devexpress asp.net pdf viewer : Export pages from pdf online software application project winforms html windows UWP Calculus10-part740

4.11 HyperbolicFunctions
101
DEFINITION4.11.3
Theotherhyperbolicfunctionsare
tanhx=
sinhx
coshx
cothx=
coshx
sinhx
sechx=
1
coshx
cschx=
1
sinhx
Thedomainofcothandcschisx6=0whilethedomainoftheotherhyperbolicfunctions
isallrealnumbers. Graphsareshowningure4.11.1
1
2
3
4
 1 0 1
2
..
.
..
.
..
..
.
...
.
..
.
..
.
..
...
.
..
.
..
.
..
...
.
..
.
..
.
...
..
.
..
.
...
.
..
.
...
..
..
.
...
..
.
..
...
..
.
...
..
..
...
..
...
.
..
...
....
..
....
....
....
.....
....................
.....
....
....
....
..
....
...
..
.
...
..
...
..
..
...
.
..
...
..
.
..
...
.
..
..
...
.
..
.
...
.
..
.
..
...
.
..
.
..
.
...
..
.
..
.
..
.
...
..
.
..
.
..
.
...
.
..
..
.
..
.
..
4
2
4
2
2
2
..
.
..
.
..
..
.
..
..
..
..
.
..
.
..
...
.
..
..
.
..
..
..
..
.
..
..
.
...
..
.
..
.
..
...
.
..
.
..
...
.
..
..
.
...
..
.
..
...
.
..
..
...
.
..
...
.
..
..
...
..
..
..
..
..
...
.
..
...
..
...
..
..
...
..
...
..
..
....
..
...
..
...
...
...
..
..
...
..
....
..
...
..
..
...
..
.
...
..
...
..
.
...
..
..
...
..
.
..
...
.
..
...
..
.
..
...
.
..
..
.
...
..
..
.
...
.
..
..
.
...
.
..
..
.
..
..
..
..
.
..
..
..
..
.
..
..
.
..
...
.
..
..
.
..
.
...
..
.
..
.
..
..
.
..
1
1
2
......
.............
........
.......
.....
....
....
....
....
..
....
..
...
....
..
...
.
..
...
..
...
..
...
...
...
..
.
...
..
...
..
...
..
....
...
...
....
....
....
....
.....
.....
........
............
.........
1
2
2
...
......
.....
.....
....
....
....
....
....
...
....
....
....
...
.....
....
........
............
........
....
.....
...
....
....
....
...
....
....
....
....
....
.....
.....
......
...
4
4
2
2
2
..
.......
.....
....
....
....
....
...
..
...
....
..
...
..
.
...
..
...
.
..
...
.
..
.
...
.
..
.
..
.
...
..
.
..
..
.
...
.
..
..
.
..
.
..
..
.
...
.
..
.
..
.
..
..
.
..
.
..
.
..
..
..
..
.
..
.
..
.
..
.
..
..
.
..
.
..
.
..
.
..
..
.
..
.
.
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
..
.
..
..
..
.
..
.
..
..
.
..
.
..
.
..
.
...
..
.
..
.
..
..
.
..
.
...
..
.
..
..
.
...
.
..
.
..
...
.
..
.
...
.
..
.
...
..
...
..
.
...
....
..
...
..
....
...
....
....
.....
......
......
.
4
4
2
2
2
.
.................
.........
.......
....
....
...
..
...
....
.
..
...
.
..
..
..
..
.
...
..
.
..
.
..
..
..
.
..
.
..
.
..
...
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
...
.
..
.
..
.
..
.
..
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
.
.
.
..
.
..
.
..
.
..
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
...
.
..
.
..
..
.
..
.
..
.
..
.
...
.
..
.
..
.
..
.
..
..
..
..
.
..
.
...
.
..
..
..
..
..
..
..
...
..
...
..
...
....
.....
.......
.........
.................
Figure 4.11.1
The hyperbolic functions: cosh, sinh, tanh, sech, csch, coth.
Certainly the hyperbolic functions do not closely resemble the trigonometric functions
graphically. But they do have analogous properties, beginning with the following identity.
THEOREM 4.11.4
For all x in R, cosh
2
 sinh
2
x= 1.
Proof. The proof is a straightforward computation:
cosh
2
x sinh
2
x=
(e
x
+e
x
)
2
4
(e
x
e
x
)
2
4
=
e
2x
+2 + e
2x
e
2x
+2   e
2x
4
=
4
4
=1:
This immediately gives two additional identities:
 tanh
2
x= sech
2
x
and
coth
2
 1 = csch
2
x:
The identity of the theorem also helps to provide a geometric motivation. Recall that
the graph of x
2
y
2
=1 is a hyperbola with asymptotes x = y whose x-intercepts are
Export pages from pdf online - copy, paste, cut PDF pages in C#.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
Easy to Use C# Code to Extract PDF Pages, Copy Pages from One PDF File and Paste into Others
combine pages of pdf documents into one; copy pdf page to powerpoint
Export pages from pdf online - VB.NET PDF Page Extract Library: copy, paste, cut PDF pages in vb.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
Detailed VB.NET Guide for Extracting Pages from Microsoft PDF Doc
delete pages of pdf reader; extract page from pdf
102
Chapter 4 Transcendental Functions
1. If (x;y) is a point on the right half of the hyperbola, and if we let x = cosht, then
y= 
p
x2   1 = 
p
cosh
2
 1 = sinh t. So for some suitable t, cosh t and sinh t are
the coordinates of a typical point on the hyperbola. In fact, it turns out that t is twice
the area shown in the rst graph of gure4.11.2. Even this is analogous to trigonometry;
cos t and sint are the coordinates of a typical point on the unit circle, and t is twice the
area shown in the second graph of gure4.11.2.
1
2
3
3
2
1
0
1
2
3
(cosht;sinh t)
1
(cost; sint)
Figure 4.11.2
Geometric denitions of sin, cos, sinh, cosh: t is twice the shaded area in
each gure.
Given the denitions of the hyperbolic functions, nding their derivatives is straight-
forward. Here again we see similarities to the trigonometric functions.
THEOREM 4.11.5
d
dx
cosh x = sinhx and
d
dx
sinh x = cosh x.
Proof.
d
dx
coshx =
d
dx
e
x
+e
x
2
=
e
x
e
x
2
=sinhx, and
d
dx
sinh x =
d
dx
e
x
e
x
2
=
e
x
+e
x
2
=coshx.
Since cosh x > 0, sinhx is increasing and hence injective, so sinh x has an inverse,
arcsinhx. Also, sinhx > 0 when x > 0, so cosh x is injective on [0;1) and has a (partial)
inverse, arccoshx. The other hyperbolic functions have inverses as well, though arcsech x
is only a partial inverse. We may compute the derivatives of these functions as we have
other inverse functions.
THEOREM 4.11.6
d
dx
arcsinhx =
1
p
1+ x2
.
Proof. Let y = arcsinhx, so sinhy = x. Then
d
dx
sinh y = cosh(y)  y
0
=1, and so
y
0
=
1
cosh y
=
1
p
1+ sinh
2
y
=
1
p
1+ x2
.
C# HTML5 PDF Viewer SDK to convert and export PDF document to
An advanced PDF converter tool, which supports to be integrated in .NET project, and compatible with all Windows Export multiple pages PDF document to
delete pages of pdf online; delete pages of pdf preview
VB.NET PDF - Convert PDF Online with VB.NET HTML5 PDF Viewer
An advanced PDF converter tool, which supports to be integrated in .NET project, and compatible with all Windows Export multiple pages PDF document to
deleting pages from pdf; extract page from pdf preview
4.11 Hyperbolic Functions
103
The other derivatives are left to the exercises.
Exercises 4.11.
1. Show that the range of sinh x is all real numbers. (Hint: show that if y = sinhx then
x= ln(y +
p
y2 + 1).)
2. Compute the following limits:
a. lim
x!1
coshx
b. lim
x!1
sinh x
c. lim
x!1
tanh x
d. lim
x!1
(cosh x  sinh x)
3. Show that the range of tanh x is ( 1;1). What are the ranges of coth, sech, and csch? (Use
the fact that they are reciprocal functions.)
4. Prove that for every x;y 2 R, sinh(x + y) = sinh xcoshy + coshxsinh y. Obtain a similar
identity for sinh(x   y).
5. Prove that for every x; y 2 R, cosh(x + y) = coshxcoshy + sinh xsinhy. Obtain a similar
identity for cosh(x  y).
6. Use exercises4 and5 to show that sinh(2x) = 2sinh xcosh x and cosh(2x) = cosh
2
x+sinh
2
x
for every x. Conclude also that (cosh(2x)   1)=2 = sinh
2
x.
7. Show that
d
dx
(tanhx) = sech
2
x. Compute the derivatives of the remaining hyperbolic
functions as well.
8. What are the domains of the six inverse hyperbolic functions?
9. Sketch the graphs of all six inverse hyperbolic functions.
VB.NET PDF - Convert PDF with VB.NET WPF PDF Viewer
document. Create multiple pages Tiff file from PDF document. Export PDF text content to TXT file with original layout. Convert
export pages from pdf reader; export pages from pdf acrobat
C# WPF PDF Viewer SDK to convert and export PDF document to other
NET project. Create multiple pages Tiff file from PDF document. Export PDF text content to TXT file with original layout. Convert PDF
extract page from pdf acrobat; extract pdf pages online
VB.NET PDF Converter Library SDK to convert PDF to other file
PDF Export. |. Home ›› XDoc.PDF ›› VB.NET PDF: PDF Export. One is to convert and render selected PDF pages or files to desired document and image formats
copy pdf page to clipboard; extract page from pdf reader
C# PDF Converter Library SDK to convert PDF to other file formats
Online C# source code for convert PDF to various document and Support to convert multi-page PDF file to multi-page Able to export PDF document to HTML file.
copying a pdf page into word; cut pages from pdf online
5
Curve Sketching
Whether we are interested in a function as a purely mathematical object or in connection
with some application to the real world, it is often useful to know what the graph of
the function looks like. We can obtain a good picture of the graph using certain crucial
information provided by derivatives of the function and certain limits.
A local maximum point on a function is a point (x;y) on the graph of the function
whose y coordinate is larger than all other y coordinates on the graph at points \close
to" (x;y). More precisely, (x;f(x)) is a local maximum if there is an interval (a;b) with
a< x < b and f(x)  f(z) for every z in (a;b). Similarly, (x;y) is a local minimum
point if it has locally the smallest y coordinate. Again being more precise: (x;f(x)) is a
local minimum if there is an interval (a;b) with a < x < b and f(x)  f(z) for every z in
(a;b). A local extremum is either a local minimum or a local maximum.
Local maximum and minimum points are quite distinctive on the graph of a function,
and are therefore useful in understanding the shape of the graph. In many applied problems
we want to nd the largest or smallest value that a function achieves (for example, we might
want to nd the minimum cost at which some task can be performed) and so identifying
maximum and minimum points will be useful for applied problems as well. Some examples
of local maximum and minimum points are shown in gure5.1.1.
If (x;f(x)) is a point where f(x) reaches a local maximum or minimum, and if the
derivative of f exists at x, then the graph has a tangent line and the tangent line must be
horizontal. This is important enough to state as a theorem, though we will not prove it.
105
C# WPF PDF Viewer SDK to view, annotate, convert and print PDF in
Create PDF Online. Convert PDF Online. WPF PDF Viewer. RTF. Create PDF from Text. PDF Export. Convert PDF Page: Create Thumbnails. Page: Insert PDF Pages. Page: Delete
extract one page from pdf acrobat; cut pages from pdf
VB.NET PDF- HTML5 PDF Viewer for VB.NET Project
Online. Create PDF Online. Convert PDF Online. WPF PDF Create PDF from Text. PDF Export. Convert PDF to Page: Create Thumbnails. Page: Insert PDF Pages. Page: Delete
extract one page from pdf online; copy pdf page into word doc
106
Chapter 5 Curve Sketching
..
.
..
..
.
..
.
..
..
.
..
.
..
..
.
..
.
..
..
.
..
.
..
..
.
..
.
..
..
.
..
..
.
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
.
..
..
.
..
..
.
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
..
.
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
...
..
...
....
.....
..........
......
....
...
...
...
...
..
...
..
...
..
...
..
..
..
...
..
..
..
...
..
..
..
...
..
..
..
...
..
..
..
...
..
...
..
...
..
...
...
...
...
....
......
...........
.....
...
...
...
..
..
..
...
..
..
..
.
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
.
..
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
..
.
..
.
..
..
.
..
..
.
..
.
..
..
.
..
..
.
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
.
..
..
.
..
.
..
..
.
..
.
..
..
.
..
.
..
..
.
..
.
..
..
.
..
..
.
A
B
.
..
.
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
....
..
...
..
..
..
...
..
..
..
..
...
..
..
..
..
...
..
..
..
...
..
..
..
..
...
..
..
..
..
...
..
..
..
..
...
..
..
..
...
..
..
....
.
..
..
..
.
..
..
.
..
..
..
.
..
..
..
.
..
..
.
..
..
..
.
..
..
.
..
..
..
.
..
..
..
.
..
..
.
..
..
..
.
..
..
.
..
..
..
.
..
..
.
..
..
..
.
..
..
..
.
..
..
.
..
..
..
.
..
..
.
..
..
..
.
..
..
..
.
..
..
.
..
..
..
.
..
..
.
..
..
..
.
..
....
..
.
..
..
..
..
.
..
..
..
.
..
..
..
.
..
..
..
.
..
..
..
..
.
..
..
..
.
..
..
..
.
..
..
..
.
..
..
..
..
.
..
..
..
.
..
..
..
.
..
..
..
.
..
..
..
..
.
..
..
..
.
..
..
..
.
..
..
..
.
..
..
..
.
..
..
..
..
.
..
..
..
.
..
..
..
.
..
..
..
.
..
..
..
..
.
..
..
..
.
..
..
..
.
..
..
..
A
A
B
Figure 5.1.1
Some local maximum points (A) and minimum points (B).
THEOREM 5.1.1
Fermat’s Theorem
If f(x) has a local extremum at x = a and
f is dierentiable at a, then f0(a) = 0.
Thus, the only points at which a function can have a local maximum or minimum
are points at which the derivative is zero, as in the left hand graph in gure5.1.1, or the
derivative is undened, as in the right hand graph. Any value of x for which f
0
(x) is zero or
undened is called a critical value for f. When looking for local maximum and minimum
points, you are likely to make two sorts of mistakes: You may forget that a maximum or
minimum can occur where the derivative does not exist, and so forget to check whether
the derivative exists everywhere. You might also assume that any place that the derivative
is zero is a local maximum or minimum point, but this is not true. A portion of the graph
of f(x) = x
3
is shown in gure5.1.2. The derivative of f is f
0
(x) = 3x
2
,and f
0
(0) = 0,
but there is neither a maximum nor minimum at (0;0).
.
..
.
..
..
.
..
..
.
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
..
.
..
..
.
..
..
..
.
..
..
..
.
..
..
..
.
..
..
..
.
..
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
...
..
..
...
..
...
..
...
...
...
...
....
....
.....
.......
............
..............................................
.........
......
.....
....
....
...
...
...
...
..
...
..
...
..
..
..
..
...
..
..
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
.
..
..
..
.
..
..
..
.
..
..
..
.
..
..
.
..
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
Figure 5.1.2
No maximum or minimum even though the derivative is zero.
Since the derivative is zero or undened at both local maximum and local minimum
points, we need a way to determine which, if either, actually occurs. The most elementary
approach, but one that is often tedious or dicult, is to test directly whether the y coor-
dinates \near" the potential maximum or minimum are above or below the y coordinate
VB.NET Create PDF from PowerPoint Library to convert pptx, ppt to
Convert multiple pages PowerPoint to fillable and editable PDF Export PowerPoint hyperlink to PDF. Create PDF file from PowerPoint free online without email.
extract one page from pdf file; cut pages from pdf reader
VB.NET PDF Page Delete Library: remove PDF pages in vb.net, ASP.
Enable specified pages deleting from PDF in Visual Basic .NET class. Free trial SDK library download for Visual Studio .NET program. Online source codes for
extract pages from pdf on ipad; extract pdf pages
5.1 Maxima and Minima
107
at the point of interest. Of course, there are too many points \near" the point to test, but
alittle thought shows we need only test two provided we know that f is continuous (recall
that this means that the graph of f has no jumps or gaps).
Suppose, for example, that we have identied three points at which f
0
is zero or
nonexistent: (x
1
;y
1
), (x
2
;y
2
), (x
3
;y
3
), and x
1
<x
2
<x
3
(see gure5.1.3). Suppose that
we compute the value of f(a) for x
1
<a < x
2
,and that f(a) < f(x
2
). What can we say
about the graph between a and x
2
? Could there be a point (b;f(b)), a < b < x
2
with
f(b) > f(x
2
)? No: if there were, the graph would go up from (a;f(a)) to (b;f(b)) then
down to (x
2
;f(x
2
)) and somewhere in between would have a local maximum point. (This
is not obvious; it is a result of the Extreme Value Theorem, theorem6.1.2.) But at that
local maximum point the derivative of f would be zero or nonexistent, yet we already
know that the derivative is zero or nonexistent only at x
1
,x
2
,and x
3
.The upshot is that
one computation tells us that (x
2
;f(x
2
)) has the largest y coordinate of any point on the
graph near x
2
and to the left of x
2
. We can perform the same test on the right. If we nd
that on both sides of x
2
the values are smaller, then there must be a local maximum at
(x
2
;f(x
2
)); if we nd that on both sides of x
2
the values are larger, then there must be a
local minimum at (x
2
;f(x
2
)); if we nd one of each, then there is neither a local maximum
or minimum at x
2
.
x
1
a
b
x
2
x
3
Figure 5.1.3
Testing for a maximum or minimum.
It is not always easy to compute the value of a function at a particular point. The
task is made easier by the availability of calculators and computers, but they have their
own drawbacks|they do not always allow us to distinguish between values that are very
close together. Nevertheless, because this method is conceptually simple and sometimes
easy to perform, you should always consider it.
EXAMPLE 5.1.2 Find all local maximum and minimum points for the function f(x) =
x
3
x. The derivative is f
0
(x) = 3x
2
1. This is dened everywhere and is zero at
x= 
p
3=3. Looking rst at x =
p
3=3, we see that f(
p
3=3) =  2
p
3=9. Now we test
two points on either side of x =
p
3=3, making sure that neither is farther away than
the nearest critical value; since
p
3 < 3,
p
3=3 < 1 and we can use x = 0 and x = 1.
Since f(0) = 0 >  2
p
3=9 and f(1) = 0 >  2
p
3=9, there must be a local minimum at
108
Chapter 5 Curve Sketching
x=
p
3=3. For x =  
p
3=3, we see that f( 
p
3=3) = 2
p
3=9. This time we can use x = 0
and x =  1, and we nd that f( 1) = f(0) = 0 < 2
p
3=9, so there must be a local
maximum at x =  
p
3=3.
Of course this example is made very simple by our choice of points to test, namely
x=  1, 0, 1. We could have used other values, say  5=4, 1=3, and 3=4, but this would
have made the calculations considerably more tedious.
EXAMPLE 5.1.3 Find all local maximum and minimum points for f(x) = sinx+cos x.
The derivative is f
0
(x) = cos x   sinx. This is always dened and is zero whenever
cos x = sinx. Recalling that the cos x and sinx are the x and y coordinates of points on a
unit circle, we see that cos x = sin x when x is =4, =4, =42, =43, etc. Since
both sine and cosine have a period of 2, we need only determine the status of x = =4
and x = 5=4. We can use 0 and =2 to test the critical value x = =4. We nd that
f(=4) =
p
2, f(0) = 1 <
p
2and f(=2) = 1, so there is a local maximum when x = =4
and also when x = =4 2, =4 4, etc. We can summarize this more neatly by saying
that there are local maxima at =4  2k for every integer k.
We use  and 2 to test the critical value x = 5=4. The relevant values are f(5=4) =
p
2, f() =  1 >  
p
2, f(2) = 1 >  
p
2, so there is a local minimum at x = 5=4,
5=4 2, 5=44, etc. More succinctly, there are local minima at 5=4 2k for every
integer k.
Exercises 5.1.
In problems 1{12, nd all local maximum and minimum points (x; y) by the method of this section.
1. y = x
2
x)
2. y = 2+ 3x  x
3
)
3. y = x
3
9x
2
+24x)
4. y = x
4
2x
2
+3)
5. y = 3x
4
4x
3
)
6. y = (x
2
1)=x)
7. y = 3x
2
(1=x
2
))
8. y = cos(2x)   x)
9. f(x) =
 1 x < 2
x
2
x 2
)
10. f(x) =
8
<
:
 3 x < 3
x
3
3 x  5
1=x
x> 5
)
11. f(x) = x
2
98x + 4)
12. f(x) =
2
x= 0
1=x
2
x6= 0
)
13. For any real number x there is a unique integer n such that n  x < n+ 1, and the greatest
integer function is dened as bxc = n. Where are the critical values of the greatest integer
function? Which are local maxima and which are local minima?
14. Explain why the function f(x) = 1=x has no local maxima or minima.
15. How many critical points can a quadratic polynomial function have? )
5.2 The rst derivative test
109
16. Show that a cubic polynomial can have at most two critical points. Give examples to show
that a cubic polynomial can have zero, one, or two critical points.
17. Explore the family of functions f(x) = x
3
+cx + 1 where c is a constant. How many and
what types of local extremes are there? Your answer should depend on the value of c, that
is, dierent values of c will give dierent answers.
18. We generalize the preceding two questions. Let n be a positive integer and let f be a poly-
nomial of degree n. How many critical points can f have? (Hint: Recall the Fundamental
Theorem of Algebra, which says that a polynomial of degree n has at most n roots.)
The method of the previous section for deciding whether there is a local maximum or
minimum at a critical value is not always convenient. We can instead use information
about the derivative f
0
(x) to decide; since we have already had to compute the derivative
to nd the critical values, there is often relatively little extra work involved in this method.
How can the derivative tell us whether there is a maximum, minimum, or neither at
apoint? Suppose that f0(a) = 0. If there is a local maximum when x = a, the function
must be lower near x = a than it is right at x = a. If the derivative exists near x = a, this
means f
0
(x) > 0 when x is near a and x < a, because the function must \slope up" just
to the left of a. Similarly, f0(x) < 0 when x is near a and x > a, because f slopes down
from the local maximum as we move to the right. Using the same reasoning, if there is
alocal minimum at x = a, the derivative of f must be negative just to the left of a and
positive just to the right. If the derivative exists near a but does not change from positive
to negative or negative to positive, that is, it is positive on both sides or negative on both
sides, then there is neither a maximum nor minimum when x = a. See the rst graph in
gure5.1.1 and the graph in gure5.1.2 for examples.
EXAMPLE 5.2.1 Find all local maximum and minimum points for f(x) = sin x+cos x
using the rst derivative test. The derivative is f
0
(x) = cos x sinx and from example5.1.3
the critical values we need to consider are =4 and 5=4.
The graphs of sinx and cos x are shown in gure 5.2.1. Just to the left of =4 the
cosine is larger than the sine, so f
0
(x) is positive; just to the right the cosine is smaller
than the sine, so f0(x) is negative. This means there is a local maximum at =4. Just to
the left of 5=4 the cosine is smaller than the sine, and to the right the cosine is larger
than the sine. This means that the derivative f
0
(x) is negative to the left and positive to
the right, so f has a local minimum at 5=4.
Exercises 5.2.
In 1{13, nd all critical points and identify them as local maximum points, local minimum points,
or neither.
110
Chapter 5 Curve Sketching
4
5
4
..
..
..
...
..
..
..
...
..
..
..
..
...
..
..
..
...
..
..
...
..
..
...
..
..
...
..
..
...
..
..
...
..
...
..
...
...
..
...
..
...
...
...
...
...
...
...
...
...
....
....
....
....
.....
.....
........
...............
....
..............
........
.....
.....
....
....
....
...
....
...
...
...
...
...
...
...
..
...
..
...
...
..
...
..
...
..
...
..
..
...
..
...
..
..
..
...
..
..
...
..
..
..
...
..
..
..
...
..
..
..
...
..
..
..
..
...
..
..
..
...
..
..
..
..
...
..
..
..
...
..
..
..
...
..
..
...
..
..
..
...
..
..
...
..
..
...
..
...
..
...
..
...
..
...
...
..
...
...
..
...
...
...
...
....
...
...
....
....
....
.....
.....
......
..........
....................
..........
......
.....
.....
....
....
....
...
...
....
...
...
...
...
..
...
...
...
..
...
..
...
..
...
..
...
..
...
..
..
...
..
..
...
..
..
...
..
..
..
...
..
..
..
...
..
..
..
...
..
..
..
..
...
..
..
.
...
..............
........
.....
.....
....
....
....
...
....
...
...
...
...
...
...
...
..
...
...
..
...
..
...
..
...
..
...
..
...
..
..
...
..
..
...
..
..
...
..
..
..
...
..
..
..
...
..
..
..
..
...
..
..
..
...
..
..
..
..
...
..
..
..
...
..
..
..
...
..
..
..
...
..
..
..
...
..
..
...
..
..
...
..
..
...
..
..
...
..
...
..
...
..
...
...
..
...
...
...
..
...
...
...
....
...
....
...
....
....
.....
.....
......
..........
....................
..........
......
......
....
....
....
....
...
....
...
...
...
...
...
...
..
...
...
..
...
..
...
..
...
..
...
..
...
..
...
..
..
...
..
..
..
...
..
..
...
..
..
..
...
..
..
..
...
..
..
..
..
...
..
..
..
..
...
..
..
..
...
..
..
..
...
..
..
..
...
..
..
..
...
..
..
..
...
..
..
...
..
..
...
..
...
..
..
...
..
...
...
..
...
..
...
...
..
...
...
...
...
...
....
...
....
...
....
....
.....
......
.......
...............
..
Figure 5.2.1
The sine and cosine.
1. y = x
2
x)
2. y = 2+ 3x  x
3
)
3. y = x
3
9x
2
+24x)
4. y = x
4
2x
2
+3)
5. y = 3x
4
4x
3
)
6. y = (x
2
1)=x)
7. y = 3x
2
(1=x
2
))
8. y = cos(2x)   x)
9. f(x) = (5   x)=(x +2))
10. f(x) = jx
2
121j)
11. f(x) = x
3
=(x+ 1))
12. f(x) =
x
2
sin(1=x) x 6= 0
0
x= 0
13. f(x) = sin
2
x)
14. Find the maxima and minima of f(x) = sec x. )
15. Let f() = cos
2
() 2sin(). Find the intervals where f is increasing and the intervals where
f is decreasing in [0;2]. Use this information to classify the critical points of f as either
local maximums, local minimums, or neither. )
16. Let r > 0. Find the local maxima and minima of the function f(x) =
p
r2  x2 on its
domain [ r;r].
17. Let f(x) = ax
2
+bx + c with a 6= 0. Show that f has exactly one critical point. Give
conditions on a and b which guarantee that the critical point will be a maximum. It is
possible to see this without using calculus at all; explain.
The basis of the rst derivative test is that if the derivative changes from positive to
negative at a point at which the derivative is zero then there is a local maximum at the
point, and similarly for a local minimum. If f0 changes from positive to negative it is
decreasing; this means that the derivative of f
0
,f
00
,might be negative, and if in fact f
00
is negative then f
0
is denitely decreasing, so there is a local maximum at the point in
question. Note well that f0 might change from positive to negative while f00 is zero, in
which case f
00
gives us no information about the critical value. Similarly, if f
0
changes
from negative to positive there is a local minimum at the point, and f
0
is increasing. If
f00 > 0 at the point, this tells us that f0 is increasing, and so there is a local minimum.
Documents you may be interested
Documents you may be interested