLUTIONS TO PROBLEM SET 21.7, page 930
2. Note that the curve of ƒ(x) is no longer symmetric with respect to x = 0.5. The solution
was required for 0  t  1. We present it here for a full cycle 0  t  2:
t
x= 0.2
x= 0.4
x= 0.6
x= 0.8
0
0.032
0.096
0.144
0.128
0.2
0.048
0.088
0.112
0.072
0.4
0.056
0.064
0.016
-0.016
0.6
0.016
-0.016
-0.064
-0.056
0.8
-0.072
-0.112
-0.088
-0.048
1.0
-0.128
-0.144
-0.096
-0.032
1.2
-0.072
-0.112
-0.088
-0.048
1.4
0.016
-0.016
-0.064
-0.056
1.6
0.056
0.064
0.016
-0.016
1.8
0.048
0.088
0.112
0.072
2.0
0.032
0.096
0.144
0.128
4. By (13), Sec. 12.4, with c = 1 the left side of (6) is
(A)
u
i,j+1
=u(ih, ( j + 1)h) =
1
_
2
[ƒ(ih + ( j + 1)h) + ƒ(ih - ( j + 1)h)]
and the right side is the sum of the six terms
u
i1,j
=
1
_
2
[ƒ((i - 1)h + jh) + ƒ((i - 1)h - jh)],
u
i+1,j
=
1
_
2
[ƒ(i + 1)h + jh) + ƒ((i + 1)h - jh)],
-u
i,j1
=-
1
_
2
[ƒ(ih + (j - 1)h) + ƒ(ih - ( j - 1)h].
Four of these six terms cancel in pairs, and the remaining expression equals the right
side of (A).
0.25
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.15
0.2
0.1
0.05
0
x
u
Instructor’s Manual
347
im21.qxd  9/21/05  1:41 PM  Page 347
C# Windows Viewer - Image and Document Conversion & Rendering in
standard image and document in .NET class applications independently, without using other external third-party dependencies like Adobe Acrobat. Convert to PDF.
delete pages from pdf in preview; delete pages on pdf file
VB.NET PDF: How to Create Watermark on PDF Document within
Watermark Creator, users need no external application plugin, like Adobe Acrobat. VB example code to create graphics watermark on multiple PDF pages within the
delete page on pdf file; delete page pdf file reader
6. From (12), Sec. 12.4, with c = 1 we get the exact solution
u(x, t) =
x+ct
xct
sin
π
sds =
[cos
π
(x - ct) - cos
π
(x + ct)].
From (8) we have kg
i
=0.1g
i
=0.1 sin 0.1
π
i. Because of the symmetry with respect
to  x = 0.5  we  need  to  list  only  the  following  values  (with  the  exact  values  in
parentheses):
t
x= 0.1
x= 0.2
x= 0.3
x= 0.4
x= 0.5
0.0
0
0
0
0
0
0.1
0.030902
0.058779
0.080902
0.095106
0.100000
(0.030396)
(0.057816)
(0.079577)
(0.093549)
(0.098363)
0.2
0.058779
0.111804
0.153885
0.180902
0.190212
(0.057816)
(0.109973)
(0.151365)
(0.177941)
(0.187098)
0.3
0.080902
0.153884
0.211803
0.248990
0.261803
(0.079577)
(0.151365)
(0.208337)
(0.244914)
(0.257518)
0.4
0.095106
0.180902
0.248990
0.292705
0.307768
(0.093549)
(0.177941)
(0.244914)
(0.287914)
(0.302731)
8. Since u(x, 0) = ƒ(x), the derivation is immediate. Formula (8) results if the integral
equals 2kg
i
.
10. Exact solution: u(x, t) = (x + t)
2
. The values obtained in the computation are those
of the exact solution. u
11
, u
21
, u
31
, u
41
are obtained from (8) and the initial conditions
u
i0
=(0.2i)
2
, g
i
=0.2i. In connection with the left boundary condition we can use
the central difference formula
(u
1,j
-u
1,j
) ≈ u
x
(0, jk) = 2jk
to obtain u
1,j
and then (8) to compute u
01
and (6) to compute u
0,j+1
.
SOLUTIONS TO CHAP. 21 REVIEW QUESTIONS AND PROBLEMS, 
page 930
16. y = e
x2
. The computation is:
x
n
y
n
Error
0.1
1
0.0101
0.2
1.02
0.0208
0.3
1.0608
0.0334
0.4
1.1244
0.0491
0.5
1.2144
0.0696
0.6
1.3358
0.0975
0.7
1.4961
0.1362
0.8
1.7056
0.1909
0.9
1.9785
0.2694
1.0
2.3346
0.3837
This illustrates again that the method is too inaccurate for most practical purposes.
1
2h
1
2
π
1
2
348
Instructor’s Manual
im21.qxd  9/21/05  1:41 PM  Page 348
C# Excel - Excel Conversion & Rendering in C#.NET
Excel documents in .NET class applications independently, without using other external third-party dependencies like Adobe Acrobat. Excel to PDF Conversion.
delete a page from a pdf reader; delete pdf pages online
VB.NET PowerPoint: VB Code to Draw and Create Annotation on PPT
as a kind of compensation for limitations (other documents are compatible, including PDF, TIFF, MS on slide with no more plug-ins needed like Acrobat or Adobe
delete pdf pages android; delete page pdf online
18. y = tan x - x + 4;  y = 4,  4.002707,  4.022789,  4.084133,  4.229637,  4.557352,
5.370923, 8.341089. For x  1.0 the error is of the order 10
5
, but then 
(1.2) = 10
3
,
(1.4) = 0.06 since we are getting close to 
π
/2.
20. (a) 0.1, 0.2034, 0.3109, 0,4217, 0.5348, 0.6494, 0.7649, 0.8806, error 0.0044, 0.0122,
•• • ,  0.0527. (b)  0.2055,  0.4276,  0.6587,  0.8924,  error  0.0101,  0.0221,  0.0322,
0.0409. (c) 0.4352, 0.9074, error 0.0145, 0.0258
22. y = tan x - x. The computation is:
x
n
y
n
Error 10
5
0.2
0.00270741
0.26
0.4
0.0227890
0.40
0.6
0.0841334
0.34
0.8
0.229637
0.24
1.0
0.557352
5.6
24. y
1
= 0.021400 (starting value), y
2
=0.092322, y
3
=0.223342, y
4
=0.427788,
y
5
=0.721945. This shows that the method is rather inaccurate, the error of y
5
being
0.003663. Exact: y = e
x
-x - 1.
26. y = sin x. The computation is:
x
n
y
n
Error 10
5
0.2
0.198667
0.2
0.4
0.389413
0.5
0.6
0.564635
0.7
0.8
0.717347
0.9
1.0
0.841461
1.0
28. The solution is y
1
=3e
2x
-e
8x
, y
2
=3e
2x
+e
8x
. The computation gives:
x
n
y
1,n
Error
y
2,n
Error
0.1
2.00447
0.00239
2.90793
-0.00241
0.2
1.80691
0.00215
2.21504
-0.00218
0.3
1.55427
0.00145
1.73863
-0.00147
0.4
1.30636
0.00087
1.38965
-0.00090
0.5
1.08484
0.00048
1.12247
-0.00051
30. u(P
11
 = u(P
22
 = u(P
33
 = 35, u(P
21
 = u(P
32
 = 20, u(P
31
 = 10,
u(P
12
) = u(P
23
) = 50, u(P
13
) = 60
32. u(P
21
) = 500, u(P
22
) = 200, u = 100 at all other gridpoints
36. From the 3D-values given below we see that at each point x > 0 the temperature
oscillates  with  a  phase  lag  and  a  maximum  amplitude  that  decreases  with
decreasing x.
Instructor’s Manual
349
im21.qxd  9/21/05  1:41 PM  Page 349
t
x= 0
x= 0.2
x= 0.4
x= 0.6
x= 0.8
x= 1.0
0
0
0
0
0
0
0
0.02
0
0
0
0
0
0.5
0.04
0
0
0
0
0.250
0.866025
0.06
0
0
0
0.125
0.433
1
0.08
0
0
0.062
0.217
0.562
0.866025
0.10
0
0.031
0.108
0.312
0.541
0.5
0.12
0
0.054
0.172
0.325
0.406
0
0.14
0
0.086
0.189
0.289
0.162
-0.5
0.16
0
0.095
0.188
0.176
-0.105
-0.866025
0.18
0
0.094
0.135
0.041
-0.345
-1
0.20
0
0.068
0.067
-0.105
-0.479
-0.866025
0.22
0
0.034
-0.019
-0.206
-0.485
-0.5
0.24
0
-0.009
-0.086
-0.252
-0.353
0
38. u(x, t) in Prob. 37 equals u(x, t) - u(1 - x, t) in Prob. 36, as follows from the boundary
values.
40. We  have to calculate values for three time-steps. The result is as follows, where
u(x, t) = u(1 - x, t).
t
x= 0
x= 0.1
x= 0.2
x= 0.3
x= 0.4
x= 0.5
0
0
0.09
0.16
0.21
0.24
0.25
0.1
0
0.08
0.15
0.20
0.23
0.24
0.2
0
0.06
0.12
0.17
0.20
0.21
0.3
0
0.04
0.08
0.12
0.15
0.16
350
Instructor’s Manual
im21.qxd  9/21/05  1:41 PM  Page 350
351
Part F. Optimization. Graphs
CHAPTER 22 Unconstrained Optimization. 
Linear Programming
SECTION 22.1. Basic Concepts. Unconstrained Optimization, page 936
Purpose. To explain the concepts needed throughout this chapter. To discuss Cauchy’s method
of steepest descent or gradient method, a popular method of unconstrained optimization.
Main Content, Important Concepts
Objective function
Control variables
Constraints, unconstrained optimization
Cauchy’s method
SOLUTIONS TO PROBLEM SET 22.1, page 939
2. The line of approach is tangent to a particular curve C: ƒ(x) =const, the point of contact
Pgiving the minimum, whereas the next gradient of C at P is perpendicular to C.
4. ƒ(x) = (x
1
-0.5)
2
+2(x
2
-1.5)
2
-4.75. The computation gives:
Step
x
1
x
2
ƒ(x)
1
0.25342
1.5206
-4.6884
2
0.49351
1.4805
-4.7492
3
0.49680
1.5003
-4.7500
6. ƒ(x) = (x
1
+4)
2
+0.1(x
2
+5)
2
+4. The computation gives:
Step
x
1
x
2
ƒ(x)
1
-4.0240
-1.4016
5.2958
2
-3.7933
-4.8622
4.0449
3
-4.0008
-4.8760
4.0015
4
-3.9929
-4.9952
4.0000
5
-4.0000
-4.9957
4.0000
6
-3.9997
-5.0000
4.0000
7
-4.0000
-5.0000
4.0000
8. The calculation gives for Steps 1-5:
x
1
x
2
ƒ(x)
-1.33333
2.66667
-5.3334
-3.55556
-1.77778
9.4815
2.37037
-4.74074
-16.8560
6.32099
3.16049
29.9662
-4.21399
8.42798
-53.2731
im22.qxd  9/21/05  1:53 PM  Page 351
352
Instructor’s Manual
This is the beginning of a broken line of segments spiraling away from the origin. At
the corner points, ƒ is alternatingly positive and negative and increases monotone in
absolute value.
10. ƒ(x) = x
1
2
-x
2
gives
z(t) = x - t[2x
1
, -1] = [(1 - 2t)x
1
, x
2
+t],
hence
g(t) = (1 - 2t)
2
x
1
2
-x
2
-t,
g
(t) = -4(1 - 2t)x
1
2
-1 = 0.
From this,
1 - 2t = -
,
t=
+
.
For this t,
z(t) = [-
, x
2
+
+
].
From this, with x
1
=1, x
2
=1, we get successively
z
(1)
=
[
-
1
_
4
, 1 +
1
_
2
+
1
_
8
]
T
z
(2)
=
[
1, 1 + 2 •
1
_
2
+
1
_
8
+2
]
T
z
(3)
=
[
-
1
_
4
, 1 + 3 •
1
_
2
+2 •
1
_
8
+2
]
T
etc.
The student should sketch  this, to see  that it  is reasonable.  The  process continues
indefinitely, as had to be expected.
12. CAS Experiment. (c) For ƒ(x) = x
1
2
+x
2
4
the values converge relatively rapidly
to [0 0]
T
, and similarly for ƒ(x) = x
1
4
+x
2
4
.
SECTION 22.2. Linear Programming, page 939
Purpose. To  discuss  the  basic  ideas  of  linear  programming  in  terms  of  very  simple
examples involving two variables, so that the situation can be handled graphically and the
solution can be found geometrically. To prepare conceptually for the case of three or more
variables x
1
,• • • , x
n
.
Main Content, Important Concepts
Linear programming problem
Its normal form. Slack variables
Feasible solution, basic feasible solution
Optimal solution
Comments on Content
Whereas the function to be maximized (or minimized) by Cauchy’s method was arbitrary
(differentiable), but we had no constraints, we now simply have a linear objective function,
but constraints, so that calculus no longer helps.
No systematic method of solution is discussed in this section; these follow in the next
sections.
1
8x
1
2
1
2
1
4x
1
1
8x
1
2
1
2
1
4x
1
2
im22.qxd  9/21/05  1:53 PM  Page 352
Instructor’s Manual
353
SOLUTIONS TO PROBLEM SET 22.2, page 943
2. No. For instance, ƒ = 5x
1
+2x
2
gives maximum profit ƒ = 12 for every point on
the segment AB because AB has the same slope as ƒ = const does.
4. Nonnegativity is an immediate consequence of the definition of a slack variable. We
need as many slack variables as we have inequalities that we want to convert into
equations, with each one giving one of the constraints.
8. Ordinarily a vertex of a region is the intersection of only two straight lines given by
inequalities taken with the equality sign. Here, (5, 4) is the intersection of three such
lines. This may merit special attention in some cases, as we discuss in Sec. 22.4.
10. The first inequality could be dropped from the problem because it does not restrict
the region determined by the other inequalities. Note that that region is unbounded
(stretches to infinity). This would cause a problem in maximizing an objective function
with positive coefficients.
12. ƒ
max
=-18 at every point of the segment with endpoints (2/9, 28/9) and (4, 5)
14. ƒ
min
=ƒ(3/7, 24/7) = 78/7 = 11.14
16. ƒ = x
1
+x
2
, 2x
1
+3x
2
1200, 4x
1
+2x
2
1600, x
1
=300, x
2
=200, 
ƒ
max
=ƒ(300, 200) = 500
18. x
1
=Number of days of operation of Kiln I, x
2
=Number of days of operation of
Kiln II. Objective function ƒ = 400x
1
+600x
2
. Constraints:
ƒ
min
=ƒ(2, 6) = 4400, as can be seen from a sketch of the region in the x
1
x
2
-plane
resulting from the constraints in the first quadrant. Operate Kiln I two days and Kiln
II six days in filling that order. Note that the region determined by the constraints in
the first quadrant of the x
1
x
2
-plane is unbounded, which causes no difficulty because
we minimize (not maximize) the objective function.
20. x
1
units of A and x
2
units of B cost ƒ = 1.8x
1
+2.1x
2
. Constraints are
From a sketch of the region we see that ƒ
min
=ƒ(4, 3) = 13.50. Hence the minimum-
cost diet consists of 4 units A and 3 units B.
SECTION 22.3. Simplex Method, page 944
Purpose. To discuss the standard method of linear programming for systematically finding
an optimal solution by a finite sequence of transformations of matrices.
Main Content, Important Concepts
Normal form of the problem
Initial simplex table (initial augmented matrix)
Pivoting, further simplex tables (augmented matrices)
(Protein)
(Calories).
150
3900
15x
1
+30x
2
600x
1
+500x
2
(Gray bricks)
(Red bricks)
(Glazed bricks).
18000
34000
9000
3000x
1
+2000x
2
2000x
1
+5000x
2
300x
1
+1500x
2
im22.qxd  9/21/05  1:53 PM  Page 353
Documents you may be interested
Documents you may be interested