devexpress asp.net pdf viewer : Deleting pages from pdf in reader software Library dll windows .net html web forms Calculus13-part743

6.2 RelatedRates
131
...
...
...
...
.
..
...
...
...
..
.
...
....
...
..
.
...
...
...
...
...
...
...
...
.
...
...
...
...
.
..
...
...
...
..
.
...
...
....
..
.
...
...
...
...
...
...
...
...
.
...
...
...
.
!
x
y
3
Figure 6.2.1
Receding airplane.
Taking the derivative:
2xx _ = 2y y_:
We are interested in the time at which x = 4; at this time we know that 4
2
+9 = y
2
,so
y= 5. Putting together all the information we get
2(4)(500) = 2(5)y _:
Thus, y_ = 400 mph.
EXAMPLE 6.2.3
You are in ating a spherical balloon at the rate of 7 cm3/sec. How
fast is its radius increasing when the radius is 4 cm?
Here the variables are the radius r and the volume V . We know dV =dt, and we want
dr=dt. The two variables are related by means of the equation V = 4r
3
=3. Taking the
derivative of both sides gives dV =dt = 4r
2
_r. We now substitute the values we know at
the instant in question: 7 = 44
2
r_, so r_ = 7=(64) cm/sec.
EXAMPLE 6.2.4
Water is poured into a conical container at the rate of 10 cm
3
/sec.
The cone points directly down, and it has a height of 30 cm and a base radius of 10 cm; see
gure6.2.2. How fast is the water level rising when the water is 4 cm deep (at its deepest
point)?
The water forms a conical shape within the big cone; its height and base radius and
volume are all increasing as water is poured into the container. This means that we actually
have three things varying with time: the water level h (the height of the cone of water),
the radius r of the circular top surface of water (the base radius of the cone of water), and
the volume of water V . The volume of a cone is given by V = r
2
h=3. We know dV =dt,
and we want dh=dt. At rst something seems to be wrong: we have a third variable r
whose rate we don’t know.
But the dimensions of the cone of water must have the same proportions as those of
the container. That is, because of similar triangles, r=h = 10=30 so r = h=3. Now we can
eliminate r from the problem entirely: V = (h=3)
2
h=3 = h
3
=27. We take the derivative
of both sides and plug in h = 4 and dV =dt = 10, obtaining 10 = (3 4
2
=27)(dh=dt). Thus,
dh=dt = 90=(16) cm/sec.
Deleting pages from pdf in reader - copy, paste, cut PDF pages in C#.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
Easy to Use C# Code to Extract PDF Pages, Copy Pages from One PDF File and Paste into Others
delete pages from pdf reader; extract pages from pdf online
Deleting pages from pdf in reader - VB.NET PDF Page Extract Library: copy, paste, cut PDF pages in vb.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
Detailed VB.NET Guide for Extracting Pages from Microsoft PDF Doc
delete pages out of a pdf; extract one page from pdf online
132
Chapter 6 Applications of the Derivative
..
.
..
..
..
..
..
...
..
...
....
....
....
.....
......
......
.........
..........
.....................
....................
....................
...........
........
......
......
.....
....
....
....
...
...
..
..
..
..
..
..
.
..
.
..
..
..
..
..
..
...
...
...
....
....
....
.....
......
........
.........
.............
...............................................
.............
.........
........
......
.....
.....
....
...
...
...
...
..
...
.
..
..
..
.
.
.
..
.
...
..
...
....
.....
.......
.............
..................
.............
.......
.....
....
...
...
..
.
..
..
.
..
...
..
....
....
......
.........
..................................
.........
......
....
....
..
...
..
.
..
10
!
"
j
j
j
j
j
j
j
30
j
j
j
j
j
j
j
#
"
j
j
j
h
j
j
j
#
r
.
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
.
..
..
.
..
..
.
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
.
..
..
.
..
..
.
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
.
..
..
.
..
..
.
....
.
..
..
.
..
..
.
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
.
..
..
.
..
..
.
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
.
..
..
.
..
..
.
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
.
...............................
.....
....
....
.
......
....
....
.
....................................
....
....
.
.
.....
....
....
.
Figure 6.2.2
Conical water tank.
EXAMPLE 6.2.5
Aswing consists of a board at the end of a 10 ft long rope. Think
of the board as a point P at the end of the rope, and let Q be the point of attachment
at the other end. Suppose that the swing is directly below Q at time t = 0, and is being
pushed by someone who walks at 6 ft/sec from left to right. Find (a) how fast the swing
is rising after 1 sec; (b) the angular speed of the rope in deg/sec after 1 sec.
We start out by asking: What is the geometric quantity whose rate of change we know,
and what is the geometric quantity whose rate of change we’re being asked about? Note
that the person pushing the swing is moving horizontally at a rate we know. In other
words, the horizontal coordinate of P is increasing at 6 ft/sec. In the xy-plane let us
make the convenient choice of putting the origin at the location of P at time t = 0, i.e., a
distance 10 directly below the point of attachment. Then the rate we know is dx=dt, and
in part (a) the rate we want is dy=dt (the rate at which P is rising). In part (b) the rate
we want is
_
= d=dt, where  stands for the angle in radians through which the swing has
swung from the vertical. (Actually, since we want our answer in deg/sec, at the end we
must convert d=dt from rad/sec by multiplying by 180=.)
(a) From the diagram we see that we have a right triangle whose legs are x and 10   y,
and whose hypotenuse is 10. Hence x
2
+(10   y)
2
=100. Taking the derivative of both
sides we obtain: 2xx _ +2(10   y)(0   _y) = 0. We now look at what we know after 1 second,
namely x = 6 (because x started at 0 and has been increasing at the rate of 6 ft/sec
for 1 sec), y = 2 (because we get 10   y = 8 from the Pythagorean theorem applied to
the triangle with hypotenuse 10 and leg 6), and x_ = 6. Putting in these values gives us
2 6  6   2  8 y_ = 0, from which we can easily solve for y_: y_ = 4:5 ft/sec.
(b) Here our two variables are x and , so we want to use the same right triangle as
in part (a), but this time relate  to x. Since the hypotenuse is constant (equal to 10),
the best way to do this is to use the sine: sin  = x=10. Taking derivatives we obtain
C# PDF Page Delete Library: remove PDF pages in C#.net, ASP.NET
C#.NET PDF Library - Delete PDF Document Page in C#.NET. Provide C# Users with Mature .NET PDF Document Manipulating Library for Deleting PDF Pages in C#.
delete pages from pdf without acrobat; extract pages from pdf file
VB.NET PDF Page Delete Library: remove PDF pages in vb.net, ASP.
Document Page in VB.NET Class. Free PDF edit control and component for deleting PDF pages in Visual Basic .NET framework application.
extract pages from pdf on ipad; delete blank page from pdf
6.2 Related Rates
133
..
...
...
..
...
...
...
...
..
...
...
...
....
...
...
...
....
...
....
...
....
....
....
....
....
....
.....
.....
.....
.....
......
......
......
.......
........
..........
............
.....................
......................
......................
............
.........
........
.......
.......
......
......
.....
.....
....
.....
....
.....
....
....
...
....
....
...
....
...
...
....
...
...
...
...
...
...
...
...
..
...
...
...
..
..
..............
......
....
....
...
...
...
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
.
P
Q
x
y
Figure 6.2.3
Swing.
(cos )
_
= 0:1 x_. At the instant in question (t = 1 sec), when we have a right triangle with
sides 6{8{10, cos  = 8=10 and _x = 6. Thus (8=10)
_
= 6=10, i.e.,
_
= 6=8 = 3=4 rad/sec,
or approximately 43 deg/sec.
We have seen that sometimes there are apparently more than two variables that change
with time, but in reality there are just two, as the others can be expressed in terms of
just two. But sometimes there really are several variables that change with time; as long
as you know the rates of change of all but one of them you can nd the rate of change of
the remaining one. As in the case when there are just two variables, take the derivative
of both sides of the equation relating all of the variables, and then substitute all of the
known values and solve for the unknown rate.
EXAMPLE 6.2.6
Aroad running north to south crosses a road going east to west at
the point P . Car A is driving north along the rst road, and car B is driving east along the
second road. At a particular time car A is 10 kilometers to the north of P and traveling at
80 km/hr, while car B is 15 kilometers to the east of P and traveling at 100 km/hr. How
fast is the distance between the two cars changing?
..
...
...
....
.
..
....
...
...
.
...
...
...
...
.
...
...
...
....
...
....
...
...
....
...
...
...
.
...
...
...
...
.
...
...
....
..
.
...
....
...
..
..
...
...
...
..
(0; a(t))
(b(t); 0)
c(t)
P
..
.
..
.
..
.
..
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
..
..
..
..
.
.
..
.
..
..
..
..
..
...................................
....
...
..
.
.....
...
...
...
.
Figure 6.2.4
Cars moving apart.
C# PDF File & Page Process Library SDK for C#.net, ASP.NET, MVC
Barcoding. XImage.Barcode Reader. XImage.Barcode Generator. Others. Deleting Pages. You may feel free to define some continuous PDF pages and delete.
cut pages out of pdf online; cut pages out of pdf file
C# Word - Delete Word Document Page in C#.NET
C# Word - Delete Word Document Page in C#.NET. Provides Users with Mature Document Manipulating Function for Deleting Word Pages. Overview.
convert selected pages of pdf to word online; extract pages pdf
134
Chapter 6 Applications of the Derivative
Let a(t) be the distance of car A north of P at time t, and b(t) the distance of car B east
of P at time t, and let c(t) be the distance from car A to car B at time t. By the Pythagorean
Theorem, c(t)
2
=a(t)
2
+b(t)
2
.Taking derivatives we get 2c(t)c
0
(t) = 2a(t)a
0
(t) +2b(t)b
0
(t),
so
_c =
a_a + b
_
b
c
=
a_a + b
_
b
p
a2 + b2
:
Substituting known values we get:
c_ =
10  80 + 15  100
p
102 + 152
=
460
p
13
127:6km/hr
at the time of interest.
Notice how this problem diers from example6.2.2. In both cases we started with the
Pythagorean Theorem and took derivatives on both sides. However, in example6.2.2 one
of the sides was a constant (the altitude of the plane), and so the derivative of the square
of that side of the triangle was simply zero. In this example, on the other hand, all three
sides of the right triangle are variables, even though we are interested in a specic value
of each side of the triangle (namely, when the sides have lengths 10 and 15). Make sure
that you understand at the start of the problem what are the variables and what are the
constants.
Exercises 6.2.
1. A cylindrical tank standing upright (with one circular base on the ground) has radius 20
cm. How fast does the water level in the tank drop when the water is being drained at 25
cm
3
/sec? )
2. A cylindrical tank standing upright (with one circular base on the ground) has radius 1
meter. How fast does the water level in the tank drop when the water is being drained at 3
liters per second? )
3. A ladder 13 meters long rests on horizontal ground and leans against a vertical wall. The
foot of the ladder is pulled away from the wall at the rate of 0.6 m/sec. How fast is the top
sliding down the wall when the foot of the ladder is 5 m from the wall? )
4. A ladder 13 meters long rests on horizontal ground and leans against a vertical wall. The
top of the ladder is being pulled up the wall at 0:1 meters per second. How fast is the foot
of the ladder approaching the wall when the foot of the ladder is 5 m from the wall? )
5. A rotating beacon is located 2 miles out in the water. Let A be the point on the shore that
is closest to the beacon. As the beacon rotates at 10 rev/min, the beam of light sweeps down
the shore once each time it revolves. Assume that the shore is straight. How fast is the point
where the beam hits the shore moving at an instant when the beam is lighting up a point 2
miles along the shore from the point A?)
6. A baseball diamond is a square 90 ft on a side. A player runs from rst base to second base
at 15 ft/sec. At what rate is the player’s distance from third base decreasing when she is
half way from rst to second base? )
VB.NET PDF File & Page Process Library SDK for vb.net, ASP.NET
You may feel free to define some continuous PDF pages through deleting pages in VB.NET demo code. Certainly, random pages can be deleted from PDF file as well.
delete pages from pdf acrobat; cut pages from pdf online
VB.NET TIFF: Modify TIFF File by Adding, Deleting & Sort TIFF
Please check following TIFF page deleting methods and &ltsummary> ''' Sort TIFF document pages in designed & profession imaging controls, PDF document, image
cut pages from pdf preview; delete blank pages from pdf file
6.2 Related Rates
135
7. Sand is poured onto a surface at 15 cm
3
/sec, forming a conical pile whose base diameter is
always equal to its altitude. How fast is the altitude of the pile increasing when the pile is 3
cm high?)
8. A boat is pulled in to a dock by a rope with one end attached to the front of the boat and
the other end passing through a ring attached to the dock at a point 5 ft higher than the
front of the boat. The rope is being pulled through the ring at the rate of 0.6 ft/sec. How
fast is the boat approaching the dock when 13 ft of rope are out? )
9. A balloon is at a height of 50 meters, and is rising at the constant rate of 5 m/sec. A bicyclist
passes beneath it, traveling in a straight line at the constant speed of 10 m/sec. How fast is
the distance between the bicyclist and the balloon increasing 2 seconds later? )
10. A pyramid-shaped vat has square cross-section and stands on its tip. The dimensions at the
top are 2 m  2 m, and the depth is 5 m. If water is  owing into the vat at 3 m
3
/min, how
fast is the water level rising when the depth of water (at the deepest point) is 4 m? Note:
the volume of any \conical" shape (including pyramids) is (1=3)(height)(area of base). )
11. The sun is rising at the rate of 1=4 deg/min, and appears to be climbing into the sky
perpendicular to the horizon, as depicted in gure6.2.5. How fast is the shadow of a 200
meter building shrinking at the moment when the shadow is 500 meters long? )
12. The sun is setting at the rate of 1=4 deg/min, and appears to be dropping perpendicular to
the horizon, as depicted in gure6.2.5. How fast is the shadow of a 25 meter wall lengthening
at the moment when the shadow is 50 meters long?)
...
...
...
...
.
..
...
...
...
..
.
...
...
...
...
...
...
...
...
.
..
...
...
...
..
.
...
...
...
...
...
...
...
...
.
..
...
...
...
..
.
...
...
...
...
...
...
...
...
.
..
...
...
...
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
..
.
..
.
..
.
..
.
..
..
.
..
.
..
.
..
..
.
..
.
..
.
..
.
..
Figure 6.2.5
Sunrise or sunset.
13. The trough shown in gure6.2.6 is constructed by fastening together three slabs of wood of
dimensions 10 ft  1 ft, and then attaching the construction to a wooden wall at each end.
The angle  was originally 30
, but because of poor construction the sides are collapsing.
The trough is full of water. At what rate (in ft
3
/sec) is the water spilling out over the top
of the trough if the sides have each fallen to an angle of 45
,and are collapsing at the rate
of 1
per second?)
.
..
.
..
..
..
..
.
..
..
..
..
.
..
..
..
..
.
..
..
..
..
.
..
..
..
..
.
..
..
........................................................
..
..
.
..
..
..
..
.
..
..
..
..
.
..
..
..
..
.
..
..
..
..
.
..
..
..
..
.
..
............................................................................................................
..
.....
....
.....
....
.....
....
.....
.....
....
.....
....
.....
.....
....
.....
....
.....
....
.....
.....
....
.....
....
.....
.....
....
.....
....
.....
....
.....
.....
....
.....
....
.....
....
.....
.....
....
.....
....
.....
.....
....
.....
....
.....
....
.....
.....
....
.....
....
.....
.....
....
.....
....
.....
....
.....
.....
....
.....
....
.....
....
.....
.....
....
.....
....
.....
.....
....
.....
....
.....
....
.....
.....
....
.....
....
.....
.....
....
.....
....
.....
....
.....
.....
....
.....
....
.....
.....
....
.....
....
.....
....
.....
.....
....
.....
....
.....
.....
....
.....
....
.....
....
...
..
..
..
.
..
..
..
..
.
..
..
..
..
.
..
..
..
..
.
..
..
..
.
..
..
..
..
.
................................................................................................................
.....
....
.....
.....
....
.....
....
.....
.....
....
.....
....
.....
....
.....
.....
....
.....
....
.....
....
.....
.....
....
.....
....
.....
....
.....
.....
....
.....
....
.....
.....
....
.....
....
.....
....
.....
.....
....
.....
....
.....
....
.....
.....
....
.....
....
.....
....
.....
.....
....
.....
....
.....
....
.....
.....
....
.....
....
.....
....
.....
.....
....
.....
....
.....
.....
....
.....
....
.....
....
.....
.....
....
.....
....
.....
....
.....
.....
....
.....
....
.....
....
.....
.....
....
.....
....
.....
....
.....
.....
....
.....
....
.....
.....
....
.....
....
.....
....
.....
.....
....
...
.....
....
.....
.....
....
.....
....
.....
....
.....
.....
....
.....
....
.....
....
.....
.....
....
.....
....
.....
.....
....
.....
....
.....
....
.....
.....
....
.....
....
.....
....
.....
.....
....
.....
....
.....
....
.....
.....
....
.....
....
.....
....
.....
.....
....
.....
....
.....
....
.....
.....
....
.....
....
.....
.....
....
.....
....
.....
....
.....
.....
....
.....
....
.....
....
.....
.....
....
.....
....
.....
....
.....
.....
....
.....
....
.....
.....
....
.....
....
.....
....
.....
.....
....
.....
....
.....
....
.....
.....
....
.....
....
.....
....
.....
.....
....
.....
....
.....
.....
....
1
1
1
10
.......
..
.......
..
..
....
.
.....
.....
.
....
..
...
...
...
...
..
....
.
....
.
.....
.
....
..
...
...
..
....
.
.....
.....
.
....
..
...
...
...
...
..
....
.
....
.
.....
.
....
..
...
...
..
....
.
.....
.
....
.
....
..
....
..
...
...
..
....
.
.....
.....
.
....
..
...
...
..
....
.
.....
.
....
.
....
..
....
..
...
...
..
....
.
.....
.....
.
....
..
...
...
..
....
..
....
.
....
.
.....
.
....
..
...
...
..
....
.
.....
.....
.
....
................................
..
..
..
.
..
..
.
..
..
..
.
..
..
.
..
..
..
.
..
.
.
..
.
..
..
..
.
.
.
..
..
.
.
.
..
..
..
.
..
.
.
..
.
..
..
..
.
.
.
..
..
.
.
.
..
..
..
.
..
.
Figure 6.2.6
Trough.
C# PowerPoint - Delete PowerPoint Document Page in C#.NET
C# PowerPoint - Delete PowerPoint Document Page in C#.NET. Provides Users with Mature Document Manipulating Function for Deleting PowerPoint Pages. Overview.
combine pages of pdf documents into one; cut pages from pdf file
VB.NET TIFF: An Easy VB.NET Solution to Delete or Remove TIFF File
also empowers users to insert blank pages into TIFF I have tried the function of deleting page from powerful & profession imaging controls, PDF document, image
delete pages of pdf; extract page from pdf document
136
Chapter 6 Applications of the Derivative
14. A woman 5 ft tall walks at the rate of 3.5 ft/sec away from a streetlight that is 12 ft above
the ground. At what rate is the tip of her shadow moving? At what rate is her shadow
lengthening? )
15. A man 1.8 meters tall walks at the rate of 1 meter per second toward a streetlight that is 4
meters above the ground. At what rate is the tip of his shadow moving? At what rate is his
shadow shortening? )
16. A police helicopter is  ying at 150 mph at a constant altitude of 0.5 mile above a straight
road. The pilot uses radar to determine that an oncoming car is at a distance of exactly 1
mile from the helicopter, and that this distance is decreasing at 190 mph. Find the speed of
the car.)
17. A police helicopter is  ying at 200 kilometers per hour at a constant altitude of 1 km above
astraight road. The pilot uses radar to determine that an oncoming car is at a distance
of exactly 2 kilometers from the helicopter, and that this distance is decreasing at 250 kph.
Find the speed of the car.)
18. A light shines from the top of a pole 20 m high. A ball is falling 10 meters from the pole,
casting a shadow on a building 30 meters away, as shown in gure6.2.7. When the ball is 25
meters from the ground it is falling at 6 meters per second. How fast is its shadow moving?
)
.
...
..
.
....
.
..
...
.
..
....
...
...
...
...
....
..
.
...
..
.
....
.
..
...
.
..
....
...
...
...
...
.
...
..
Figure 6.2.7
Falling ball.
19. Do example6.2.6 assuming that the angle between the two roads is 120
instead of 90
(that
is, the \north{south" road actually goes in a somewhat northwesterly direction from P).
Recall the law of cosines: c
2
=a
2
+b
2
2ab cos .)
20. Do example 6.2.6 assuming that car A is 300 meters north of P, car B is 400 meters east
of P, both cars are going at constant speed toward P , and the two cars will collide in 10
seconds. )
21. Do example 6.2.6 assuming that 8 seconds ago car A started from rest at P and has been
picking up speed at the steady rate of 5 m/sec
2
, and 6 seconds after car A started car B
passed P moving east at constant speed 60 m/sec. )
22. Referring again to example6.2.6, suppose that instead of car B an airplane is  ying at speed
200 km/hr to the east of P at an altitude of 2 km, as depicted in gure6.2.8. How fast is
the distance between car and airplane changing? )
23. Referring again to example6.2.6, suppose that instead of car B an airplane is  ying at speed
200 km/hr to the east of P at an altitude of 2 km, and that it is gaining altitude at 10 km/hr.
How fast is the distance between car and airplane changing?)
24. A light shines from the top of a pole 20 m high. An object is dropped from the same height
from a point 10 m away, so that its height at time t seconds is h(t) = 20   9:8t
2
=2. How fast
is the object’s shadow moving on the ground one second later? )
C# PDF remove image library: remove, delete images from PDF in C#.
comment annotate PDF, VB.NET delete PDF pages, VB.NET Provide C# Demo Code for Deleting and Removing PDF image in preview without adobe PDF reader component.
acrobat remove pages from pdf; copying a pdf page into word
C#: How to Delete Cached Files from Your Web Viewer
PDF pages extract, copy, paste, C#.NET rotate PDF pages, C#.NET VB.NET How-to, VB.NET PDF, VB.NET Word Visual C#.NET Developers the Ways of Deleting Cache Files.
delete pages from pdf document; extract page from pdf acrobat
6.3 Newton’s Method
137
...
...
....
...
....
...
....
...
....
...
....
...
....
...
....
...
....
...
....
...
....
...
....
...
....
...
....
...
....
...
....
...
....
...
.......
......
......
.......
......
.......
......
.......
......
......
.......
......
.......
......
.......
......
.......
......
......
.......
......
.......
......
.
.
.
..
..
.
.
..
..
.
.
..
..
.
.
..
..
.
.
..
.
.
..
..
.
.
..
..
.
.
..
..
.
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
.
..
..
.
.
.
..
.
..
.
.
..
.
.
..
.
..
.
.
..
.
..
.
.
..
.
.
..
.
..
.
.
..
.
..
..
..
.
.
.
..
.
..
.
.
..
.
.
..
.
..
.
.
..
.
..
.
.
..
.
.
..
.
..
.
.
..
.
..
..
.
..
.
.
..
.
..
.
.
..
.
.
A
B
c(t)
..
....
...
....
...
...
....
...
.......
...
..
.
..
..
..
...............
....
......
......
.......
......
......
....
...
......
...
.
.
....
...
..
..
..
.
Figure 6.2.8
Car and airplane.
25. The two blades of a pair of scissors are fastened at the point A as shown in gure6.2.9. Let
adenote the distance from A to the tip of the blade (the point B). Let  denote the angle
at the tip of the blade that is formed by the line
AB and the bottom edge of the blade, line
BC, and let  denote the angle between
AB and the horizontal. Suppose that a piece of
paper is cut in such a way that the center of the scissors at A is xed, and the paper is also
xed. As the blades are closed (i.e., the angle  in the diagram is decreased), the distance x
between A and C increases, cutting the paper.
a.
Express x in terms of a, , and .
b.
Express dx=dt in terms of a, , , and d=dt.
c.
Suppose that the distance a is 20 cm, and the angle  is 5
. Further suppose that 
is decreasing at 50 deg/sec. At the instant when  = 30
,nd the rate (in cm/sec)
at which the paper is being cut. )
..
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
....
..
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
..
..
...
..
..
...
..
...
..
..
...
..
..
...
..
...
..
..
...
..
...
..
..
...
..
..
...
..
...
..
..
...
..
..
...
..
...
..
..
...
..
..
...
..
...
..
..
...
..
..
...
..
...
..
..
...
..
..
...
..
...
..
..
...
..
..
...
..
...
..
..
...
..
..
...
..
...
..
..
...
..
..
...
..
...
..
..
...
..
..
...
..
.........................................................................
.
..
.
..
.
..
..
.
.
...
..
.
...
..
..
...
.
.
....
.
...
...
..
....
......
.
..
..
.
.
..
..
.
.
..
...
...
...
.
...
..
...
...
....
..
...
...
.......
...
.
..
....
.....
..
....
.
....
.
..
....
..
...
.
...
..
.
..
..
..
.
.
..
..
.
..
.
..
......
....
..
....
..
.
....
.
.
...
..
..
...
.
..
...
.
.
..
..
.
..
.
..
...
...
..
....
...
...
....
..
...
...
..
...
.
.
...
..
..
..
..
..
..
..
.
..
...
..
..
..
..
..
..
.
..
.
..
.
.
..
..
.
....
............
...
....
....
..
...
...
.
....
.
..
....
..
....
..
...
.
.
...
..
..
..
..
..
...
.
..
..
..
...
...
..
....
...
...
.
...
..
....
..
...
..
.
.
...
..
..
..
..
..
..
..
.
...
..
..
..
..
..
..
..
.
..
..
.
.
..
.
..
.
....
...........
....
....
...
...
..
....
.
....
.
..
...
.
..
...
.
.
....
.
...
...
..
..
..
..
..
..
..
..
....
...
.
...
...
.
...
..
..
...
.
.
...
..
...
...
..
...
.
.
...
..
.
...
..
.
...
..
.
...
..
.
....
.
..
....
....
..
.
....
.
....
..
..
....
.
....
.
....
..
....
..
....
..
....
..
.....
..
.....
...
...
......
...
..
...
.
...
...
.
...
..
..
...
.
.
...
..
...
...
..
...
.
.
...
..
.
...
..
....
..
.
...
..
.
....
.
..
....
...
...
.
....
.
...
...
.
.....
.....
.
....
..
...
...
...
...
....
..
.....
.
......
...
...
.....
...
.
..
...
.
.
...
..
...
...
..
...
.
.
...
..
...
...
..
...
.
.
...
..
...
...
..
...
.
.
...
..
...
...
..
...
.
.
...
..
...
...
..
...
.
.
...
..
...
...
..
...
.
.
...
..
...
...
..
...
.
.
...
..
...
...
..
...
.
.
...
..
...
...
..
...
..
..
...
...
..
.
..
...
.
..
..
..
.
...
..
.
..
...
...
..
.
..
...
.
..
..
..
.
...
..
.
..
...
...
..
.
..
...
.
..
..
..
.
...
..
.
..
...
...
..
.
..
...
.
..
..
..
.
...
..
.
..
...
...
..
.
.
.
..
.
.
..
.
..
.
.
..
.
..
.
.
..
.
.
..
.
..
.
.
.
..
..
..
.
..
.
.
..
.
..
.
.
..
.
.
..
.
..
.
.
..
.
..
.
.
..
.
.
.
..
..
.
.
.
..
..
..
.
..
.
.
..
.
..
.
.
..
.
.
..
.
..
.
.
..
.
..
..
..
.
.
.
..
..
.
.
.
..
..
..
.
..
.
.
..
.
..
.
.
..
.
.
..
.
..
.
.
..
.
..
..
..
.
.
.
..
..
.
.
......................................................................................................
B
A
C
Figure 6.2.9
Scissors.
Suppose you have a function f(x), and you want to nd as accurately as possible where
it crosses the x-axis; in other words, you want to solve f(x) = 0. Suppose you know of
no way to nd an exact solution by any algebraic procedure, but you are able to use an
approximation, provided it can be made quite close to the true value. Newton’s method is
away to nd a solution to the equation to as many decimal places as you want. It is what
138
Chapter 6 Applications of the Derivative
is called an \iterative procedure," meaning that it can be repeated again and again to
get an answer of greater and greater accuracy. Iterative procedures like Newton’s method
are well suited to programming for a computer. Newton’s method uses the fact that the
tangent line to a curve is a good approximation to the curve near the point of tangency.
EXAMPLE 6.3.1 Approximate
p
3. Since
p
3is a solution to x
2
=3 or x
2
3 = 0, we
use f(x) = x
2
3. We start by guessing something reasonably close to the true value; this
is usually easy to do; let’s use
p
3 2. Now use the tangent line to the curve when x = 2
as an approximation to the curve, as shown in gure6.3.1. Since f
0
(x) = 2x, the slope of
this tangent line is 4 and its equation is y = 4x  7. The tangent line is quite close to f (x),
so it crosses the x-axis near the point at which f(x) crosses, that is, near
p
3. It is easy
to nd where the tangent line crosses the x-axis: solve 0 = 4x   7 to get x = 7=4 = 1:75.
This is certainly a better approximation than 2, but let us say not close enough. We can
improve it by doing the same thing again: nd the tangent line at x = 1:75, nd where
this new tangent line crosses the x-axis, and use that value as a better approximation. We
can continue this indenitely, though it gets a bit tedious. Lets see if we can shortcut the
process. Suppose the best approximation to the intercept we have so far is x
i
. To nd
abetter approximation we will always do the same thing: nd the slope of the tangent
line at x
i
, nd the equation of the tangent line, nd the x-intercept. The slope is 2x
i
.
The tangent line is y = (2x
i
)(x   x
i
)+ (x
2
i
3), using the point-slope formula for a line.
Finally, the intercept is found by solving 0 = (2x
i
)(x   x
i
)+ (x
2
i
3). With a little algebra
this turns into x = (x
2
i
+3)=(2x
i
); this is the next approximation, which we naturally call
x
i+1
. Instead of doing the whole tangent line computation every time we can simply use
this formula to get as many approximations as we want. Starting with x
0
=2, we get
x
1
=(x
2
0
+3)=(2x
0
)= (2
2
+3)=4 = 7=4 (the same approximation we got above, of course),
x
2
=(x
2
1
+3)=(2x
1
)= ((7=4)
2
+3)=(7=2) = 97=56  1:73214, x
3
1:73205, and so on.
This is still a bit tedious by hand, but with a calculator or, even better, a good computer
program, it is quite easy to get many, many approximations. We might guess already that
1:73205 is accurate to two decimal places, and in fact it turns out that it is accurate to 5
places.
Let’s think about this process in more general terms. We want to approximate a
solution to f(x) = 0. We start with a rough guess, which we call x
0
. We use the tangent
line to f (x) to get a new approximation that we hope will be closer to the true value.
What is the equation of the tangent line when x = x
0
? The slope is f
0
(x
0
)and the line
goes through (x
0
;f(x
0
)), so the equation of the line is
y= f
0
(x
0
)(x   x
0
)+ f (x
0
):
6.3 Newton’s Method
139
1
2
.................
........
.......
.....
......
....
....
....
....
....
...
...
.....
..
...
...
..
...
...
...
..
...
..
...
..
...
..
...
..
..
..
...
...
..
..
..
..
...
..
..
..
...
..
...
..
..
..
..
..
..
..
...
..
..
..
..
..
..
..
..
..
...
.
..
..
..
..
..
..
..
.
..
..
...
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
.
..
..
...
..
.
..
..
..
.
..
..
..
.
..
..
..
.
...
..
..
..
.
..
..
..
.
..
..
..
.
..
..
...
.
..
..
..
.
..
..
..
.
..
..
.
..
..
..
.
...
..
..
.
..
..
.
..
..
..
.
..
..
..
.
..
..
..
..
..
..
.
..
..
.
..
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
..
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
.
..
..
..
.
..
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
.
.
Figure 6.3.1
Newton’s method. (AP)
Now we nd where this crosses the x-axis by substituting y = 0 and solving for x:
x=
x
0
f
0
(x
0
 f(x
0
)
f0(x
0
)
=x
0
f(x
0
)
f0(x
0
)
:
We will typically want to compute more than one of these improved approximations, so
we number them consecutively; from x
0
we have computed x
1
:
x
1
=
x
0
f
0
(x
0
 f (x
0
)
f0(x
0
)
=x
0
f(x
0
)
f0(x
0
)
;
and in general from x
i
we compute x
i+1
:
x
i+1
=
x
i
f
0
(x
i
 f (x
i
)
f0(x
i
)
=x
i
f(x
i
)
f0(x
i
)
:
EXAMPLE 6.3.2
Returning to the previous example, f(x) = x
2
3, f
0
(x) = 2x, and
the formula becomes x
i+1
=x
i
(x
2
i
3)=(2x
i
)= (x
2
i
+3)=(2x
i
), as before.
In practice, which is to say, if you need to approximate a value in the course of
designing a bridge or a building or an airframe, you will need to have some condence that
the approximation you settle on is accurate enough. As a rule of thumb, once a certain
number of decimal places stop changing from one approximation to the next it is likely
that those decimal places are correct. Still, this may not be enough assurance, in which
case we can test the result for accuracy.
EXAMPLE 6.3.3
Find the x coordinate of the intersection of the curves y = 2x and
y= tan x, accurate to three decimal places. To put this in the context of Newton’s method,
140
Chapter 6 Applications of the Derivative
we note that we want to know where 2x = tan x or f (x) = tan x   2x = 0. We compute
f
0
(x) = sec
2
 2 and set up the formula:
x
i+1
=x
i
tan x
i
2x
i
sec2 x
i
2
:
From the graph in gure6.3.2 we guess x
0
=1 as a starting point, then using the formula
we compute x
1
=1:310478030, x
2
=1:223929096, x
3
=1:176050900, x
4
=1:165926508,
x
5
= 1:165561636. So we guess that the rst three places are correct, but that is not
the same as saying 1:165 is correct to three decimal places|1:166 might be the correct,
rounded approximation. How can we tell? We can substitute 1:165, 1:1655 and 1:166 into
tan x   2x; this gives  0:002483652,  0:000271247, 0:001948654. Since the rst two are
negative and the third is positive, tan x   2x crosses the x axis between 1:1655 and 1:166,
so the correct value to three places is 1:166.
0
5
10
15
1
1:5
.................
...................
..................
..................
................
...............
..............
............
............
.........
.........
........
.......
.......
......
......
......
.....
.....
.....
...
...
....
...
....
...
..
....
..
..
..
...
..
..
..
...
..
.
..
..
..
..
...
.
..
..
..
.
..
..
.
...
.
..
..
.
..
.
..
.
..
..
.
..
..
..
.
..
.
..
..
.
..
.
..
.
..
.
..
..
.
..
.
..
.
..
.
...
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
..
.
..
.
..
.
..
.
..
..
.
..
.
..
.
..
.
..
..
.
..
.
..
.
..
.
..
..
.
..
.
..
.
..
.
.........
.........
..........
.........
..........
.........
..........
.........
..........
.........
..........
.........
..........
.........
..........
.........
..........
.........
..........
.........
..........
.........
..........
..........
.........
..........
.........
..........
.....
0
5
10
15
1
1:5
...
....................
.....................
.....................
.........................
..................................
.........................................
.....................
............
........
......
.....
.....
.....
...
...
....
...
..
....
..
..
..
...
..
..
..
..
...
..
.
..
..
..
.
..
...
.
..
.
..
..
.
..
.
..
.
..
..
..
..
.
..
.
..
.
..
..
.
..
.
..
.
..
.
..
..
.
..
.
..
..
..
.
..
..
.
..
.
..
.
..
..
.
..
.
..
.
..
.
..
..
.
..
.
..
.
..
.
..
..
.
..
.
..
.
..
.
..
..
.
..
.
..
.
..
.
.
Figure 6.3.2
y= tan x and y = 2x on the left, y = tan x   2x on the right.
Exercises 6.3.
1. Approximate the fth root of 7, using x
0
=1:5 as a rst guess. Use Newton’s method to nd
x
3
as your approximation.)
2. Use Newton’s Method to approximate the cube root of 10 to two decimal places. )
3. The function f (x) = x
3
3x
2
3x + 6 has a root between 3 and 4, because f(3) =  3 and
f(4) = 10. Approximate the root to two decimal places.)
4. A rectangular piece of cardboard of dimensions 8  17 is used to make an open-top box
by cutting out a small square of side x from each corner and bending up the sides. (See
exercise20 in6.1.) If x = 2, then the volume of the box is 2  4  13 = 104. Use Newton’s
method to nd a value of x for which the box has volume 100, accurate to 3 signicant
gures.)
Documents you may be interested
Documents you may be interested