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3.3 More neighborhood operators
129
 closing: close(f;s) = erode(dilate(f;s);s).
As we can see from Figure3.21, dilation grows (thickens) objects consisting of 1s, while
erosion shrinks (thins) them. The opening and closing operations tend to leave large regions
and smooth boundaries unaffected, while removing small objects or holes and smoothing
boundaries.
While we will not use mathematical morphology much in the rest of this book, it is a
handy tool to have around whenever you need to clean up some thresholded images. You
can ﬁnd additional details on morphology in other textbooks on computer vision and image
processing (HaralickandShapiro1992, Section 5.2) (Bovik2000, Section 2.2) (Ritterand
Wilson 2000,Section7)aswellasarticlesandbooksspeciﬁcallyonthistopic(Serra 1982;
Serra and Vincent 1992; Yuille, Vincent, and Geiger 1992; Soille 2006).
3.3.3 Distance transforms
The distance transform is useful in quickly precomputing the distance to a curve or set of
points using atwo-pass raster algorithm (RosenfeldandPfaltz1966;Danielsson1980;Borge-
fors 1986;Paglieroni1992;Breu, Gil, Kirkpatricketal. 1995;Felzenszwalband Huttenlocher
2004a; Fabbri, Costa, Torelliet al. 2008).Ithasmanyapplications,includinglevelsets(Sec-
tion5.1.4), fast chamfer matching (binary image alignment) (Huttenlocher,Klanderman,and
Rucklidge1993),featheringinimagestitchingandblending(Section9.3.2),andnearestpoint
alignment (Section12.2.1).
The distance transform D(i;j) of a binary image b(i;j) is deﬁned as follows. Let d(k;l)
be some distance metric between pixel offsets. Two commonly used metrics include the city
block or Manhattan distance
d
1
(k;l) = jkj + jlj
(3.43)
and the Euclidean distance
d
2
(k;l) =
p
k2 + l2:
(3.44)
The distance transform is then deﬁned as
D(i;j) =
min
k;l:b(k;l)=0
d(i   k;j   l);
(3.45)
i.e., it is the distance to the nearest background pixel whose value is 0.
The D
1
city block distance transform can be efﬁciently computed using a forward and
backwardpass of asimple raster-scan algorithm, as shown in Figure3.22. Duringthe forward
pass, each non-zero pixel in b is replaced by the minimum of 1 + the distance of its north or
west neighbor. During the backward pass, the same occurs, except that the minimum is both
over the current value D and 1 + the distance of the south and east neighbors (Figure3.22).
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Computer Vision: Algorithms and Applications (September 3, 2010 draft)
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(a)
(b)
(c)
(d)
Figure 3.22 City block distance transform: (a) original binary image; (b) top to bottom
(forward) raster sweep: green values are used to compute the orange value; (c) bottom to top
(backward) raster sweep: green values are merged with old orange value; (d) ﬁnal distance
transform.
Efﬁciently computing the Euclidean distance transform is more complicated. Here, just
keeping the minimum scalar distance to the boundary during the two passes is not sufﬁcient.
Instead, a vector-valued distance consisting of both the x and y coordinates of the distance
tothe boundary must be kept and comparedusingthe squared distance (hypotenuse) rule. As
well, larger searchregions needtobe usedto obtainreasonable results. Rather thanexplaining
the algorithm (Danielsson1980;Borgefors1986) in more detail, we leave it as an exercise
for the motivated reader (Exercise3.13).
Figure3.11g shows a distance transform computed from a binary image. Notice how
the values grow away from the black (ink) regions and form ridges in the white area of the
original image. Because of this linear growth from the starting boundary pixels, the distance
transform is also sometimes known as the grassﬁre transform, since it describes the time at
which a ﬁre starting inside the black region would consume any given pixel, or a chamfer,
because it resembles similar shapes used in woodworking and industrial design. The ridges
inthe distance transform become the skeleton (or medialaxis transform(MAT)) of the region
where the transform is computed, and consist of pixels that are of equal distance to two (or
more) boundaries (TekandKimia2003;SebastianandKimia2005).
Auseful extensionof thebasic distance transform is thesigned distance transform, which
computes distances to boundary pixels for all the pixels (Lavall´eeandSzeliski1995). The
simplest way to create this is to compute the distance transforms for both the original bi-
nary image and its complement and to negate one of them before combining. Because such
distance ﬁelds tend to be smooth, it is possible to store them more compactly (with mini-
mal loss in relative accuracy) using a spline deﬁned over a quadtree or octree data structure
(Lavall´eeandSzeliski1995;SzeliskiandLavall´ee1996;Frisken, Perry, Rockwoodetal.
2000). Suchprecomputedsigneddistancetransformscanbeextremelyusefulinefﬁciently
aligning and merging 2D curves and 3D surfaces (Huttenlocher,Klanderman,andRucklidge
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3.3 More neighborhood operators
131
(a)
(b)
(c)
Figure 3.23 Connectedcomponentcomputation: (a) originalgrayscaleimage;(b) horizontal
runs (nodes) connectedbyvertical (graph) edges (dashed blue)—runs are pseudocoloredwith
unique colors inherited from parent nodes; (c) re-coloring after merging adjacent segments.
1993;Szeliski and Lavall´ee1996;Curless and Levoy 1996),especiallyifthevectorialversion
of the distance transform, i.e., a pointer from each pixel or voxel to the nearest boundary or
surface element, is stored and interpolated. Signed distance ﬁelds are also an essential com-
ponent of level set evolution (Section5.1.4), where they are called characteristic functions.
3.3.4 Connected components
Another useful semi-global image operation is ﬁnding connected components, which are de-
ﬁned as regions of adjacent pixels that have the same input value (or label). (In the remainder
of this section, consider pixels to be adjacent if they are immediate N
4
neighbors and they
have the same input value.) Connected components can be used in a variety of applications,
such as ﬁnding individual letters in a scanned document or ﬁnding objects (say, cells) in a
thresholded image and computing their area statistics.
Consider the grayscale image in Figure3.23a. There are four connected components in
this ﬁgure: the outermost set of white pixels, the large ring of gray pixels, the white enclosed
region, and the single gray pixel. These are shown pseudocolored in Figure3.23c as pink,
green, blue, and brown.
Tocompute the connectedcomponents of an image, weﬁrst (conceptually) split the image
into horizontal runs of adjacent pixels, and then color the runs with unique labels, re-using
the labels of vertically adjacent runs whenever possible. In a second phase, adjacent runs of
different colors are then merged.
While this description is a little sketchy, it should be enough to enable a motivated stu-
dent to implement this algorithm (Exercise3.14). HaralickandShapiro(1992, Section 2.3)
give a much longer description of various connected component algorithms, including ones
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132
Computer Vision: Algorithms and Applications (September 3, 2010 draft)
that avoid the creation of a potentially large re-coloring (equivalence) table. Well-debugged
connected component algorithms are also available in most image processing libraries.
Once a binary or multi-valued image has been segmented into its connected components,
it is often useful to compute the area statistics for each individual region R. Such statistics
include:
 the area (number of pixels);
 the perimeter (number of boundary pixels);
 the centroid (average x and y values);
 the second moments,
M=
X
(x;y)2R
"
x
y
#
h
x y
y
i
;
(3.46)
from which the major and minor axis orientation and lengths can be computed using
eigenvalue analysis.
7
Thesestatistics canthenbe used for further processing, e.g., for sorting theregions bythe area
size (to consider the largest regions ﬁrst) or for preliminary matching of regions in different
images.
3.4 Fourier transforms
In Section3.2, we mentioned that Fourier analysis could be used to analyze the frequency
characteristics of various ﬁlters. In this section, we explain both how Fourier analysis lets us
determine these characteristics (or equivalently, the frequency content of an image) and how
using the Fast Fourier Transform (FFT) lets us perform large-kernel convolutions intime that
is independent of the kernel’s size. More comprehensive introductions to Fourier transforms
are provided byBracewell(1986);Glassner(1995);OppenheimandSchafer(1996);Oppen-
heim, Schafer, and Buck(1999).
How can we analyze what a given ﬁlter does to high, medium, and low frequencies? The
answer is to simply pass a sinusoid of known frequency through the ﬁlter and to observe by
how much it is attenuated. Let
s(x) = sin(2fx+ 
i
)= sin(!x+ 
i
)
(3.47)
MomentscanalsobecomputedusingGreen’stheoremappliedtotheboundarypixels(YangandAlbregtsen
1996).
C# PDF Page Insert Library: insert pages into PDF file in C#.net
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3.4 Fourier transforms
133
s(x)
o(x)
h(x)
s
o
x
x
A
φ
Figure 3.24 The Fourier Transform as the response of a ﬁlter h(x) to an input sinusoid
s(x) = e
j!x
yielding an output sinusoid o(x) = h(x)  s(x) = Ae
j!x+
.
be the input sinusoid whose frequency is f, angular frequency is ! = 2f, and phase is 
i
.
Note that in this section, we use the variables x and y to denote the spatial coordinates of an
image, rather than i and j as in the previous sections. This is both because the letters i and j
are used for the imaginary number (the usage depends on whether you are reading complex
variables or electrical engineering literature) and because it is clearer how to distinguish the
horizontal (x) and vertical (y) components in frequency space. In this section, we use the
letter j for the imaginary number, since that is the form more commonly found in the signal
processing literature (Bracewell1986;OppenheimandSchafer1996;Oppenheim,Schafer,
and Buck 1999).
If we convolve the sinusoidal signal s(x) with a ﬁlter whose impulse response is h(x),
we get another sinusoid of the same frequency but different magnitude A and phase 
o
,
o(x) = h(x)  s(x) = A sin(!x+ 
o
);
(3.48)
as shown in Figure3.24. To see that this is the case, remember that a convolution can be
expressedas a weighted summation of shifted input signals (3.14) and that the summation of
abunchof shifted sinusoids of the same frequency is justa single sinusoid atthatfrequency.
8
The new magnitude A is called the gain or magnitude of the ﬁlter, while the phase difference
 = 
o
i
is called the shift or phase.
In fact, a more compact notation is to use the complex-valued sinusoid
s(x) = e
j!x
=cos!x + j sin !x:
(3.49)
In that case, we can simply write,
o(x) = h(x)  s(x) = Ae
j!x+
:
(3.50)
the bane of audiophiles, who insisted on equipment with no harmonic distortion. Nowthat digital audio has intro-
duced pure distortion-freesound,some audiophiles arebuying retro tubeampliﬁers ordigital signalprocessors that
simulate such distortionsbecause oftheir“warmersound”.
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134
Computer Vision: Algorithms and Applications (September 3, 2010 draft)
The Fourier transform is simply a tabulation of the magnitude andphase response at each
frequency,
H(!) = F fh(x)g = Ae
j
;
(3.51)
i.e., it is the response to a complex sinusoid of frequency ! passed through the ﬁlter h(x).
The Fourier transform pair is also often written as
h(x)
F
\$H(!):
(3.52)
Unfortunately, (3.51) does not give an actualformulaforcomputingthe Fourier transform.
Instead, it gives a recipe, i.e., convolve the ﬁlter with a sinusoid, observe the magnitude and
phase shift, repeat. Fortunately, closed form equations for the Fourier transform exist both in
the continuous domain,
H(!) =
Z
1
1
h(x)e
j!x
dx;
(3.53)
and in the discrete domain,
H(k) =
1
N
NX 1
x=0
h(x)e
j
2kx
N
;
(3.54)
whereN is the length of the signal or region of analysis. These formulas applyboth toﬁlters,
such as h(x), and to signals or images, such as s(x) or g(x).
The discrete form of the Fourier transform (3.54) is knownas the Discrete Fourier Trans-
form (DFT). Note that while (3.54) can be evaluated for any value of k, it only makes sense
for values in the range k 2 [
N
2
;
N
2
]. This is because larger values of k alias with lower
frequencies and hence provide no additional information, as explained in the discussion on
aliasing in Section2.3.1.
At face value, the DFT takes O(N
2
)operations (multiply-adds) to evaluate. Fortunately,
there exists a faster algorithm called the Fast Fourier Transform (FFT), which requires only
O(N log
2
N) operations (Bracewell1986;Oppenheim,Schafer,andBuck1999). We do not
explain the details of the algorithm here, except to say that it involves a series of log
2
N
stages, where each stage performs small 22 transforms (matrix multiplications withknown
coefﬁcients) followed by some semi-global permutations. (You will often see the term but-
terﬂy applied to these stages because of the pictorial shape of the signal processing graphs
involved.) Implementations for theFFT canbe found in mostnumericaland signalprocessing
libraries.
Now that we have deﬁned the Fourier transform, what are some of its properties andhow
can they be used? Table3.1 lists a number of useful properties, which we describe in a little
more detail below:
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delete pdf page acrobat; delete page from pdf preview
C# PowerPoint - Delete PowerPoint Document Page in C#.NET
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3.4 Fourier transforms
135
Property
Signal
Transform
superposition
f
1
(x) + f
2
(x)
F
1
(!) + F
2
(!)
shift
f(x   x
0
)
F(!)e
j!x
0
reversal
f( x)
F
(!)
convolution
f(x) h(x)
F(!)H(!)
correlation
f(x)   h(x)
F(!)H
(!)
multiplication
f(x)h(x)
F(!) H(!)
differentiation
f
0
(x)
j!F(!)
domain scaling
f(ax)
1=aF(!=a)
real images
f(x) = f
(x) ,
F(!) = F( !)
Parseval’s Theorem
P
x
[f(x)]
2
=
P
!
[F(!)]
2
Table 3.1 Some useful properties of Fourier transforms. The original transform pair is
F(!) = Fff(x)g.
 Superposition: The Fourier transform of a sum of signals is the sum of their Fourier
transforms. Thus, the Fourier transform is a linear operator.
 Shift: The Fourier transform of a shifted signal is the transform of the original signal
multiplied by a linear phase shift (complex sinusoid).
 Reversal: The Fourier transform of a reversed signal is the complex conjugate of the
signal’s transform.
 Convolution: The Fourier transform of a pair of convolved signals is the product of
their transforms.
 Correlation: TheFourier transform of acorrelation is theproduct of the ﬁrsttransform
times the complex conjugate of the second one.
 Multiplication: The Fourier transform of the productof two signals is the convolution
of their transforms.
 Differentiation: The Fourier transform of the derivative of a signal is that signal’s
transform multiplied by the frequency. In other words, differentiation linearly empha-
sizes (magniﬁes) higher frequencies.
 Domain scaling: The Fourier transform of a stretched signal is the equivalently com-
pressed (and scaled) versionof the original transform and vice versa.
136
Computer Vision: Algorithms and Applications (September 3, 2010 draft)
 Real images: The Fourier transform of a real-valued signal is symmetric around the
origin. This fact can be used to save space and to double the speed of image FFTs
by packing alternating scanlines into the real and imaginary parts of the signal being
transformed.
 Parseval’s Theorem: The energy (sum of squared values) of a signal is the same as
the energy of its Fourier transform.
All of these properties arerelatively straightforwardtoprove (seeExercise3.15) andtheywill
come in handy later in the book, e.g., when designing optimum Wiener ﬁlters (Section3.4.3)
or performingfast image correlations (Section8.1.2).
3.4.1 Fourier transform pairs
Now that we have these properties in place, let us look at the Fourier transform pairs of some
commonly occurring ﬁlters and signals, as listed in Table3.2. In more detail, these pairs are
as follows:
 Impulse: The impulse response has a constant (all frequency) transform.
 Shifted impulse: The shifted impulse has unit magnitude and linear phase.
 Box ﬁlter: The box (moving average) ﬁlter
box(x) =
(
1 if jxj  1
0 else
(3.55)
has a sinc Fourier transform,
sinc(!) =
sin !
!
;
(3.56)
which has an inﬁnite number of side lobes. Conversely, the sinc ﬁlter is an ideal low-
pass ﬁlter. For a non-unit box, the width of the box a and the spacing of the zero
crossings in the sinc 1=a are inversely proportional.
 Tent: The piecewise linear tent function,
tent(x) = max(0;1   jxj);
(3.57)
has a sinc
2
Fourier transform.
 Gaussian: The (unit area) Gaussian of width ,
G(x;) =
1
p
2
e
x
2
2
2
;
(3.58)
has a (unit height) Gaussian of width 
1
as its Fourier transform.
3.4 Fourier transforms
137
Name
Signal
Transform
impulse
-0.5
0.0
0.5
1.0
-1.0000
-0.5000
0.0000
0.5000
1.0000
(x)
,
1
-0.5
0.0
0.5
1.0
-0.5000
0.0000
0.5000
shifted
impulse
-0.5
0.0
0.5
1.0
-1.0000
-0.5000
0.0000
0.5000
1.0000
(x   u)
,
e
j!u
-0.5
0.0
0.5
1.0
-0.5000
0.0000
0.5000
box ﬁlter
-0.5
0.0
0.5
1.0
-1.0000
-0.5000
0.0000
0.5000
1.0000
box(x=a)
,
asinc(a!)
-0.5
0.0
0.5
1.0
-0.5000
0.0000
0.5000
tent
-0.5
0.0
0.5
1.0
-1.0000
-0.5000
0.0000
0.5000
1.0000
tent(x=a)
,
asinc
2
(a!)
-0.5
0.0
0.5
1.0
-0.5000
0.0000
0.5000
Gaussian
-0.5
0.0
0.5
1.0
-1.0000
-0.5000
0.0000
0.5000
1.0000
G(x;)
,
p
2
G(!;
1
)
-0.5
0.0
0.5
1.0
-0.5000
0.0000
0.5000
Laplacian
of Gaussian
-0.5
0.0
0.5
1.0
-1.0000
-0.5000
0.0000
0.5000
1.0000
(
x
2
4
1
2
)G(x;)
,
p
2
!2G(!; 1)
-0.5
0.0
0.5
1.0
-0.5000
0.0000
0.5000
Gabor
-0.5
0.0
0.5
1.0
-1.0000
-0.5000
0.0000
0.5000
1.0000
cos(!
0
x)G(x;)
,
p
2
G(!  !
0
;
1
)
-0.5
0.0
0.5
1.0
-0.5000
0.0000
0.5000
unsharp
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
-1.0000
-0.5000
0.0000
0.5000
1.0000
(1 +  )(x)
G(x;)
,
(1+  )
p
2
G(!;
1
)
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
-0.5000
0.0000
0.5000
windowed
sinc
-0.5
0.0
0.5
1.0
-1.0000
-0.5000
0.0000
0.5000
1.0000
rcos(x=(aW))
sinc(x=a)
,
(see Figure3.29)
-0.5
0.0
0.5
1.0
-0.5000
0.0000
0.5000
Table 3.2 Some useful (continuous) Fourier transform pairs: The dashed line in the Fourier
transform of the shifted impulse indicates its (linear) phase. All other transforms have zero
phase (they are real-valued). Note that the ﬁgures are not necessarily drawn to scale but
are drawn to illustrate the general shape and characteristics of the ﬁlter or its response. In
particular, the Laplacian of Gaussianis drawninverted because it resembles more a “Mexican
hat”, as it is sometimes called.