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WED:PM-8 
is not possible. Why do you say it is not possible?
Aharonov:
It is not possible according to the equation of
motion.
Dirac:
But we haven't got any equations of motion yet.
Aharonov:
Yeah, that's the trouble.
Furry:
It's not possible because you abolish some of the
variables outside when you push out this surface.
Dirac:
Let us have these A's defined throughout space-time
and perhaps simplify the discussion.
Wigner:
Well, you say the reason for this is, if I understand
it right, because you want to define some of the q's as functions
of x's where the x is a definite point in space-time.
Dirac:
Yes, yes.
Wigner:
That is what you want.
Dirac:
Yes.
Wigner:
And this is what makes the definition of q and, let
us say, the radius, impossible if you want this kind of
equation.
Dirac:
No, it is not impossible.
Wigner:
Well, it will not be linear outside.
Dirac:
r
I is not linear here. Yes, that's what I am saying.
Because that
, I think, we could understand. Suppose the 
definition of the q's is impossible. Some of the q's are the 
A
µ
(x)'s where mu is of course 1, 2, 3, 4, and x is a definite 
point in space-time.
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WED:PM-9 
Dirac:
Yes. 
Wigner:
If all the q's are some parameters which determine the position 
of the surface, this kind of q's is not possible because if you do this, 
then indeed, 
r
I would not be linear.  
Dirac:
In the 
r
q's.  
Wigner:
In the 
r
q's.  
Dirac
: Precisely correct. Yes.  
Wigner:
I understand. Thank you.
Carmi:
Excuse me, I still don't understand, because it seems to me 
that these two sets of variables are dependent on each other by their 
definition.
Wigner:
That's just the trouble. The definition does not want them to 
be dependent on each other.  It wants them to be independent and if they 
are not actually independent of each other, one obtains difficulty. One 
assumes they are independent and works that way with the action 
principle.  
Dirac:
You want to start off with the action principle in terms of q's 
which are independent of one another, and which you will vary 
independently and then equate the coefficients to zero and get the 
equations of motion.
Carmi:
What, then, is your definition of those parts of the q's 
which make the A's.
Furry:
Well, perhaps this is one of the difficulties that Dirac 
mentions.
Dirac:
There may be other difficulties as well.  
Wigner:
Yes. But I think part of the trouble is that most
other words, that there is a continuum of q's. But that is
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WED-PM-10
just what we must have here.
Dirac:
If you just have any action principle for a field theory
it has to be like that.
Wigner:
Well, that's, of course, evident.
Dirac:
Well, we must choose our q's differently and, so far
as I know, the only way of choosing q's that will work is
with the help of curvilinear coordinates.  By introducing
curvilinear coordinates in a way that I shall describe, one
can get over this difficulty. Curvilinear coordinates, of
course, mean quite heavy extra complications in the mathe-
Aharonov:
Could I ask just one more question? Wasn't it possible 
to introduce a set of A
µ
(x) also inside and outside?  
Dirac:
Yes. You can do that.  
Aharonov:
And there are also q's for the surface. Then when
as a result of the equations of motion, then you don't have to
describe it as the q's being dependent on the surface. Then
you don't get this trouble that the q's are dependent on each
other.
Podolsky:
I don't think that would work because you will be
assuming that the A
µ
(x)'s vary continuously across the boundary.
Wigner:
The result is that they don't very continuously.
Podolsky:
Exactly.
Aharonov:
That's not the problem so much.
Wigner:
I think Professor Dirac did it differently.
WED:PM-11 
Podolsky:
All right. We want to know how. 
Wigner:
Yes.
Aharonov:
Yeah, but I wanted to ask whether Professor Dirac thinks 
it is impossible to do it in this way.
Dirac:
I don't think it's impossible.  If you want to, I don't mind your 
introducing the A's inside as well as outside, as further q's.  Then let 
us consider what happens when you vary the q's which specify the surface, 
leaving these other q's invariant. We have to consider that possibility 
and you will find non-linearity.
Furry:
You will find non-linearity only if you make this integral I
0
an integral over all space. That will change...  
Dirac:
I don't mind. That's not essential.  
Wigner:
No. No.  That would be fatal.  I think you would have to 
choose the integral on the outside and further introduce also A
µ
(x)'s 
on the inside. But I don't think it might work then.
Dirac:
It won't work because we want to get solutions for which 
these are discontinuous.
Wigner:
Yes, and it will be discontinuous if the action integral is 
discontinuous.
Dirac:
If there is discontinuity, you won't have 
r
I linear in the 
r
q's.  
Wigner:
I don't think, in our opinion, it will be linear in
rq
.
Furry: Now that you have erased that boundary condition and the 
integral, I don't see how it will be non-linear. But when you drop that 
boundary condition, you lose some of the coupling
WED:PM-12 
between the field outside when you shave off the bump.
Wigner:
In this case the integral must be confined to the
outside.
Dirac:
I can put it like this.  There may be some solutions
for which 
r
I is linear in the 
r
q's, but for the solutions in
which we are interested, 
r
I will not be linear in the 
r
q's,
Furry:
Then you must vary the  
r
q's pretty arbitrarily to get all 
the equations.
Dirac:
You have to subject them to arbitrary independent variations.  
This 
r
I has to be zero for arbitrary independent variations of the 
r
q's, and that's not possible with this choice of q's. We can make 
it possible by introducing curvilinear coordinates and suitably 
choosing our q's with respect to the curvilinear coordinates. The 
trick there is to introduce curvilinear coordinates so that we have a 
special equation referred to these coordinates for the surface of the 
electron, let us say the equation f(x)=0, and when we do the 
variation process, we don't change f. 'f' is something which is kept 
fixed all through the calculation.  In fact,
of our q's.  The A
µ
(x)'s inside we can disregard since they are all 
zero.  Then we shall need also some q's which fix the curvilinear 
system of coordinates with respect to some rigid system of coordinates 
which we may take to be rectilinear. We may call this other system of 
coordinates y.  I use the capital Greek suffixes in this second system 
of coordinates to make a sharp distinction between them and the first
system of coordinates, the x's.  So we have one system of coordinates, 
x, with small Greek suffixes, a second system of
the variation process, this y system of coordinates is kept
variation for us to be able to have an action principle. 
q's now consist of the following:  the q's must consist of sufficient 
parameters to fix one of these coordinate systems with respect to the 
other.  We may take either the x's as functions of the y's or the y's 
as functions of the x's.  It is more convenient to take the y's as 
functions of the x's.
between the two coordinate systems.  And A
µ
(x) for all x's 
with x
1
greater than 0 will fix the field outside the 
electron.  This will be the complete set of q's which fixes 
all the things which are physically important.  It also fixes 
some things which are not
fixed by these q's, so that these q's fix a good deal more 
than is physically necessary, but that does not disturb the 
working of the action principle. We can still proceed in 
the standard way of varying the q's and then setting the 
coefficients equal to zero,
can be brought to zero by a suitable choice of the gauge.  
Even if there are several electrons, you can have the A's 
zero inside
possible, although that choice of gauge is rather different 
from the ones physicists usually work with.  We have here 
the boundary conditions which correspond to the surface 
being a perfect conductor.  These boundary conditions will 
lead to A
0
,
A
2
, and A
3
, vanishing just outside the surface 
because they have to be continuous, while A
1
does not have 
to be continuous and does not
vanish just outside the surface.  I'm not sure whether I've got these things 
correctly written here.  These are just the conditions for a conducting 
surface expressed in terms of curvilinear coordinates. 
Furry:
The A's then are a covariant vector in the curvilinear 
system. 
Dirac:
Yes, that is correct.  They express the conditions for a conducting 
surface in curvilinear coordinates.  I shall use the 
take on the values 0, 2, 3.  The suffix 1 is different when one is working 
with the surface because of the equation of the surface 
being x1 = 0 and the surface conditions are that Aa = 0 just outside 
the surface.  Fab equals 0 just outside the surface.  This gives the usual 
conditions on the normal component of the electric field and the tangential 
component of the magnetic field vanishing to obtain a reference which we 
want here.  
Furry:
What are the Latin subscripts? 
Dirac:
0, 2, 3.  This gives the usual conditions for the vanishing of the 
normal component of the electric field and the tangential component of the 
magnetic field in a frame of reference in which the particular element of 
the surface which we are considering is at rest. 
Podolsky:
I don't understand why you want the normal component of electric 
fields to vanish.  Usually, of course, that would be better.  
Dirac:
Tangential component of electric field to vanish? 
Podolsky:
Right.
Dirac:
and the normal component of magnetic field? 
Podolsky:
Oh, yes.
Dirac:
Yes.  That's perfectly right.  
Carmi:
Could you explain again what the y's are?
Dirac:
The y's are a fixed system of coordinates which are recti-
linear and orthogonal coordinates.  
Carmi:
And the x's take part in the motion?
Dirac:
And the x's take part in the variation principle.  The y's 
are fixed.  They are introduced just in order to specify the x's
just remains to fill in this surface integral here.  The simplest 
thing to take is one which corresponds to surface tension, which 
means putting in some numerical coefficients here in this term, 
giving us the strength of this term.  I'm taking this just to be 
the three-dimensional surface area.  This tube, you see, is a three-
dimensional thing in four dimensional space-time.  It will have a 
three-dimensional area which will be just what one might call 
mdX
0
, dx
2
, dx
3
, where m squared is the determinant of g
ab
 The ab
3 by 3 determinant.
Wigner:
And the g is a symmetric tensor in terms of the x's?
Dirac:
Yes.  The g is symmetric in terms of the x's.  That com-
pletes the assumptions of the theory and the remainder of the work 
is just pure deduction according to standard methods.  I don't need 
to fill in all the details.  We have to work out rI
0
.  We get 
terms here coming from terms involving rf and some other terms 
involving rg
µv
Then we express g
µv
in terms of our q's, namely
Wigner:
How is the y upper defined?
Dirac:
Just by a suitable change in signs from the y downstairs.
Wigner:
Just that?
Dirac:
The y's are just Minkowski coordinates.  Then, of course,
one carries out the integration by parts in order to get this to
Podolsky:
Excuse me, Dr. Dirac.  But the equation with a mu nu 
equals f mu nu, I don't understand.  
Furry:
Capital letters.
Dirac:
I'm sorry.  I did that wrong. (He writes A
µ
on blackboard.)
That's the way it should be. 
Podolsky:
Thank you.
Dirac:
We carry out the integration by parts and get a four-
dimensional integral here.  We also get a surface integral coming 
in so we get another term here, dx
0
, dx
2
, dx
3
 (he writes) and 
that gives us the expression for rI
0
. We also have to work out
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