devexpress asp.net pdf viewer : Extract one page from pdf application SDK tool html wpf asp.net online Calculus22-part753

9.8 Probability
221
12. Does
Z
1
1
cosxdxconvergeordiverge?Ifitconverges,ndthevalue. AlsondtheCauchy
PrincipalValue,ifitexists. )
13. Supposethecurvey=1=xisrotatedaroundthex-axisgeneratingasortoffunnelorhorn
shape,calledGabriel’s hornor r Toricelli’s trumpet. . Is s the volumeofthis funnelfrom
x=1toinnityniteorinnite?Ifnite,computethevolume. )
14. An n ocially y sanctioned d baseballmust be between 142 and 149 grams. . How w much work,
in Newton-meters, does s it t take e to throw w a a ball at t 80 0 miles s per hour? ? At t 90 0 mph? ? At
100.9mph?(AccordingtotheGuinnessBookofWorldRecords,at http://www.baseball-
almanac.com/recbooks/rb_guin.shtml, \The greatest reliably y recordedspeed d at t which h a
baseball has been pitched is 100.9 mph by Lynn Nolan Ryan (California Angels) at Anaheim
Stadium in California on August 20, 1974.") )
You perhaps have at least a rudimentary understanding of discrete probability, which
measures the likelihood of an \event" when there are a nite number of possibilities. For
example, when an ordinary six-sided die is rolled, the probability of getting any particular
number is 1=6. In general, the probability of an event is the number of ways the event can
happen divided by the number of ways that \anything" can happen.
For a slightly more complicated example, consider the case of two six-sided dice. The
dice are physically distinct, which means that rolling a 2{5 is dierent than rolling a 5{2;
each is an equally likely event out of a total of 36 ways the dice can land, so each has a
probability of 1=36.
Most interesting events are not so simple. More interesting is the probability of rolling
acertain sum out of the possibilities 2 through 12. It is clearly not true that all sums are
equally likely: the only way to roll a 2 is to roll 1{1, while there are many ways to roll a 7.
Because the number of possibilities is quite small, and because a pattern quickly becomes
evident, it is easy to see that the probabilities of the various sums are:
P(2) = P(12) = 1=36
P(3) = P(11) = 2=36
P(4) = P(10) = 3=36
P(5) = P(9) = 4=36
P(6) = P(8) = 5=36
P(7) = 6=36
Here we use P(n) to mean \the probability of rolling an n." Since we have correctly
accounted for all possibilities, the sum of all these probabilities is 36=36 = 1; the probability
that the sum is one of 2 through 12 is 1, because there are no other possibilities.
Extract one page from pdf - copy, paste, cut PDF pages in C#.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
Easy to Use C# Code to Extract PDF Pages, Copy Pages from One PDF File and Paste into Others
add or remove pages from pdf; add and delete pages from pdf
Extract one page from pdf - VB.NET PDF Page Extract Library: copy, paste, cut PDF pages in vb.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
Detailed VB.NET Guide for Extracting Pages from Microsoft PDF Doc
cut paste pdf pages; extract one page from pdf
222
Chapter 9 Applications of Integration
The study of probability is concerned with more dicult questions as well; for example,
suppose the two dice are rolled many times. On the average, what sum will come up? In
the language of probability, this average is called the expected value of the sum. This is
at rst a little misleading, as it does not tell us what to \expect" when the two dice are
rolled, but what we expect the long term average will be.
Suppose that two dice are rolled 36 million times. Based on the probabilities, we would
expect about 1 million rolls to be 2, about 2 million to be 3, and so on, with a roll of 7
topping the list at about 6 million. The sum of all rolls would be 1 million times 2 plus 2
million times 3, and so on, and dividing by 36 million we would get the average:
x = (2 10
6
+3(2  10
6
)+  + 7(6  10
6
)+  + 12  10
6
)
1
36  106
=2
106
36  106
+3
2 106
36  106
+  + 7
6 106
36  106
+ + 12
106
36  106
=2P(2) + 3P(3)+  + 7P(7) +  + 12P(12)
=
X12
i=2
iP(i) = 7:
There is nothing special about the 36 million in this calculation. No matter what the
number of rolls, once we simplify the average, we get the same
X12
i=2
iP(i). While the actual
average value of a large number of rolls will not be exactly 7, the average should be close
to 7 when the number of rolls is large. Turning this around, if the average is not close to
7, we should suspect that the dice are not fair.
Avariable, say X, that can take certain values, each with a corresponding probability,
is called a random variable; in the example above, the random variable was the sum of
the two dice. If the possible values for X are x
1
,x
2
,:::,x
n
,then the expected value of the
random variable is E(X) =
Xn
i=1
x
i
P(x
i
). The expected value is also called the mean.
When the number of possible values for X is nite, we say that X is a discrete random
variable. In many applications of probability, the number of possible values of a random
variable is very large, perhaps even innite. To deal with the innite case we need a
dierent approach, and since there is a sum involved, it should not be wholly surprising
that integration turns out to be a useful tool. It then turns out that even when the
number of possibilities is large but nite, it is frequently easier to pretend that the number
is innite. Suppose, for example, that a dart is thrown at a dart board. Since the dart
board consists of a nite number of atoms, there are in some sense only a nite number
of places for the dart to land, but it is easier to explore the probabilities involved by
pretending that the dart can land on any point in the usual x-y plane.
VB.NET PDF Page Delete Library: remove PDF pages in vb.net, ASP.
If you are looking for a solution to conveniently delete one page from your PDF document, you can use this VB.NET PDF Library, which supports a variety of PDF
copy one page of pdf to another pdf; export pages from pdf acrobat
C# PDF File Merge Library: Merge, append PDF files in C#.net, ASP.
C# developers can easily merge and append one PDF document to document imaging toolkit, also offers other advanced PDF document page processing and
extract pdf pages online; acrobat remove pages from pdf
9.8 Probability
223
DEFINITION 9.8.1
Let f : R ! R be a function. If f(x)  0 for every x and
Z
1
1
f(x)dx = 1 then f is a probability density function.
We associate a probability density function with a random variable X by stipulating
that the probability that X is between a and b is
Z
b
a
f(x)dx. Because of the requirement
that the integral from  1 to 1 be 1, all probabilities are less than or equal to 1, and the
probability that X takes on some value between  1 and 1 is 1, as it should be.
EXAMPLE 9.8.2
Consider again the two dice example; we can view it in a way that
more resembles the probability density function approach. Consider a random variable X
that takes on any real value with probabilities given by the probability density function in
gure9.8.1. The function f consists of just the top edges of the rectangles, with vertical
sides drawn for clarity; the function is zero below 1:5 and above 12:5. The area of each
rectangle is the probability of rolling the sum in the middle of the bottom of the rectangle,
or
P(n) =
Z
n+1=2
n 1=2
f(x)dx:
The probability of rolling a 4, 5, or 6 is
P(n) =
Z
13=2
7=2
f(x)dx:
Of course, we could also compute probabilities that don’t make sense in the context of the
dice, such as the probability that X is between 4 and 5:8.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
6
Figure 9.8.1
Aprobability density function for two dice.
C# PDF Image Extract Library: Select, copy, paste PDF images in C#
Open a document. PDFDocument doc = new PDFDocument(inputFilePath); PDFPage page = (PDFPage)pdf.GetPage(0); // Extract all images on one pdf page.
cut pages from pdf file; copy pdf pages to another pdf
VB.NET PDF File Merge Library: Merge, append PDF files in vb.net
all. This guiding page will help you merge two or more PDF documents into a single one in a Visual Basic .NET imaging application.
extract pdf pages; export pages from pdf reader
224
Chapter 9 Applications of Integration
The function
F(x) = P(X  x) =
Z
x
1
f(t)dt
is called the cumulative distribution function or simply (probability) distribution.
EXAMPLE 9.8.3
Suppose that a < b and
f(x) =
(
1
 a
if a  x  b
0
otherwise.
Then f(x) is the uniform probability density function on [a;b]. and the corresponding
distribution is the uniform distribution on [a;b].
EXAMPLE 9.8.4
Consider the function f(x) = e
x
2
=2
.What can we say about
Z
1
1
e
x
2
=2
dx?
We cannot nd an antiderivative of f, but we can see that this integral is some nite
number. Notice that 0 < f(x) = e
x
2
=2
e
x=2
for jxj > 1. This implies that the area
under e
x
2
=2
is less than the area under e
x=2
, over the interval [1;1). It is easy to
compute the latter area, namely
Z
1
1
e
x=2
dx =
2
p
e
;
so
Z
1
1
e
x
2
=2
dx
is some nite number smaller than 2=
p
e. Because f is symmetric around the y-axis,
Z
1
1
e
x
2
=2
dx =
Z
1
1
e
x
2
=2
dx:
This means that
Z
1
1
e
x
2
=2
dx =
Z
1
1
e
x
2
=2
dx +
Z
1
1
e
x
2
=2
dx +
Z
1
1
e
x
2
=2
dx = A
for some nite positive number A. Now if we let g(x) = f(x)=A,
Z
1
1
g(x)dx =
1
A
Z
1
1
e
x
2
=2
dx =
1
A
A= 1;
so g is a probability density function. It turns out to be very useful, and is called the
standard normal probability density function or more informally the bell curve,
VB.NET PDF Annotate Library: Draw, edit PDF annotation, markups in
to display it. Thus, PDFPage, derived from REPage, is a programming abstraction for representing one PDF page. Annotating Process.
extract one page from pdf preview; extract page from pdf document
C# PDF Page Delete Library: remove PDF pages in C#.net, ASP.NET
Using RasterEdge Visual C# .NET PDF page deletion component, developers can easily select one or more PDF pages and delete it/them in both .NET web and Windows
cut pages out of pdf; extract pages from pdf on ipad
9.8 Probability
225
4
3
2
1
0
1
2
3
4
0.5
................................................................
...........................
..............
.........
........
......
......
.....
.....
.....
....
....
....
....
....
...
....
....
...
....
....
...
....
....
....
....
.....
....
......
.......
...........................
.......
......
.....
....
.....
....
...
....
....
...
....
....
...
....
...
....
....
....
....
.....
....
.....
.....
......
.......
.......
.........
...............
..........................
................................................................
Figure 9.8.2
The bell curve.
giving rise to the standard normal distribution. See gure9.8.2 for the graph of the
bell curve.
We have shown that A is some nite number without computing it; we cannot compute
it with the techniques we have available. By using some techniques from multivariable
calculus, it can be shown that A =
p
2.
EXAMPLE 9.8.5
The exponential distribution has probability density function
f(x) =
n
0
x< 0
ce
cx
x 0
where c is a positive constant.
The mean or expected value of a random variable is quite useful, as hinted at in
our discussion of dice. Recall that the mean for a discrete random variable is E(X) =
Xn
i=1
x
i
P(x
i
). In the more general context we use an integral in place of the sum.
DEFINITION 9.8.6 The mean of a random variable X with probability density func-
tion f is  = E(X) =
Z
1
1
xf(x)dx, provided the integral converges.
When the mean exists it is unique, since it is the result of an explicit calculation. The
mean does not always exist.
The mean might look familiar; it is essentially identical to the center of mass of a one-
dimensional beam, as discussed in section9.6. The probability density function f plays
the role of the physical density function, but now the \beam" has innite length. If we
consider only a nite portion of the beam, say between a and b, then the center of mass is
x =
Z
b
a
xf(x)dx
Z
b
a
f(x)dx
:
C# PDF copy, paste image Library: copy, paste, cut PDF images in
how to copy an image from one page of PDF to cut image from PDF file page by using PDFDocument doc = new PDFDocument(inputFilePath); // Extract all images from
deleting pages from pdf in preview; extract pages pdf preview
VB.NET PDF copy, paste image library: copy, paste, cut PDF images
how to copy an image from one page of PDF how to cut image from PDF file page by using doc As PDFDocument = New PDFDocument(inputFilePath) ' Extract all images
convert selected pages of pdf to word online; delete pages from pdf acrobat
226
Chapter 9 Applications of Integration
If we extend the beam to innity, we get
x =
Z
1
1
xf(x)dx
Z
1
1
f(x)dx
=
Z
1
1
xf(x)dx = E(X);
because
Z
1
1
f(x)dx = 1. In the center of mass interpretation, this integral is the total
mass of the beam, which is always 1 when f is a probability density function.
EXAMPLE 9.8.7
The mean of the standard normal distribution is
Z
1
1
x
e
x
2
=2
p
2
dx:
We compute the two halves:
Z
0
1
x
x
2
=2
p
2
dx =
lim
D! 1
x
2
=2
p
2
0
D
1
p
2
and
Z
1
0
x
e
x
2
=2
p
2
dx = lim
D!1
e
x
2
=2
p
2
D
0
=
1
p
2
:
The sum of these is 0, which is the mean.
While the mean is very useful, it typically is not enough information to properly
evaluate a situation. For example, suppose we could manufacture an 11-sided die, with
the faces numbered 2 through 12 so that each face is equally likely to be down when the die
is rolled. The value of a roll is the value on this lower face. Rolling the die gives the same
range of values as rolling two ordinary dice, but now each value occurs with probability
1=11. The expected value of a roll is
2
11
+
3
11
+ +
12
11
=7:
The mean does not distinguish the two cases, though of course they are quite dierent.
If f is a probability density function for a random variable X, with mean , we would
like to measure how far a \typical" value of X is from . One way to measure this distance
9.8 Probability
227
is (X  )
2
;we square the dierence so as to measure all distances as positive. To get the
typical such squared distance, we compute the mean. For two dice, for example, we get
(2   7)
2
1
36
+(3   7)
2
2
36
+  + (7   7)
2
6
36
+(11   7)
2
2
36
+(12   7)
2
1
36
=
35
36
:
Because we squared the dierences this does not directly measure the typical distance we
seek; if we take the square root of this we do get such a measure,
p
35=36  2:42. Doing
the computation for the strange 11-sided die we get
(2   7)
2
1
11
+(3   7)
2
1
11
+  +(7   7)
2
1
11
+(11   7)
2
1
11
+(12   7)
2
1
11
=10;
with square root approximately 3.16. Comparing 2.42 to 3.16 tells us that the two-dice
rolls clump somewhat more closely near 7 than the rolls of the weird die, which of course
we already knew because these examples are quite simple.
To perform thesame computation for a probability density function the sum is replaced
by an integral, just as in the computation of the mean. The expected value of the squared
distances is
V(X) =
Z
1
1
(x   )
2
f(x)dx;
called the variance. The square root of the variance is the standard deviation, denoted
.
EXAMPLE 9.8.8
We compute the standard deviation of the standard normal distru-
bution. The variance is
1
p
2
Z
1
1
x
2
e
x
2
=2
dx:
To compute the antiderivative, use integration by parts, with u = x and dv = xe
x
2
=2
dx.
This gives
Z
x
2
e
x
2
=2
dx =  xe
x
2
=2
+
Z
e
x
2
=2
dx:
We cannot do the new integral, but we know its value when the limits are  1 to 1, from
our discussion of the standard normal distribution. Thus
1
p
2
Z
1
1
x
2
e
x
2
=2
dx =  
1
p
2
xe
x
2
=2
1
1
+
1
p
2
Z
1
1
e
x
2
=2
dx = 0 +
1
p
2
p
2 = 1:
The standard deviation is then
p
1= 1.
228
Chapter 9 Applications of Integration
EXAMPLE 9.8.9
Here is a simple example showing how these ideas can be useful.
Suppose it is known that, in the long run, 1 out of every 100 computer memory chips
produced by a certain manufacturing plant is defective when the manufacturing process is
running correctly. Suppose 1000 chips are selected at random and 15 of them are defective.
This is more than the ‘expected’ number (10), but is it so many that we should suspect
that something has gone wrong in the manufacturing process? We are interested in the
probability that various numbers of defective chips arise; the probability distribution is
discrete: there can only be a whole number of defective chips. But (under reasonable
assumptions) the distribution is very close to a normal distribution, namely this one:
f(x) =
1
p
2
p
1000(:01)(:99)
exp
(x  10)2
2(1000)(:01)(:99)
;
which is pictured in gure9.8.3 (recall that exp(x) = e
x
).
0
5
10
15
20
25
0.05
0.10
0.15
.....................
..............
............
......
......
.....
.....
....
....
....
...
....
...
...
...
...
...
...
..
...
...
..
...
..
...
..
...
..
...
..
...
..
...
..
...
..
...
...
..
...
...
...
...
...
....
....
......
.........
...
.........
......
....
....
...
...
...
...
...
..
...
...
..
...
..
...
..
...
..
...
..
...
..
...
..
...
..
...
...
..
...
...
...
...
...
...
....
...
....
....
....
.....
.....
......
......
............
..............
.............................................................................................................
Figure 9.8.3
Normal density function for the defective chips example.
Now how do we measure how unlikely it is that under normal circumstances we would
see 15 defective chips? We can’t compute the probability of exactly 15 defective chips, as
this would be
Z
15
15
f(x)dx = 0. We could compute
Z
15:5
14:5
f(x)dx  0:036; this means there
is only a 3:6% chance that the number of defective chips is 15. (We cannot compute these
integrals exactly; computer software has been used to approximate the integral values in
this discussion.) But this is misleading:
Z
10:5
9:5
f(x)dx  0:126, which is larger, certainly,
but still small, even for the \most likely" outcome. The most useful question, in most
circumstances, is this: how likely is it that the number of defective chips is \far from"
the mean? For example, how likely, or unlikely, is it that the number of defective chips
is dierent by 5 or more from the expected value of 10? This is the probability that the
number of defective chips is less than 5 or larger than 15, namely
Z
5
1
f(x)dx +
Z
1
15
f(x)dx  0:11:
So there is an 11% chance that this happens|not large, but not tiny. Hence the 15
defective chips does not appear to be cause for alarm: about one time in nine we would
9.8 Probability
229
expect to see the number of defective chips 5 or more away from the expected 10. How
about 20? Here we compute
Z
0
1
f(x)dx+
Z
1
20
f(x)dx  0:0015:
So there is only a 0:15% chance that the number of defective chips is more than 10 away
from the mean; this would typically be interpreted as too suspicious to ignore|it shouldn’t
happen if the process is running normally.
The big question, of course, is what level of improbability should trigger concern?
It depends to some degree on the application, and in particular on the consequences of
getting it wrong in one direction or the other. If we’re wrong, do we lose a little money?
Alot of money? Do people die? In general, the standard choices are 5% and 1%. So what
we should do is nd the number of defective chips that has only, let us say, a 1% chance
of occurring under normal circumstances, and use that as the relevant number. In other
words, we want to know when
Z
10 r
1
f(x)dx +
Z
1
10+r
f(x)dx < 0:01:
Abit of trial and error shows that with r = 8 the value is about 0:011, and with r = 9 it
is about 0:004, so if the number of defective chips is 19 or more, or 1 or fewer, we should
look for problems. If the number is high, we worry that the manufacturing process has
a problem, or conceivably that the process that tests for defective chips is not working
correctly and is  agging good chips as defective. If the number is too low, we suspect that
the testing procedure is broken, and is not detecting defective chips.
Exercises 9.8.
1. Verify that
Z
1
1
e
x=2
dx = 2=
p
e.
2. Show that the function in example9.8.5 is a probability density function. Compute the mean
and standard deviation.)
3. Compute the mean and standard deviation of the uniform distribution on [a;b]. (See exam-
ple9.8.3.) )
4. What is the expected value of one roll of a fair six-sided die? )
5. What is the expected sum of one roll of three fair six-sided dice? )
6. Let  and  be real numbers with  > 0. Show that
N(x) =
1
p
2
e
(x )
2
2
2
is a probability density function. You will not be able to compute this integral directly; use
asubstitution to convert the integral into the one from example9.8.4. The function N is
230
Chapter 9 Applications of Integration
the probability density function of the normal distribution with mean  and standard
deviation . Show that the mean of the normal distribution is  and the standard deviation
is .
7. Let
f(x) =
(
1
x2
x 1
0
x< 1
Show that f is a probability density function, and that the distribution has no mean.
8. Let
f(x) =
(
 1  x  1
1 1 < x  2
0 otherwise.
Show that
Z
1
1
f(x)dx = 1. Is f a probability density function? Justify your answer.
9. If you have access to appropriate software, nd r so that
Z
10 r
1
f(x)dx+
Z
1
10+r
f(x)dx  0:05;
using the function of example9.8.9. Discuss the impact of using this new value of r to decide
whether to investigate the chip manufacturing process. )
Here is another geometric application of the integral: nd the length of a portion of a
curve. As usual, we need to think about how we might approximate the length, and turn
the approximation into an integral.
We already know how to compute one simple arc length, that of a line segment. If the
endpoints are P
0
(x
0
;y
0
)and P
1
(x
1
;y
1
)then the length of the segment is the distance be-
tween the points,
p
(x
1
x
0
)2 + (y
1
y
0
)2, from the Pythagorean theorem, as illustrated
in gure9.9.1.
...
....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
.
(x
1
;y
1
)
(x
0
;y
0
)
x
1
x
0
y
1
y
0
p
(x
1
x
0
)
2
+(y
1
y
0
)
2
Figure 9.9.1
The length of a line segment.
Documents you may be interested
Documents you may be interested