devexpress asp.net pdf viewer : Extract pages from pdf software Library dll winforms .net windows web forms Calculus21-part752

9.6 Center r ofMass
211
5. Awater r tankhastheshapeofthebottomhalfofaspherewithradiusr=1meter. . Ifthe
tankisfull,howmuchworkisrequiredtopumpallthewateroutthetopofthetank?)
6. Aspringhasconstantk=10kg/s
2
. How much work is done in compressing it 1=10 meter
from its natural length? )
7. A force of 2 Newtons will compress a spring from 1 meter (its natural length) to 0.8 meters.
How much work is required to stretch the spring from 1.1 meters to 1.5 meters? )
8. A 20 meter long steel cable has density 2 kilograms per meter, and is hanging straight down.
How much work is required to lift the entire cable to the height of its top end? )
9. The cable in the previous problem has a 100 kilogram bucket of concrete attached to its lower
end. How much work is required to lift the entire cable and bucket to the height of its top
end? )
10. Consider again the cable and bucket of the previous problem. How much work is required
to lift the bucket 10 meters by raising the cable 10 meters? (The top half of the cable ends
up at the height of the top end of the cable, while the bottom half of the cable is lifted 10
meters.) )
Suppose a beam is 10 meters long, and that there are three weights on the beam: a 10
kilogram weight 3 meters from the left end, a 5 kilogram weight 6 meters from the left end,
and a 4 kilogram weight 8 meters from the left end. Where should a fulcrum be placed
so that the beam balances? Let’s assign a scale to the beam, from 0 at the left end to 10
at the right, so that we can denote locations on the beam simply as x coordinates; the
weights are at x = 3, x = 6, and x = 8, as in gure9.6.1.
3
6
8
..
.
..
..
..
.
..
..
..
.
..
..
.
..
..
..........................
..
..
.
..
..
.
..
..
..
.
..
..
..
.
..
.
.
..
..
.
..
.
..
.
..
.
..
..
.
..
.
..
.
..
.
..
..
.
..
.
..
.
..
.
..
....................................................
..
.
..
.
..
.
..
.
..
..
.
..
.
..
.
..
.
..
..
.
..
.
..
.
..
.
..
..
.
.
10
.
.
..
..
.
..
.
..
.
..
.
..
..
.
..
.
..
.
..
.
..
..
.
..
.
..
.
..
.
..
....................................................
..
.
..
.
..
.
..
.
..
..
.
..
.
..
.
..
.
..
..
.
..
.
..
.
..
.
..
..
.
.
5
.
.
..
..
.
..
.
..
.
..
.
..
..
.
..
.
..
.
..
.
..
..
.
..
.
..
.
..
.
..
....................................................
..
.
..
.
..
.
..
.
..
..
.
..
.
..
.
..
.
..
..
.
..
.
..
.
..
.
..
..
.
.
4
Figure 9.6.1
Abeam with three masses.
Suppose to begin with that the fulcrum is placed at x = 5. What will happen? Each
weight applies a force to the beam that tends to rotate it around the fulcrum; this eect
is measured by a quantity called torque, proportional to the mass times the distance
from the fulcrum. Of course, weights on dierent sides of the fulcrum rotate the beam
in opposite directions. We can distinguish this by using a signed distance in the formula
for torque. So with the fulcrum at 5, the torques induced by the three weights will be
proportional to (3   5)10 =  20, (6   5)5 = 5, and (8   5)4 = 12. For the beam to
balance, the sum of the torques must be zero; since the sum is  20 + 5 + 12 =  3, the
beam rotates counter-clockwise, and to get the beam to balance we need to move the
fulcrum to the left. To calculate exactly where the fulcrum should be, we let x denote the
location of the fulcrum when the beam is in balance. The total torque on the beam is then
Extract pages from pdf - copy, paste, cut PDF pages in C#.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
Easy to Use C# Code to Extract PDF Pages, Copy Pages from One PDF File and Paste into Others
export pages from pdf reader; cut pages from pdf online
Extract pages from pdf - VB.NET PDF Page Extract Library: copy, paste, cut PDF pages in vb.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
Detailed VB.NET Guide for Extracting Pages from Microsoft PDF Doc
reader extract pages from pdf; export pages from pdf online
212
Chapter 9 Applications of Integration
(3   x)10 + (6   x)5 + (8   x)4 = 92   19x. Since the beam balances at x it must be that
92   19x = 0 or x = 92=19  4:84, that is, the fulcrum should be placed at x = 92=19 to
balance the beam.
Now suppose that we have a beam with varying density|some portions of the beam
contain more mass than other portions of the same size. We want to gure out where to
put the fulcrum so that the beam balances.
m
0
m
1
m
2
m
3
m
4
m
5
m
6
m
7
m
8
m
9
Figure 9.6.2
Asolid beam.
EXAMPLE 9.6.1
Suppose the beam is 10 meters long and that the density is 1 + x
kilograms per meter at location x on the beam. To approximate the solution, we can think
of the beam as a sequence of weights \on" a beam. For example, we can think of the
portion of the beam between x = 0 and x = 1 as a weight sitting at x = 0, the portion
between x = 1 and x = 2 as a weight sitting at x = 1, and so on, as indicated in gure9.6.2.
We then approximate the mass of the weights by assuming that each portion of the beam
has constant density. So the mass of the rst weight is approximately m
0
=(1 + 0)1 = 1
kilograms, namely, (1 + 0) kilograms per meter times 1 meter. The second weight is
m
1
=(1 + 1)1 = 2 kilograms, and so on to the tenth weight with m
9
=(1 + 9)1 = 10
kilograms. So in this case the total torque is
(0   x)m
0
+(1   x)m
1
+   + (9   x)m
9
=(0   x)1 + (1   x)2 +    + (9   x)10:
If we set this to zero and solve for x we get x = 6. In general, if we divide the beam into
nportions, the mass of weight number i will be m
i
=(1 + x
i
)(x
i+1
x
i
)= (1 + x
i
)x
and the torque induced by weight number i will be (x
i
x)m
i
=(x
i
x)(1 + x
i
)x. The
total torque is then
(x
0
x)(1 + x
0
)x + (x
1
x)(1 + x
1
)x +    + (x
n 1
x)(1 + x
n 1
)x
=
n 1
i=0
x
i
(1 + x
i
)x  
nX 1
i=0
x(1 + x
i
)x
=
n 1
i=0
x
i
(1 + x
i
)x   x
nX 1
i=0
(1 + x
i
)x:
C# PDF Text Extract Library: extract text content from PDF file in
inputFilePath); PDFTextMgr textMgr = PDFTextHandler.ExportPDFTextManager(doc); // Extract text content C# example code for text extraction from all PDF pages.
combine pages of pdf documents into one; delete page from pdf acrobat
C# PDF Image Extract Library: Select, copy, paste PDF images in C#
Image: Extract Image from PDF. |. Home ›› XDoc.PDF ›› C# PDF: Extract PDF Image. How to C#: Extract Image from PDF Document.
cut and paste pdf pages; delete pages from pdf document
9.6 Center of Mass
213
If we set this equal to zero and solve for x we get an approximation to the balance point
of the beam:
0=
nX 1
i=0
x
i
(1 + x
i
)x   x
nX 1
i=0
(1 + x
i
)x
x
nX 1
i=0
(1 + x
i
)x =
nX 1
i=0
x
i
(1 + x
i
)x
x =
nX 1
i=0
x
i
(1 + x
i
)x
n 1
i=0
(1 + x
i
)x
:
The denominator of this fraction has a very familiar interpretation. Consider one term of
the sum in the denominator: (1 + x
i
)x. This is the density near x
i
times a short length,
x, which in other words is approximately the mass of the beam between x
i
and x
i+1
.
When we add these up we get approximately the mass of the beam.
Now each of the sums in the fraction has the right form to turn into an integral, which
in turn gives us the exact value of x:
x =
Z
10
0
x(1 + x) dx
Z
10
0
(1 + x) dx
:
The numerator of this fraction is called the moment of the system around zero:
Z
10
0
x(1 + x) dx =
Z
10
0
x+ x
2
dx =
1150
3
;
and the denominator is the mass of the beam:
Z
10
0
(1 + x) dx = 60;
and the balance point, ocially called the center of mass, is
x =
1150
3
1
60
=
115
18
6:39:
VB.NET PDF Text Extract Library: extract text content from PDF
PDF ›› VB.NET PDF: Extract PDF Text. VB.NET PDF - Extract Text from PDF Using VB. How to Extract Text from PDF with VB.NET Sample Codes in .NET Application.
convert few pages of pdf to word; extract page from pdf file
C# PDF Page Insert Library: insert pages into PDF file in C#.net
doc2.Save(outPutFilePath); Add and Insert Multiple PDF Pages to PDF Document Using C#. Add and Insert Blank Pages to PDF File in C#.NET.
export one page of pdf preview; delete pages of pdf
214
Chapter 9 Applications of Integration
It should be apparent that there was nothing special about the density function (x) =
1+ x or the length of the beam, or even that the left end of the beam is at the origin.
In general, if the density of the beam is (x) and the beam covers the interval [a; b], the
moment of the beam around zero is
M
0
=
Z
b
a
x(x) dx
and the total mass of the beam is
M=
Z
b
a
(x) dx
and the center of mass is at
x =
M
0
M
:
EXAMPLE 9.6.2 Suppose a beam lies on the x-axis between 20 and 30, and has density
function (x) = x  19. Find the center of mass. This is the same as the previous example
except that the beam has been moved. Note that the density at the left end is 20   19 = 1
and at the right end is 30   19 = 11, as before. Hence the center of mass must be at
approximately 20 + 6:39 = 26:39. Let’s see how the calculation works out.
M
0
=
Z
30
20
x(x   19) dx =
Z
30
20
x
2
19x dx =
x
3
3
19x
2
2
30
20
=
4750
3
M=
Z
30
20
 19 dx =
x
2
2
19x
30
20
=60
M
0
M
=
4750
3
1
60
=
475
18
26:39:
EXAMPLE 9.6.3
Suppose a  at plate of uniform density has the shape contained by
y= x
2
,y = 1, and x = 0, in the rst quadrant. Find the center of mass. (Since the density
is constant, the center of mass depends only on the shape of the plate, not the density, or
in other words, this is a purely geometric quantity. In such a case the center of mass is
called the centroid.)
This is a two dimensional problem, but it can be solved as if it were two one dimensional
problems: we need to nd the x and y coordinates of the center of mass, x and y, and
fortunately we can do these independently. Imagine looking at the plate edge on, from
below the x-axis. The plate will appear to be a beam, and the mass of a short section
VB.NET PDF Image Extract Library: Select, copy, paste PDF images
Image: Extract Image from PDF. |. Home ›› XDoc.PDF ›› VB.NET PDF: Extract PDF Image. VB.NET PDF - Extract Image from PDF Document in VB.NET.
delete pages from pdf; extract pages from pdf files
VB.NET PDF Page Delete Library: remove PDF pages in vb.net, ASP.
doc.Save(outPutFilePath). How to VB.NET: Delete Consecutive Pages from PDF. doc.Save(outPutFilePath). How to VB.NET: Delete Specified Pages from PDF.
extract pages from pdf file online; delete page from pdf file
9.6 Center of Mass
215
0
1
0
1
x
i
(x; y)
0
1
x
i
m
i
Figure 9.6.3
Center of mass for a two dimensional plate.
of the \beam", say between x
i
and x
i+1
,is the mass of a strip of the plate between x
i
and x
i+1
. See gure9.6.3 showing the plate from above and as it appears edge on. Since
the plate has uniform density we may as well assume that  = 1. Then the mass of the
plate between x
i
and x
i+1
is approximately m
i
=(1   x
2
i
)x = (1   x
2
i
)x. Now we can
compute the moment around the y-axis:
M
y
=
Z
1
0
x(1   x
2
)dx =
1
4
and the total mass
M=
Z
1
0
(1   x
2
)dx =
2
3
and nally
x =
1
4
3
2
=
3
8
:
Next we do the same thing to nd y. The mass of the plate between y
i
and y
i+1
is
approximately n
i
=
p
yy, so
M
x
=
Z
1
0
y
p
ydy =
2
5
and
y =
2
5
3
2
=
3
5
;
since the total mass M is the same. The center of mass is shown in gure9.6.3.
EXAMPLE 9.6.4
Find the center of mass of a thin, uniform plate whose shape is the
region between y = cosx and the x-axis between x =  =2 and x = =2. It is clear
VB.NET PDF Page Insert Library: insert pages into PDF file in vb.
Page: Insert PDF Pages. |. Home ›› XDoc.PDF ›› VB.NET PDF: Insert PDF Page. Add and Insert Multiple PDF Pages to PDF Document Using VB.
delete pages from pdf in reader; delete page from pdf document
C# PDF Page Delete Library: remove PDF pages in C#.net, ASP.NET
doc.Save(outPutFilePath); Demo Code: How to Delete Consecutive Pages from PDF in C#.NET. Demo Code: How to Delete Specified Pages from PDF in C#.NET.
cut pdf pages online; convert selected pages of pdf to word
216
Chapter 9 Applications of Integration
that x = 0, but for practice let’s compute it anyway. We will need the total mass, so we
compute it rst:
M=
Z
=2
=2
cos x dx = sin x
=2
=2
=2:
The moment around the y-axis is
M
y
=
Z
=2
=2
xcos x dx = cos x + x sin x
=2
=2
=0
and the moment around the x-axis is
M
x
=
Z
1
0
y 2 arccos y dy = y
2
arccos y  
y
p
 y2
2
+
arcsin y
2
1
0
=
4
:
Thus
x =
0
2
; y =
8
0:393:
Exercises 9.6.
1. A beam 10 meters long has density (x) = x
2
at distance x from the left end of the beam.
Find the center of mass x. )
2. A beam 10 meters long has density (x) = sin(x=10) at distance x from the left end of the
beam. Find the center of mass x.)
3. A beam 4 meters long has density (x) = x
3
at distance x from the left end of the beam.
Find the center of mass x. )
4. Verify that
Z
2xarccos x dx = x
2
arccos x  
x
p
 x2
2
+
arcsin x
2
+C.
5. A thin plate lies in the region between y = x
2
and the x-axis between x = 1 and x = 2. Find
the centroid. )
6. A thin plate lls the upper half of the unit circle x
2
+y
2
=1. Find the centroid. )
7. A thin plate lies in the region contained by y = x and y = x
2
. Find the centroid. )
8. A thin plate lies in the region contained by y = 4  x
2
and the x-axis. Find the centroid. )
9. A thin plate lies in the region contained by y = x
1=3
and the x-axis between x = 0 and x = 1.
Find the centroid. )
10. A thin plate lies in the region contained by
p
x+
p
y= 1 and the axes in the rst quadrant.
Find the centroid. )
11. A thin plate lies in the region between the circle x
2
+y
2
=4 and the circle x
2
+y
2
=1,
above the x-axis. Find the centroid. )
12. A thin plate lies in the region between the circle x
2
+y
2
=4 and the circle x
2
+y
2
=1 in
the rst quadrant. Find the centroid.)
13. A thin plate lies in the region between the circle x
2
+y
2
=25 and the circle x
2
+y
2
=16
above the x-axis. Find the centroid. )
9.7 Kinetic energy; improper integrals
217
Recall example9.5.3 in which we computed the work required to lift an object from the
surface of the earth to some large distance D away. Since F = k=x
2
we computed
Z
D
r
0
k
x2
dx =  
k
D
+
k
r
0
:
We noticed that as D increases, k=D decreases to zero so that the amount of work increases
to k=r
0
.More precisely,
lim
D!1
Z
D
r
0
k
x2
dx = lim
D!1
k
D
+
k
r
0
=
k
r
0
:
We might reasonably describe this calculation as computing the amount of work required
to lift the object \to innity," and abbreviate the limit as
lim
D!1
Z
D
r
0
k
x2
dx =
Z
1
r
0
k
x2
dx:
Such an integral, with a limit of innity, is called an improper integral. This is a bit
unfortunate, since it’s not really \improper" to do this, nor is it really \an integral"|it is
an abbreviation for the limit of a particular sort of integral. Nevertheless, we’re stuck with
the term, and the operation itself is perfectly legitimate. It may at rst seem odd that a
nite amount of work is sucient to lift an object to \innity", but sometimes surprising
things are nevertheless true, and this is such a case. If the value of an improper integral
is a nite number, as in this example, we say that the integral converges, and if not we
say that the integral diverges.
Here’s another way, perhaps even more surprising, to interpret this calculation. We
know that one interpretation of
Z
D
1
1
x2
dx
is the area under y = 1=x
2
from x = 1 to x = D. Of course, as D increases this area
increases. But since
Z
D
1
1
x2
dx =  
1
D
+
1
1
;
while the area increases, it never exceeds 1, that is
Z
1
1
1
x2
dx = 1:
The area of the innite region under y = 1=x
2
from x = 1 to innity is nite.
218
Chapter 9 Applications of Integration
Consider a slightly dierent sort of improper integral:
Z
1
1
xe
x
2
dx. There are two
ways we might try to compute this. First, we could break it up into two more familiar
integrals:
Z
1
1
xe
x
2
dx =
Z
0
1
xe
x
2
dx +
Z
1
0
xe
x
2
dx:
Now we do these as before:
Z
0
1
xe
x
2
dx = lim
D!1
e
x
2
2
0
D
1
2
;
and
Z
1
0
xe
x
2
dx = lim
D!1
e
x
2
2
D
0
=
1
2
;
so
Z
1
1
xe
x
2
dx =  
1
2
+
1
2
=0:
Alternately, we might try
Z
1
1
xe
x
2
dx = lim
D!1
Z
D
D
xe
x
2
dx = lim
D!1
e
x
2
2
D
D
= lim
D!1
e
D
2
2
+
e
D
2
2
=0:
So we get the same answer either way. This does not always happen; sometimes the second
approach gives a nite number, while the rst approach does not; the exercises provide
examples. In general, we interpret the integral
Z
1
1
f(x) dx according to the rst method:
both integrals
Z
a
1
f(x) dx and
Z
1
a
f(x) dx must converge for the original integral to
converge. The second approach does turn out to be useful; when lim
D!1
Z
D
D
f(x)dx = L,
and L is nite, then L is called the Cauchy Principal Value of
Z
1
1
f(x) dx.
Here’s a more concrete application of these ideas. We know that in general
W =
Z
x
1
x
0
Fdx
is the work done against the force F in moving from x
0
to x
1
. In the case that F is the
force of gravity exerted by the earth, it is customary to make F < 0 since the force is
9.7 Kinetic energy; improper integrals
219
\downward." This makes the work W negative when it should be positive, so typically the
work in this case is dened as
W=  
Z
x
1
x
0
Fdx:
Also, by Newton’s Law, F = ma(t). This means that
W =  
Z
x
1
x
0
ma(t) dx:
Unfortunately this integral is a bit problematic: a(t) is in terms of t, while the limits and
the \dx" are in terms of x. But x and t are certainly related here: x = x(t) is the function
that gives the position of the object at time t, so v = v(t) = dx=dt = x
0
(t) is its velocity
and a(t) = v
0
(t) = x
00
(t). We can use v = x
0
(t) as a substitution to convert the integral
from \dx" to \dv" in the usual way, with a bit of cleverness along the way:
dv = x
00
(t) dt = a(t) dt = a(t)
dt
dx
dx
dx
dt
dv = a(t)dx
vdv = a(t)dx:
Substituting in the integral:
W=  
Z
x
1
x
0
ma(t) dx =  
Z
v
1
v
0
mv dv =  
mv
2
2
v
1
v
0
mv
2
1
2
+
mv
2
0
2
:
You may recall seeing the expression mv
2
=2 in a physics course|it is called the kinetic
energy of the object. We have shown here that the work done in moving the object from
one place to another is the same as the change in kinetic energy.
We know that the work required to move an object from the surface of the earth to
innity is
W =
Z
1
r
0
k
r2
dr =
k
r
0
:
At the surface of the earth the acceleration due to gravity is approximately 9.8 meters
per second squared, so the force on an object of mass m is F = 9:8m. The radius of the
earth is approximately 6378.1 kilometers or 6378100 meters. Since the force due to gravity
obeys an inverse square law, F = k=r
2
and 9:8m = k=6378100
2
,k = 398665564178000m
and W = 62505380m.
220
Chapter 9 Applications of Integration
Now suppose that the initial velocity of the object, v
0
, is just enough to get it to
innity, that is, just enough so that the object never slows to a stop, but so that its speed
decreases to zero, i.e., so that v
1
=0. Then
62505380m = W =  
mv
2
1
2
+
mv
2
0
2
=
mv
2
0
2
so
v
0
=
p
125010760  11181 meters per second;
or about 40251 kilometers per hour. This speed is called the escape velocity. Notice that
the mass of the object, m, canceled out at the last step; the escape velocity is the same
for all objects. Of course, it takes considerably more energy to get a large object up to
40251 kph than a small one, so it is certainly more dicult to get a large object into deep
space than a small one. Also, note that while we have computed the escape velocity for
the earth, this speed would not in fact get an object \to innity" because of the large mass
in our neighborhood called the sun. Escape velocity for the sun starting at the distance of
the earth from the sun is nearly 4 times the escape velocity we have calculated.
Exercises 9.7.
1. Is the area under y = 1=x from 1 to innity nite or innite? If nite, compute the area. )
2. Is the area under y = 1=x
3
from 1 to innity nite or innite? If nite, compute the area.
)
3. Does
Z
1
0
x
2
+2x   1 dx converge or diverge? If it converges, nd the value.)
4. Does
Z
1
1
1=
p
xdx converge or diverge? If it converges, nd the value. )
5. Does
Z
1
0
e
x
dx converge or diverge? If it converges, nd the value. )
6.
Z
1=2
0
(2x   1)
3
dx is an improper integral of a slightly dierent sort. Express it as a limit
and determine whether it converges or diverges; if it converges, nd the value. )
7. Does
Z
1
0
1=
p
xdx converge or diverge? If it converges, nd the value. )
8. Does
Z
=2
0
sec
2
xdx converge or diverge? If it converges, nd the value. )
9. Does
Z
1
1
x
2
4+ x6
dx converge or diverge? If it converges, nd the value. )
10. Does
Z
1
1
xdx converge or diverge? If it converges, nd the value. Also nd the Cauchy
Principal Value, if it exists. )
11. Does
Z
1
1
sin x dx converge or diverge? If it converges, nd the value. Also nd the Cauchy
Principal Value, if it exists. )
Documents you may be interested
Documents you may be interested