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6.3 Geometric intrinsic calibration
329
(a)
(b)
Figure 6.8 Calibrationpatterns: (a) a three-dimensionaltarget(QuanandLan1999)
c
1999
IEEE; (b) a two-dimensional target (Zhang2000)  c 2000 IEEE. Note that radial distortion
needs to be removedfrom such images before the feature points can be used for calibration.
by the calibration matrix K and non-linear effects such as radial distortion (Section6.3.5).
Aless cumbersome but also less accurate calibration can be obtained by waving a pla-
nar calibration pattern in front of a camera (Figure6.8b). In this case, the pattern’s pose
has (in principle) to be recovered in conjunction with the intrinsics. In this technique, each
input image is used to compute a separate homography (6.196.23)
~
Hmapping the plane’s
calibration points (X
i
;Y
i
;0) into image coordinates (x
i
;y
i
),
x
i
=
2
6
4
x
i
y
i
1
3
7
5
K
h
r
0
r
1
t
i
2
6
4
X
i
Y
i
1
3
7
5
~
Hp
i
;
(6.49)
where the r
i
are the first two columns of R and  indicates equality up to scale. From
these, Zhang (2000) shows how to form linear constraints on the nine entries in the B =
K
T
K
1
matrix, from which the calibration matrix K can be recovered using a matrix
square root and inversion. (The matrix B is known as the image of the absolute conic (IAC)
in projective geometry and is commonly used for camera calibration (HartleyandZisserman
2004,Section7.5).)Ifonlythefocallengthisbeingrecovered,theevensimplerapproachof
using vanishing points can be used instead.
6.3.2 Vanishing points
Acommon case for calibration that occurs often in practice is when the camera is looking at
aman-made scene with strong extended rectahedral objects such as boxes or room walls. In
this case, we can intersect the 2D lines corresponding to 3D parallel lines to compute their
vanishing points, as described in Section4.3.3, and use these to determine the intrinsic and
extrinsic calibration parameters (CaprileandTorre1990;BeckerandBove1995;Liebowitz
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330
Computer Vision: Algorithms and Applications (September 3, 2010 draft)
x
1
x
0
x
2
x
1
x
0
x
2
c
(a)
(b)
Figure 6.9 Calibrationfrom vanishing points: (a) any pair of finite vanishing points (^x
i
;^x
j
)
can be used to estimate the focal length; (b) the orthocenter of the vanishing point triangle
gives the optical center of the image c.
and Zisserman 1998; Cipolla, Drummond, and Robertson 1999; Antone and Teller 2002;
Criminisi, Reid, and Zisserman 2000; Hartley and Zisserman 2004; Pflugfelder 2008).
Letus assumethatwehavedetectedtwo or moreorthogonalvanishingpoints, allof which
are finite, i.e., they are not obtained from lines that appear to be parallel in the image plane
(Figure6.9a). Let us also assume a simplified form for the calibration matrix K where only
the focal length is unknown (2.59). (It is often safe for rough 3D modeling to assume that
the optical center is at the center of the image, that the aspect ratio is 1, and that there is no
skew.) In this case, the projection equation for the vanishing points can be written as
^x
i
=
2
6
4
x
i
c
x
y
i
c
y
f
3
7
5
Rp
i
=r
i
;
(6.50)
where p
i
corresponds to one of the cardinal directions (1;0;0), (0;1;0), or (0;0;1), and r
i
is the ith column of the rotation matrix R.
From the orthogonalitybetween columns of the rotation matrix, we have
r
i
r
j
(x
i
c
x
)(x
j
c
y
)+ (y
i
c
y
)(y
j
c
y
)+ f
2
=0
(6.51)
from which we canobtainanestimatefor f
2
.Notethat the accuracy of this estimateincreases
as the vanishing points move closer tothe center of the image. In other words, it is best to tilt
the calibrationpatterna decentamountaroundthe 45 axis, as in Figure6.9a. Once the focal
length f has been determined, the individual columns of R can be estimated by normalizing
the left hand side of (6.50) and taking cross products. Alternatively, an SVD of the initial R
estimate, which is a variant on orthogonal Procrustes (6.32), can be used.
If all three vanishing points are visible and finite in the same image, it is also possible to
estimate the optical center as the orthocenter of the triangle formed by the three vanishing
points (CaprileandTorre1990HartleyandZisserman2004, Section 7.6) (Figure6.9b).
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6.3 Geometric intrinsic calibration
331
(a)
(b)
Figure 6.10 Single view metrology (Criminisi, Reid, , and d Zisserman n 2000)  c 2000
Springer: (a) input image showing the three coordinate axes computed from the two hori-
zontal vanishing points (which can be determined from the sidings on the shed); (b) a new
view of the 3D reconstruction.
In practice, however, it is more accurate to re-estimate any unknown intrinsic calibration
parameters using non-linear least squares (6.42).
6.3.3 Application: Single view metrology
Afun application of vanishing point estimation and camera calibration is the single view
metrology system developed byCriminisi,Reid,andZisserman(2000). Their system allows
people to interactively measure heights and other dimensions as well as to build piecewise-
planar 3D models, as shown in Figure6.10.
The first stepin their system is to identify two orthogonal vanishing points on the ground
plane and the vanishing point for the vertical direction, which can be done by drawing some
parallel sets of lines in the image. (Alternatively, automated techniques such as those dis-
cussed in Section4.3.3 or bySchaffalitzkyandZisserman (2000) could be used.) The user
then marks a few dimensions in the image, such as the height of a reference object, and
the system can automatically compute the height of another object. Walls and other planar
impostors (geometry) can also be sketched and reconstructed.
In the formulation originally developed byCriminisi,Reid,andZisserman(2000), the
system produces an affine reconstruction, i.e., one that is only known up to a set of indepen-
dent scaling factors along each axis. A potentially more useful system can be constructed by
assuming that the camera is calibrated up to an unknown focal length, which can be recov-
ered from orthogonal (finite) vanishing directions, as we just describedinSection6.3.2. Once
this is done, the user can indicate an origin on the ground plane and another point a known
distance away. From this, points on the ground plane can be directly projected into 3D and
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332
Computer Vision: Algorithms and Applications (September 3, 2010 draft)
Figure 6.11 Four images taken with a hand-held camera registered using a 3D rotation
motion model, which can be used to estimate the focal length of the camera (Szeliskiand
Shum 1997) c 2000ACM.
points above the ground plane, when paired with their ground plane projections, can also be
recovered. A fully metric reconstruction of the scene then becomes possible.
Exercise6.9 has you implement such a system and then use it to model some simple
3Dscenes. Section12.6.1describes other, potentially multi-view, approaches to architectural
reconstruction, includinganinteractivepiecewise-planar modelingsystem thatuses vanishing
points to establish 3D line directions and plane normals (Sinha,Steedly,Szeliskietal.2008).
6.3.4 Rotational motion
When no calibration targets or known structures are available but you can rotate the camera
around its front nodal point (or, equivalently, work in a large open environment where all ob-
jects are distant), the camera can be calibrated from a set of overlappingimages by assuming
that it is undergoing pure rotational motion, as shown in Figure6.11 (Stein1995;Hartley
1997b; Hartley, Hayman, de Agapito et al. 2000; de Agapito, Hayman, and Reid 2001; Kang
and Weiss 1999; Shum and Szeliski 2000; Frahm and Koch 2003). Whenafull360
mo-
tion is used to perform this calibration, a very accurate estimate of the focal length f can be
obtained, as the accuracy in this estimate is proportional to the total number of pixels in the
resulting cylindrical panorama (Section9.1.6) (Stein1995;ShumandSzeliski2000).
To use this technique, we first compute the homographies
~
H
ij
between all overlapping
pairs of images, as explained in Equations (6.196.23). Then, we use the observation, first
made in Equation (2.72) and explored in more detail in Section9.1.3 (9.5), that each homog-
raphy is related to the inter-camera rotation R
ij
through the (unknown) calibration matrices
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6.3 Geometric intrinsic calibration
333
K
i
and K
j
,
~
H
ij
=K
i
R
i
R
1
j
K
1
j
=K
i
R
ij
K
1
j
:
(6.52)
The simplest way to obtain the calibration is to use the simplified form of the calibra-
tion matrix (2.59), where we assume that the pixels are square and the optical center lies at
the center of the image, i.e., K
k
= diag(f
k
;f
k
;1). (We number the pixel coordinates ac-
cordingly, i.e., place pixel (x;y) = (0;0) at the center of the image.) We can then rewrite
Equation (6.52) as
R
10
K
1
1
~
H
10
K
0
2
6
4
h
00
h
01
f
1
0
h
02
h
10
h
11
f
1
0
h
12
f
1
h
20
f
1
h
21
f
1
0
f
1
h
22
3
7
5
;
(6.53)
where h
ij
are the elements of
~
H
10
.
Using the orthonormality properties of the rotation matrix R
10
and the fact that the right
hand side of (6.53) is known only up to a scale, we obtain
h
2
00
+h
2
01
+f
2
0
h
2
02
=h
2
10
+h
2
11
+f
2
0
h
2
12
(6.54)
and
h
00
h
10
+h
01
h
11
+f
2
0
h
02
h
12
=0:
(6.55)
From this, we can compute estimates for f
0
of
f
2
0
=
h
2
12
h
2
02
h
2
00
+h
2
01
h
2
10
h
2
11
if h
2
00
+h
2
01
6= h
2
10
+h
2
11
(6.56)
or
f
2
0
h
02
h
12
h
00
h
10
+h
01
h
11
if h
00
h
10
6=  h
01
h
11
:
(6.57)
(Note that the equations originally given bySzeliskiandShum (1997) are erroneous; the
correct equations are given byShumandSzeliski(2000).) If neither of these conditions
holds, we can also take the dot products between the first (or second) row and the third one.
Similar results can be obtained for f
1
as well, by analyzing the columns of
~
H
10
.If the focal
length is the same for both images, we can take the geometric mean of f
0
and f
1
as the
estimated focal length f =
p
f
1
f
0
. When multiple estimates of f are available, e.g., from
different homographies, the median value can be used as the final estimate.
Amore general (upper-triangular) estimate of K can be obtained in the case of a fixed-
parameter camera K
i
= K using the technique ofHartley(1997b). Observe from (6.52)
that R
ij
 K
~
H
ij
K and R
T
ij
 K
~
H
T
ij
K
T
. Equating R
ij
= R
T
ij
we obtain
K
1
~
H
ij
K K
T
~
H
T
ij
K
T
,from which we get
~
H
ij
(KK
T
) (KK
T
)
~
H
T
ij
:
(6.58)
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334
Computer Vision: Algorithms and Applications (September 3, 2010 draft)
This provides us with some homogeneous linear constraints on the entries in A = KK
T
,
which is known as the dual of the image of the absolute conic (Hartley1997b;Hartleyand
Zisserman 2004).(Recallthatwhenweestimateahomography,wecanonlyrecoveritupto
an unknown scale.) Given a sufficient number of independent homography estimates
~
H
ij
,
we can recover A (up to a scale) using either SVD or eigenvalue analysis and then recover
Kthrough Cholesky decomposition (AppendixA.1.4). Extensions tothe cases of temporally
varyingcalibrationparameters andnon-stationarycameras arediscussedbyHartley,Hayman,
de Agapito et al.(2000)and de Agapito, Hayman, and Reid(2001).
The quality of the intrinsic camera parameters can be greatly increased by constructing a
full 360 panorama, since mis-estimating the focal length will result in a gap (or excessive
overlap) when the first image in the sequence is stitched to itself (Figure9.5). The resulting
mis-alignment can be used to improve the estimate of the focal length and to re-adjust the
rotation estimates, as described in Section9.1.4. Rotating the camera by 90 around its optic
axis and re-shooting the panorama is a good way to check for aspect ratio and skew pixel
problems, as is generating a full hemi-spherical panorama when there is sufficient texture.
Ultimately, however, the most accurate estimate of the calibration parameters (including
radial distortion) can be obtained using a full simultaneous non-linear minimization of the
intrinsic and extrinsic (rotation) parameters, as described in Section9.2.
6.3.5 Radial distortion
When images are taken with wide-angle lenses, it is often necessary to model lens distor-
tions such as radial distortion. As discussed in Section2.1.6, the radial distortion model
says that coordinates in the observed images are displaced away from (barrel distortion) or
towards (pincushion distortion) the image center by an amount proportional to their radial
distance (Figure2.13a–b). The simplest radial distortion models use low-order polynomials
(c.f. Equation (2.78)),
^x = x(1 + 
1
r
2
+
2
r
4
)
^y = y(1 + 
1
r
2
+
2
r
4
);
(6.59)
where r
2
=x
2
+y
2
and 
1
and 
2
are called the radial distortion parameters (Brown1971;
Slama 1980).
13
Avariety of techniques can be used to estimate the radial distortion parameters for a
given lens.
14
One of the simplest and most useful is to take an image of a scene with a lot
13 Sometimes therelationshipbetween xand ^xisexpressedtheotherway around, i.e., using primed(final)
coordinates on the right-hand side, x = ^x(1 + 
1
^r
2
+
2
^r
4
). This is convenient if we map image pixels into
(warped)rays and then undistort therays to obtain 3Drays in space, i.e.,ifweare usinginversewarping.
14
Some oftoday’s digitalcameras arestarting to removeradial distortion using softwarein the cameraitself.
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6.4 Additional reading
335
of straight lines, especially lines aligned with and near the edges of the image. The radial
distortion parameters can then be adjusted until all of the lines in the image are straight,
which is commonly called the plumb-line method (Brown1971;Kang2001;El-Melegyand
Farag 2003).Exercise6.10givessomemoredetailsonhowtoimplementsuchatechnique.
Another approach is to use several overlapping images and to combine the estimation
of the radial distortion parameters with the image alignment process, i.e., by extending the
pipeline used for stitching in Section9.2.1SawhneyandKumar (1999) use a hierarchy
of motion models (translation, affine, projective) in a coarse-to-fine strategy coupled with
aquadratic radial distortion correction term. They use direct (intensity-based) minimiza-
tion to compute the alignment. Stein (1997) uses a feature-based approach combined with
ageneral 3D motion model (and quadratic radial distortion), which requires more matches
than a parallax-free rotational panorama but is potentially more general. More recent ap-
proaches sometimes simultaneously compute both the unknown intrinsic parameters and the
radialdistortion coefficients, which mayincludehigher-order terms or more complexrational
or non-parametric forms (ClausandFitzgibbon2005;Sturm2005;ThirthalaandPollefeys
2005; Barreto and Daniilidis 2005; Hartley and Kang 2005; Steele and Jaynes 2006; Tardif,
Sturm, Trudeau et al. 2009).
When a known calibration target is being used (Figure6.8), the radial distortion estima-
tion can be folded into the estimation of the other intrinsic and extrinsic parameters (Zhang
2000; Hartley and Kang 2007; Tardif, Sturm, Trudeau et al. 2009). Thiscanbeviewedas
adding another stage to the general non-linear minimization pipeline shown in Figure6.5
between the intrinsic parameter multiplication box f
C
and the perspective division box f
P
.
(See Exercise6.11 on more details for the case of a planar calibration target.)
Of course, as discussed in Section2.1.6, more general models of lens distortion, such as
fisheye and non-central projection, may sometimes be required. While the parameterization
of such lenses may be more complicated (Section2.1.6), the general approach of either us-
ing calibration rigs with known 3D positions or self-calibration through the use of multiple
overlapping images of a scene can both be used (HartleyandKang2007;Tardif,Sturm,and
Roy 2007). Thesametechniquesusedtocalibrateforradialdistortioncanalsobeusedto
reduce the amount of chromatic aberration by separately calibrating each color channel and
then warping the channels to put them back into alignment (Exercise6.12).
6.4 Additional reading
Hartley and Zisserman(2004)provideawonderfulintroductiontothetopicsoffeature-based
alignment and optimal motion estimation, as well as an in-depth discussion of camera cali-
bration and pose estimation techniques.
336
Computer Vision: Algorithms and Applications (September 3, 2010 draft)
Techniques for robust estimation are discussed in more detail in AppendixB.3 and in
monographs and reviewarticles on this topic (Huber1981;Hampel,Ronchetti,Rousseeuwet
al. 1986; Rousseeuw and Leroy 1987; Black and Rangarajan 1996; Stewart 1999).Themost
commonly used robust initialization technique in computer vision is RANdom SAmple Con-
sensus (RANSAC) (FischlerandBolles1981), which has spawned a series of more efficient
variants (Nist´er2003;ChumandMatas2005).
The topic of registering 3D point data sets is called absolute orientation (Horn1987) and
3D pose estimation (Lorusso,Eggert, andFisher1995). A variety of techniques has been
developed for simultaneously computing 3D point correspondences and their corresponding
rigid transformations (BeslandMcKay1992;Zhang1994;SzeliskiandLavall´ee1996;Gold,
Rangarajan, Luetal. 1998; David, DeMenthon, Duraiswamiet al. 2004;LiandHartley 2007;
Enqvist, Josephson, and Kahl 2009).
Camera calibrationwas firststudiedinphotogrammetry(Brown1971;Slama1980;Atkin-
son 1996; Kraus 1997)butithasalsobeenwidelystudiedincomputervision(Tsai 1987;
Gremban, Thorpe, and Kanade 1988; Champleboux, Lavall´ee, Szeliski et al. 1992; Zhang
2000; Grossberg and Nayar 2001). Vanishingpointsobservedeitherfromrectahedralcali-
bration objects or man-made architecture are often used to perform rudimentary calibration
(CaprileandTorre1990;BeckerandBove1995;LiebowitzandZisserman1998;Cipolla,
Drummond, and Robertson 1999; Antone and Teller 2002; Criminisi, Reid, and Zisserman
2000;HartleyandZisserman2004;Pflugfelder 2008).Performingcameracalibrationwithout
using known targets is knownas self-calibration and is discussed in textbooks and surveys on
structure from motion (Faugeras,Luong,andMaybank1992;HartleyandZisserman2004;
Moons, Van Gool, and Vergauwen 2010). Onepopularsubsetofsuchtechniquesusespure
rotational motion (Stein1995;Hartley1997b;Hartley,Hayman,deAgapitoetal.2000;de
Agapito, Hayman, and Reid 2001; Kang and Weiss 1999; Shum and Szeliski 2000; Frahm
and Koch 2003).
6.5 Exercises
Ex 6.1: Feature-based image alignment for flip-book animations Takea setof photos of
an action scene or portrait (preferably in motor-drive—continuous shooting—mode) and
align them to make a composite or flip-book animation.
1. Extract features andfeature descriptors using some of the techniques described inSec-
tions4.1.14.1.2.
2. Match your features using nearest neighbor matching with a nearest neighbor distance
ratio test (4.18).
6.5 Exercises
337
3. Compute an optimal 2D translation and rotation between the first image and all subse-
quentimages, usingleastsquares (Section6.1.1) withoptionalRANSACfor robustness
(Section6.1.4).
4. Resampleallof the images onto the firstimage’s coordinate frame (Section3.6.1) using
either bilinear or bicubic resampling and optionally cropthem to their common area.
5. Convert the resulting images into an animated GIF (using software available from the
Web) or optionally implement cross-dissolves to turn them into a “slo-mo” video.
6. (Optional) Combine this technique with feature-based (Exercise3.25) morphing.
Ex 6.2: Panography Create the kind of panograph discussed in Section6.1.2 and com-
monly found on the Web.
1. Take a series of interestingoverlapping photos.
2. Use the feature detector, descriptor, and matcher developed in Exercises4.14.4 (or
existing software) to match features among the images.
3. Turn each connected component of matching features into a track, i.e., assign a unique
index i to each track, discarding any tracks that are inconsistent (contain two different
features in the same image).
4. Compute a global translation for each image using Equation (6.12).
5. Since your matches probably contain errors, turn the above least square metric into a
robust metric(6.25) and re-solve your system using iteratively reweightedleastsquares.
6. Compute the size of the resulting composite canvas and resample each image into its
final position on the canvas. (Keeping track of bounding boxes will make this more
efficient.)
7. Average all of the images, or choose some kind of ordering and implement translucent
over compositing (3.8).
8. (Optional) Extend your parametric motion model to include rotations and scale, i.e.,
the similarity transform given in Table6.1. Discuss how you could handle the case of
translations and rotations only (no scale).
9. (Optional) Write a simple tool to let the user adjust the ordering and opacity, and add
or remove images.
338
Computer Vision: Algorithms and Applications (September 3, 2010 draft)
10. (Optional) Write down a different least squares problem that involves pairwise match-
ing of images. Discuss why this might be better or worse than the global matching
formula given in (6.12).
Ex 6.3: 2D rigid/Euclidean matching Severalalternativeapproachesaregiven inSection6.1.3
for estimatinga 2D rigid (Euclidean) alignment.
1. Implement the various alternatives and compare their accuracy on synthetic data, i.e.,
random 2D point clouds with noisy feature positions.
2. One approach is to estimate the translations from the centroids and then estimate ro-
tation in polar coordinates. Do you need to weight the angles obtained from a polar
decomposition in some way to get the statistically correct estimate?
3. How can you modify your techniques to take into account either scalar (6.10) or full
two-dimensional point covariance weightings (6.11)? Do all of the previously devel-
oped “shortcuts” still work or does full weightingrequire iterative optimization?
Ex 6.4: 2D match move/augmented reality Replace a picture in a magazine or a book
with a different image or video.
1. With a webcam, take a picture of a magazine or bookpage.
2. Outline a figure or picture on the page with a rectangle, i.e., drawover the four sides as
they appear in the image.
3. Matchfeatures inthis area with each new image frame.
4. Replace the original image with an “advertising” insert, warping the new image with
the appropriate homography.
5. Try your approach on a clip from a sporting event (e.g., indoor or outdoor soccer) to
implement a billboard replacement.
Ex 6.5: 3D joystick Track a Rubik’s cube to implement a 3D joystick/mouse control.
1. Get out an old Rubik’s cube (or get one from your parents).
2. Write a program to detect the center of each colored square.
3. Groupthese centers into lines and then find the vanishing points for each face.
4. Estimate the rotation angle and focal length from the vanishing points.
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