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Conference - October 1-5, 1962 
Thursday Morning - October 4
Merzbacher:
I thought I would remind you of something very old 
that I recalled in connection with Professor Dirac's talk yesterday 
about the quantization of the extended electron, where you have a 
given Hamiltonian and want to learn how to write down the wave 
equation, or something like that.  The question came up as to how 
you do this. You have this problem where there are central forces, 
where the Hamiltonian has this very central nature — R dependence. 
I don't have any particular proposal, but I would like to remind 
you that when Professor Dirac previously solved this problem for 
the point electron, people subsequently looked at it in all kinds 
of different ways.  I think we might learn something from doing 
this.  The paper (which unfortunately I have never seen, although I 
have quoted it) by Schrodinger, was published in the proceedings 
of the Papal Academy.* Professor Dirac will probably have easier 
access to this than I do, since he is a member of the Papal 
Academy.   It is possible that Xavier University has this.  It's a 
very hard paper to find.  I've never been near a library that had 
it.  You can't even get it on inter-library loan. It's a rarity.  
Perhaps there's somebody here who...  
Professor Furry:
The Widener library does not have it.  
Merzbacher
continues:  It is at the University of Michigan at
E. Schrodinger, Commentationes
Pontificis Academia Scientiarium 2
, 231 (1938)
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TH:AM-2 
Ann Arbor, but they don't ship it out.  The paper I think must
be in German but the reference is in Latin.  (He writes on the 
blackboard.)  I can't abbreviate it easily because I don't know how 
to abbreviate Latin.  I will look in the library here.  Do you 
think there is a possibility that you have it?  
Podolsky:
There is always a possibility but I doubt if they have
it.
(Merzbacher continues to write while someone says something about
Latin.  Dirac comes into the room.)
Merzbacher:
The main speaker has arrived.  I'll be glad to yield.
Dirac:
Thank you, but please continue.
Merzbacher
continues:  From references to it that I have seen, the
point of this paper which is a very long one, is apparently an
effort to write the relativistic quantum theory of the electron in
general coordinates.  
Von Roos
says:  I have a copy of it at home.
Merzbacher:
We can infer from a subsequent paper of Pauli what is 
in this paper that might possibly be of interest to us.  All I want 
to suggest is that this is a way of looking at an electron that 
could be used again.  I will only point out the physical basis of it 
as I don't have here the four equations as applied to the Dirac 
theory of the electron.  I will do this in a two-dimensional 
formalism, which can be carried over to a four-dimensional situation, 
for a non-relativistic spin particle.  Our spinors will have two
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TH:AM-3 
components rather than four.  The generalization is quite straight 
forward, as Pauli showed.  The idea is this.  If we have an electron with 
a spin, then of course in the usual theory you write something like this:  
two wave functions which you put together like this. One of them refers 
to spin up, say, and one of them refers to spin down.  Up and down refers 
to these axes, say X, Y, Z.  You single out the Z axis and then, of 
course, you get a representation of sigma matrices, or in the four spinor 
component case, you get alpha, beta, gamma, or rho matrices.  You work 
this out and then solve your problem, say, with the problem of the 
hydrogen spectrum. Schrodinger pointed out what's contained in this 
equation, in the observation that instead of using this representation 
you can use one which in a certain sense is more physical.  I'm reluctant 
to use that term, but certainly this representation is adapted to any 
problem that has spherical symmetry.  Instead of speaking about the spin 
being up or down, you say that when I'm at a point p, with coordinate x, 
y, z, I will analyze my spin not in terms of up or down but in terms of 
in or out.  In other words, I will quantize at every point; I will use a 
different 'direction of quantization,' as the old term went, at every 
point in space. When I go to this point I will study the property of my 
wave function. Here I will again not use up or down, but will use outward 
or inwards toward the center or away from it.  This is, of course, a 
representation which was extremely appropriate in the days of helicity 
studies when people talked of it.  In other words, you project 
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THs:AM-4 
the spin in the direction of the position vector.  Of course, the 
origin is prescribed and fixed, but you have freed yourself from the 
restriction of the coordinate system, much more than you had before, 
when you had sort of a hybrid situation where you solved a spherically 
symmetric problem.  Here you talk of spin up and down, but the 
coordinates you discuss in terms of r, 
q
j
 You solve your problem 
in terms of spherical coordinates when you use the representation that 
I'm talking about now.  Again, of course, you have two components, 
say 
1
C
and 
2
C
, and you would usually express the functional depen-
remind me that this is an entirely different representation. It's one 
in which this means the amplitude of finding this particle at a 
position with coordinates r, 
q
j
, like here, but with the spin 
pointing away from the center.  This one, then, is the amplitude for 
the spin pointing toward the center.  Now these two descriptions are 
related by a unitary transformation, of course, that is very simple.  
It is some exponential with sigma x's or sigma y's, or something like 
that.  It is, of course, dependent on the position of the particle.  
You make a different spin transformation depending on where you are in 
space.  Now you might ways "Why do all this?"  It turns out that the 
radial equation that you get is quite simple and nice to look at, and
gets rid of this preferred direction in space.  I think there are 
applications in scattering theory.
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TH:AM-5
This representation, the helicity representation, has been used in 
the last few years.  I'll just end on one example of a case where 
the mathematics really becomes very, very simple when you want to 
solve the problem of finding the eigenfunctions and eigenvalues of 
J
z
 Now by Z, I do mean this preferred direction here. When you do 
this, in this particular representation, then you find that
no 
Z
s
in it.  And so you see there is a certain simplicity when
you work in this representation.  I just wanted to remind you of
these very old things and suggest that possibly they might be of
use in connection with some new problems.
Dirac:
I suppose you have to have special boundary conditions at
the origin for this transformation.
Merzbacher:
This transformation, of course, has a singularity at
need to put down the boundary conditions or enumerate them.
Dirac:
Suppose we had written down these equations.  Perhaps
you will need to work out the boundary conditions, or at least
enumerate them for a new wave equation.
Merzbacher:
That's right.
Dirac:
Of course they were all worked out in the paper.
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TH:AM-6 
pointed out the physical meaning of this transformation, and it's 
quite straightforward.  Then you might wonder, of course, how this can 
be, because the eigenvalue problem of J
z
 is this (he writes J
z
Y
 = mh
Y
). You solve this differential equation (he writes (h/i)(
¶Y
/
j
)= mh
Y
and then, of course, everybody knows
that the answer is very simple, 
j
im
e
.  Then the traditional
argument goes that when you go around the circle by 2
p
 you come back to 
the original value and, therefore, m must be an integer. But that's 
preposterous because we know that the eigenvalues of J
z
 must be half 
integral, a fact which doesn't seem to follow from this theory.  But, 
of course, upon reflection you see that it does precisely follow, 
because when you go 360° around the Z axis you are changing your spin 
coordinate system as it were* Everybody knows what happens when you 
change your spin coordinate system by 360°: the sign changes, so you 
must not take those solutions which are single-valued, but rather 
those which change sign upon going around the circle. Those are just 
the half integral ones, and you get them quite straightforwardly. 
Podolsky:
Does anyone have any comment on this paper?  
Furry:
This is a very interesting point about the single-valuedness. 
When you use this representation, it turns out that it has to be 
double-valued and I know that Professor Merzbacher could make some 
further remarks on this.  It really has a bearing on these flux 
questions of Aharonov and Bohm. We might, perhaps, ask him whether he 
feels like extending his remarks a little bit.
TH:AM-7 
Podolsky
says, chuckling:  When you say everybody knows, well, I'm 
one of those that doesn't know. 
Furry:
Yes, this was, in fact, a great mystery to me.  I was very 
stupid about it.  Aharonov and Bohm in their second paper made a few 
obvious remarks which made me blush very much because I had not 
thought of them, but there is a good deal more to be said about it. 
This, for one thing, is something that Pauli did not discuss 
correctly at all in the first edition of his article in the 1933 or 32 
handbook, and it's one of the things that's considerably changed in 
the 1950 or 1951 edition.  I can't remember these years exactly. What 
one finds here and there in the literature mainly stems back to the 
incorrect discussion Pauli gave in the earlier version.  Professor 
Merzbacher knows all about this. 
the Elisha Mitchell Society. 
Furry
continues:  Not quite so obscure, in the sense that all 
libraries have it. 
Merzbacher:
Well, I don't have very much to add. 
Podolsky
says: Well, this last point wasn't clear to me. 
TH:AM-8
point is on the sphere, you have a different transformation. It's 
just a unitary transformation, and it has this singularity at the 
origin.  But anything that deals with spherical coordinates must 
have a singularity at the origin, of course.  
Merzbacher:
When you apply this transformation S, this operator.
I solve the eigenvalue problem, how do I get the magnetic quantum 
number?" You just go through this differential equation and you
from 
j
augment by 2
p
then I should demand single valuedness, I 
should get back to what I had before.  And, if you do this,
integer and we know very well that that's not so.
Podolsky:
Well, that part I understood perfectly well before.
is nothing more than a boundary condition.  The thing that you 
have overlooked is that you have a new coordinate system.  In
TH:AM-9
the old coordinate system where Z was fixed, this was all right as 
a requirement of single valuedness. When you go around in a 
circle behind here like this and come back, then you should return 
to the same value of the wave function that you had before.  But 
now in the new representation where we're using the different 
coordinate system to describe the spin, we are using a coordinate 
axis of quantization which points in the radial direction 
wherever we are.  So as we travel around the point and return to 
the original place, we must change our axis of quantization. We 
are rotating the coordinate system.  Now in rotation of the 
coordinate system we know that as we go around by 2
p
there is
Podolsky:
This is the point I didn't know.  That is what seems
to you perfectly obvious but not to me.
Merzbacher:
Well, it's because the spin follows the half integral
this spin in this direction, it's in an eigenstate.  When you 
take this electron and bodily move it around, rigidly, as it 
were, and bring it back to it's original position, physically 
nothing has changed, of course, but the wave function has changed
360° there's a change of sign.  This is the famous sign change
Comment on back of page 9 
(referring to page 10) 
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