c# pdf reader text : Best pdf editor delete pages application control tool html azure asp.net online TaoMeasureTheory20-part701

1.7. Outer measure, pre-measure, product measure
185
1.7.2. Pre-measures. In previous notes, we saw that nitely addi-
tive measures, such as elementary measure or Jordan measure, could
be extended to a countably additive measure, namely Lebesgue mea-
sure. It is natural to ask whether this property is true in general. In
other words, given a nitely additive measure 
0
:B
0
![0;+1] on
aBoolean algebra B
0
,is it possible to nd a -algebra B rening B
0
,
and a countably additive measure : B ! [0;+1] that extends 
0
?
There is an obvious necessary condition in order for 
0
to have a
countablyadditive extension, namelythat 
0
alreadyhas to be count-
ably additivewithin B
0
.Moreprecisely, supposethatE
1
;E
2
;E
3
;::: 2
B
0
were disjoint sets such that their union
S
1
n=1
E
n
was also in B
0
.
(Note that this latter property is not automatic as B
0
is merely a
Boolean algebra rather than a -algebra.) Then, in order for 
0
to
be extendible to a countably additive measure, it is clearly necessary
that
0
(
[1
n=1
E
n
)=
X1
n=1
0
(E
n
):
Using the Caratheodory extension theorem, we can show that
this necessary condition is also sucient. More precisely, we have
Denition 1.7.7 (Pre-measure). A pre-measure on a Boolean alge-
bra B
0
is a nitelyadditivemeasure
0
:B
0
![0;+1] with theprop-
ertythat 
0
(
S
1
n=1
E
n
)=
P
1
n=1
0
(E
n
)whenever E
1
;E
2
;E
3
;::: 2 B
0
are disjoint sets such that
S
1
n=1
E
n
is in B
0
.
Exercise 1.7.4.
(i) Show that the requirement that 
0
is nitely additive can
berelaxed to the condition that 
0
(;) = 0 without aecting
the denition of a pre-measure.
(ii) Show that the condition 
0
(
S
1
n=1
E
n
)=
P
1
n=1
0
(E
n
)can
be relaxed to 
0
(
S
1
n=1
E
n
)
P
1
n=1
0
(E
n
)without aect-
ing the denition of a pre-measure.
(iii) On the other hand, give an example to show that if one
performs both of the above two relaxations at once, one
starts admitting objects 
0
that are not pre-measures.
Best pdf editor delete pages - remove PDF pages in C#.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
Provides Users with Mature Document Manipulating Function for Deleting PDF Pages
delete pages out of a pdf file; delete page in pdf file
Best pdf editor delete pages - VB.NET PDF Page Delete Library: remove PDF pages in vb.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
Visual Basic Sample Codes to Delete PDF Document Page in .NET
delete pdf pages online; delete pages on pdf
186
1. Measure theory
Exercise 1.7.5. Without using the theory of Lebesgue measure,
show that elementary measure (on the elementary Boolean algebra)
is a pre-measure. (Hint: use Lemma 1.2.6. Note that one has to
also deal with co-elementary sets as well as elementary sets in the
elementary Boolean algebra.)
Exercise 1.7.6. Construct a nitely additive measure 
0
: B
0
!
[0;+1] that is not a pre-measure. (Hint: take X to be the natural
numbers, take B
0
= 2N to be the discrete algebra, and dene 
0
separately for nite and innite sets.)
Theorem 1.7.8 (Hahn-Kolmogorov theorem). Every pre-measure
0
:B
0
! [0;+1] on a Boolean algebra B
0
in X can be extended
to a countably additive measure  : B ! [0;+1].
Proof. Wemimictheconstruction ofLebesguemeasurefromelemen-
tary measure. Namely, for any set E  X, dene the outer measure
(E) of E to be the quantity
(E) := inff
X1
n=1
0
(E
n
): E 
1[
n=1
E
n
;E
n
2B
0
for all ng:
Itis easy to verify (cf. Exercise1.2.3) that  is indeed an outer mea-
sure. Let B bethe collection ofall sets E  X that areCaratheodory
measurable with respect to 
,and let  be the restriction of 
to
B. By the Caratheodory extension theorem, B is a -algebra and 
is a countably additive measure.
It remains to show that B contains B
0
and that  extends 
0
.
Thus, letE 2 B
0
;weneed toshow that E isCaratheodorymeasurable
with respect to 
and that 
(E) = 
0
(E). To prove therst claim,
let A  X be arbitrary. We need to show that
(A)= 
(A\E)+
(AnE);
by subadditivity, it suces to show that
(A) 
(A\E)+
(AnE):
We may assume that (A) is nite, since the claim is trivial other-
wise.
C# PDF Print Library: Print PDF documents in C#.net, ASP.NET
WPF Viewer & Editor. WPF: View PDF. WPF: Annotate Fill-in Field Data. Field: Insert, Delete, Update Field. A best PDF printer control for Visual Studio .NET and
delete pages from pdf in preview; delete a page from a pdf file
C# HTML5 PDF Viewer SDK to view, annotate, create and convert PDF
A best HTML5 PDF viewer control for PDF Document reading on ASP.NET web based application An advanced PDF editor enable C# users to edit PDF text, image
delete pdf pages reader; cut pages from pdf preview
1.7. Outer measure, pre-measure, product measure
187
Fix " > 0. By denition of 
, one can nd E
1
;E
2
;::: 2 B
0
covering A such that
X1
n=1
0
(E
n
) 
(A)+":
The sets E
n
\E lie in B
0
and cover A\E and thus
(A\E)
X1
n=1
0
(E
n
\E):
Similarly we have
(AnE)
X1
n=1
0
(E
n
nE):
Meanwhile, from nite additivity we have
0
(E
n
\E) +
0
(E
n
nE) = 
0
(E
n
):
Combining all of these estimates, we obtain
(A\E)+
(AnE) 
(A)+";
since " > 0 was arbitrary, the claim follows.
Finally, we have to show that 
(E) = 
0
(E). Since E covers
itself, we certainly have 
(E)  
0
(E). To show the converse in-
equality, it suces to show that
X1
n=1
0
(E
n
) 
0
(E)
whenever E
1
;E
2
;::: 2 B
0
cover E. By replacing each E
n
with the
smaller set E
n
n
S
n 1
m=1
E
m
(which still lies in B
0
,and still covers E),
wemayassumewithoutlossofgenerality (thanks to themonotonicity
of 
0
)that the E
n
are disjoint. Similarly, by replacing each E
n
with
the smaller set E
n
\E we may assume without loss of generality
that the union of the E
n
is exactly equal to E. But then the claim
follows from the hypothesis that 
0
is a pre-measure (and not merely
anitely additive measure).
C# PDF Convert to Images SDK: Convert PDF to png, gif images in C#
Best PDF converter SDK for Visual Studio .NET for converting PDF to image in C#.NET application. Converter control easy to create thumbnails from PDF pages.
delete page pdf online; delete pages pdf document
C# WPF PDF Viewer SDK to convert and export PDF document to other
WPF Viewer & Editor. WPF: View PDF. WPF: Annotate PDF. Fill-in Field Data. Field: Insert, Delete, Update Field. Best PDF Viewer control as well as a powerful .NET
pdf delete page; delete pdf pages in preview
188
1. Measure theory
Let us call the measure  constructed in the above proof the
Hahn-Kolmogorov extension of the pre-measure 
0
. Thus, for in-
stance, from Exercise 1.7.2, the Hahn-Kolmogorov extension of ele-
mentary measure (with the convention that co-elementary sets have
innite elementary measure) is Lebesgue measure. This is not quite
the unique extension of 
0
to a countably additive measure, though.
For instance, one could restrict Lebesgue measure to the Borel -
algebra, and this would still be a countably additive extension of
elementary measure. However, the extension is unique within its own
-algebra:
Exercise 1.7.7. Let 
0
:B
0
! [0;+1] be a pre-measure, let  :
B! [0;+1] be the Hahn-Kolmogorov extension of 
0
,and let 
0
:
B
0
![0;+1] beanother countablyadditiveextension of
0
. Suppose
also that 
0
is -nite, which means that one can express the whole
space X as the countable union of sets E
1
;E
2
;::: 2 B
0
for which
0
(E
n
)< 1 for all n. Show that  and 
0
agree on their common
domain of denition. In other words, show that (E) = 
0
(E) for all
E2 B \B0. (Hint: rst show that 0(E)  (E) for all E 2B0.)
Exercise 1.7.8. The purpose of this exercise is to show that the -
nite hypothesis in Exercise 1.7.7 cannot be removed. Let A be the
collection of all subsets in R that can be expressed as nite unions of
half-open intervals [a;b). Let 
0
:A ! [0;+1] be the function such
that 
0
(E) = +1 for non-empty E and 
0
(;) = 0.
(i) Show that 
0
is a pre-measure.
(ii) Show that hAi is the Borel -algebra B[R].
(iii) Show that the Hahn-Kolmogorov extension  : B[R] !
[0;+1] of 
0
assigns an innite measure to any non-empty
Borel set.
(iv) Show that counting measure # (or more generally, c# for
any c 2 (0;+1]) is another extension of 
0
on B[R].
Exercise 1.7.9. Let 
0
:B
0
![0;+1] bea pre-measure which is -
nite(thusX isthecountableunionofsets in B
0
ofnite
0
-measure),
and let : B ! [0;+1] be the Hahn-Kolmogorov extension of 
0
.
C# PDF Text Add Library: add, delete, edit PDF text in C#.net, ASP
WPF Viewer & Editor. WPF: View PDF. WPF: Annotate Fill-in Field Data. Field: Insert, Delete, Update Field. A best PDF annotation SDK control for Visual Studio .NET
delete pages in pdf; delete blank pages from pdf file
C# PDF Form Data Read Library: extract form data from PDF in C#.
A best PDF document SDK library enable users abilities to read and extract PDF form data in Visual C#.NET WinForm and ASP.NET WebForm applications.
delete pdf pages in reader; delete pages of pdf reader
1.7. Outer measure, pre-measure, product measure
189
(i) Show that if E 2 B, then there exists F 2 hB
0
icontaining
Esuch that (FnE)= 0 (thus F consists of the union of E
and a null set). Furthermore, show that F can be chosen to
be a countable intersection F =
T
1
n=1
F
n
of sets F
n
,each of
which is a countable union F
n
=
S
1
m=1
F
n;m
of sets F
n;m
in
B
0
.
(ii) If E 2 B has nite measure (i.e. (E) < 1), and " > 0,
show that there exists F 2 B
0
such that (EF)  ".
(iii) Conversely, if E is a set such that for every " > 0 there
exists F 2B
0
such that 
(EF)  ", show that E 2B.
1.7.3. Lebesgue-Stieltjesmeasure. Now weusetheHahn-Kolmogorov
extension theorem to construct a variety of measures. We begin with
Lebesgue-Stieltjes measure.
Theorem 1.7.9 (Existence of Lebesgue-Stieltjes measure). Let F :
R! R be a monotone non-decreasing function, and dene the left
and right limits
F
(x) := sup
y<x
F(y); F
+
(x) := inf
y>x
F(y);
thus one has F
(x)  F(x)  F
+
(x) for all x. Let B[R] be the
Borel -algebra on R. Then there exists a unique Borel measure
F
:B[R] ! [0;+1] such that
(1.33)
F
([a;b]) = F
+
(b)  F
(a);
F
([a;b)) = F
(b) F
(a);
F
((a;b]) = F
+
(b)  F
+
(a);
F
((a;b)) = F
(b)  F
+
(a)
for all  1 < b < a< 1, and
(1.34)
F
(fag) = F
+
(a)  F
(a)
for all a 2R.
Proof. (Sketch) For this proof, we will deviate from our previous
notational conventions, and allow intervals to be unbounded, thus
in particular including the half-innite intervals [a;+1), (a;+1),
( 1;a], ( 1;a) and the doubly innite interval ( 1;+1) as in-
tervals.
C# PDF Text Box Edit Library: add, delete, update PDF text box in
with .NET PDF Library. A best PDF annotator for Visual Studio .NET supports to add text box to PDF file in Visual C#.NET project.
reader extract pages from pdf; delete a page from a pdf in preview
C# PDF Markup Drawing Library: add, delete, edit PDF markups in C#
in C# Program. A best PDF annotator control for Visual Studio .NET support to markup PDF with various annotations in C#.NET class.
delete pages of pdf; delete page pdf acrobat reader
190
1. Measure theory
Dene the F-volume jIj
F
2[0;+1] of any interval I, adopting
theobvious conventionsthatF
(+1) = sup
y2R
F(y)andF
+
( 1) =
inf
y2R
F(y), and also adopting the convention that the empty inter-
val ; has zero F-volume, j;j
F
=0. Note that F
(+1) could equal
+1 and F
+
( 1) could equal  1, but in all circumstances the F-
volume jIj
F
iswell-dened and takes valuesin [0;+1], afteradopting
the obvious conventions to evaluate expressions such as +1 ( 1).
Asomewhat tedious case check (Exercise!) gives the additivity
property
jI [Jj
F
=jIj
F
+jJj
F
whenever I, J are disjoint intervals that share a common endpoint.
As a corollary, we see that if a interval I is partitioned into nitely
many disjoint sub-intervals I
1
;:::;I
k
,we have jIj = jI
1
j+::: +jI
k
j.
LetB
0
betheBoolean algebra generated bythe(possiblyinnite)
intervals, then B
0
consists of those sets that can be expressed as a
nite union of intervals. (This is slightly larger than the elementary
algebra, asitallows for half-inniteintervals such as [0;+1), whereas
the elementary algebra does not.) Wecan denea measure 
0
on this
algebra by declaring
0
(E) = jI
1
j
F
+::: +jI
k
j
F
whenever E = I
1
[::: [ I
k
is the disjoint union of nitely many
intervals. Onecan check(Exercise!) that this measure is well-dened
(in the sense that it gives a unique value to 
0
(E) for each E 2 B
0
)
and is nitely additive. We now claim that 
0
is a pre-measure: thus
we suppose that E = B
0
is the disjoint union of countably many sets
E
1
;E
2
;::: 2 B
0
,and wish to show that
0
(E) =
X1
n=1
0
(E
n
):
By splitting up E into intervals and then intersecting each of the E
n
with these intervals and using nite additivity, we may assume that
Eis a single interval. By splitting up the E
n
into their component
intervals and using nite additivity, we may assume that the E
n
are
C# PDF Text Highlight Library: add, delete, update PDF text
Best PDF document reader SDK control that can highlight PDF text in Visual C# .NET framework C#.NET Demo Code: Highlight Text in Consecutive PDF Pages.
delete page on pdf reader; delete pages from pdf acrobat
C# PDF Field Edit Library: insert, delete, update pdf form field
application. Free online C# source codes provide best ways to create PDF forms and delete PDF forms in C#.NET framework project. A
delete page in pdf document; delete pages in pdf reader
1.7. Outer measure, pre-measure, product measure
191
also individual intervals. By subadditivity, it suces to show that
0
(E) 
X1
n=1
0
(E
n
):
By the denition of 
0
(E), one can check that
(1.35)
0
(E) = sup
KE
0
(K)
whereK ranges over all compact intervals contained in E (Exercise!).
Thus, it suces to show that
0
(K) 
X1
n=1
0
(E
n
)
for each compact sub-interval K of E. In a similar spirit, one can
show that
0
(E
n
)= inf
UE
n
0
(E
n
)
where U ranges over all open intervals containing E
n
(Exercise!).
Using the "=2
n
trick, it thus suces to show that
0
(K) 
X1
n=1
0
(U
n
)
whenever U
n
is an open interval containing E
n
. But by the Heine-
Borel theorem, one can cover K by a nite number
S
N
n=1
U
n
of the
U
n
,hence by nite subadditivity
0
(K) 
XN
n=1
0
(U
n
)
and the claim follows.
As 
0
is now veried to be a pre-measure, we may use the Hahn-
Kolmogorov extension theorem to extend it to a countably additive
measureona -algebraB thatcontains B
0
.In particular, B contains
all the elementary sets and hence (by Exercise 1.4.14) contains the
Borel -algebra. Restricting  to the Borel -algebra we obtain the
existence claim.
Finally, we establish uniqueness. If 
0
is another Borel measure
with the stated properties, then 0(K) = jKj
F
for every compact in-
terval K, and henceby (1.35) and upward monotoneconvergence, one
192
1. Measure theory
has 
0
(I) = jIj
F
for every interval (including the unbounded ones).
This implies that 0 agrees with 
0
on B
0
,andthus(byExercise1.7.7,
noting that 
0
is -nite) agrees with  on Borel measurablesets. 
Exercise 1.7.10. Verify the claims marked \Exercise!" in the above
proof.
The measure 
F
given by the above theorem is known as the
Lebesgue-Stieltjes measure 
F
of F. (In some texts, this measure is
only dened when F is right-continuous, or equivalently if F = F
+
.)
Exercise 1.7.11. Dene a Radon measure on R to be a Borel mea-
sure  obeying the following additional properties:
(i) (Local niteness) (K) < 1 for every compact K.
(ii) (Inner regularity)Onehas(E) = sup
KE;K
compact
(K)
for every Borel set E.
(iii) (Outer regularity) One has (E) = inf
UE;U
open
(U) for
every Borel set E.
Show that for every monotone function F : R ! R, the Lebesgue-
Stieltjes measure 
F
is a Radon measure on R; conversely, if  is a
Radon measure on R, show that there exists a monotone function
F: R ! R such that  = 
F
.
Radon measures are studied in more detail in x1.10 of An epsilon
of room, Vol. I.
Exercise 1.7.12 (Near uniqueness). If F;F
0
:R ! R are monotone
non-decreasing functions, show that 
F
= 
F0
if and only if there
exists a constant C 2R such that F
+
(x) = F
0
+
(x) +C and F
(x) =
F
0
(x) + C for all x 2 R. Note that this implies that the value
of F at its points of discontinuity are irrelevant for the purposes of
determining the Lebesgue-Stieltjes measure 
F
;in particular, 
F
=
F
+
=
F
.
In the special case when F
+
( 1) = 0 and F
(+1) = 1, then
F
is a probability measure, and F
+
(x) = 
F
(( 1;x]) is known as
the cumulative distribution function of 
F
.
Now we give some examples of Lebesgue-Stieltjes measure.
1.7. Outer measure, pre-measure, product measure
193
Exercise 1.7.13 (Lebesgue-Stieltjes measure, absolutely continuous
case).
(i) If F : R ! R is the identity function F(x) = x, show that
F
is equal to Lebesgue measure m.
(ii) If F : R ! R is monotone non-decreasing and absolutely
continuous (which in particular implies that F
0
exists and
is absolutely integrable, show that 
F
=m
F0
in the sense
of Exercise 1.4.49, thus
F
(E) =
Z
E
F
0
(x) dx
for any Borel measurable E, and
Z
R
f(x) d
F
(x)=
Z
R
f(x)F
0
(x) dx
for any unsigned Borel measurable f : R ! [0;+1].
In view of the above exercise, the integral
R
R
f d
F
is often ab-
breviated
R
R
f dF, and referred to as the Lebesgue-Stieltjes integral
of f with respect to F. In particular, observe the identity
Z
[a;b]
dF = F
+
(b) F
(a)
for any monotone non-decreasing F : R ! R and any  1 < b <
a < +1, which can be viewed as yet another formulation of the
fundamental theorem of calculus.
Exercise 1.7.14 (Lebesgue-Stieltjes measure, pure point case).
(i) If H : R ! R is the Heaviside function H := 1
[0;+1)
,
show that 
H
is equal to the Dirac measure 
0
at the origin
(dened in Example 1.4.22).
(ii) If F =
P
n
c
n
J
n
is a jump function (as dened in Denition
1.6.30), show that 
F
is equal to the linear combination
P
c
n
x
n
of delta functions (as dened in Exercise 1.4.22),
where x
n
is the point of discontinuity for the basic jump
function J
n
.
Exercise 1.7.15 (Lebesgue-Stieltjes measure, singular continuous
case).
194
1. Measure theory
(i) If F : R ! R is a monotone non-decreasing function, show
that F iscontinuous if andonlyif
F
(fxg) = 0 forall x 2R.
(ii) If F is the Cantor function (dened in Exercise 1.6.47),
show that 
F
is a probability measure supported on the
middle-thirds Cantor set (see Exercise 1.2.9) in the sense
that 
F
(RnC) = 0. The measure 
F
is known as Cantor
measure.
(iii) If 
F
is Cantor measure, establish the self-similarity prop-
erties (
1
3
E)=
1
2
(E) and (
1
3
E +
2
3
)=
1
2
(E) for every
Borel-measurable E  [0;1], where
1
3
E := f
1
3
x: x 2 Eg.
Exercise 1.7.16 (Connection with Riemann-Stieltjes integral). Let
F : R ! R be monotone non-decreasing, let [a;b] be a compact
interval, and let f : [a;b] ! R be continuous. Suppose that F is
continuous at the endpoints a;b of the interval. Show that for every
"> 0 there exists  > 0 such that
j
Xn
i=1
f(t
i
)(F(t
i
) F(t
i 1
))  
Z
[a;b]
fdFj  "
whenever a = t
0
< t
1
< ::: < t
n
= b and t
i
2 [t
i 1
;t
i
] for 1 
i  n are such that sup
1in
jt
i
t
i 1
j  . In the language of
the Riemann-Stieltjes integral, this result asserts that the Lebesgue-
Stieltjes integral extends the Riemann-Stieltjes integral.
Exercise 1.7.17 (Integration by parts formula). Let F;G : R ! R
be monotone non-decreasing and continuous. Show that
Z
[a;b]
F dG =  
Z
[a;b]
GdF +F(b)G(b) F(a)G(a)
for any compact interval [a;b]. (Hint: use Exercise 1.7.16.) This
formula can be partially extended to the case when one or both of
F;G have discontinuities, but care must be taken when F and G are
simultaneously discontinuous at the same location.
1.7.4. Product measure. Given two sets X and Y, one can form
their Cartesian product X  Y = f(x;y) : x 2 X;y 2 Y g. This
set is naturally equipped with the coordinate projection maps 
X
:
XY ! X and 
Y
:XY ! Y denedby setting 
X
(x;y) := x and
Documents you may be interested
Documents you may be interested