devexpress asp.net pdf viewer : Copy pages from pdf to word SDK application API wpf windows web page sharepoint Calculus1-part739

Introduction
Theemphasisinthiscourseisonproblems|doingcalculationsandstoryproblems. To
masterproblemsolvingoneneedsatremendousamountofpracticedoingproblems. The
moreproblemsyoudothebetteryouwillbeatdoingthem,aspatternswillstarttoemerge
inboththeproblemsandinsuccessfulapproachestothem.Youwilllearnfastestandbest
ifyoudevotesometimetodoingproblemseveryday.
Typicallythemostdicultproblemsarestoryproblems,sincetheyrequiresomeeort
beforeyoucanbegincalculating.Herearesomepointersfordoingstoryproblems:
1. Carefullyreadeachproblemtwicebeforewritinganything.
2. Assignletterstoquantitiesthataredescribedonlyinwords;drawadiagramif
appropriate.
3. Decidewhichlettersareconstantsandwhicharevariables. Aletterstandsfora
constantifitsvalueremainsthesamethroughouttheproblem.
4. Using g mathematicalnotation,write downwhat youknowandthenwrite down
whatyouwanttond.
5. Decidewhatcategoryofproblemitis(thismightbeobviousiftheproblemcomes
attheendofaparticularchapter,butwillnotnecessarilybesoobviousifitcomes
onanexamcoveringseveralchapters).
6. Doublecheckeachstepasyougoalong;don’t t waituntiltheendtocheckyour
work.
7. Usecommonsense;ifananswerisoutoftherangeofpracticalpossibilities,then
checkyourworktoseewhereyouwentwrong.
11
Copy pages from pdf to word - copy, paste, cut PDF pages in C#.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
Easy to Use C# Code to Extract PDF Pages, Copy Pages from One PDF File and Paste into Others
cut pages out of pdf online; copying a pdf page into word
Copy pages from pdf to word - VB.NET PDF Page Extract Library: copy, paste, cut PDF pages in vb.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
Detailed VB.NET Guide for Extracting Pages from Microsoft PDF Doc
extract page from pdf document; deleting pages from pdf
12
Introduction
SuggestionsforUsingThis Text
1. Read d theexample problemscarefully,lling in anystepsthat are leftout (ask
someoneforhelpifyoucan’tfollowthesolutiontoaworkedexample).
2. Laterusetheworkedexamplestostudybycoveringthesolutions,andseeingif
youcansolvetheproblemsonyourown.
3. MostexerciseshaveanswersinAppendixA;theavailabilityofananswerismarked
by\)"at the endoftheexercise. . Inthe e pdf versionof thefulltext, , clicking
on thearrowwilltake youto theanswer. . Theanswersshouldbeused d onlyas
a nalcheckon yourwork, , not t asacrutch. . Keepinmindthat t sometimesan
answercouldbeexpressedinvariouswaysthat are algebraicallyequivalent, , so
don’tassumethatyouransweriswrongjustbecauseitdoesn’thaveexactlythe
sameformastheanswerintheback.
4. Afewguresinthepdfandprintversionsofthebookaremarkedwith\(AP)"at
theendofthecaption. Clickingonthisshouldopenarelatedinteractiveapplet
or Sage e worksheet in yourweb browser. . Occasionallyanotherlinkwilldo o the
samething,likethisexample.(Note tousersofaprintedtext: : the e words\this
example"inthepdfleareblue,andarealinktoaSageworksheet.)
C# Word - Extract or Copy Pages from Word File in C#.NET
C#.NET PDF file & pages edit, C#.NET PDF pages extract, copy, paste, C#.NET rotate PDF pages, C#.NET VB.NET How-to, VB.NET PDF, VB.NET Word, VB.NET Excel, VB
delete pages out of a pdf; copy pages from pdf into new pdf
VB.NET PDF Convert to Word SDK: Convert PDF to Word library in vb.
NET code. All PDF pages can be converted to separate Word files within a short time in VB.NET class application. In addition, texts
extract page from pdf online; add or remove pages from pdf
1
AnalyticGeometry
Muchofthemathematicsinthischapterwillbereviewforyou. However,theexamples
willbeorientedtowardapplicationsandsowilltakesomethought.
Inthe(x;y)coordinatesystemwenormallywritethex-axishorizontally,withpositive
numberstotherightoftheorigin,andthey-axisvertically,withpositivenumbersabove
the origin. . That t is,unlessstatedotherwise, , we e take \rightward" to be the positive x-
directionand\upward"tobethepositivey-direction.Inapurelymathematicalsituation,
wenormallychoosethesamescaleforthex-andy-axes. Forexample,thelinejoiningthe
origintothepoint(a;a)makesanangleof45 withthex-axis(andalsowiththey-axis).
Inapplications,oftenlettersotherthanxandyareused,andoftendierentscalesare
choseninthehorizontalandverticaldirections.Forexample,supposeyoudropsomething
from awindow, and d youwant to study how its s height above e the e ground d changesfrom
secondtosecond. Itisnaturaltoletthelettertdenotethetime(thenumberofseconds
sincetheobjectwasreleased) andtoletthe letterhdenotetheheight. . Foreacht(say,
at one-second d intervals) ) you u have a a corresponding height h. . This s information n can n be
tabulated,andthenplottedonthe(t;h)coordinateplane,asshowningure1.0.1.
We use the word \quadrant" " for r each of f the e four regions into which the plane is
divided by the axes: : the e rst quadrant is s where e points s have e both coordinatespositive,
orthe \northeast" portionofthe plot,andthe second,third, , andfourthquadrantsare
counted ocounterclockwise, so the second quadrant is s the e northwest, , the e thirdisthe
southwest,andthefourthisthesoutheast.
SupposewehavetwopointsAandB inthe(x;y)-plane. . Weoftenwanttoknowthe
changeinx-coordinate(alsocalledthe\horizontaldistance")ingoingfromAtoB.This
13
C# PDF Image Extract Library: Select, copy, paste PDF images in C#
PDF ›› C# PDF: Extract PDF Image. How to C#: Extract Image from PDF Document. Support PDF Image Extraction from a Page, a Region on a Page, and PDF Document.
convert few pages of pdf to word; delete pages from pdf without acrobat
VB.NET PDF Page Delete Library: remove PDF pages in vb.net, ASP.
doc.Save(outPutFilePath). How to VB.NET: Delete Consecutive Pages from PDF. doc.Save(outPutFilePath). How to VB.NET: Delete Specified Pages from PDF.
copy pdf pages to another pdf; copy pages from pdf into new pdf
14
Chapter 1 1 AnalyticGeometry
seconds
0
1
2
3
4
meters
80
75.1
60.4
35.9
1.6
20
40
60
80
0
1
2
3
4
t
h
..............................
...................
..............
...........
..........
.........
........
........
.......
......
.......
......
......
.....
......
.....
.....
.....
.....
.....
....
.....
....
.....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
...
....
....
...
....
...
....
...
....
...
...
....
...
...
....
...
...
...
...
...
....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
...
...
...
...
...
...
..
...
...
...
..
...
...
...
..
...
...
..
...
...
..
...
...
..
...
..
...
..
...
...
..
...
..
...
..
...
..
...
..
...
..
...
..
..
...
..
...
..
...
..
..
...
..
...
..
..
...
..
..
...
..
..
...
..
..
...
..
..
...
..
..
...
..
..
...
..
..
..
...
..
..
..
...
..
.
Figure 1.0.1
Adata plot, height versus time.
is often written x, where the meaning of  (a capital delta in the Greek alphabet) is
\change in". (Thus, x can be read as \change in x" although it usually is read as \delta
x". The point is that x denotes a single number, and should not be interpreted as \delta
times x".) For example, if A = (2; 1) and B = (3; 3), x = 3   2 = 1. Similarly, the
\change in y" is written y. In our example, y = 3   1 = 2, the dierence between the
y-coordinates of the two points. It is the vertical distance you have to move in going from
Ato B. The general formulas for the change in x and the change in y between a point
(x
1
;y
1
)and a point (x
2
;y
2
)are:
x = x
2
x
1
;
y = y
2
y
1
:
Note that either or both of these might be negative.
If we have two points A(x
1
;y
1
)and B(x
2
;y
2
), then we can draw one and only one line
through both points. By the slope of this line we mean the ratio of y to x. The slope
is often denoted m: m = y=x = (y
2
y
1
)=(x
2
x
1
). For example, the line joining the
points (1;  2) and (3; 5) has slope (5 + 2)=(3   1) = 7=2.
EXAMPLE 1.1.1
According to the 1990 U.S. federal income tax schedules, a head
of household paid 15% on taxable income up to $26050. If taxable income was between
$26050 and $134930, then, in addition, 28% was to be paid on the amount between $26050
and $67200, and 33% paid on the amount over $67200 (if any). Interpret the tax bracket
VB.NET PDF Page Insert Library: insert pages into PDF file in vb.
Page: Insert PDF Pages. |. Home ›› XDoc.PDF ›› VB.NET PDF: Insert PDF Page. Add and Insert Multiple PDF Pages to PDF Document Using VB.
reader extract pages from pdf; extract pages from pdf reader
VB.NET PDF Image Extract Library: Select, copy, paste PDF images
VB.NET PDF - Extract Image from PDF Document in VB.NET. Support PDF Image Extraction from a Page, a Region on a Page, and PDF Document in VB.NET Project.
delete page from pdf file; export pages from pdf online
1.1 Lines
15
information (15%, 28%, or 33%) using mathematical terminology, and graph the tax on
the y-axis against the taxable income on the x-axis.
The percentages, when converted to decimal values 0.15, 0.28, and 0.33, are the slopes
of the straight lines which form the graph of the tax for the corresponding tax brackets.
The tax graph is what’s called a polygonal line, i.e., it’s made up of several straight line
segments of dierent slopes. The rst line starts at the point (0,0) and heads upward
with slope 0.15 (i.e., it goes upward 15 for every increase of 100 in the x-direction), until
it reaches the point above x = 26050. Then the graph \bends upward," i.e., the slope
changes to 0.28. As the horizontal coordinate goes from x = 26050 to x = 67200, the line
goes upward 28 for each 100 in the x-direction. At x = 67200 the line turns upward again
and continues with slope 0.33. See gure1.1.1.
10000
20000
30000
50000
100000
134930
.
.......
.......
.......
........
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
........
.......
.......
.......
.......
.......
.......
........
.......
.......
.......
.....
....
....
....
....
....
....
.....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
.....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
.....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
.....
...
....
...
....
...
....
...
....
...
....
....
...
....
...
....
...
....
...
....
...
....
...
....
....
...
....
...
....
...
....
...
....
...
....
...
....
...
....
....
...
....
...
....
...
....
...
....
...
....
...
....
....
...
....
...
....
...
....
...
....
...
....
...
....
....
...
....
...
....
...
....
...
....
...
....
...
....
...
....
....
...
....
...
....
...
....
...
....
...
....
...
....
....
...
....
...
....
...
....
...
....
...
....
...
....
...
....
....
...
....
...
....
...
....
...
....
...
....
...
....
....
...
....
...
....
...
.
Figure 1.1.1
Tax vs. income.
The most familiar form of the equation of a straight line is: y = mx + b. Here m is the
slope of the line: if you increase x by 1, the equation tells you that you have to increase y
by m. If you increase x by x, then y increases by y = mx. The number b is called
the y-intercept, because it is where the line crosses the y-axis. If you know two points
on a line, the formula m = (y
2
y
1
)=(x
2
x
1
)gives you the slope. Once you know a point
and the slope, then the y-intercept can be found by substituting the coordinates of either
point in the equation: y
1
=mx
1
+b, i.e., b = y
1
mx
1
. Alternatively, one can use the
\point-slope" form of the equation of a straight line: start with (y   y
1
)=(x   x
1
)= m and
then multiply to get (y   y
1
)= m(x   x
1
), the point-slope form. Of course, this may be
further manipulated to get y = mx   mx
1
+y
1
,which is essentially the \mx + b" form.
It is possible to nd the equation of a line between two points directly from the relation
(y   y
1
)=(x   x
1
)= (y
2
y
1
)=(x
2
x
1
), which says \the slope measured between the point
(x
1
;y
1
)and the point (x
2
;y
2
)is the same as the slope measured between the point (x
1
;y
1
)
C# Create PDF from Word Library to convert docx, doc to PDF in C#.
Convert multiple pages Word to fillable and editable PDF documents in both .NET WinForms and ASP.NET. Able to get word count in PDF pages.
delete page from pdf document; extract pages from pdf
C# PDF Page Delete Library: remove PDF pages in C#.net, ASP.NET
doc.Save(outPutFilePath); Demo Code: How to Delete Consecutive Pages from PDF in C#.NET. Demo Code: How to Delete Specified Pages from PDF in C#.NET.
crop all pages of pdf; extract pdf pages acrobat
16
Chapter 1 Analytic Geometry
and any other point (x; y) on the line." For example, if we want to nd the equation of
the line joining our earlier points A(2; 1) and B(3; 3), we can use this formula:
 1
 2
=
 1
 2
=2;
so that
 1 = 2(x   2);
i.e.,
y= 2x   3:
Of course, this is really just the point-slope formula, except that we are not computing m
in a separate step.
The slope m of a line in the form y = mx + b tells us the direction in which the line is
pointing. If m is positive, the line goes into the 1st quadrant as you go from left to right.
If m is large and positive, it has a steep incline, while if m is small and positive, then the
line has a small angle of inclination. If m is negative, the line goes into the 4th quadrant
as you go from left to right. If m is a large negative number (large in absolute value), then
the line points steeply downward; while if m is negative but near zero, then it points only
alittle downward. These four possibilities are illustrated in gure1.1.2.
.
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
.
4
2
0
2
4
 2 0
2
4
...
...............
................
................
................
...............
................
................
................
...............
................
................
...
4
2
0
2
4
 2 0
2
4
.
.
..
..
.
..
..
.
..
.
..
..
.
..
.
..
..
.
..
.
..
..
.
..
..
.
..
.
..
..
.
..
.
..
..
.
..
..
.
..
.
..
..
.
..
.
..
..
.
..
..
.
..
.
..
..
.
..
.
..
..
.
..
..
.
..
.
..
..
.
..
.
..
..
.
..
..
.
..
.
..
..
.
..
.
..
..
.
..
.
..
..
.
..
..
.
..
.
..
..
.
..
.
..
..
.
..
..
.
..
.
..
..
.
.
4
2
0
2
4
 2 0
2
4
....
...............
................
................
...............
................
................
...............
................
................
................
...............
...
4
2
0
2
4
 2 0
2
4
Figure 1.1.2
Lines with slopes 3, 0:1,  4, and  0:1.
If m = 0, then the line is horizontal: its equation is simply y = b.
There is one type of line that cannot be written in the form y = mx + b, namely,
vertical lines. A vertical line has an equation of the form x = a. Sometimes one says that
avertical line has an \innite" slope.
Sometimes it is useful to nd the x-intercept of a line y = mx + b. This is the x-value
when y = 0. Setting mx + b equal to 0 and solving for x gives: x =  b=m. For example,
the line y = 2x   3 through the points A(2; 1) and B(3; 3) has x-intercept 3=2.
EXAMPLE 1.1.2 Suppose that you are driving to Seattle at constant speed, and notice
that after you have been traveling for 1 hour (i.e., t = 1), you pass a sign saying it is 110
miles to Seattle, and after driving another half-hour you pass a sign saying it is 85 miles
to Seattle. Using the horizontal axis for the time t and the vertical axis for the distance y
from Seattle, graph and nd the equation y = mt + b for your distance from Seattle. Find
the slope, y-intercept, and t-intercept, and describe the practical meaning of each.
The graph of y versus t is a straight line because you are traveling at constant speed.
The line passes through the two points (1; 110) and (1:5; 85), so its slope is m = (85  
1.1 Lines
17
110)=(1:5   1) =  50. The meaning of the slope is that you are traveling at 50 mph; m is
negative because you are traveling toward Seattle, i.e., your distance y is decreasing. The
word \velocity" is often used for m =  50, when we want to indicate direction, while the
word \speed" refers to the magnitude (absolute value) of velocity, which is 50 mph. To
nd the equation of the line, we use the point-slope formula:
 110
 1
= 50;
so that
y=  50(t   1) + 110 =  50t + 160:
The meaning of the y-intercept 160 is that when t = 0 (when you started the trip) you were
160 miles from Seattle. To nd the t-intercept, set 0 =  50t+160, so that t = 160=50 = 3:2.
The meaning of the t-intercept is the duration of your trip, from the start until you arrive
in Seattle. After traveling 3 hours and 12 minutes, your distance y from Seattle will be 0.
Exercises 1.1.
1. Find the equation of the line through (1; 1) and ( 5;  3) in the form y = mx + b. )
2. Find the equation of the line through ( 1; 2) with slope  2 in the form y = mx + b. )
3. Find the equation of the line through ( 1; 1) and (5;  3) in the form y = mx + b. )
4. Change the equation y   2x = 2 to the form y = mx + b, graph the line, and nd the
y-intercept and x-intercept.)
5. Change the equation x+y = 6 to the form y = mx+b, graph the line, and nd the y-intercept
and x-intercept. )
6. Change the equation x = 2y   1 to the form y = mx + b, graph the line, and nd the
y-intercept and x-intercept.)
7. Change the equation 3 = 2y to the form y = mx + b, graph the line, and nd the y-intercept
and x-intercept. )
8. Change the equation 2x + 3y + 6 = 0 to the form y = mx + b, graph the line, and nd the
y-intercept and x-intercept.)
9. Determine whether the lines 3x + 6y = 7 and 2x + 4y = 5 are parallel. )
10. Suppose a triangle in the x; y{plane has vertices ( 1; 0), (1; 0) and (0; 2). Find the equations
of the three lines that lie along the sides of the triangle in y = mx + b form. )
11. Suppose that you are driving to Seattle at constant speed. After you have been traveling
for an hour you pass a sign saying it is 130 miles to Seattle, and after driving another 20
minutes you pass a sign saying it is 105 miles to Seattle. Using the horizontal axis for the
time t and the vertical axis for the distance y from your starting point, graph and nd the
equation y = mt + b for your distance from your starting point. How long does the trip to
Seattle take? )
12. Let x stand for temperature in degrees Celsius (centigrade), and let y stand for temperature in
degrees Fahrenheit. A temperature of 0
Ccorresponds to 32
F, and a temperature of 100
C
corresponds to 212
F. Find the equation of the line that relates temperature Fahrenheit y to
temperature Celsius x in the form y = mx + b. Graph the line, and nd the point at which
this line intersects y = x. What is the practical meaning of this point?)
18
Chapter 1 Analytic Geometry
13. A car rental rm has the following charges for a certain type of car: $25 per day with 100
free miles included, $0.15 per mile for more than 100 miles. Suppose you want to rent a
car for one day, and you know you’ll use it for more than 100 miles. What is the equation
relating the cost y to the number of miles x that you drive the car? )
14. A photocopy store advertises the following prices: 5/c per copy for the rst 20 copies, 4/c per
copy for the 21st through 100th copy, and 3/c per copy after the 100th copy. Let x be the
number of copies, and let y be the total cost of photocopying. (a) Graph the cost as x goes
from 0 to 200 copies. (b) Find the equation in the form y = mx + b that tells you the cost
of making x copies when x is more than 100. )
15. In the Kingdom of Xyg the tax system works as follows. Someone who earns less than 100
gold coins per month pays no tax. Someone who earns between 100 and 1000 gold coins
pays tax equal to 10% of the amount over 100 gold coins that he or she earns. Someone
who earns over 1000 gold coins must hand over to the King all of the money earned over
1000 in addition to the tax on the rst 1000. (a) Draw a graph of the tax paid y versus the
money earned x, and give formulas for y in terms of x in each of the regions 0  x  100,
100  x  1000, and x  1000. (b) Suppose that the King of Xyg decides to use the second
of these line segments (for 100  x  1000) for x  100 as well. Explain in practical terms
what the King is doing, and what the meaning is of the y-intercept.)
16. The tax for a single taxpayer is described in the gure1.1.3. Use this information to graph
tax versus taxable income (i.e., x is the amount on Form 1040, line 37, and y is the amount on
Form 1040, line 38). Find the slope and y-intercept of each line that makes up the polygonal
graph, up to x = 97620.)
1990 Tax Rate Schedules
Schedule X
|Use if your ling status is
Single
If the amount
Enter on
of the
on Form 1040
But not Form 1040
amount
line 37 is over: over:
line 38
over:
$0
$19,450
15%
$0
19,450
47,050
$2,917.50+28%
19,450
47,050
97,620 $10,645.50+33%
47,050
Use Worksheet
97,620 ............ below to gure
your tax
Schedule Z
|Use if your ling status is
Head of household
If the amount
Enter on
of the
on Form 1040
But not Form 1040
amount
line 37 is over: over:
line 38
over:
$0
$26,050
15%
$0
26,050
67,200
$3,907.50+28%
26,050
67,200
134,930 $15,429.50+33%
67,200
Use Worksheet
134,930 ............ below to gure
your tax
Figure 1.1.3
Tax Schedule.
17. Market research tells you that if you set the price of an item at $1.50, you will be able to sell
5000 items; and for every 10 cents you lower the price below $1.50 you will be able to sell
another 1000 items. Let x be the number of items you can sell, and let P be the price of an
item. (a) Express P linearly in terms of x, in other words, express P in the form P = mx+b.
(b) Express x linearly in terms of P .)
18. An instructor gives a 100-point nal exam, and decides that a score 90 or above will be a
grade of 4.0, a score of 40 or below will be a grade of 0.0, and between 40 and 90 the grading
1.2 Distance Between Two Points; Circles
19
will be linear. Let x be the exam score, and let y be the corresponding grade. Find a formula
of the form y = mx + b which applies to scores x between 40 and 90.)
Given two points (x
1
;y
1
)and (x
2
;y
2
), recall that their horizontal distance from one another
is x = x
2
x
1
and their vertical distance from one another is y = y
2
y
1
.(Actually, the
word \distance" normally denotes \positive distance". x and y are signed distances,
but this is clear from context.) The actual (positive) distance from one point to the other
is the length of the hypotenuse of a right triangle with legs jxj and jyj, as shown in
gure1.2.1. The Pythagorean theorem then says that the distance between the two points
is the square root of the sum of the squares of the horizontal and vertical sides:
distance =
p
(x)2 + (y)2 =
p
(x
2
x
1
)2 + (y
2
y
1
)2:
For example, the distance between points A(2; 1) and B(3; 3) is
p
(3   2)2 + (3   1)2 =
p
5.
..
...
...
...
...
...
..
...
...
...
...
...
..
...
...
...
...
..
...
...
...
...
...
..
...
...
...
...
...
..
...
...
...
...
..
...
...
...
...
...
..
...
...
...
...
...
..
...
...
...
...
..
...
...
...
...
...
..
...
...
...
...
...
..
...
...
...
...
..
...
...
...
...
...
..
...
...
...
...
..
...
...
...
...
...
..
...
...
...
...
...
..
...
...
...
...
.
(x
1
;y
1
)
(x
2
;y
2
)
x
y
Figure 1.2.1
Distance between two points, x and y positive.
As a special case of the distance formula, suppose we want to know the distance of a
point (x; y) to the origin. According to the distance formula, this is
p
(x   0)2 + (y   0)2 =
p
x2 + y2.
Apoint (x; y) is at a distance r from the origin if and only if
p
x2 + y2 = r, or, if we
square both sides: x
2
+y
2
=r
2
. This is the equation of the circle of radius r centered at
the origin. The special case r = 1 is called the unit circle; its equation is x
2
+y
2
=1.
Similarly, if C(h; k) is any xed point, then a point (x; y) is at a distance r from the
point C if and only if
p
(x   h)2 + (y   k)2 = r, i.e., if and only if
(x   h)
2
+(y   k)
2
=r
2
:
This is the equation of the circle of radius r centered at the point (h; k). For example, the
circle of radius 5 centered at the point (0;  6) has equation (x   0)
2
+(y    6)
2
=25, or
x
2
+(y +6)
2
=25. If we expand this we get x
2
+y
2
+12y+36 = 25 or x
2
+y
2
+12y+11 = 0,
but the original form is usually more useful.
20
Chapter 1 Analytic Geometry
EXAMPLE 1.2.1
Graph the circle x
2
2x + y
2
+4y   11 = 0. With a little thought
we convert this to (x   1)
2
+(y + 2)
2
16 = 0 or (x   1)
2
+(y + 2)
2
=16. Now we see
that this is the circle with radius 4 and center (1;  2), which is easy to graph.
Exercises 1.2.
1. Find the equation of the circle of radius 3 centered at:
a) (0; 0)
d) (0; 3)
b) (5; 6)
e) (0;  3)
c) ( 5;  6)
f) (3; 0)
)
2. For each pair of points A(x
1
;y
1
) and B(x
2
;y
2
) nd (i) x and y in going from A to B,
(ii) the slope of the line joining A and B, (iii) the equation of the line joining A and B in
the form y = mx + b, (iv) the distance from A to B, and (v) an equation of the circle with
center at A that goes through B.
a) A(2; 0), B(4; 3)
d) A( 2; 3), B(4; 3)
b) A(1;  1), B(0; 2)
e) A( 3;  2), B(0; 0)
c) A(0; 0), B( 2;  2)
f) A(0:01;  0:01), B( 0:01; 0:05)
)
3. Graph the circle x
2
+y
2
+10y = 0.
4. Graph the circle x
2
10x + y
2
=24.
5. Graph the circle x
2
6x + y
2
8y = 0.
6. Find the standard equation of the circle passing through ( 2; 1) and tangent to the line
3x   2y = 6 at the point (4; 3). Sketch. (Hint: The line through the center of the circle and
the point of tangency is perpendicular to the tangent line.) )
A function y = f(x) is a rule for determining y when we’re given a value of x. For
example, the rule y = f(x) = 2x + 1 is a function. Any line y = mx + b is called a
linearfunction. The graph of a function looks like a curve above (or below) the x-axis,
where for any value of x the rule y = f(x) tells us how far to go above (or below) the
x-axis to reach the curve.
Functions can be dened in various ways: by an algebraic formula or several algebraic
formulas, by a graph, or by an experimentally determined table of values. (In the latter
case, the table gives a bunch of points in the plane, which we might then interpolate with
asmooth curve, if that makes sense.)
Given a value of x, a function must give at most one value of y. Thus, vertical lines
are not functions. For example, the line x = 1 has innitely many values of y if x = 1. It
Documents you may be interested
Documents you may be interested