c# pdf reader text : Delete page on pdf document software application dll winforms azure wpf web forms TaoMeasureTheory2-part700

1.1. Prologue: The problem of measure
5
Assuch, theyareparticularlywell suited
3
for applicationsin analysis,
where limits of functions or sets arise all the time.
In later sections, we will formally dene Lebesgue measure and
the Lebesgue integral, as well as the more general concept of an ab-
stract measure space and the associated integration operation. In
the rest of the current section, we will discuss the more elementary
concepts of Jordan measure and the Riemann integral. This mate-
rial will eventually be superceded by the more powerful theory to be
treated in later sections; but it will serve as motivation for that later
material, as well as providing some continuity with the treatment of
measure and integration in undergraduate analysis courses.
1.1.1. Elementary measure. Before we discuss Jordan measure,
we discuss the even simpler notion of elementary measure, which al-
lows oneto measurea verysimpleclassofsets, namelythe elementary
sets (nite unions of boxes).
Denition 1.1.1 (Intervals, boxes, elementary sets). An interval is
asubset of R of the form [a;b] := fx 2 R : a  x  bg, [a;b) := fx 2
R: a  x < bg, (a;b] := fx 2 R : a < x  bg, or (a;b) := fx 2 R :
a< x < bg, where a  b are real numbers. We dene the length
4
jIj
of an interval I = [a;b];[a;b);(a;b];(a;b) to be jIj := b  a. A box in
R
d
is a Cartesian product B := I
1
:::  I
d
of d intervals I
1
;:::;I
d
(not necessarily of the same length), thus for instance an interval is
aone-dimensional box. The volume jBj of such a box B is dened as
jBj := jI
1
j::: jI
d
j. An elementary set is any subset of R
d
which
is the union of a nite number of boxes.
Exercise 1.1.1 (Boolean closure). Show that if E;F  R
d
are ele-
mentary sets, then the union E [F, the intersection E \F, and the
set theoretic dierence EnF := fx 2 E : x 62Fg, and the symmetric
dierence EF := (EnF) [(FnE) are also elementary. If x 2 R
d
,
show that the translate E+x := fy+x : y 2 Eg is also an elementary
set.
3
There are other ways to extend Jordan measure andthe Riemann integral, see
for instance Exercise 1.6.53 orSection1.7.3,butthe Lebesgue approachhandles limits
and rearrangement better than the other alternatives, and so has become the stan-
dardapproachin analysis; itis alsoparticularly well suitedforprovidingthe rigorous
foundationsofprobability theory,asdiscussed inSection2.3.
4
Note we allow degenerate intervalsofzero length.
Delete page on pdf document - remove PDF pages in C#.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
Provides Users with Mature Document Manipulating Function for Deleting PDF Pages
delete page from pdf file online; add remove pages from pdf
Delete page on pdf document - VB.NET PDF Page Delete Library: remove PDF pages in vb.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
Visual Basic Sample Codes to Delete PDF Document Page in .NET
delete pages from a pdf document; delete blank page from pdf
6
1. Measure theory
We now give each elementary set a measure.
Lemma 1.1.2 (Measure of an elementary set). Let E  R
d
be an
elementary set.
(i) E can be expressed as the nite union of disjoint boxes.
(ii) If E is partitioned as the nite union B
1
[:::[B
k
of disjoint
boxes, then the quantity m(E) := jB
1
j+ ::: +jB
k
jis inde-
pendent of the partition. In other words, given any other
partition B
0
1
[::: [B
0
k0
of E, one has jB
1
j+ ::: + jB
k
j=
jB
0
1
j+ ::: +jB
0
k0
j.
We refer to m(E) as the elementary measure of E. (We occasionally
write m(E) as m
d
(E) to emphasise the d-dimensional nature of the
measure.) Thus, for example, the elementary measure of (1;2)[[3;6]
is 4.
Proof. We rst prove (i) in the one-dimensional case d = 1. Given
any nite collection of intervals I
1
;:::;I
k
,one can place the 2k end-
points of these intervals in increasing order (discarding repetitions).
Looking at the open intervals between theseendpoints, together with
the endpoints themselves (viewed as intervals of length zero), we see
that there exists a nite collection of disjoint intervals J
1
;:::;J
k0
such that each of the I
1
;:::;I
k
are a union of some subcollection of
the J
1
;:::;J
k0
. This already gives (i) when d = 1. To prove the
higher dimensional case, we express E as the union B
1
;:::;B
k
of
boxes B
i
=I
i;1
:::  I
i;d
. For each j = 1;:::;d, we use the one-
dimensional argument to express I
1;j
;:::;I
k;j
as the union of sub-
collections of a collection J
1;j
;:::;J
k0
j
;j
of disjoint intervals. Taking
Cartesian products, we can express the B
1
;:::;B
k
as nite unions of
boxes J
i
1
;1
:::  J
i
d
;d
,where 1  i
j
k
0
j
for all 1  j  d. Such
boxes are all disjoint, and the claim follows.
To prove(ii)weusea discretisation argument. Observe(exercise!)
thatforanyinterval I, thelengthofI can be recoveredbythelimiting
formula
jIj = lim
N!1
1
N
#(I \
1
N
Z)
C# PDF Page Insert Library: insert pages into PDF file in C#.net
page processing functions, such as how to merge PDF document files by C# code, how to rotate PDF document page, how to delete PDF page using C# .NET, how to
cut pages from pdf reader; delete blank page in pdf online
C# PDF File & Page Process Library SDK for C#.net, ASP.NET, MVC
Page Process. File: Merge, Append PDF Files. File: Split PDF Document. File: Compress PDF. Page: Create Thumbnails. Page: Insert PDF Pages. Page: Delete Existing
add and remove pages from pdf file online; delete page from pdf document
1.1. Prologue: The problem of measure
7
where
1
N
Z:= f
n
N
:n2 Zg and #A denotes the cardinality of a nite
set A. Taking Cartesian products, we see that
jBj = lim
N!1
1
Nd
#(B \
1
N
Z
d
)
for any box B, and in particular that
jB
1
j+::: +jB
k
j= lim
N!1
1
Nd
#(E \
1
N
Z
d
):
Denoting the right-hand side as m(E), we obtain the claim (ii). 
Exercise 1.1.2. Givean alternateproof ofLemma 1.1.2(ii)by show-
ing that any two partitions ofE into boxes admit a mutual renement
into boxesthatarise from taking Cartesian products of elements from
nite collections of disjoint intervals.
Remark 1.1.3. One might be tempted to now dene the measure
m(E) of an arbitrary set E  Rd by the formula
(1.1)
m(E):= lim
N!1
1
Nd
#(E \
1
N
Z
d
);
since this worked well for elementary sets. However, this denition
is not particularly satisfactory for a number of reasons. Firstly, one
can concoct examples in which the limit does not exist (Exercise!).
Even when the limit does exist, this concept does notobeyreasonable
properties such as translation invariance. For instance, if d = 1 and
E:= Q\[0;1] := fx 2 Q : 0  x  1g, then thisdenitionwould give
Ea measure of 1, but would give the translate E +
p
2:= fx +
p
2:
x2 Q;0  x  1g a measure of zero. Nevertheless, the formula (1.1)
will be valid for all Jordan measurable sets (see Exercise 1.1.13). It
also makes preciseanimportantintuition, namely thatthecontinuous
concept of measure can be viewed
5
as a limit of the discrete concept
of (normalised) cardinality.
From the denitions, it is clear that m(E) is a non-negative real
number for every elementary set E, and that
m(E [F) = m(E)+m(F)
5
Another way to obtain continuous measure as the limit of discrete measure is
via MonteCarlo integration,althoughinorderto rigorously introducethe probability
theoryneededtosetupMonte Carlointegrationproperly,one already needstodevelop
alarge part of measure theory, so this perspective,while intuitive, is not suitable for
foundationalpurposes.
VB.NET PDF Page Insert Library: insert pages into PDF file in vb.
Easy to Use VB.NET APIs to Add a New Blank Page to PDF Document in VB.NET Program. DLLs for Adding Page into PDF Document in VB.NET Class.
copy pages from pdf to word; delete pages from pdf preview
VB.NET PDF File & Page Process Library SDK for vb.net, ASP.NET
document. If you find certain page in your PDF document is unnecessary, you may want to delete this page directly. Moreover, when
delete blank pages in pdf online; delete pages from pdf without acrobat
8
1. Measure theory
whenever E and F aredisjoint elementary sets. We refer to thelatter
property as nite additivity; by induction it also implies that
m(E
1
[:::[E
k
)= m(E
1
)+::: +m(E
k
)
whenever E
1
;:::;E
k
are disjoint elementary sets. We also have the
obvious degenerate case
m(;) = 0:
Finally, elementary measure clearly extends the notion of volume, in
the sense that
m(B) = jBj
for all boxes B.
From non-negativity and nite additivity (and Exercise1.1.1) we
conclude the monotonicity property
m(E)  m(F)
whenever E  F are nested elementary sets. From this and nite
additivity (andExercise 1.1.1)weeasily obtain the nite subadditivity
property
m(E [F)  m(E)+m(F)
whenever E;F are elementary sets (not necessarily disjoint); by in-
duction one then has
m(E
1
[:::[E
k
) m(E
1
)+::: +m(E
k
)
whenever E
1
;:::;E
k
are elementary sets (not necessarily disjoint).
It is also clear from the denition that we have the translation
invariance
m(E +x) = m(E)
for all elementary sets E and x 2Rd.
Theseproperties in fact dene elementary measure up to normal-
isation:
Exercise 1.1.3 (Uniqueness of elementary measure). Let d  1. Let
m
0
:E(R
d
)! R
+
be a map from the collection E(R
d
)of elementary
subsets of R
d
to the nonnegative reals that obeys the non-negativity,
nite additivity, and translation invariance properties. Show that
there exists a constant c 2 R
+
such that m
0
(E) = cm(E) for all
VB.NET PDF Page Extract Library: copy, paste, cut PDF pages in vb.
Dim filepath As String = "" Dim outPutFilePath As String = "" Dim doc As PDFDocument = New PDFDocument(filepath) ' Copy the first page of PDF document.
delete pages pdf online; acrobat export pages from pdf
C# PDF Page Extract Library: copy, paste, cut PDF pages in C#.net
String filepath = @""; String outPutFilePath = @""; PDFDocument doc = new PDFDocument(filepath); // Copy the first page of PDF document.
add or remove pages from pdf; delete pages from a pdf file
1.1. Prologue: The problem of measure
9
elementary sets E. In particular, if we imposethe additional normal-
isation m0([0;1)d) = 1, then m0  m. (Hint: Set c := m0([0;1)d), and
then compute m
0
([0;
1
n
)
d
)for any positive integer n.)
Exercise 1.1.4. Let d
1
;d
2
 1, and let E
1
 R
d
1
, E
2
 R
d
2
be
elementary sets. Show that E
1
E
2
 R
d
1
+d
2
is elementary, and
md
1
+d
2
(E
1
E
2
)= md
1
(E
1
)md
2
(E
2
).
1.1.2. Jordan measure. Wenow havea satisfactorynotion ofmea-
sureforelementarysets. But of course, the elementary sets are a very
restrictive class of sets, far too small for most applications. For in-
stance, a solid triangle or disk in the plane will not be elementary, or
even a rotated box. On the other hand, as essentially observed long
ago by Archimedes, such sets E can beapproximated fromwithin and
without by elementary sets A  E  B, and the inscribing elemen-
tary set A and the circumscribing elementary set B can be used to
give lower and upper bounds on the putative measure of E. As one
makes the approximating sets A;B increasingly ne, one can hope
that these two bounds eventually match. This gives rise to the fol-
lowing denitions.
Denition 1.1.4 (Jordan measure). Let E  R
d
be a bounded set.
 The Jordan inner measure m
;(J)
(E) of E is dened as
m
;(J)
(E) :=
sup
AE;A
elementary
m(A):
 The Jordan outer measure m;(J)(E) of E is dened as
m
;(J)
(E) :=
inf
BE;B
elementary
m(B):
 If m
;(J)
(E) = m
;(J)
(E), then we say that E is Jordan
measurable, and call m(E) := m
;(J)
(E) = m
;(J)
(E) the
Jordan measure of E. As before, we write m(E) as md(E)
when we wish to emphasise the dimension d.
By convention, wedo not consider unbounded sets to be Jordan mea-
surable (they will be deemed to have innite Jordan outer measure).
Jordan measurable sets are those sets which are \almost elemen-
tary" with respect to Jordan outer measure. More precisely, we have
C# PDF metadata Library: add, remove, update PDF metadata in C#.
C#.NET PDF SDK - Edit PDF Document Metadata in C#.NET. Allow C# Developers to Read, Add, Edit, Update and Delete PDF Metadata in .NET Project.
delete a page from a pdf without acrobat; delete pages from a pdf
VB.NET PDF delete text library: delete, remove text from PDF file
187.0F) Dim aChar As PDFTextCharacter = textMgr.SelectChar(page, cursor) ' delete a selected As String = Program.RootPath + "\\" output.pdf" doc.Save
delete pages from a pdf online; delete pages from pdf in reader
10
1. Measure theory
Exercise 1.1.5 (Characterisation of Jordan measurability). Let E 
Rd be bounded. Show that the following are equivalent:
(1) E is Jordan measurable.
(2) For every " > 0, there exist elementary sets A  E  B
such that m(BnA)  ".
(3) For every " > 0, there exists an elementary set A such that
m;(J)(AE)  ".
As onecorollary of this exercise, wesee that everyelementary set
E is Jordan measurable, and that Jordan measure and elementary
measure coincidefor such sets; this justies theuseof m(E) to denote
both. In particular, we still have m(;) = 0.
Jordan measurability also inherits many of the properties of ele-
mentary measure:
Exercise 1.1.6. Let E;F  Rd be Jordan measurable sets.
(1) (Boolean closure) Show that E [F, E\F, EnF, and EF
are Jordan measurable.
(2) (Non-negativity) m(E)  0.
(3) (Finite additivity) If E;F are disjoint, then m(E [F) =
m(E)+ m(F).
(4) (Monotonicity) If E  F, then m(E) m(F).
(5) (Finite subadditivity) m(E [F) m(E)+m(F).
(6) (Translation invariance) For any x 2 R
d
,E + x is Jordan
measurable, and m(E + x) = m(E).
Now we give some examples of Jordan measurable sets:
Exercise 1.1.7 (Regions under graphs are Jordan measurable). Let
Bbea closed box in Rd, and let f : B ! R be a continuous function.
(1) Show that the graph f(x;f(x)) : x 2 Bg  Rd+1 is Jordan
measurable in R
d+1
with Jordan measure zero. (Hint: on
acompact metric space, continuous functions are uniformly
continuous.)
(2) Show that the set f(x;t) : x 2 B;0  t  f(x)g  Rd+1 is
Jordan measurable.
1.1. Prologue: The problem of measure
11
Exercise 1.1.8. Let A;B;C be three points in R
2
.
(1) Show that the solid triangle with vertices A;B;C is Jordan
measurable.
(2) Show that the Jordan measure of the solid triangle is equal
to
1
2
j(B  A) ^(C  A)j, where j(a;b)^(c;d)j := jad bcj.
(Hint: It may help to rst do the case when one of the edges, say
AB, is horizontal.)
Exercise 1.1.9. Show that every compact convex polytope
6
in R
d
is Jordan measurable.
Exercise 1.1.10.
(1) Show that all open and closed Euclidean
balls B(x;r) := fy 2 R
d
:jy   xj < rg,
B(x;r) := fy 2
R
d
:jy xj  rg in R
d
are Jordan measurable, with Jordan
measure c
d
r
d
for some constant c
d
>0 depending only on
d.
(2) Establish the crude bounds
2
p
d
d
c
d
2
d
:
(An exact formula for c
d
is c
d
=
1
d
!
d
,where !
d
:=
2
d=2
(d=2)
is the
volume of the unit sphere S
d 1
R
d
and   is the Gamma function,
but we will not derive this formula here.)
Exercise 1.1.11. This exercise assumes familiarity with linear alge-
bra. Let L : R
d
!R
d
be a linear transformation.
(1) Show that there exists a non-negative real number D such
that m(L(E)) = Dm(E) for every elementary set E (note
from previous exercises that L(E) is Jordan measurable).
(Hint: apply Exercise 1.1.3 to the map E 7! m(L(E)).)
(2) Show that if E is Jordan measurable, then L(E)is also, and
m(L(E)) = Dm(E).
6
A closed convex polytope is a subset of R
d
formed by intersecting together
nitely manyclosedhalf-spaces ofthe form fx2 R
d
:xv cg, where v2 R
d
,c 2R,
and  denotes the usual dot product on R
d
. A compact convex polytope is a closed
convex polytope which is also bounded.
12
1. Measure theory
(3) Show that D = jdetLj. (Hint: Work rst with the case
when L is an elementary transformation, using Gaussian
elimination. Alternatively, work with the cases when L is
adiagonal transformation or an orthogonal transformation,
using the unit ball in the latter case, and use the polar
decomposition.)
Exercise 1.1.12. Denea Jordan null set to bea Jordan measurable
set of Jordan measure zero. Show that any subset of a Jordan null
set is a Jordan null set.
Exercise 1.1.13. Show that (1.1) holds for all Jordan measurable
E R
d
.
Exercise 1.1.14 (Metric entropy formulation of Jordan measurabil-
ity). Dene a dyadic cube to be a half-open box of the form
i
1
2n
;
i
1
+1
2n
::: 
i
d
2n
;
i
d
+1
2n
for some integers n;i
1
;:::;i
d
. Let E  R
d
be a bounded set. For
each integer n, let E
(E;2 n) denote the number of dyadic cubes of
sidelength 2
n
that are contained in E, and let E
(E;2
n
)be the
number of dyadic cubes
7
of sidelength 2
n
that intersect E. Show
that E is Jordan measurable if and only if
lim
n!1
2
dn
(E
(E;2
n
 E
(E;2
n
))= 0;
in which case one has
m(E) = lim
n!1
2
dn
E
(E;2
n
)= lim
n!1
2
dn
E
(E;2
n
):
Exercise 1.1.15 (Uniqueness of Jordan measure). Let d  1. Let
m
0
:J(R
d
)! R
+
be a map from the collection J(R
d
)of Jordan-
measurable subsets of R
d
to the nonnegative reals that obeys the
non-negativity, niteadditivity, and translation invarianceproperties.
Show that there exists a constant c 2 R
+
such that m
0
(E) = cm(E)
for all Jordan measurable sets E. In particular, if we impose the
additional normalisation m
0
([0;1)
d
)= 1, then m
0
m.
7
This quantity couldbe called the (dyadic) metric entropy of E at scale 2
n
.
1.1. Prologue: The problem of measure
13
Exercise 1.1.16. Let d
1
;d
2
 1, and let E
1
 R
d
1
,E
2
R
d
2
be
Jordan measurable sets. Show that E
1
E
2
 Rd
1
+d
2
is Jordan
measurable, and m
d
1
+d
2
(E
1
E
2
)= m
d
1
(E
1
)m
d
2
(E
2
).
Exercise 1.1.17. Let P;Q be two polytopes in R
d
. Suppose that
P can be partitioned into nitely many sub-polytopes which, after
being rotated and translated, form a cover of Q, with any two of the
sub-polytopes in Q intersecting only at their boundaries. Conclude
thatP and Q havethesameJordanmeasure. Theconversestatement
is true in oneand two dimensions d = 1;2 (this is the Bolyai-Gerwien
theorem), but false in higher dimensions (this was Dehn’s negative
answer[De1901] to Hilbert’s third problem).
Theaboveexercises give a fairly large class of Jordan measurable
sets. However, not every subset of R
d
is Jordan measurable. First of
all, the unbounded sets are not Jordan measurable, by construction.
But there are also bounded sets that are not Jordan measurable:
Exercise 1.1.18. Let E  R
d
be a bounded set.
(1) Show that E and the closure
Eof E have the same Jordan
outer measure.
(2) Show that E and the interior E
of E havethe same Jordan
inner measure.
(3) Show that E is Jordan measurable if and only if the topo-
logical boundary @E of E has Jordan outer measure zero.
(4) Show that the bullet-riddled square [0;1]
2
nQ
2
, and set of
bullets [0;1]
2
\Q
2
, both have Jordan inner measure zero
and Jordan outer measure one. In particular, both sets are
not Jordan measurable.
Informally, any set with a lot of \holes", or a very \fractal"
boundary, is unlikely to be Jordan measurable. In order to measure
such sets we will need to develop Lebesgue measure, which is done in
the next set of notes.
Exercise 1.1.19 (Caratheodory type property). Let E  R
d
be
a bounded set, and F  R
d
be an elementary set. Show that
m;(J)(E) = m;(J)(E \F)+ m;(J)(EnF).
14
1. Measure theory
1.1.3. Connection with theRiemann integral. To concludethis
section, we brie y discuss the relationship between Jordan measure
and the Riemann integral (or the equivalent Darboux integral). For
simplicity we will only discuss the classical one-dimensional Riemann
integral on an interval [a;b], though one can extend the Riemann the-
orywithout much diculty to higher-dimensional integrals on Jordan
measurable sets. (In later sections, this Riemann integral will be su-
perceded by the Lebesgue integral.)
Denition 1.1.5 (Riemann integrability). Let [a;b] be an interval of
positive length, and f : [a;b] ! R be a function. A tagged partition
P= ((x
0
;x
1
;:::;x
n
);(x
1
;:::;x
n
)) of [a;b] is a nite sequence of real
numbers a = x
0
< x
1
< ::: < x
n
= b, together with additional
numbersx
i 1
x
i
x
i
for eachi = 1;:::;n. Weabbreviatex
i
x
i 1
as x
i
. The quantity (P) := sup
1in
x
i
will be called the norm
of the tagged partition. The Riemann sum R(f;P) of f with respect
to the tagged partition P is dened as
R(f;P) :=
Xn
i=1
f(x
i
)x
i
:
We say that f is Riemann integrable on [a;b] if there exists a real
number, denoted
R
b
a
f(x) dx and referred to as the Riemann integral
of f on [a;b], for which we have
Z
b
a
f(x) dx =
lim
(P)!0
R(f;P)
by which we mean that for every " > 0 there exists  > 0 such
that jR(f;P)  
R
b
a
f(x) dxj  " for every tagged partition P with
(P)  .
If [a;b] is an interval of zero length, we adopt the convention that
every function f : [a;b] ! R is Riemann integrable, with a Riemann
integral of zero.
Note that unbounded functions cannot be Riemann integrable
(why?).
The above denition, while geometrically natural, can be awk-
ward to use in practice. A more convenient formulation of the Rie-
mann integral can be formulated using some additional machinery.
Documents you may be interested
Documents you may be interested