devexpress asp.net pdf viewer : Delete pages from pdf in preview control SDK system azure winforms html console Calculus4-part764

2.3 Limits
41
wedon’thavetoworryaboutiteveragain.Whenwesaythatxmightbe\complicated"
wereallymeanthatinpracticeitmightbeafunction. Hereisthenwhatwewanttoknow:
THEOREM2.3.5
Suppose lim
x!a
f(x)=Land lim
x!a
g(x)=M. Then
lim
x!a
f(x)g(x)=LM.
Proof. We have to use the ocial denition of limit to make sense of this. So given any
we need to nd a  so that 0 < jx  aj <  implies jf(x)g(x)   LMj < . What do we
have to work with? We know that we can make f(x) close to L and g(x) close to M, and
we have to somehow connect these facts to make f(x)g(x) close to LM.
We use, as is so often the case, a little algebraic trick:
jf(x)g(x)  LMj = jf(x)g(x)   f(x)M +f(x)M   LMj
=jf(x)(g(x)   M) + (f(x)   L)Mj
jf(x)(g(x)   M)j + j(f(x)  L)Mj
=jf(x)jjg(x)   Mj + jf(x)   LjjMj:
This is all straightforward except perhaps for the \". That is an example of the triangle
inequality , which says that if a and b are any real numbers then ja + bj  jaj + jbj. If
you look at a few examples, using positive and negative numbers in various combinations
for a and b, you should quickly understand why this is true; we will not prove it formally.
Since lim
x!a
f(x) = L, there is a value 
1
so that 0 < jx   aj < 
1
implies jf(x)   Lj <
j=(2M)j, This means that 0 < jx   aj < 
1
implies jf(x)   LjjMj < =2. You can see
where this is going: if we can make jf(x)jjg(x)   Mj < =2 also, then we’ll be done.
We can make jg(x)   Mj smaller than any xed number by making x close enough
to a; unfortunately, =(2f(x)) is not a xed number, since x is a variable. Here we need
another little trick, just like the one we used in analyzing x
2
. We can nd a 
2
so that
jx  aj < 
2
implies that jf(x)  Lj < 1, meaning that L  1 < f(x) < L+ 1. This means
that jf(x)j < N, where N is either jL  1j or jL+ 1j, depending on whether L is negative
or positive. The important point is that N doesn’t depend on x. Finally, we know that
there is a 
3
so that 0 < jx   aj < 
3
implies jg(x)   Mj < =(2N). Now we’re ready to
put everything together. Let  be the smallest of 
1
,
2
,and 
3
. Then jx   aj <  implies
that jf(x)   Lj < j=(2M)j, jf(x)j < N, and jg(x)   Mj < =(2N). Then
jf(x)g(x)  LMj  jf(x)jjg(x)  Mj + jf(x)  LjjMj
<N
2N
+
2M
jMj
=
2
+
2
=:
This is just what we needed, so by the ocial denition, lim
x!a
f(x)g(x) = LM.
Delete pages from pdf in preview - copy, paste, cut PDF pages in C#.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
Easy to Use C# Code to Extract PDF Pages, Copy Pages from One PDF File and Paste into Others
copy pdf page to clipboard; reader extract pages from pdf
Delete pages from pdf in preview - VB.NET PDF Page Extract Library: copy, paste, cut PDF pages in vb.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
Detailed VB.NET Guide for Extracting Pages from Microsoft PDF Doc
acrobat remove pages from pdf; delete pages from pdf preview
42
Chapter 2 Instantaneous Rate of Change: The Derivative
Ahandful of such theorems give us the tools to compute many limits without explicitly
working with the denition of limit.
THEOREM 2.3.6
Suppose that lim
x!a
f(x) = L and lim
x!a
g(x) = M and k is some
constant. Then
lim
x!a
kf(x) = k lim
x!a
f(x) = kL
lim
x!a
(f(x)+ g(x)) = lim
x!a
f(x) + lim
x!a
g(x) = L+ M
lim
x!a
(f(x)  g(x)) = lim
x!a
f(x)   lim
x!a
g(x) = L  M
lim
x!a
(f(x)g(x)) = lim
x!a
f(x)  lim
x!a
g(x) = LM
lim
x!a
f(x)
g(x)
=
lim
x!a
f(x)
lim
x!a
g(x)
=
L
M
; if M is not 0
Roughly speaking, these rules say that to compute the limit of an algebraic expression,
it is enough to compute the limits of the \innermost bits" and then combine these limits.
This often means that it is possible to simply plug in a value for the variable, since
lim
x!a
x= a.
EXAMPLE 2.3.7
Compute lim
x!1
x
2
3x+ 5
x  2
. If we apply the theorem in all its gory
detail, we get
lim
x!1
x
2
3x+ 5
x 2
=
lim
x!1
(x
2
3x+ 5)
lim
x!1
(x  2)
=
(lim
x!1
x
2
)  (lim
x!1
3x)+ (lim
x!1
5)
(lim
x!1
x)  (lim
x!1
2)
=
(lim
x!1
x)
2
3(lim
x!1
x)+ 5
(lim
x!1
x)  2
=
1
2
3 1 + 5
1  2
=
1  3+ 5
1
= 3
It is worth commenting on the trivial limit lim
x!1
5. From one point of view this might
seem meaningless, as the number 5 can’t \approach" any value, since it is simply a xed
How to C#: Preview Document Content Using XDoc.Word
How to C#: Preview Document Content Using XDoc.Word. Get Preview From File. You may get document preview image from an existing Word file in C#.net.
extract pages from pdf document; extract pdf pages acrobat
How to C#: Preview Document Content Using XDoc.PowerPoint
How to C#: Preview Document Content Using XDoc.PowerPoint. Get Preview From File. You may get document preview image from an existing PowerPoint file in C#.net.
delete pages of pdf; delete page from pdf file online
2.3 Limits
43
number. But 5 can, and should, be interpreted here as the function that has value 5
everywhere, f(x) = 5, with graph a horizontal line. From this point of view it makes sense
to ask what happens to the height of the function as x approaches 1.
Of course, as we’ve already seen, we’re primarily interested in limits that aren’t so easy,
namely, limits in which a denominator approaches zero. There are a handful of algebraic
tricks that work on many of these limits.
EXAMPLE 2.3.8
Compute lim
x!1
x
2
+2x   3
x  1
. We can’t simply plug in x = 1 because
that makes the denominator zero. However:
lim
x!1
x2 + 2x   3
x  1
=lim
x!1
(x   1)(x + 3)
x  1
=lim
x!1
(x + 3) = 4
While theorem2.3.6 is very helpful, we need a bit more to work easily with limits.
Since the theorem applies when some limits are already known, we need to know the
behavior of some functions that cannot themselves be constructed from the simple arith-
metic operations of the theorem, such as
p
x. Also, there is one other extraordinarily
useful way to put functions together: composition. If f(x) and g(x) are functions, we can
form two functions by composition: f(g(x)) and g(f(x)). For example, if f(x) =
p
xand
g(x) = x
2
+5, then f(g(x)) =
p
x2 + 5 and g(f(x)) = (
p
x)
2
+5 = x + 5. Here is a
companion to theorem2.3.6 for composition:
THEOREM 2.3.9
Suppose that lim
x!a
g(x) = L and lim
x!L
f(x) = f(L). Then
lim
x!a
f(g(x)) = f(L):
Note the special form of the condition on f: it is not enough to know that lim
x!L
f(x) =
M, though it is a bit tricky to see why. Many of the most familiar functions do have this
property, and this theorem can therefore be applied. For example:
THEOREM 2.3.10
Suppose that n is a positive integer. Then
lim
x!a
n
p
x=
n
p
a;
provided that a is positive if n is even.
VB.NET PDF File Compress Library: Compress reduce PDF size in vb.
a preview component enables compressing and decompressing in preview in ASP images size reducing can help to reduce PDF file size Delete unimportant contents:
add and remove pages from pdf file online; delete pages from pdf online
C# WinForms Viewer: Load, View, Convert, Annotate and Edit PDF
Erase PDF images. • Erase PDF pages. Miscellaneous. • Select PDF text on viewer. • Search PDF text in preview. • View PDF outlines. Related Resources.
export one page of pdf preview; delete pages from pdf file online
44
Chapter 2 Instantaneous Rate of Change: The Derivative
This theorem is not too dicult to prove from the denition of limit.
Another of the most common algebraic tricks was used in section2.1. Here’s another
example:
EXAMPLE 2.3.11
Compute lim
x! 1
p
x+ 5   2
x+ 1
.
lim
x! 1
p
x+ 5   2
x+ 1
= lim
x! 1
p
x+ 5  2
x+ 1
p
x+ 5+ 2
p
x+ 5+ 2
= lim
x! 1
x+ 5  4
(x +1)(
p
x+ 5+ 2)
= lim
x! 1
x+ 1
(x +1)(
p
x+ 5+ 2)
= lim
x! 1
1
p
x+ 5+ 2
=
1
4
At the very last step we have used theorems2.3.9 and2.3.10.
Occasionally we will need a slightly modied version of the limit denition. Consider
the function f(x) =
p
1  x2, the upper half of the unit circle. What can we say about
lim
x!1
f(x)? It is apparent from the graph of this familiar function that as x gets close to 1
from the left, the value of f(x) gets close to zero. It does not even make sense to ask what
happens as x approaches 1 from the right, since f(x) is not dened there. The denition
of the limit, however, demands that f(1 +x) be close to f(1) whether x is positive or
negative. Sometimes the limit of a function exists from one side or the other (or both) even
though the limit does not exist. Since it is useful to be able to talk about this situation,
we introduce the concept of one sided limit:
DEFINITION 2.3.12
One-sided limit
Suppose that f(x) is a function. We say
that lim
x!a
f(x) = L if for every  > 0 there is a  > 0 so that whenever 0 < a   x < ,
jf(x)   Lj < . We say that lim
x!a+
f(x) = L if for every  > 0 there is a  > 0 so that
whenever 0 < x   a < , jf(x)   Lj < .
Usually lim
x!a
f(x) is read \the limit of f(x) from the left" and lim
x!a+
f(x) is read \the
limit of f(x) from the right".
EXAMPLE 2.3.13
Discuss lim
x!0
x
jxj
, lim
x!0
x
jxj
,and lim
x!0+
x
jxj
.
The function f(x) = x=jxj is undened at 0; when x > 0, jxj = x and so f(x) = 1;
when x < 0, jxj =  x and f(x) =  1. Thus lim
x!0
x
jxj
= lim
x!0
1 =  1 while lim
x!0+
x
jxj
=
C# PDF Page Insert Library: insert pages into PDF file in C#.net
document files by C# code, how to rotate PDF document page, how to delete PDF page using C# .NET, how to reorganize PDF document pages and how
export pages from pdf reader; convert selected pages of pdf to word
How to C#: Preview Document Content Using XDoc.excel
How to C#: Preview Document Content Using XDoc.Excel. Get Preview From File. You may get document preview image from an existing Excel file in C#.net.
delete pages out of a pdf file; delete pages from pdf
2.3 Limits
45
lim
x!0+
1= 1. The limit of f(x) must be equal to both the left and right limits; since they
are dierent, the limit lim
x!0
x
jxj
does not exist.
Exercises 2.3.
Compute the limits. If a limit does not exist, explain why.
1. lim
x!3
x
2
+x   12
x  3
)
2. lim
x!1
x
2
+x   12
x  3
)
3. lim
x! 4
x
2
+x  12
x  3
)
4. lim
x!2
x
2
+x   12
x  2
)
5. lim
x!1
p
x+ 8  3
x  1
)
6. lim
x!0+
r
1
x
+2  
r
1
x
.)
7. lim
x!2
3)
8. lim
x!4
3x
3
5x)
9. lim
x!0
4x  5x
2
x  1
)
10. lim
x!1
x
2
1
x  1
)
11. lim
x!0
+
p
2  x2
x
)
12. lim
x!0
+
p
2  x2
x+ 1
)
13. lim
x!a
x
3
a
3
x  a
)
14. lim
x!2
(x
2
+4)
3
)
15. lim
x!1
n
x  5 x 6= 1,
7
x= 1.
)
16. lim
x!0
xsin
1
x
(Hint: Use the fact that jsinaj < 1 for any real number a. You should
probably use the denition of a limit here.) )
17. Give an { proof, similar to example2.3.3, of the fact that lim
x!4
(2x  5) = 3.
VB.NET PDF delete text library: delete, remove text from PDF file
Visual Studio .NET application. Delete text from PDF file in preview without adobe PDF reader component installed. Able to pull text
extract page from pdf acrobat; cut pages from pdf online
C# Word - Delete Word Document Page in C#.NET
doc.Save(outPutFilePath); Delete Consecutive Pages from Word in C#. int[] detelePageindexes = new int[] { 1, 3, 5, 7, 9 }; // Delete pages.
convert few pages of pdf to word; deleting pages from pdf online
46
Chapter 2 Instantaneous Rate of Change: The Derivative
18. Evaluate the expressions by reference to this graph:
x
K4
K2
0
2
4
6
K2
2
4
6
8
10
(a) lim
x!4
f(x)
(b) lim
x! 3
f(x)
(c) lim
x!0
f(x)
(d) lim
x!0
f(x)
(e) lim
x!0
+
f(x)
(f) f( 2)
(g) lim
x!2
f(x)
(h) lim
x! 2
f(x)
(i) lim
x!0
f(x + 1)
(j) f(0)
(k) lim
x!1
f(x   4)
(l) lim
x!0
+
f(x   2)
)
19. Use a calculator to estimate lim
x!0
sinx
x
.
20. Use a calculator to estimate lim
x!0
tan(3x)
tan(5x)
.
We have seen how to create, or derive, a new function f
0
(x) from a function f(x), summa-
rized in the paragraph containing equation2.1.1. Now that we have the concept of limits,
we can make this more precise.
DEFINITION 2.4.1
The derivative of a function f, denoted f
0
,is
f
0
(x) = lim
x!0
f(x+ x)  f(x)
x
:
C# PDF delete text Library: delete, remove text from PDF file in
Delete text from PDF file in preview without adobe PDF reader component installed in ASP.NET. C#.NET PDF: Delete Text from Consecutive PDF Pages.
delete pages of pdf reader; copy pdf page to powerpoint
C# PowerPoint - Delete PowerPoint Document Page in C#.NET
doc.Save(outPutFilePath); Delete Consecutive Pages from PowerPoint in C#. int[] detelePageindexes = new int[] { 1, 3, 5, 7, 9 }; // Delete pages.
extract one page from pdf file; extract pdf pages online
2.4 The Derivative Function
47
We know that f
0
carries important information about the original function f. In one
example we saw that f
0
(x) tells us how steep the graph of f(x) is; in another we saw that
f
0
(x) tells us the velocity of an object if f(x) tells us the position of the object at time x.
As we said earlier, this same mathematical idea is useful whenever f(x) represents some
changing quantity and we want to know something about how it changes, or roughly, the
\rate" at which it changes. Most functions encountered in practice are built up from a
small collection of \primitive" functions in a few simple ways, for example, by adding or
multiplying functions together to get new, more complicated functions. To make good use
of the information provided by f0(x) we need to be able to compute it for a variety of such
functions.
We will begin to use dierent notations for the derivative of a function. While initially
confusing, each is often useful so it is worth maintaining multiple versions of the same
thing.
Consider again the function f(x) =
p
625   x2. We have computed the derivative
f
0
(x) =  x=
p
625   x2, and have already noted that if we use the alternate notation
y =
p
625   x2 then we might write y
0
 x=
p
625   x2. Another notation is quite
dierent, and in time it will become clear why it is often a useful one. Recall that to
compute the the derivative of f we computed
lim
x!0
p
625  (7 + x)2   24
x
:
The denominator here measures a distance in the x direction, sometimes called the \run",
and the numerator measures a distance in the y direction, sometimes called the \rise," and
\rise over run" is the slope ofa line. Recall that sometimes sucha numerator is abbreviated
y, exchanging brevity for a more detailed expression. So in general, a derivative is given
by
y
0
= lim
x!0
y
x
:
To recall the form of the limit, we sometimes say instead that
dy
dx
= lim
x!0
y
x
:
In other words, dy=dx is another notation for the derivative, and it reminds us that it is
related to an actual slope between two points. This notation is called Leibniz notation,
after Gottfried Leibniz, who developed the fundamentals of calculus independently, at
about the same time that Isaac Newton did. Again, since we often use f and f(x) to mean
the original function, we sometimes use df=dx and df(x)=dx to refer to the derivative. If
48
Chapter 2 Instantaneous Rate of Change: The Derivative
the function f(x) is written out in full we often write the last of these something like this
f
0
(x) =
d
dx
p
625  x2
with the function written to the side, instead of trying to t it into the numerator.
EXAMPLE 2.4.2
Find the derivative of y = f(t) = t
2
.
We compute
y
0
= lim
t!0
y
t
= lim
t!0
(t+ t)
2
t
2
t
= lim
t!0
t
2
+2tt+ t
2
t
2
t
= lim
t!0
2tt+ t
2
t
= lim
t!0
2t+ t = 2t:
Remember that t is a single quantity, not a \" times a \t", and so t
2
is (t)
2
not
(t
2
).
EXAMPLE 2.4.3
Find the derivative of y = f(x) = 1=x.
The computation:
y
0
= lim
x!0
y
x
= lim
x!0
1
x+x
1
x
x
= lim
x!0
x
x(x+x)
x+x
x(x+x)
x
= lim
x!0
x (x+x)
x(x+x)
x
= lim
x!0
x  x  x
x(x +x)x
= lim
x!0
x
x(x +x)x
= lim
x!0
1
x(x +x)
=
1
x2
Note. If you happen to know some \derivative formulas" from an earlier course, for
the time being you should pretend that you do not know them. In examples like the
ones above and the exercises below, you are required to know how to nd the derivative
2.4 The Derivative Function
49
formula starting from basic principles. We will later develop some formulas so that we do
not always need to do such computations, but we will continue to need to know how to do
the more involved computations.
Sometimes one encounters a point in the domain of a function y = f(x) where there
is no derivative, because there is no tangent line. In order for the notion of the tangent
line at a point to make sense, the curve must be \smooth" at that point. This means that
if you imagine a particle traveling at some steady speed along the curve, then the particle
does not experience an abrupt change of direction. There are two types of situations you
should be aware of|corners and cusps|where there’s a sudden change of direction and
hence no derivative.
EXAMPLE 2.4.4 Discuss the derivative of the absolute value function y = f(x) = jxj.
If x is positive, then this is the function y = x, whose derivative is the constant 1.
(Recall that when y = f(x) = mx+b, the derivative is the slope m.) If x is negative, then
we’re dealing with the function y =  x, whose derivative is the constant  1. If x = 0,
then the function has a corner, i.e., there is no tangent line. A tangent line would have
to point in the direction of the curve|but there are two directions of the curve that come
together at the origin. We can summarize this as
y
0
=
(
1
if x > 0;
1
if x < 0;
undened if x = 0.
EXAMPLE 2.4.5
Discuss the derivative of the function y = x
2=3
,shown in gure2.4.1. We will later see
how to compute this derivative; for now we use the fact that y
0
=(2=3)x
1=3
.Visually this
looks much like the absolute value function, but it technically has a cusp, not a corner. The
absolute value function has no tangent line at 0 because there are (at least) two obvious
contenders|the tangent line of the left side of the curve and the tangent line of the right
side. The function y = x
2=3
does not have a tangent line at 0, but unlike the absolute value
function it can be said to have a single direction: as we approach 0 from either side the
tangent line becomes closer and closer to a vertical line; the curve is vertical at 0. But as
before, if you imagine traveling along the curve, an abrupt change in direction is required
at 0: a full 180 degree turn.
Inpractice we won’t worry muchabout the distinction betweenthese examples; in both
cases the function has a \sharp point" where there is no tangent line and no derivative.
50
Chapter 2 Instantaneous Rate of Change: The Derivative
0
1
2
1
0
1
2
.
...
...
....
...
...
....
...
...
...
....
...
...
...
....
...
...
...
...
...
....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
...
...
...
...
...
...
..
...
...
...
..
...
...
..
...
...
..
...
...
..
...
..
...
...
..
...
..
...
..
...
..
...
..
..
...
..
..
...
..
..
...
..
..
...
..
..
..
..
..
...
..
..
..
..
..
..
..
..
..
...
..
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
.
..
..
.
..
..
..
...
..
..
..
..
.
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
...
..
..
..
..
..
...
..
..
..
...
..
..
...
..
...
..
..
...
..
...
..
...
..
...
..
...
..
...
..
...
...
..
...
..
...
...
...
..
...
...
..
...
...
...
...
..
...
...
...
...
...
..
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
....
...
...
...
...
...
...
...
....
...
...
...
....
...
...
...
....
...
...
...
....
...
....
Figure 2.4.1
Acusp on x
2=3
.
Exercises 2.4.
1. Find the derivative of y = f(x) =
p
169  x2)
2. Find the derivative of y = f(t) = 80   4:9t
2
.)
3. Find the derivative of y = f(x) = x
2
(1=x).)
4. Find the derivative of y = f(x) = ax
2
+bx + c (where a, b, and c are constants). )
5. Find the derivative of y = f(x) = x
3
)
6. Shown is the graph of a function f(x). Sketch the graph of f
0
(x) by estimating the derivative
at a number of points in the interval: estimate the derivative at regular intervals from one
end of the interval to the other, and also at \special" points, as when the derivative is zero.
Make sure you indicate any places where the derivative does not exist.
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1:0  0:8  0:6  0:4  0:2 0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
.
..
..
..
.
..
..
..
.
..
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
..
.
..
..
.
..
..
..
.
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
...
..
..
..
...
..
..
...
..
...
...
...
...
...
....
.....
.......
............................
......
.....
.....
...
....
...
....
...
...
...
...
...
...
...
..
...
...
..
...
..
...
..
...
..
...
..
..
...
..
..
...
..
..
...
..
..
...
..
..
...
..
..
..
...
..
..
..
...
..
..
..
...
..
..
..
...
..
..
..
...
..
..
...
..
..
...
..
..
...
..
..
...
..
..
...
..
..
...
..
...
..
...
..
...
...
..
...
...
...
...
...
...
...
...
...
....
....
...
.....
.....
.......
.........................
.......
.....
....
...
....
...
...
..
...
..
...
..
..
...
..
..
..
..
..
..
...
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
.
..
..
..
..
.
..
..
.
..
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
..
.
..
..
..
.
..
..
..
.
..
7. Shown is the graph of a function f(x). Sketch the graph of f
0
(x) by estimating the derivative
at a number of points in the interval: estimate the derivative at regular intervals from one
end of the interval to the other, and also at \special" points, as when the derivative is zero.
Documents you may be interested
Documents you may be interested