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many treatments, in Dirac's as well as von Neumann's, and in many 
others. 
The third assumption is a very famous early one of quantum theory: 
the possible values that may occur in measurements of an operator are 
its eigenvalues. 
Now here's the assumption for which one has to ring a bit of a bell, 
because it's really something to accept and it's fundamental to the 
theory.  If, say, A and B are such observables, then (d) any real multiple 
of A (so as to keep it Hermitian) is 
A and B at once, and clearly, the sum of the values is the value of 
the sum.  It is a natural thing to take as the value of the sum. 
But this is true even if A and B cannot be both measured at once.  
This is a basic assumption and is used all the time in quantum 
mechanics.  For example, the kinetic energy, a function of the 
momentum, and the potential energy, in a simple Schrödinger case a 
function of the coordinate, are not simultaneously measurable.  But 
we assume that the sum of the two, that is, the Hamiltonian function, 
is
measurable.  There is an addendum to this:  (dd) the expectation 
value that we get for these observables, the expectation value of 
the multiple of 
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MON:PM -4- 
and the expectation value — this is the strong point — the 
That is, the expectation value is a linear function of the 
observables you're using. 
This, of course, is familiar from the recipe that is 
There is a lot of talk about the most general statistical situation 
we can have in quantum mechanics, and that situation is not
situation described by a wave function.  This is the thing that I 
want to remind most of you of, and perhaps inform a few people of, 
so it gets clearly in our minds early in this series of discussions. 
So let's begin on the mathematics.  I found, interestingly 
enough, that von Neumann doesn't begin back at quite so 
it, so I will.  We note that if we have any observable, such as 
A, we can tell what observable it is, we can characterize 
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MON:PM -5- 
over whatever coordinates there are. 
So let's start using this way of characterizing what an 
observable is. 
This, of course, is a rather artificial looking way, 
But that soon drops out of the argument.  Now from this assumption 
(dd), that the expectation value has meaning for sums, and is, in 
fact, a linear function of the observable, we see that the expectation 
value must be a linear function of the matrix elements, since it can 
be characterized by these matrix elements which themselves are linear 
functions of the observable. 
This is the most general form an expectation value can have.  
It's the most general sort of statistical situation that these 
assumptions will allow.  And, of course, it works out to be what 
von Neumann developed as the theory of a 
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statistical situation given by a density matrix or statistical matrix.  
We know at once that this expectation value must be a linear function 
of these A's.  That is, it must just be a linear combination or sum over 
m and n, and there must be some coefficients, R.  These coefficients will 
depend on what the state of the system is, on the way it was prepared, 
on our information about it, and they will also depend on m and n so I 
have put those on, let's say subscripts, on this coefficient. 
I put them on in this order, n m, and then here (R
nm
) is a two   
index quantity that we can think of as a matrix.  We multiply these 
matrices together when we sum over m.  Then when we sum over n we take 
the trace of the product.  So this is the trace of the product RA and, 
as a trace, it has ceased to have any 
we have now rid ourselves, for the moment at least, of any 
dependence on a particular representation, on a particular 
Now one can quickly prove the rest algebraically, but I shall 
not go through the algebra.  You can easily find by a 
little algebra the fact that R is Hermitian itself, that is, 
that R
nm
*  is equal to R
nm
 Then you use both assumptions 
(b) and (c) and you use the fact that the possible values are 
eigenvalues.  Then you pick yourself some special operators that have 
only a few non-vanishing eigenvalues, say only one apiece and that 
one positive.   Then you can easily convince 
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MON:PM -7- 
yourself that all the diagonal elements of R have to be positive.  
Because if they weren't, you could get a negative expectation value 
for something that could have only positive measured values, which 
is silly, because the expectation value is the average of the 
measured values.  The average of positive quantities couldn't be 
negative.  So one concludes from this that the diagonal elements of 
R, in any representation in fact, must be either positive or zero, 
and this just says that R is positive semi-definite. 
Now take the particular representation where R is diagonal. 
which are eigenfunctions of R.  R has to have the form then in that 
representations 
positive coefficients, w
n
or w
m
, that is, with w
n
greater than          
or equal to zero.  Then we consider the expectation value of one — 
one is a very simple observable, whenever you measure you get the 
value one.  If you turn me loose in a laboratory this would be the 
only observable I would know how to measure. This expectation value 
is one, it must be one. 
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MON:PM -8- 
That means that if you take the trace of this — just the sum of these 
diagonal elements — that the sum of the w
n
's must be equal to 1. 
The right member of that equation is 1.  This particularly brings us 
right back to the discrete spectrum case.  Well, I've used (a) all the 
time, really;  the fact that this is a discrete spectrum case.  I wrote 
all these sums.  And you could not make a trace equal to one if you 
did not have that situation. 
Now let's continue to use this special representation a moment 
longer, and consider again the expectation value of a particular: 
other observable A.  That will be the trace of RA. And if we write 
it out, then we will have the expectation value of A.  That will 
mean that we must take the sum over m and n, and we will have 
mn
n
w
d
.  
Now we multiply the R here by the A, and then, of course, we want 
to take the trace, so we will sum over n and sum over m also, so 
this is the trace. But, of course, this sum is very easy to do with 
a delta function.  Let's do the sum over m.  That means we replace 
m by n, and so we have 
n
w
times 
mn
A
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And now you see in this formula, the diagonal element A , is 
just the formula for the expectation value of A when we know 
that the wave function is 
n
f
. So we see that this 
expectation value is the sum over n of w
n
times the expectation 
value of A for the state with a wave function 
n
f
So here we have the most general statistical situation that 
quantum mechanics offers, and we see that it has what I'll call 
a realistic interpretation.  In fact, this is the 
density matrix.  Perhaps I should write one or two more lines of my 
formalism before I explain the ideas of realistic interpretation. 
I'll mention how this occurs in Dirac's book on quantum mechanics.  
They're called not precisely this, but I think recognizably the same 
thing.  You probably didn't use the letter W for probability (speaking 
to Dirac), which you know is a Teutonism picked up from von Neumann.  
If I wrote p, it might be momentum.  I forget what Dirac wrote.  The 
thing looks like this, if you look at the proper section in the book. 
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It is called Gibbs ensemble in Dirac's book, which is a very good 
name for it. 
The realistic interpretation is simply that maybe the system 
is in one of these states, and maybe it is in another, and so on.  
It is not in a state given by a particular one of these wave functions.  
It may be
in a state given by another one of these wave functions, 
and so on.  We do know which wave function we should give to the system, 
but we do know probabilities with which we might assign one or the 
other of these wave functions.  So we take the average of the 
expectation values that the various wave functions would give it, 
weighted with the probabilities for the system to have such a wave 
function. And of course, this operator — well, I shall not go into 
the technical details of how this wonderful formula does exactly that 
same thing.  But it's called Gibbs ensemble.  You see, Gibbs ensemble 
does not necessarily mean anything with e to the minus something over 
kt.  That is a Gibbs canonical
ensemble. 
The Gibbs ensemble basically is the idea that we could think 
of many systems, some prepared one way, some prepared another way, 
and the experiment consists of measuring on a system drawn from this  
ensemble.  Then, you see, the fraction 
gets this result. 
MON:PM -11-
So one has this realistic interpretation.  One can think of 
a lot of boxes, each box containing a system.  If w
n
is equal to 
15%, well then 15% of the boxes were prepared with
a function 
n
F
 Another 7% if another 
l
w
is 7%.  Well,
that means that 7% of them were prepared with a wave function 
l
F
and so on.
Now you see that there are two possible situations here. We may 
have what is called a mixed state.  That's with several of the w
n
's (more 
than one, at least, of them) greater than zero, and the rest, of course, 
zero.  Or you may have what's called a pure state.  In a pure state 
only one w
n
is different from zero.  And of course, that one is 1, since 
the sum of them is 1.
This means that w
n
is 1 if n is a particular value, say n
O
and is zero otherwise.  For the pure state w
n
is 
0
nn
d
.
Now it must be emphasized that this mixed state does not mean — very 
definitely does not mean — a state which has a wave function which is 
a linear combination of some other wave functions.  You find the 
expression used this ways a mixture of s and d wave functions in some 
nuclear level, or something. That is not what is meant here, because 
there
one takes a linear combination of the two wave functions and makes 
a definite wave function
for the system.  This is not that. A mixed 
state here
does not
have any
wave function at all.  It has instead, 
a list of probabilities
for different wave functions.
MON:PM -12- 
It is not
a list of coefficients where you can multiply them 
and add them up to get a wave function, but just a list of 
probabilities.  So that to solve a problem, say find an 
expectation value, you just first solve it with one of the wave 
functions and then solve it with another, and so on, and finally 
average your answers after you're through. 
Now this is exactly what you do classically when you don't know 
what sort of thing you have.  If some of your boxes contain one thing 
and some of them contain another and you don't know which box 
contains which, you do know that a certain percentage of them 
contain each thing.  And you can calculate an average like that by 
taking the averages for what the different possible contents would 
give and multiplying by the probabilities for the box to contain 
a particular thing.  So in this realistic interpretation of the 
situation, we simply say that this gives us a way also to ascribe 
this density matrix with w's in it to any such situation.  We simply 
make it with the wave functions which the sort of preparation this 
had might allow it to have, and then assign probabilities in 
accordance with what you know about the situation.  If you know, 
for instance, that the beam of particles came out of the furnace 
— just came out, there was no particular field on where the furnace 
was, and no particular deflecting arrangement, it's just coming out 
through some collimating slits — then you will 
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